73738

Статически определимые стержневые системы

Лекция

Архитектура, проектирование и строительство

Примем ряд допущений в отношении расчетной схемы фермы: – все шарниры являются идеальными отсутствуют силы трения; –оси стержней проходят через геометрические центры шарниров; – внешняя нагрузка приложена исключительно в узлах. В силу введенных допущений в стержнях фермы возникают только нормальные усилия. По характеру очертания внешнего контура...

Русский

2014-12-20

216 KB

0 чел.

Строительная механика. Статически определимые стержневые системы. Лекция 4

4.1. Основные понятия о ферме. Классификация ферм. Геометрическая неизменяемость ферм.

Фермой назовем геометрически неизменяемую стержневую систему, у которой все стержня соединены между собой шарнирно. Ферма и основные ее элементы показаны на рис. 4.1.

Примем ряд допущений в отношении расчетной схемы фермы:

– все шарниры являются идеальными (отсутствуют силы трения);

– оси стержней проходят через геометрические центры шарниров;

– внешняя нагрузка приложена исключительно в узлах.

В силу введенных допущений в стержнях фермы возникают только нормальные усилия.

Классификацию ферм ведут по ряду признаков:

По назначению: стропильные (рис. 4.2,а), крановые (рис. 4.2,б), башенные (рис. 4.2,в), мостовые (рис. 4.3) и т.д.

По типу опирания: балочные (рис.4.1), консольные (рис. 4.5,б), балочно-консольные (рис.4.5в, г), распорные (арочные) (рис. 4.5д, е).

По характеру очертания внешнего контура: фермы с параллельными поясами (рис. 4.3б) и фермы с ломанным или полигональным очертанием (рис. 4.1).

По типу решетки: фермы с треугольной решеткой (рис. 4.4а), с раскосной решеткой (рис. 4.4б), с полураскосной решеткой (рис. 4.4 в), с ромбической решеткой (рис. 4.4г), двухрешетчатые (рис. 4.4д) и многорешетчатые (рис. 4.4г).

По уровню езды: мостовые фермы по уровню езды разделяются на фермы с ездой понизу (рис. 4.3а), поверху (рис. 4.3б), посередине (рис. 4.3в).

Кинематический анализ ферм, как и других стержневых систем, условно можно разбить на две задачи. Первой из них является известная задача о нахождении степени свободы стержневой системы (степень кинематической неопределимости). С учетом введенных допущений в отношении расчетной схемы фермы, удобно определять степень ее свободы по формуле:

,

где  

y - число узлов фермы, включая и опорные;

 - число стержней фермы, включая и опорные.

Если , то рассматриваемая ферма может быть геометрически неизменяемой. Для окончательного ответа необходимо провести анализ геометрической структуры фермы, основываясь на принципах образования элементарных геометрически неизменяемых систем.

4.2. Аналитические способы определения усилий в стержнях простых ферм.

Фермы, образованные из шарнирного треугольника путем присоединения узлов при помощи двух стержней, не лежащих на одной прямой, называют простейшими.

Как было показано ранее, для расчета статически определимых стержневых систем применяется метод сечений. Основываясь на нем и уравнениях равновесия, разработан ряд способов определения усилий в стержнях ферм.

1. Способ вырезания узлов.

Суть способа заключается в том, что при помощи замкнутого сечения последовательно вырезают узлы фермы, в которые сходятся не более двух стержней, усилия в которых неизвестны. Используя условия равновесия вырезанного узла в виде равенства нулю суммы проекций сил, входящих в него, на две координатные оси, находим искомые усилия.

Последовательность расчета традиционна. Вначале определяются опорные реакции, и производится проверка правильности их определения (рис. 4.6):

,

откуда .

,

откуда .

Проверка:

.

Пронумеруем узлы фермы для удобства обозначения стержней.

Вырежем узел 1, так как только в нем или в 8 узле сходятся два неизвестных усилия (рис. 4.7). Предположим, что усилия в стержнях положительные, т.е. стержни растянуты.

Условия равновесия узла 1:

,

Из второго уравнения:

Знак «минус» показывает, что стержень сжат, а не растянут, как было предположено первоначально. На ферме (рис. 4.6) показываются действительные направления усилий в стержнях – от узла растяжение и в узел – сжатие.

Далее из первого уравнения можно найти второе неизвестное усилие:

Обратите внимание на то, что в уравнение подставлено значение усилия S1-2 с полученным при решении знаком.

Явным недостатком метода является определение усилий в большинстве стержней через ранее вычисленные. Также затруднено решение необходимостью вычисления тригонометрических функций углов. В нашем случае найдем tg:

.

По tg определяется угол  и находятся sin и cos .

Следующий узел, равновесие которого можем рассмотреть, является узел 3 (рис. 4.8), в который входят три усилия, но одно уже найдено:

  .

Запишем условия равновесия узла 3:

 

откуда

Полученный результат позволяет сделать следующие обобщения:

если в незагруженный узел сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, то усилие в третьем равно нулю;

– если в незагруженный узел сходятся два стержня, то усилия в них нулевые.

Теперь можем перейти к рассмотрению равновесия узла 2, в который сходятся четыре стержня, но усилия в двух из них уже найдены (рис. 4.9).

Стержень S2-3, усилие в котором равно нулю, на схеме показан с кружочком, олицетворяющим нулевое усилие.

Запишем условия равновесия узла, при этом не надо забывать, что ранее были вычислены необходимые тригонометрические функции.

,

Решив совместно два алгебраических уравнения, найдем искомые усилия S2-4 и S2-5 .

Далее можно перейти к рассмотрению равновесия узла 4, затем 5 и т.д..

В рассматриваемом случае ферма симметрична, нагрузка симметрична и опирание симметрично, следовательно, при рассмотрении равновесия узла 5 установим, верно ли найдены усилия в стержнях. Действительно, усилия S5-2 и S5-6 должны быть равными и по модулю и по действию (сжимающее или растягивающее).

В случае несоблюдения полной симметрии ответ о правильности расчета последует лишь при рассмотрении равновесия последнего узла.

2. Способ моментной точки.

В основе способа лежит все тот же метод сечений и условия равновесия отсеченной части фермы. Только в качестве уравнения равновесия записывается равенство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к отсеченной части относительно специально выбранной точки, называемой моментной. В этой точке должны пересекаться оси всех рассеченных стержней, кроме искомого. Следовательно, способом моментной точки можно найти усилие в искомом стержне независимо от ранее вычисленных. Возможность ошибки существует, но ошибка не распространится на другие стержни.

На рис. 4.10 показан способ моментной точки применительно к уже рассматриваемой ферме.

Естественно, что вначале находим опорные реакции:

Пусть требуется найти усилие в стержне . Проведем сквозное сечение так, чтобы обязательно был рассечен искомый стержень, а оси других рассеченных стержней сходились в одной точке. Такой точкой является узел 5.

Откуда

.

Найти плечо  не сложно, так как угол  известен:

Окончательно получим:

Довольно часто удачно проведенное сечение позволяет найти усилия во всех рассеченных стержнях.

Найдем усилие . Моментной точкой для него является узел 2.

, откуда:

Для стержня  моментной точкой будет узел 1:

Преимущества способа моментной точки, надеюсь, стали очевидными.

3. Способ проекций.

Этот способ часто трактуют в литературе как частный случай способа моментной точки, когда моментная точка находится в бесконечности. Другими словами, способ проекций применим для определения усилий в элементах решетки фермы с параллельными поясами.

В силу сказанного следует, что алгоритм применения способа похож на алгоритм способа моментной точки. В качестве условия равновесия отсеченной части фермы используется уравнение в форме равенства нулю суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную параллельным стержням (поясам) (рис. 4.11).

Опорные реакции определяются традиционным способом.

На рис. 4.11 показаны два возможных сечения  для определения усилий в стержнях решетки.

Необходимо определить усилие в стержне .

, откуда

Найти , как было показано ранее, не сложно, ибо геометрия фермы известна:

.

Найдем усилие в стержне :

, откуда

Стержень сжат.

Из приведенного примера видна ограниченность применения способа проекций.

Как правило, при аналитическом расчете фермы используются все три способа определения усилий, отдавая предпочтение способу моментной точки или проекций.

4.3. Графический способ определения усилий в стержнях фермы.

В основе графического способа положено определение усилий в стержнях фермы путем вырезания отдельных узлов, только условия равновесия представлены графически. В этом случае внешние силы, действующие на узел, совместно с внутренними усилиями образуют замкнутый силовой многоугольник. Объединив графические построения равновесия узлов в один чертеж, получим диаграмму Максвелла-Кремоны.

Построение диаграммы начинают с вычерчивания в масштабе схемы фермы и обозначения полей, заключенных между силами и стержнями – внешние поля и между стержнями фермы – внутренние поля (рис. 4.12).

Опорные реакции можно тоже найти графически, но проще аналитически.

Вначале построим в выбранном масштабе силовой многоугольник для всей фермы, в который войдут внешние силы и найденные опорные реакции. Проведем вертикальную ось, на которой будем откладывать внешние силы – они вертикальны, да и часто и опорные реакции вертикальны, как в рассматриваемом случае. Начнем с выбора некоторой точки отсчета, допустим точки а. Далее обходим ферму по часовой стрелке и переходя из одного внешнего поля в другое, откладываем на оси в масштабе величины сил, которые нам встречаются, с учетом их направлений. Таким образом, получим замкнутый силовой многоугольник. Правда, в нашем случае он выродился в линию.

Следующий этап заключается в последовательном рассмотрении графического равновесия узлов, в которые входит не более двух неизвестных усилий. Надо помнить, что узлы обходятся по часовой стрелке.

Например, рассмотрим левый опорный узел. Обойдем его по часовой стрелке, откладывая на построенном силовом многоугольнике известные усилия или направления неизвестных – для этого и вычерчивается ферма в масштабе. Так, идя из поля а в поле b отложим опорную реакцию . Попадая из поля b в поле 1, нанесем направление усилия Sb1 из точки b. Проходя из поля 1 в поле a, покажем направление усилия S1a из точки a. На пересечении направлений усилий Sb1 и S1a получим точку 1. Измерив расстояние b-1 и 1-a, найдем значение соответствующих усилий в выбранном масштабе.

На диаграмме и чертеже фермы принято указывать направление усилий, которое легко получить, вспомнив, что силовой многоугольник замкнут, а направление одного из усилий (в данном случае – опорной реакции) известно. Если мысленно перенести диаграмму на схему фермы, то легко установить, какие стержни сжаты, а какие растянуты. Если усилие действует в узел, то стержень сжат, от узла – растянут.

В приведенном примере сознательно не показаны направления усилий ни на ферме, ни на диаграмме. Потренируйтесь самостоятельно, тем более, что часть усилий найдена ранее аналитически.

Графический расчет целесообразно выполнять на миллиметровой бумаге и, разумеется, при помощи чертежных приборов. От точности построений зависит точность результатов.

PAGE  1


d

h

F

F

F

Нижний пояс

Верхний пояс

Раскос

Стойка

Рис. 4.1

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Рис. 4.2

Рис. 4.3

d

V1

V8

F

F

F

2

3

4

5

6

7

1

8

Рис. 4.6

V1

S1-3

S1-2

Рис. 4.7

3

S3-1

S3-5

S3-2

Рис. 4.8

S2-1

S2-4

S2-5

F

Рис. 4.9

EMBED Equation.3  

r2-4

h

d

V1

V8

F

F

F

2

3

4

5

6

7

1

8

Рис. 4.10

F

F

F

h

VA

d

VB

A

B

1

2

3

4

5

7

6

8

Рис. 4.11

EMBED Equation.3  

a

b

c

d

e

V1

V2

F

F

F

1

2

3

3

2

1

a

b

c

d

e

1,2,1,2

3

3

Масштаб

  F

Рис. 4.12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18121. Збережені процедури в Interbase/Firebird 52.5 KB
  Тема 6: Збережені процедури в Interbase/Firebird Збережені процедури Stored procedures – це програми які зберігаються в метаданих бази даних і виконуються на сервері. Прикладні програми можуть викликати stored procedure для виконання заданих в них операцій. Є два види збережених процеду
18122. Java Persistence API 77.5 KB
  PAGE 1 Тема 7: Java Persistence API Java Persistence API забезпечує object/relational mapping для роботи з реляційними даними в Javaпрограмах. Java Persistence складається з трьох частин: Java Persistence API Мови запитів Query language Метаданих для object/relational mapping Entities Entity – це легковісний ...
18123. JavaServer Faces (JSF) 174 KB
  Тема 8: JavaServer Faces JSF Технологія JavaServer Faces – це серверний framework для webпрограм що розробляються на Java. Основні компоненти JavaServer Faces такі: – API для представлення UIкомпонентів і керування їх станом; обробки подій; серверної валідації; конверсії даних; визначення навігації по
18124. Spring Framework 86 KB
  Тема 9: Spring Framework Spring є Java framework який надає розробнику сукупність сервісів для побудови масштабованих J2EE програм. Spring реалізує в собі концепцію MVC. Inversion of Control IoC Іноді можна почути терміни Inversion of Control та Dependency Injection як взаємозамінні але це не зовсім вірно. Inversion of Co...
18125. Struts Framework 175 KB
  Тема 10: Struts Framework Apache Struts – це opensource framework для розробки Java EE web програм. В ньому використовується і розширюється Java Servlet API та надається базова інфраструктура для реалізації програми на основі шаблону проектування design pattern MVC. Базова платформа для використання Struts 2 вклю...
18126. Предмет та задачі фізичної електроніки 246.27 KB
  Предмет та задачі фізичної електроніки Що таке фізична електроніка Що за розділ фізики Так от: це наука котра займається вивченням властивостей електронів та іонів при швидкостях набагато менших швидкості світла. Фізична електроніка вивчає рух електронів та іонів у в...
18127. Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями 879.5 KB
  Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. Задача полягає в тому щоб знайти число електронів що мають енергії в інтервалі Е Е dE тобто знайти функціюзакон розподілу електронів за е
18128. Термоелектронна емісія (ТЕЕ) 160.77 KB
  Термоелектронна емісія ТЕЕ ТЕЕ є випромінювання електронів розжареними тілами. Джерело енергії збудження електронів – теплова енергія гратки. Густина струму термоемісії для кожного тіла є універсальною функцією параметри якої залежать від природи цього тіла структ...
18129. Вплив зовнішнього електричного поля на термоемісію катоду 188.56 KB
  Вплив зовнішнього електричного поля на термоемісію катоду Для того щоб визначити струм емісії катода необхідно зібрати елементарну схему що містить вікуумний діод ВД й джерела живлення з вимірювальними приладами. Діод має пряморозжарюваний W катод 1 і анод 2. ...