73827

Системы уравнений в линейной алгебре

Лекция

Математика и математический анализ

Если это определение озвучить в терминах определителей то оно будет выглядеть примерно так: Матрица размера m×n имеет ранг r если существует хотя бы один отличный от нуля определитель rго порядка тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю. Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод который применяется для вычисления определителей. Целью элементарных преобразований является приведение матрицы к...

Русский

2014-12-21

467.5 KB

0 чел.

 Линейная алгебра

Системы уравнений

Ранг матрицы

     Говорят, что ранг rankA матрицы A размера  m×n  равен  r, если существует хотя бы одна несингулярная подматрица  r-го порядка, тогда как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.

      Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно будет выглядеть примерно так:

      Матрица  A  размера  m×n  имеет ранг  r, если существует хотя бы один отличный от нуля определитель  r-го порядка, тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.

          Очевидно, что rankA< min{m,n}.

      Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод, который применяется для вычисления определителей. Будет уместным напомнить основные операции метода:

  1.  Перестановка строк или столбцов.
  2.  Умножение строки или столбца на ненулевое число.
  3.  Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.
  4.  Нулевая строка или столбец вычеркивается.

     Целью элементарных преобразований является приведение матрицы к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду - типа того, что представлено ниже:

 

.

 (1)

 

      Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:

      Отметим, что любая матрица может быть представлена посредством эквивалентных преобразований (в смысле неизменности ее ранга) к блочному виду

 

 (2)

 

где E - единичная матрица.

      Например, для преобразования матрицы (1) к такому виду достаточно прибавить ко второму, третьему и пятому столбцам первый столбец с соответствующим образом подобранными коээффициентами, что приведет нас к матрице

      Фактически, результаты этих преобразований чрезвычайно просты: во всех позициях первой строки - кроме первой - элементы превратились в нулевые.

      Прибавляя затем второй столбец к третьему, четвертому и пятому - с соответствующим образом подобранными коээффициентами, получим

     

      Далее поделим каждую строку на соответствующий коэффициент и удалим нулевые столбцы:

 

.

 (3)

 

      Рассматриваемая матрица приведена к вышеуказанному виду.

Пример.

Найти ранг матрицы

Решение.  Непосредственным вычислением проверяется, что  det A = 0. Следовательно,  rank A < 4.

Однако существует минор третьего порядка, отличный от нуля. Таким минором является, например, определитель, составленный из элементов первой, второй, третьей строк и второго, третьего, четвертого столбцов.

Следовательно,  rank A = 3.

Преобразования матрицы, не изменяющие ее ранг

  Рассмотрим следующие элементарные преобразования матриц:

  1.  Перестановка строк или столбцов.
  2.  Умножение строки или столбца на ненулевое число.
  3.  Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

     Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.

  1.  Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.
  2.  При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.
  3.  Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).

     Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные матрицы остаются сингулярными, а  несингулярные – несингулярными.

Примеры:

1.  Найти ранг матрицы

Решение.  Вычтем из третьей строки первую и четвертую строки:

Если теперь прибавить третью строку, умноженную на (–2), (–3) и 2, соответственно, к другим строкам, то в четвертом столбце возникает максимально возможное число нулей:

Далее из четвертой строки вычтем первую строку и затем к полученной строке прибавим вторую:

Опускаем нулевую строку и на этом завершаем преобразования, поскольку стало очевидным, что существует подматрица третьего порядка, определитель которой отличен от нуля, и при этом не существует отличных от нуля определителей более высокого порядка:

Таким образом, ранг матрицы  A  равен 3.

***

2.  Найти ранг матрицы

Решение.  Для получения максимально возможного числа нулей в первом столбце этой матрицы, прибавим вторую строку к первой, третьей и четвертой строкам, предварительно умножив ее на (–2), (–4) и (–7) соответственно:

Затем вычтем из третьей строки первую строку, а из четвертой - удвоенную первую:

Очевидно, что ранг этой матрицы равен 2, поскольку стало очевидным, что существует отличный от нуля минор второго порядка и при этом не существует отличных от нуля миноров более высокого порядка. Однако мы выполним дальнейшие преобразования полученной матрицы, имея намерение продемонстрировать некоторые полезные приемы.

Если теперь прибавить первый столбец ко второму, третьему, четвертому и пятому - с соответствующим образом подобранными коэффициентами, то во второй строке этих столбцов возникают нулевые элементы:

Таким образом, при наличии столбца с единственным ненулевым элементом в некоторой строке, все остальные элементы этой строки можно заменить нулями.

Далее разделим второй столбец на (–11) и затем прибавим его с соответствующими коэффициентами к третьему и пятому столбцам:

В завершение переставим местами первую и вторую строки и запишем полученную матрицу в блочном виде:

Очевидно, что ранг матрицы равен порядку единичной матрицы  E.

***

3.  Найти ранг матрицы

Решение.  Для получения максимально возможного числа нулей в первом столбце этой матрицы, прибавим вторую строку к первой, третьей и четвертой строкам соответственно с коэффициентами (–2), (–4) и (–3):

Используя первый столбец, получим нули во всех других столбцах в позиции второй строки:

Прибавим последнюю строку к первой и третьей - коэффициентами 3 и (–5) соответственно:

Используя второй столбец, заменим нулями все элементы четвертой строки (кроме второго!):

Обратим в нуль элемент  a35 , прибавляя к третье строке первую строку с коэффициентом 6:

Разделим последний столбец на 4 и с его помощью получим максимально возможное число нулей в первой строке:

Последующие преобразования вполне очевидны:

,            ,            .

Ранг матрицы A равен 4.

Основные понятия систем линейных уравнений

Рассмотрим систему  m  линейных уравнений с  n  неизвестными:

                     (1)

      Здесь aij – числовые коэффициенты;  bi (i=1,2,...,m) – свободные члены;  xj (j=1,2,...,n) – неизвестные.

      Решением системы (1) является совокупность значений  неизвестных  xj , при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.

      Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

     Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B,

где  A  – матрица, составленная из коэффициентов aij при неизвестных; матрица  B  представляет собой столбец свободных членов bi (i=1,2,...,m); элементами матрицы  X  являются неизвестные xj (j=1,2,...,n).

      Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0.

      Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.
      Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.

Система, имеющая решения, называется совместной, не имеющая - не совместной. Если решение одно - система определённая, если не одно - неопределённая.

Метод Гаусса

     Системе  m  линейных уравнений

 

 (1)

 

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

 

.

 (2)

 

      Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.

      Действительно,

  •  Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
  •  Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
  •  Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.

      Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

 

,

 (3)

 

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

      Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д. 

      Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных (n-r) рассматривается в качестве свободных параметров и называются свободными переменными. Остальные r переменных выражаются через свободные и называются опорными, базовыми, определёнными, зависимыми.

      Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

  1.  Предположим, что матричный элемент  a11  первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
    Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на (-
    a11/a12), к третьей строке - первую, умноженную на (-a11/a13) и так далее.
    В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент
     a11 .
  2.  Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
    Предположим, что матричный элемент
     a22  второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
    Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на (-
    a22/a23), к третьей строке - первую, умноженную на (-a22/a24) и так далее.
    В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент
     a22 .
  3.  И так далее.
  4.  В конечном итоге мы получаем матhицу вида (3).

Примеры:

1.  Решить систему уравнений

методом Гаусса.

Решение.  Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:





Полученная матрица описывает систему уравнений

эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:



Убедимся в том, что полученный набор  обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

***

2.  Решить систему уравнений

методом Гаусса.

Решение.  Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные  операции над строками:



Третья строка этой матрицы соответствует уравнению

не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

***

3.  Решить систему уравнений

методом Гаусса.

Решение.  Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме:



Выпишем соответствующую систему уравнений:

Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение  и выразим остальные переменные через  c:





Таким образом, общее решение системы имеет вид

Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: .

Подставляя  c = 2, получаем другое частное решение:  .

Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений.

Проверка:  Подставим               и       в каждое уравнение системы:



Уравнения обратились в тождества.

Однородные системы линейных уравнений

     Однородная система линейных уравнений имеет вид

 

,

(1)

 


где
 A  – матрица коэффициентов;  X  – матрица-столбец, составленная из неизвестных.

      Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.

Теорема. Если  и  являются решениями однородной системы (1), то и их линейная комбинация

является решением этой системы.

Доказательство. По условию теоремы AХ1=0 и AХ2=0 .

Тогда для любых чисел С1 и  С2 : С1AХ1=0  AС1Х1=0 и С2AХ2=0  AС2Х2=0. Складывая эти выражения, получаем A(С1Х1 +С2Х2)=AС1Х1 +AС2Х2=С1AХ1+ С2AХ2=0. Следовательно, линейная комбинация С1Х1 +С2Х2 решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.

Примеры:

1.  Решить систему уравнений

методом Гаусса.

Решение.  Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:



Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например,  следует рассматривать как свободный параметр.
Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение
 и выразить базисные неизвестные ,  и  через  c.

Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Из последнего уравнения следует, что .
Выразим остальные базисные переменные:



Таким образом, общее решение системы найдено:

Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая  c = 4, получаем

Проверка: Подставим неизвестные

            

в уравнения системы:

Уравнения обратились в тождества.

***

2.  Пусть .

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений  AX = 0.

Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:



Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая  и , получаем уклрлченную систему уравнений

решение которой имеет вид

,     .

Запишем общее решение

и представим его в виде линейной комбинации частных решений:

Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа

то говорят, что частные решения  образуют фундаментальную систему решений.

В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения   и  .

***

3.  Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид

Очевидно, что

и поэтому частные решения

образуют фундаментальную систему решений.

***

4.  Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений  AX = 0.

Решение.  Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду:



Соответствующая система

имеет только тривиальное решение .

Правило Крамера

     Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

      Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

 

AX = B 

(1)

описывает систему  n  линейных уравнений с  n  неизвестными.

      Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

 

(2)


где ;
 – определитель, полученный из определителя  D  заменой   i-го столбца столбцом свободных членов матрицы  B:

 

(3)

Доказательство теоремы разобьем на три части:

  1.  Решение системы (1) существует и является единственным.
  2.  Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
  3.  Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

      Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
      Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

 

(4)

      Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

      Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

      Используя формулу (4), получим выражение для  
i-го элемента. Для этого нужно умножить  i-ую строку матрицы

 на столбец  B.

      Учитывая, что  i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

 

(5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам  i-го столбца и, следовательно,

 

(6)

      Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

 

(7)

влекут за собой матричное уравнение (1).

      Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу  i:

 

(8)

      Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

 

(9)

      Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,

 

(10)

где  – дельта-символ Кронекера.

      Учитывая, что дельта-символ  снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

 

(11)

Пример.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение.  Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.















Таким образом,





Ранее эта задача была решена методом Гаусса ( Пример 1).

Обобщенное правило Крамера

Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы  m  линейных уравнений с  n  неизвестными

 

(1)


является равенство между собой рангов коэффициентной
 A  и расширенной  матриц.

      В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему Кронекера-Капелли.

Следствия.

  1.  Если rankÃ=rankA и совпадает с числом  n  неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

Это утверждение по сути представляет собой просто другую формулировку правила Крамера

  1.  Если rankÃ=rankA>n, то система (1) имеет бесконечное множество решений.

      Схема:

     Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц означает совместность системы уравнений (1). При этом число r=rankÃ=rankA устанавливает количество базисных переменных, тогда как остальные (n - r) переменные играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения. Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует свое решение.

Примеры:

1.  Докажем необходимость условия, сформулированного в теореме, т.е. покажем, что предположение о совместности системы уравнений влечет за собой равенство рангов, .

Рассмотрим расширенную матрицу

и преобразуем ее, выполнив элементарные операции над столбцами.

Вычтем из последнего столбца первый столбец, умноженный на , второй столбец умноженный на , и т.д. При этом ранг матрицы не меняется:

С учетом уравнений (1), последний столбец является нулевым и поэтому его можно опустить. Тогда

2.  Перейдем к доказательству достаточности условия.
Покажем, что
  равенство рангов r=rankÃ=rankA  влечет за собой совместность системы (1).

Если r= rankA , то существует несингулярная подматрица à r-го порядка. Ее матричные элементы (коэффициенты при неизвестных) указывают – какие именно r уравнений "образуют базис" данной системы уравнений - в том смысле, что каждое из оставшихся уравнений является следствием "базисных" уравнений (их линейной комбинацией).
Поэтому можно перейти к укороченной системе
r уравнений и выбрать r неизвестных в качестве базисных переменных. Остальные  (n - r)  переменные будут при этом выступать в качестве свободных параметров, которым можно придавать произвольные числовые значения. 
Укороченная система
r  линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет (согласно теореме Крамера) единственное решение для любого набора значений свободных  параметров.

Примеры:

1.  Дана система линейных уравнений,

Установить соотношения между параметрами  a,  b  и  c, при которых система является несовместной.

Решение.  Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатой форме:



Если ,  то система является несовместной. В противном случае одна из неизвестных является свободной переменной и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

***

2.  Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленной в приведенно-ступенчатой форме:

Выяснить сколько решений имеет эта система.

Решение.  Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом  неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.

***

3.  Выяснить сколько решений имеет система линейных уравнений, заданная расширенной матрицей

при различных значениях параметра  a.

Решение.  Если , то , тогда как . В этом случае система является несовместной и не имеет решений.

Если  a = 0, то , что меньше числа неизвестных, количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра.

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7663. Новітня історія зарубіжних країн 80.5 KB
  Новітня історія зарубіжних країн Створення версальсько-вашингтонської системи Підсумки та наслідки першої світової війни. Плани великих держав щодо мирного врегулювання та післявоєнної організації світу. Паризька мирна конференція...
7664. Професійна етика журналіста 57.5 KB
  Професійна етика журналіста Мораль як предмет етики - це сукупність правил і норм поведінки, якими людина керується у своєму житті. Вони регулюють ставлення людей одне до одного в приватному спілкуванні, колективі, суспільстві. Співжиття за мор...
7665. Робота міжнародного відділу ЗМІ 35 KB
  Робота міжнародного відділу ЗМІ Фахівцем у галузі міжнародної журналістики є Слісаренко, тому варто читати його матеріали, також Коркушко, Андрушко, Лещєнко, Наєм. Три ключові питання для журналіста-міжнародника при підготовці до написання матеріалу...
7666. Соціологія журналістики 60.5 KB
  Соціологія журналістики Соціологія як наука. Предмет, об’єкт, закони й категорії соціології. Структура і функції соціології як науки. Основні етапи й тенденції розвитку соціологічної думки. В середині 30-х рр.. 19 ст. постала...
7667. Художньо-публіцистичні жанри 66.5 KB
  Художньо-публіцистичні жанри Написати два повноцінних нариси та два повноцінних есе. Прикладів шукати не треба, лише для себе. Забужко Мова і влада - почитати і порефлексувати (письмово). Взяти будь-який публіцистичний матеріал і визначити, які оц...
7668. Языкознание как наука 83.5 KB
  Языкознание как наука. Языкознание - наука о языке, его происхождении, свойствах и функциях. Языкознание - одна из древнейших отраслей знаний. Возникло с появлением школ ок. 3 тыс. до н.э. Возникновение первых словарей, грамматик. Подлинно...
7669. Планування цехів та служб підприємства 26.96 KB
  Планування цехів та служб підприємства Під генеральним планом розуміється план розташування на ділянці всіх будівель підприємства, споруд і пристроїв (складських, транспортних, енергетичних, інженерно- і санітарно- технічних), зелених насаджень і о...
7670. Поняття і види операцій на виробничому підприємстві 24.02 KB
  Поняття і види операцій на виробничому підприємстві Системні властивості часових звязків виявляються в зєднанні речових елементів процесу в просторі і в часі таким чином, щоб функціонування елементів системи (підрозділів підприємства) за...
7671. Поняття і основні елементи виробничої структури підприємства 40.26 KB
  Структура виробничого процесу. Виробничий процес - це сукупність взаємоповязаних дій людей, засобів праці та природи, потрібних для виготовлення продукції. Основними елементами виробничого процесу є процес праці як свідома діяльність людини, предмети та засоби праці...