73826

Операции над матрицами

Лекция

Математика и математический анализ

Элементами матрицы могут являться числа алгебраические символы или математические функции. Например матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений нахождения значений физических величин в квантовой теории шифрования сообщений в Интернете. Строки матрицы нумеруются сверху вниз а столбцы – слева направо.

Русский

2014-12-21

1.17 MB

12 чел.

 Линейная алгебра

Операции над матрицами

Понятие матрицы

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

      Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.

      Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:

 

 (1)

 

      Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется  m×n  матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера  m×n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.



Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.

      Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде  ai j , а выражение  A = || ai j ||  означает, что матрица A составлена из элементов  ai j .

      Матрица    размера  1×n  называется строчной или вектор-строкой.

      Матрица    размера  n×1  называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

      Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера  n×n. Такие матрицы называются квадратными. При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер  3×3.

      Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.

Пример: Размер матрицы

Числовая 3×2 матрица

Числовая 2×3 матрица

Функциональная матрица второго порядка
















Линейные операции

Равенство матриц
Матрицы  A = || ai j ||  и  B = || ai j ||  считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

 

 (1)

 

для любых допустимых значений индексов  i  и  j.

К
линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы  A  на число  λ  (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

 

 (2)

 

Сложение матриц
Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  = || ai j ||  и  = || bi j ||  является матрица  = || ci j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

 

 (3)

 

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида  , где    и   – числовые коэффициенты.

Пример 1.
Матрицы
   и    составлены из одних и тех же элементов, но имеют различные размеры.
Следовательно,  A ≠ B.

***

Пример 2.
Матрицы
   и    составлены из одних и тех же элементов и имеют одинаковые размеры. Однако не все соответствующие матричные элементы попарно равны.
Следовательно,
  D.

***

Пример 3.
Если   ,   то     .

***

Пример 4.
Пусть    и  
Тогда

***

Пример 5.
Вычислим линейную комбинацию
 2A  3B  матриц A и B в условиях предыдущего примера:

***

Пример 6.
Матричное уравнение

равносильно системе двух линейных уравнений:

Умножение строки на столбец

Пусть – матрица-строка размера  n, и пусть – матрица-столбец размера  n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)
      Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

 



      

 (1)

 

Формула (1) называется правилом умножения строки на столбец.

      Если матрица A содержит  m  строк, а матрица B n  столбцов, то произведениt AB представляет собой  m×n  матрицу, i,j-ый элемент которой вычисляется по правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B. Например, при умножении двухстроковой матрицы на матрицу-столбец каждая из строк (A1 и A2) матрицы  A  поочередно умножается на столбец  B.

      Результатом произведения  AB  является матрица размера  2×1:

 

Пример 1.
Пусть    и   .
Тогда

и

***

Пример 2.
Матричное уравнение

определяет систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных пронумерованы двумя индексами, первый из которых можно интерпретировать как номер уравнения, а второй – как номер соответствующей переменной.

***

Пример 4.
Пусть
A – матрица размера  n, и пусть B – матрица размера  n×1.
Тогда произведение
AB представляет собой число (матрицу размера 1×1), тогда как произведение BA – квадратную матрицу n-го порядка:



Произведение матриц

Пусть –  m×l  матрица и пусть –  l×n  матрица.

      Тогда произведением AB называется матрица размера  m×n , элементы которой вычисляются по правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B:

 



               

 (1а)

 

 

 (1б)

 

      Если обозначить строки матрицы A символами , а столбцы матрицы B – символами , то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:

 



 (2)

 

      Таким образом, если матрица  A  содержит  m  строк, а матрица  B  содержит  n-столбцов, то произведение  AB  представляет собой матрицу  С  размера  × n. Элемент , стоящий в  i-ой строке и  j-ом столбце матрицы  AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец:  i-ая строка матрицы  A  умножается на  j-ый столбец матрицы  B.

      Операция матричного умножения определена только для матриц, удовлетворяющих определенным условиям:

  •  Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы  A  должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы  B.)
  •  Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.

      Отметим, что в общем случае произведение матриц некоммутативно, то есть  AB  BA. Более того,

  •  Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
  •  Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы  A  размера  n  на матрицу  B  размера  n×1  является число (то есть матрица размера  1×1), тогда как произведение  BA  представляет собой квадратную матрицу  n-го порядка.
  •  Если матрицы A и B являются квадратными маирицами  n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
  •  Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).

      Разность  AB  BA  произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется коммутатором матриц.
      Сумма  AB + BA  произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется антикоммутатором матриц.

      Символическая запись означает произведение двух одинаковых квадратных матриц:
      Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:

 



 .

 (3)

 

      Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде

 

 (4)

 

где  Ai j  и  Bi j  – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
      Тогда

 

 (5)

 

Пример 1.
Найти коммутатор матриц
   и  

Решение:

и

Тогда

***

Пример 2.
Найти
 A2010, если  

Решение:








***

Пример 3.
Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами. Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы.

Действительно,



***

Пример 4.
Аналогично, матрица не изменяется при умножении слева или справа на матрицу
 :

***

Пример 5.
В условиях Примера 1 найти антикоммутатор матриц
A и B.

Решение:

***

Пример 6.
Пусть Показать, что

Решение:




...

Свойства матричных операций

Предположим, что размеры матриц A, B и C таковы, что соответствующие операции сложения и умножения определены.

      Свойства, связанные с суммированием матриц непосредственно вытекают из определения суммы матриц.

  1.  Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A ),

A + (–A) = AA = 0,

где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.

  1.       A + B = B + A 
  2.       (A + B) + C = A + (B + C)
  3.        λ (A + B) = λ A + λ B
          (λ – произвольное число.)

Свойства, связанные с умножением матриц.
(
 λ и μ – произвольные числа; A, B и C – матрицы.)

  1.        λ (AB) = (λ A) B = AB)

  1.        (AB)C = A(BC)                       

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

(AB)C = A(BC).

Доказательство.
По определению,  
i, j-тый элемент произведения матрицы (A B) и матрицы C равен


Учитывая, что

получаем

Изменим порядок суммирования:



Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов
i и j означает равенство матриц.

Свойства, связанные с суммой и произведением матриц 
(
 λ – произвольное число; A и B – матрицы.)

  1.        A(B + C) = AB + AC                 

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены.
Тогда

A(B + C) = AB + AC.

Доказательство.
Рассмотрим элемент, стоящий в
i-ой строке и j-ом столбце матрицы  A (B + C) .




Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов
i и j означает равенство матриц.

  1.        (A + B)C = AC + BC                 

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены.
Тогда

(+ B) C = A C + B C .

Доказательство.
Рассмотрим элемент, стоящий в
i-ой строке и j-ом столбце матрицы  (A + BC .



  1.  
    Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов
    i и j означает равенство матриц.

Пример: Прямым вычислением убедиться в справедливости свойства  (AB)C = A(BC), если


        и     


Решение 







Диагональные матрицы

  В квадратной матрице элементы ( i = 1, 2, ..., n ) образуют главную диагональ и называются диагональными элементами. Главная диагональ проходит из левого верхнего угла матрицы в ее правый нижний угол.

 

 (1)

 

      Совокупность элементов, расположенных на диагонали, проходящей из правого верхнего угла в левый нижний угол, называется побочной диагональю.

      Матрица , все внедиагональные элементы которой равны нулю, называется диагональной. Другими словами, элементы диагональной матрицы удовлетворяют условиям

 

 (2)

 

      Для записи подобных выражений удобно использовать дельта-символ Кронекера, определяемый формулой

 

 (3)

 

      Очевидно, что дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов:

 

δi j = δj i .

 (4)

 

      Другое важное свойство дельта-символа  δi j  заключается в том, что он снимает суммирование в выражениях вида

 

 (5)

 

      В частности,

 

 (6)

 


      В этих обозначениях формула (2) принимает вид

 

 (7)

 

      Очевидно, что при умножении прямоугольной матрицы A справа на диагональную матрицу с диагональными элементами λ1, λ1, ..., λn первый столбец матрицы A умножается на число λ1 , второй - на число λ2 и так далее.
      При умножении матрицы
A слева на такую диагональную матрицу каждая строка матрицы A умножается на соответствующее число λi.

      Диагональная квадратная матрица с равными диагональными элементами называется скалярной.

Пример 1.
Доказать, что произведение диагональных матриц есть диагональная матрица.

Доказательство:

Пусть – произвольные диагональные матрицы  n-го порядка. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения AB:

.

Выражение в правой части этого равенства представляет собой матричный элемент диагональной матрицы.

***

Пример 2.
Доказать, что коммутатор диагональных матриц равен нулю.

Доказательство:

Пусть – произвольные диагональные матрицы  n-го порядка. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения BA:

.

Учитывая, что произведение диагональных матриц есть диагональная матрица (см Пример 1), заключаем, что произведение диагональных матриц коммутативно:  AB = BA.

***

Пример 3.
Сумма
   содержит только одно ненулевое слагаемое, поскольку  δi 3 = 1  при  i = 3  и  δi 3 = 0  для всех других значений  i.
Следовательно,

***

Пример 4.
Сумма
   содержит только нулевые слагаемые, поскольку  δi 120 = 0  для всех  1  i  100.
Следовательно,

***

Пример 5.



Единичная матрица

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E.
      Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

 

.

 (1)

 

      В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

 

.

 (2)

 

      Действительно, пусть – произвольная матрица размера  m×n. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица  n-го порядка.
      Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

 

 (3)

 

для любых допустимых значений индексов  i,j  и, следовательно, AE = A.

      Рассмотрим теперь  i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица  m-го порядка:

 

 (4)

 

Попарное равенство матричных элементов для всех  i,j  влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.

Пример 1.
Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами.
Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы.



***

Пример 2.
Пусть
   – произвольная  2×3  матрица.
Проверить прямым вычислением, что матрица
 A  не изменяется при умножении справа и слева на единичные матрицы соответствующих порядков.

Решение 

Заметим, что в качестве единичной матрицы в произведении EA должна быть выбрана матрица второго порядка, тогда как в произведении AE под единичной матрицей следует понимать матрицу третьего порядка.



***

Пример 3.
Пусть
  
Убедиться прямым вычислением в справедливости свойства

Решение 



***

Пример 4.
Даны матрицы Паули:

где  i – мнимая единица (i 2 = –1).
Показать, что квадрат любой из матриц Паули есть единичная матрица.

Решение 





***

Пример 5.
Пусть .
Найти
 f (A), если

Решение. При переходе к матричной функции  f(A), переменную  x  следует заменить матрицей  A, а числовое слагаемое 5 – матрицей 5E, где  E – единичная матрица.
Следовательно,





Нулевая матрица

Нулевая матрица содержит только нулевые элементы,

      В системе матриц, 0-матрица обладает теми же свойствами, что и обычный нуль. Например, для любой матрицы A 

      Эта аналогия, однако, не является абсолютной. Если, в частности, произведением матриц является нулевая матрица, то это не означает, что хотя бы один из сомножителей является нулевой матрицей. Например,

      Отметим, что для каждого размера  m×n  существует своя 0-матрица.

Пример 1.
Очевидно, что

***

Пример 2.
Пусть матрица треугольного вида с нулевыми диагональными элементами.
Найти  A3.

Решение 




Такимм образом,
 A3  является нуль-матрицей.

***

Пример 3.
Рассмотрим матрицы Паули:

где  i – мнимая единица (i 2 = –1).
Показать, что антикоммутатор любой пары матриц Паули есть нуль-матрица.

Решение 











Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица. Тогда матрица    называется обратной, если

 

 (1)

 

где E – единичная матрица.

Свойства и применения обратной матрицы 

  1.  Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Если существуют обратные матрицы    и  , то существует и обратная матрица для произведения AB, причем

 

.

 (2)

 

Действительно,

 



 (3)

 

  1.  Пусть A – числовая квадратная матрица n-го порядка, для которой существует обратная матрицы  ; X – матрица размера  n×m, элементами которой являются переменные  xi j  (1  i  n, 1  j  m); B – числовая матрица размера  n×m.
    Тогда решение матричного уравнения

 

A X = B 

 (4)

 

можно представить в виде

 

 (5)

 

Пример 1.
Пусть
 A,  B  и  C  – квадратные матрицы одного и того же порядка.
Если существуют обратные матрицы
 A –1,  B –1  и  C –1, то существует и обратная матрица для произведения  ABC, причем

(ABC)–1 = C –1 B –1 A –1.

Действительно,



Аналогично,



***

Пример 2.
Пусть
 .
Проверить прямым вычислением, что матрица

является обратной матрицей.

Решение 

Вычислим произведение  A –1A :

Такой же результат справедлив для произведения  AA –1 :

Треугольные, транспонированные и симметричные матрицы

Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:


   или   

Рис.1. Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.


      Треугольные матрицы обладают следующими свойствами:

  1.  Сумма треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования; при этом диагональные элементы матриц складываются.
  2.  Произведение треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования.
  3.  При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень.
  4.  При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число.



      Доказательство утверждений предоставляется читателю.      

Если в произвольной m × n матрице произвести взаимную замену строк и столбцов, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается символом  . Другими словами, строки матрицы  A  являются столбцами матрицы  , а столбцы матрицы  A  являются строками матрицы  :


      Очевидно, что


,


      Операция транспонирования произведения матриц обладает следующим свойством:

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

Доказательство.
Представим
i,j-ый элемент матрицы в виде


Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов
i и j означает равенство матриц.

Квадратная матрица A называется симметричной, если  , что означает   .

      Матрица называется кососимметричной, если  , то есть  .

Пример 1.
Найти , если

Решение 

***

Пример 2.
Матрица

является симметричной, поскольку  .
Учитывая, что вещественность симметричной матрица влечет за собой ее эрмитовость, заключаем, что матрица
 S  является эрмитовой:  .

***

Пример 3.
Матрица

является кососимметричной, поскольку

***

Пример 4.
Непосредственным вычислением убедиться в справедливости свойства на примере произвольных матриц второго порядка,
 A = || ai j ||  и  B = || bi j || .

Решение 





Сопряженные, эрмитовы и унитарные матрицы

Матрица  , полученная из исходной матрицы  A  заменой ее элементов    комплексно–сопряженными элементами  , называется комплексно–сопряженной.

      Очевидно, что


,

,

.

      Транспонированние и комплексное сопряжение матрицы  A  приводит к эрмитово–сопряженной матрице  .

      Если  , то матрица A называется эрмитовой.

      Если  , то матрица A называется унитарной.

      Операция эрмитового сопряжения произведения матриц обладает следующим свойством:     

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

Доказательство.
Свойство представляется вполне очевидным. Действительно, операция эрмитового сопряжения матрицы сводится к транспонированию комплексно сопряженной матрицы:

Однако и, следовательно,

.

Пример 1.
Показать, что матрица

является унитарной.
Решение
Эрмитово сопряженная матрица имеет вид:

Очевидно, что



Следовательно,

***

Пример 2.
Найти , если

Решение 

Блочные матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A и рассечем ее горизонтальными и вертикальными линиями на блоки Ai j :

      Здесь  A1 ,  A2 , ...,  Ai k , ... - матрицы с одинаковым числом строк;  A1 j ,  A2 j , ...,  Ak j , ... - матрицы с одинаковым числом слолбцов.

      Представленную в таком виде матрицу A называют блочной или говорят, что матрица A разбита на блоки (клетки).

      Если размеры блоков выбраны такими, что соответствующие матричные операции определены, то действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, что и в случае обычных матриц (с матричными элементами, обозначенными Ai j ). Однако следует соблюдать осторожность при выборе порядка сомножителей в произведении блоков из-за некоммутативности операции умножения матриц.

      Блочная матрица называется блочно диагональной, если она по своему виду совпадает с обычной диагональной матрицей, то есть как если бы блоки  Ai j  представляли собой обычные матричные элементы.

      Блочная матрица называется блочно треугольной, если она по своему виду совпадает с обычной треугольной матрицей.

Матрица перестановок

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.

      Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

  1.  Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
  2.  Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

      Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы  A = || ai j ||  является вторая строка (a21 a22 a23 ...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

      Таким образом, если в  i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в  j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению  j-ой строки матрицы A в позицию  i-ой строки.

      Аналогично, если в  i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в  j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению  j-го столбца матрицы A в позицию  i-го столбца.

      Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
      При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
      Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

      Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица.

      Действительно,




где - дельта-символ Кронекера.

      Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.

      Терема 2. Матрица перестановок  n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок.

      Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

      Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц перестановок.

Элементарные матрицы перестановок:

Матрицы перестановок:

Матрица масштабирования

Если в единичной матрице заменить диагональные элементы произвольными ненулевыми числами, то полученная матрица называется матрицей масштабирования.
      Иначе говоря, любая диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами является матрицей масштабирования.

      Если матрицы масштабирования получена из единичной матрицы E умножением одной из ее строк (или столбца) на ненулевое число λ, то такая матрица называется элементарной матрицей масштабирования.

      Легко проверяются следующие свойства элементарной матрицы масштабирования.

  1.  Умножение слева элементарной матрицы масштабирования на прямоугольную матрицу A приводит к умножению соответствующей строки матрицы A на число λ.
  2.  Умножение справа элементарной матрицы масштабирования на прямоугольную матрицу A приводит к умножению соответствующего столбца матрицы A на число λ.

      Пусть, например, второй строкой матрицы масштабирования является строка вида (0, λ, 0, 0, ..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы  A = || ai j ||  является строка (λa21 λa22 λa23 ...).

      Терема 1. Произведение матриц масштабирования одного и того же порядка есть матрица масштабирования.

      Терема 2. Матрица масштабирования  n-го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц масштабирования.

      Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц масштабирования.

Элементарные матрицы масштабирования:



Матрицы масштабирования:

Неунитарная матрица

Если в одной или нескольких строках (или столбцах) единичной матрицы заменить по одному внедиагональному элементу произвольными ненулевыми числами, то полученная матрица называется неунитарной матрицей.
      Если такая замена произведена только в одной строке (или столбце) единичной матрицы, то полученная матрица называется элементарной неунитарной матрицей.

      Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства неунитарной матрицы.

  1.  Пусть неунитарная матрица получена из единичной матрицы заменой  i,j-го внедиагонального элемента числом λ. Тогда при умножении слева матрицы на прямоугольную матрицу A к i-ой строке матрицы A прибаляется ее  j-ая строка, умноженная на число λ.
  2.  Умножение справа неунитарной матрицы на матрицу A приводит к прибавлению к  i-му столбцу матрицы M ее  j-го столбца, умноженного на число λ.

      Примеры элементарных неунитарных матриц:



      Примеры неунитарных матриц:

Элементарные преобразования матриц

Элементарные матрицы перестановок и масштабирования, а также элементарная неунитарная матрица называются элементарными матрицами.

      Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.

      Алгоритмы решения целого ряда задач включают в себя (в качестве составных элементов) элементарные преобразования матриц, к числу которых относятся:

  1.  умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;
  2.  перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;
  3.  прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;
  4.  прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

      Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.

  1.  Пусть  Ri (λ) – матрица масштабирования (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка заменой единицы в i-ой строке числом  λ):

 

 (1)

 

  1.  Тогда результатом умножения слева матрицы  Ri (λ) на матрицу

 

 (2)

 

  1.  является матрица, полученная из исходной матрицы  A  умножением ее  i-ой строки на число  λ:

 

 (3)

 

  1.  Например,

 

 (4)

 

  1.  
    Аналогично, чтобы умножить
    i-ый столбец матрицы  A  на число  λ, достаточно умножить матрицу  Ti  справа на матрицу  A. В частности,

 

 (5)

 

  1.  Пусть  Pi j – матрица перестановок (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка перестановкой  i-ой и  j-ой строк):

 

 (6)

 

  1.  Тогда результатом умножения слева матрицы  Pi j  на матрицу

 

 (7)

 

  1.  является матрица, полученная из исходной матрицы  A  перестановкой местами ее  i-ой и  j-ой строк:

 

 (8)

 

  1.  Например,

 



 (9)

 

  1.  
    Умножение матрицы
     Pi j  справа на матрицу

 

 (10)

 

  1.  приводит к матрице

 

 (11)

 

  1.  полученной перестановкой местами i-го и j-го столбцов матрицы  A.

  1.  Чтобы прибавить к  i-ой строке матрицы A ее  j-ую строку, умноженную на число λ, достаточно умножить матрицу A справа на элементарную неунитарную матрицу .

  1.  Чтобы прибавить к  i-му столбцу матрицы A ее  j-ый столбец, умноженный на число λ, достаточно умножить матрицу A слева на элементарную неунитарную матрицу .

Матрицы Паули

Матрицы Паули  σk  (k = 1, 2, 3) определяются уравнениями

 

 (1)

 


и используются для описания спиновых состояний электронов. (Здесь
 iмнимая единица .)

      Очевидно, что матрицы Паули являются эрмитовыми::

 

 (2)

 


      Квадрат каждой из матриц Паули равен единичной матрице:

 

 (3)

 


      Матрицы Паули обладают свойством антикоммутативности:

 

 (4)

 

где – дельта-символ Кронекера (j,k = 1,2,3).

      Другие непосредственно проверяемые свойства матриц Паули:

 



 (5)

Матрицы вида eA

Для описания эволюции состояния квантовой системы важную роль играют матрицы вида , где  A – некоторая квадратная матрица (конечного или бесконечного порядка).

      Методами математического анализа устанавливается справедливость разложения функции по формуле Тейлора:

 

 (1)

 

где число  e  представляет собой основание натуральных логарифмов:

 

e = 2.7182818284590452353602874...

 (2)

 


      Тогда выражение вида

 

 (3)

 

можно рассматривать в качестве определения марицы .

      Например, если

 

 (4)

 

то нетрудно показать (см Пример 6), что

 

 (5)

 

где  n – натуральное число.
      Тогда

 



 (6)

 


      Учитывая равенство (1), заключаем, что матрица    может быть представлена в виде

 

 (7)

 

      Заметим, что нахождение матрицы сводится к суммированию конечного числа матриц, если существует такое целое положительное число  n, что  An = 0. Такое условие выполняется, например, для треугольных матриц с нулевыми диагональными элементами.
      В частности, в случае матрицы  A  третьего порядка вида

 

 (8)

 

уже ее третья степень представляет собой нуль-матрицу:

 

,

 (9)

 

      Следовательно,

 



 (10)

 

Пример 1.
Для данной матрицы

найти матрицу .

Решение 

,


Следовательно,



Определители

Перестановки и транспозиции

Рассмотрим множество S натуральных чисел от 1 до n, расположенных в порядке возрастания (в естественном порядке): S={1,2,3,...,n}

Под перестановкой множества S понимается множество этих же чисел, упорядоченное некоторым другим образом: {1,2,3,...,n}{i1,i2,i3,...,in}

Перестановка называется транспозицией, если переставляются местами только два элемента множества, тогда как остальные элементы остаются на своих местах.

Пример перестановки:  {1,2,3,4}  {2,4,1,3} {4,2,1,3}

Пример транспозиции:   {1,3,2,4} 

      Любую перестановку множества  S  можно осуществить посредством нескольких транспозиций. Например, перестановка {2,4,1,3} является результатом трех транспозиций множества  S : {1,2,3,4}   {3,2,1,4}   {4,2,1,3}   {2,4,1,3}.

      Говорят, что перестановка множества  S  содержит инверсию элементов  ij  и  ik , если нарушен их естественный порядок расположения, т.е. больший элемент расположен левее меньшего:  ij > ik ( j < k). Например, перестановка  {2, 4, 1, 3} содержит три инверсии элементов: 2 и 1, 4 и 1, 4 и 3. Число инверсий определяет четность перестановки. Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий элементов. Нечетная перестановка содержит нечетное число инверсий.

Заметим, что четная перестановка может быть преобразована к естественному порядку посредством только четного числа транспозиций, тогда как для преобразования нечетной перестановки к естественному порядку требуется нечетное число транспозиций. (Это утверждение является следствием Теоремы 1, см раздел "Теоремы о транспозициях и перестановках".)

Пример:   Перестановка  {2, 4, 1, 3}  является нечетной, поскольку содержит 3 инверсии элементов.
Можно также сказать, что перестановка  {2, 4, 1, 3}  является нечетной, поскольку представляет собой последовательность трех транспозиций.

Примеры:

  1.  Множество S = {1, 2, 3} содержит три элемента, и поэтому число различных перестановок этого множества равно 3! = 6:

{1, 2, 3},    {1, 3, 2},    {2, 3, 1},    {2, 1, 3},    {3, 1, 2}    {3, 2, 1}.

***

Показать, что перестановка  P = {2, 3, 1} является четной.

Решение.
Элементы 2 и 1 образуют инверсию, поскольку число 2 расположено слева от меньшего числа 1.
Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1.

Таким образом, перестановка  P  содержит четное число инверсий.

Другое решение.
Перестановка
 P  является четной, поскольку представляет собой результат четного числа последовательных транспозиций элементов множества  S = {1, 2, 3}:


{1, 2, 3}       {1, 3, 2}       {2, 3, 1}.

***

Показать, что перестановка  Q = {3, 1, 2} является четной.

Решение. Достаточно показать, что перестановка  Q  содержит четное число инверсий.

Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1.
Элементы 3 и 2 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 2.
Элементы 1 и 2 не образуют инверсию.

Таким образом, перестановка  Q  содержит четное число инверсий.

Теоремы о транспозициях и перестановках

Теорема 1. Любая транспозиция изменяет четность перестановки.

Доказательство.
Утверждение теоремы представляется вполне очевидным в случае транспозиции соседних элементов, поскольку взаимная перестановка элементов  
ij  и  ij+1  приводит к появлению или исчезновению инверсии между ними.

Транспозицию элементов  
ij  и  ij+k  можно рассматривать как результат k последовательных транспозиций элемента  ij  с соседними элементами, расположенными справа от  ij , и последующих  k - 1  транспозиций элемента  ij+k  с соседними элементами, расположенными слева от  ij+k :

         

Полное число транспозиций  k + (k - 1) = 2 k - 1  является нечетным числом, что означает изменение четности перестановки.

Следствия.

  1.  Четная перестановка возникает в результате четного числа транспозиций элементов множества  S = {1, 2, ..., n}.
  2.  Нечетная перестановка возникает в результате нечетного числа транспозиций элементов множества  S.

Теорема 2. Существует  n!  различных перестановок множества  S = {1, 2, ..., n}.

Доказательство.
В произвольной перестановке множества
 S  в первой позиции может располагаться любое из первых  n  натуральных чисел.
Для каждого из этих
 n  вариантов во вторую позицию можно поместить любое из оставшихся (n -1) чисел, в третью – любое из оставшихся (n - 2) чисел и так далее. Последняя  n-ая позиция может быть замещена единственным оставшимся элементом.
Таким образом, общее число различных перестановок множества
 S  равно n(n – 1)(n – 2)...1 = n! .

Примеры:

  1.  Множество S = {1, 2, 3} содержит три элемента, и поэтому число различных перестановок этого множества равно 3! = 6:

{1, 2, 3},    {1, 3, 2},    {2, 3, 1},    {2, 1, 3},    {3, 1, 2}    {3, 2, 1}.

***

Показать, что перестановка  P = {2, 3, 1} является четной.

Решение.
Элементы 2 и 1 образуют инверсию, поскольку число 2 расположено слева от меньшего числа 1.
Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1.

Таким образом, перестановка  P  содержит четное число инверсий.

Другое решение.
Перестановка
 P  является четной, поскольку представляет собой результат четного числа последовательных транспозиций элементов множества  S = {1, 2, 3}:


{1, 2, 3}       {1, 3, 2}       {2, 3, 1}.

***

Показать, что перестановка  Q = {3, 1, 2} является четной.

Решение. Достаточно показать, что перестановка  Q  содержит четное число инверсий.

Элементы 3 и 1 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 1.
Элементы 3 и 2 образуют инверсию, поскольку число 3 расположено слева от меньшего числа 2.
Элементы 1 и 2 не образуют инверсию.

Таким образом, перестановка  Q  содержит четное число инверсий.

Понятие определителя

Пусть  A = || ai j || – произвольная квадратная матрица n-го порядка, и пусть {k1, k 2, k 3,..., kn}– некоторая перестановка упорядоченного множества S={1,2,3,...,n}первых  n  натуральных чисел.
Составим произведение
a1k1a2k2...ankn,    (1)

содержащее  n  элементов, в котором каждая строка и каждый столбец матрицы  A  представлены одним и только одним из своих элементов. Например, первый сомножитель в этом произведении является элементом первой строки и  k1-го столбца, второй сомножитель представляет вторую строку и  k2-ой столбец и так далее.
Согласно Теореме 2, существует
 n!  различных перестановок {k1, k 2, k 3,..., kn}, каждой из которых соответствует произведение вида (1) и, следовательно, существует  n!  различных произведений такого типа.
Сопоставим каждому из полученных произведений знак плюс или минус – в зависимости от четности или нечетности перестановки {
k1, k 2, k 3,..., kn}.
Чтобы формально описать такое сопоставление, введем число инверсий в перестановке {
k1, k 2, k 3,..., kn}, которое обозначим символическим выражением P{k1, k 2, k 3,..., kn}.
      Заметим, что

 

 (2)

 

      Алгебраическая сумма всех возможных произведений вида

 

 (3)

 

      называется определителем (или детерминантом) матрицы A:

 

 (4)

 

      Для записи определителя используется также обозначение в виде массива матричных элементов в вертикальных скобках:

 

 (5)

 

      Представляется уместным отметить некоторые важные обстоятельства, относящиеся к понятию определителя матрицы:

  1.  В формуле (4), выражающей собой определение det A, строки и столбцы матрицы A представлены равноправно. Лишь для удобства изложения первый элемент в произведении (3) выбирался из первой строки, второй элемент – из второй строки и так далее. В результате суммирования по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы, выражение (4) включает в себя все произведения рассматриваемого типа, представленные в определенной последовательности.
    Формальное равноправие строк и столбцов в определении
    det A можно выразить следующим эквивалентным выражением:

 

.

 (6)

 

  1.  Число четных перестановок {k1, k 2, k 3,..., kn}в сумме (4) совпадает с числом нечетных перестановок и равно n!/2.
  2.  Определитель является одной из важнейших характеристик матрицы. При этом наиболее существенным часто оказывается не его конкретное числовое значение, а сам факт его равенства нулю или отличия от нуля. Например, матрица A имеет обратную лишь в том случае, когда det A  0 (что будет доказано в одном из ближайших разделов).
  3.  Не следует путать определитель матрицы с самой матрицей: Матрица представляет собой массив чисел, тогда как определителем матрицы является одно единственное число.

Определители второго и третьего порядков

Матрица первого порядка содержит единственный элемент, и этот элемент является определителем матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка,

 

.

 (1)

 

Для вычисления определителя матрицы A нужно рассмотреть все возможные перестановки индексов, нумерующих ее столбцы. В рассматриваемом случае перечень возможных перестановок множества  {1, 2}  исчерпывается двумя вариантами: {1, 2} и {2, 1} .

Перестановка  {1, 2}  не содержит инверсий и поэтому является четной, тогда как перестановка  {2, 1}  является нечетной, ибо содержит одну инверсию. Эти перестановки порождают произведения +a11a22 и -a12a21,

алгебраическая сумма которых представляет собой определитель матрицы второго порядка:

 

 (2)

 

      В случае матрицы третьего порядка существует уже шесть различных перестановок множества  {1, 2, 3}: {1, 2, 3},    {2, 3, 1},    {3, 1, 2}, {3, 2, 1},    {2, 1, 3},    {1, 3, 2}.

      Первые три перестановки являются четными, поскольку каждая из них содержит четное число инверсий. Оставшиеся три перестановки являются нечетными, так как каждая из них содержит нечетное число инверсий (см Примеры).

      Таким образом,

 





 (3)

 


      Эту формулу можно легко запомнить с помощью правила треугольников, которое иллюстрируется представленными ниже рисунками.


Рис. 1. Произведения элементов, расположенных на главной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся со своими знаками.


Рис. 2. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся с противоположными знаками.

Примеры:

1.  Вычислить  .
Решение.

***

2. Для данной матрицы убедиться в справедливости тождества .

Решение.

.

***

3.  Пусть и .
Убедиться в справедливости тождества

Решение.

,       ,       .

,       .

Свойства определителей

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det A Т= det A.

2. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число:

3. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

4. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

5. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.

6. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.

7. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

8. Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм  ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:

9. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.

Доказательства

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .

Доказательство. Согласно определению,

             (1)

При транспонировании матрицы A происходит лишь перегруппировка слагаемых в этой сумме.

***

Свойство 2. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число:

.


Доказательство. При умножении строки (или столбца) определителя на число λ один из сомножителей в произведении a1k1 a2k2 ...anknумножается на это число. В результате число λ является общим множителем суммы (1), представляющей собой определение детерминанта матрицы A.

***

Свойство 3. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

Доказательство. По Теореме 1, любая транспозиция изменяет четность перестановки. Следовательно, при перестановке двух строк (столбцов) каждое слагаемое суммы (1) изменяет свой знак на противоположный.

***

Свойство 4. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство. Каждая строка и каждый столбец матрицы A представлены одним из своих элементов в произведении a1k1 a2k2 ...ankn. Следовательно, сумма (1) содержит только нулевые слагаемые.

***

Свойство 5. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство. По Свойству 3, при перестановке двух строк местами определитель изменяет свой знак. С другой стороны, перестановка местами одинаковых строк не изменяет определитель. Следовательно,  det A = –det A, что влечет  det A = 0.

***

Свойство 6. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство. Общий множитель строки можно вынести за знак определителя. Полученный при этом определитель имеет две одинаковых строки. Согласно Свойству 5 такой определитель равен нулю.

***

Свойство 7. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.


Доказательство. По определению (1), det A представляет собой алгебраическую сумму произведений элементов (с учетом правила выбора знаков), составленных таким образом, чтобы каждая строка и каждый столбец матрицы A были представлены в произведении одним и только одним элементом.
В первом столбце имеется только один ненулевой элемент, а именно
a11.
Второй столбец вносит ненулевой вклад в произведение только при выборе элемента
a22, поскольку первая строка уже представлена своим элементом.
Аналогично, в третьем столбце выбор может быть остановлен только на элементе
a33 и так далее.
Таким образом, сумма (1) содержит только один ненулевой член, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

***

Свойство 8. Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм  ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:



.

Доказательство. Преобразуем исходный определитель:





.

***

Свойство 9. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.



Доказательство. Определитель, стоящий в правой части этого равенства, можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых является исходным, а второй имеет две пропорциональные друг другу строки и, следовательно, равен нулю.

Примеры:

1.  Вычислить  .
Решение.  Преобразуем определитель, вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую:

Вынося из третьей строки общий множитель 2, мы получаем определитель, имеющий две одинаковых строки:

***

2. Вычислить .

Решение. Заметим, что .
Далее,

.

***

3.  Пусть .  Вычислить:  (а)  ;  (б)  ;  (в)  ;  (г)  ;  (л)  .

Решение.  Определитель матрицы треугольного вида равен произведению диагональных элементов. Следовательно,

.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей:

.

Представим матрицу 2A в виде 2EA, где E – единичная матрица. Тогда

.

Аналогично,

.

Теперь найдем матрицу (A - 2E) , а затем ее определитель:

,

.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Рассмотрим квадратную матрицу   n-го порядка.
      Выберем  i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем  i-ую строку и  j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n  1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом  Mi j:

.

      Алгебраическое дополнение  Ai,j  элемента  ai j определяется формулой

.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

.

      Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму

             (*)

по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.

Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером  i.
Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении  . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент
a11 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a12 и т.д.
Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов
ai j (j = 1,2,…,n):

где


Покажем, что представляет собой алгебраическое дополнение элемента
 ai j.
Перестановка преобразуется в перестановку посредством (
i  1) транспозиций элемента  j  с соседними элементами. В полученной перестановке элемент  j  образует (j  1) инверсий с другими элементами.
Следовательно,

Однако сумма

представляет собой минор элемента  ai j .
Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента
 ai j.

Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Примеры:

1.  Вычислить определитель матрицы   третьего порядка разложением по элементам первой строки.
Решение.





Полученный результат находится в соответствии с правилом треугольников.

***

2. Вычислить определитель матрицы   третьего порядка разложением по элементам второго столбца.
Решение.





***

3.  Вычислить определитель разложением по элементам первой строки.
Решение.

***

4.  Вычислить определитель разложением по элементам второго столбца.
Решение.

Теорема Лапласа

Пусть  A  – квадратная матрица  n-го порядка.
      Определитель  k-го порядка, составленный из элементов матрицы  A, расположенных на пересечении строк с номерами  i1 ,  i2 , ...,  ik  и столбцов с номерами  j1 ,  j2 , ...,  jk , называется минором  M   k-го порядка матрицы  A.

      Если из матрицы  A  вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель  nk-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора  M.

      Обозначим символом  S  сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:

Si1 + j1 + i2 + j2 + ... + ik + jk .

      Алгебраическим дополнением минора  M  называется дополнительный минор для минора  M, умноженный на  (–1)S.

      Отметим, что алгебраическое дополнение  Ai j  элемента  ai j  (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора.

Теорема Лапласа. Пусть  D  – определитель  n-го порядка, в котором произвольно выбраны  k  строк (или столбцов), где  1 k  n  1.
Тогда определитель
 D  равен сумме произведений всех миноров  k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Вычисление определителей методом элементарных преобразований

  Под элементарными преобразованиями определителей понимаются следующие операции.

N

Операция

Результат

1

Перестановка местами двух строк или столбцов определителя.

Определитель изменяет свой знак на противоположный.

2

Умножение элементов строки или столбца на ненулевое число c.

Определитель умножается на число c.

3

Прибавление к строке другой строки, предварительно умноженной на любое число.

Определитель не изменяется.

      Целью таких преобразований является приведение определителя к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

      Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца).
      Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры:

1.  Вычислить определитель матрицы   приведением к треугольному виду.
Решение.



Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов. Следовательно,

***

2. Вычислить определитель матрицы

Решение.

Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

Затем произведем разложение определителя по элементам первой строки:

Преобразуем строки, прибавляя к первой строке третью и вычитая из второй строки утроенную третью:

Произведем разложение определителя по элементам третьего столбца:



Обратная матрица

Основные понятия

Рассмотрим квадратную матрицу  A. Напомним, что матрица  называется обратной матрицей, если

где E  – единичная матрица.

      Отметим, несколько забегая вперед, что условием существования обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы. В  этой связи уместно ввести соответствующую терминологию.

      Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен нулю. В качестве синонимов используются также термины “особая матрица” или “вырожденная матрица”.

      Если det A0, то матрица  A  называется несингулярной (или неособенной, или невырожденной).

      Если в матрице  A  заменить ее элементы их алгебраическими дополнениями и транспонировать матрицу, то полученная матрица называется присоединенной для  A  и обозначается символическим выражением adj A:

      Таким образом, adj A=(Aijт)nxn и (adj A) ij=Aijт=Aji.

Пусть  A – квадратная матрица  n-го порядка.

Лемма 1 (Теорема аннулирования)

Сумма произведений  элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

 

(1)

и

 

(2)

 

      Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу , полученную из матрицы A заменой  j-ой строки i-ой строкой:



.

      Произведем разложение det  по элементам j-ой строки:

      Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако матрицы  и A отличаются друг от друга только j-ой строкой и, следовательно, jk=Ajk. Тогда

      Поскольку матрица  имеет две одинаковых строки, то ее определитель равен нулю.

     Таким образом, утверждение (1) доказано:

.

      Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).

Пример

Пусть  .

Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки этой матрицы:

A11=-13, A12=23, A13=15.

Вычислим сумму произведений элементов второй строки матрицы A на алгебраические дополнения элементов первой строки:

4·(–13) + (–1)·23 + 5·15 = 0.

Также равна нулю сумма произведений элементов третьей строки матрицы A на алгебраические дополнения элементов первой строки:

7·(–13) + 2·23 + 3·15 = 0.

Лемма 2

Пусть  A – квадратная матрица  n-го порядка.

      Утверждение. Если det A0, то

 

(3)

 

где  E  – единичная матрица.

      Доказательство. Запишем равенства (3) в терминах матричных элементов:

 

(4)

 

      Это означает, что

 

(5)

 

      Предположим, что ij. Тогда согласно Лемме 1

и

      Мы показали, что результатом умножения (в том или ином порядке) матрицы  A  и присоединенной матрицы adj A является диагональная матрица. Остается доказать, что все диагональные элементы этой матрицы равны det A:

      Этот результат становится очевидным, если воспользоваться теоремами о разложении определителя по элементам строки и столбца:

и

Теорема об обратной матрице

Теорема. Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы. Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:



Доказательство.

  1.  Предположим, что для матрицы  A существует обратная матрица A-1. Тогда AA-1=E.

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем det A det A -1=1 и, следовательно, det A0.

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.

  1.  Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A -1и B -1.

Тогда AA-1=A-1A=E и AB-1=B-1A=E.

Используем эти равенства для преобразования матрицы B -1:

B -1= B-1E -1= B-1AA-1= (B-1A)A-1= EA-1 = A

что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

  1.  В соответствии с Леммой 2

Следовательно,

Примеры:

1.  Найти обратную матрицу для матрицы .

    Решение. Вычислим определитель матрицы:

Поскольку , то обратная матрица существует.

Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов:

       ,

      .

Составим присоединенную матрицу :

Таким образом,


Проверка 



***

2.  Найти обратную матрицу для матрицы

    Решение.  Вычисляем определитель:


Матрица
A является сингулярной и, следовательно, обратная матрица не существует.

***

3.  Найти обратную матрицу для матрицы 

    
Решение.

     1)  Для вычисления определителя прибавим ко второй строке удвоенную первую; затем разложим определитель по элементам второго столбца:

     2)  Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

         

         

         

Составим присоединенную матрицу :

Делением присоединенной матрицы на  det A получаем обратную матрицу:

Проверка:



Аналогично,

***


3.
 Даны матрицы  и . Решить матричное уравнение

                (*)

     Решение.  Поскольку , то матрица  A  является неособенной и существует обратная матрица .

Умножим обе части уравнения (*) на матрицу  справа:


Составим присоединенную матрицу :

Следовательно,

Тогда

Проверка:

Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Предположим, что матрица  A  - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками.

      В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

  1.    Умножение строки на любое ненулевое число.
  2.    Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.

      Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.

      Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы  E:

      Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B).

      С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):

TA = E.

      Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:

 T = A-1.

      Тогда  TE =  A-1  и, следовательно,

A-1B

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.  Преобразуем расширенную матрицу:

Вычтем из первой строки удвоенную вторую строку:

Затем вычтем первую строку из второй строки:

Разделим вторую строку на 2:

Следовательно,

Проверка:




 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17362. Фірма як основна структурна одиниця бізнес-діяльності 123.5 KB
  Фірма як основна структурна одиниця бізнесдіяльності. Фірми являють собою складне економічне утворення. Так Фірми з одного боку – це особливий інститут сучасної економічної системи в якому домінує контрактне право. А Фірми з другого боку – це основна...
17363. Малий і середній бізнес та його місце в Україні 55.5 KB
  Малий і середній бізнес та його місце в Україні. Світовий досвід і практика господарювання показують що найважливішою ознакою ринкової економіки є існування і взаємодія багатьох великих середніх і малих підприємств їх оптимальне співвідношення. Найбільш динам
17364. ІННОВАЦІЙНА ЕКОНОМІКА 114 KB
  ІННОВАЦІЙНА ЕКОНОМІКА Вступ Інновація кінцевий результат впровадження нововведення з метою зміни об'єкта управління і отримання економічного соціального екологічного науковотехнічного або іншого виду ефекту. До того ж необхідно зазначити: Людей які задумують ...
17365. ФРАНЧАЙЗИНГ 31 KB
  ФРАНЧАЙЗИНГ апгл. franchising букально це угода про передання права на використання торгової марки у широкому значенні це форма поєднання переваг великого і малого бізнесу змістом якої є система взаємовідносин між франчайзером материнською компанією і франчайз
17366. Економічна сутність заробітної плати і чинники її величини 216 KB
  1. Економічна сутність заробітної плати і чинники її величини Категорія Заробітна плата З/П є конкретизацією таких категорій як трудові відносини наймана праця робоча сила ринок робочої сили ринок праці власність на робочу силу вартість робочої ...
17367. Національна економіка і цілі її розвитку. Структура національної економіки. Економічні системи. Економічна політика держави 86.5 KB
  Національна економіка і цілі її розвитку. Структура національної економіки. Економічні системи. Економічна політика держави. Національна економіка характеризується: 1.рівнем розвитку продуктивних сил; 2.типом економічної системи; 3.характером суспільного відтворення; 4....
17368. Система національних рахунків (СНР) 57 KB
  Система національних рахунків СНР Потреба у координації статистичних міжнародних рекомендацій і необхідність створення міжнародної системи національного рахівництва вимагали країни Західної Європи. Перший варіант таких рахунків був опублікований Європейськ
17369. Економічна програма кейнсіанства. Сутність економічних досліджень Дж.Кейнса 80 KB
  Економічна програма кейнсіанства. Сутність економічних досліджень Дж.Кейнса. Запропоноване Кейнсом трактування економічного процесу потрапило у сприятливий грунт оскільки світова економіка після Великої депресії мала потребу в стимуляторах які дозволили б їй
17370. Корпоратизм як форма суспільних відносин 60 KB
  Корпоратизм як форма суспільних відносин Відносини корпоратизму властиві всім капіталістичним країнам з тією лише різницею що ступінь розвиненості соціального партнерства в них різний. З ускладненням суспільного ладу окрема особа усе в меншій мірі здатна здійснити з...