73828

Модель затраты- выпуск (модель В. Леонтьева)

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Либо не весь объём производства расходуется на потребление и его достаточно для расширения производства тех видов продукции на которые имеется растущий спрос либо объём производства недостаточен для воспроизводства трудового ресурса на постоянном уровне. Свойство наличия баланса состоит как раз в том что полные объёмы всей продукции складываются только из объёмов её конечного потребления и объёмов потребления продукции в производственных процессах межотраслевых потоков. Примером такой взаимосвязи может служить например потребление с х...

Русский

2014-12-21

121 KB

14 чел.

Модель В. Леонтьева.

Учебно- методическое пособие

Автор:  к.ф.-м.н., доц. Махов А.М.

Санкт-Петербург

2013

Модель “затраты- выпуск” (модель В. Леонтьева).

1. краткие теоретические сведения

Модель В.Леонтьева, называемая также линейной балансовой моделью, является одним из основных приближений при моделировании систем, состоящих из нескольких взаимосвязанных процессов. Основные типы модели:

1. Открытая модель - моделируемый объект не самодостаточен, есть взаимодействующая с ним окружающая социально-экономическая среда, модель не учитывает воспроизводство трудового ресурса - нет модели домашних хозяйств.

2. Закрытая модель - моделируется замкнутая социально-экономическая система, влияние внешних факторов на которую пренебрежимо мало, учитывается воспроизводство в домашних хозяйствах.

3. Статическая модель - все коэффициенты модели не зависят от времени, постоянны интенсивности экономических процессов, протекающих в системе, весь объём производства расходуется только на потребление и его достаточно для воспроизводства трудового ресурса на постоянном уровне.

4. Динамическая модель - все коэффициенты модели не зависят от времени, есть зависимость интенсивностей экономических процессов, протекающих в системе, от времени.  Либо не весь объём производства расходуется на потребление и его достаточно для расширения производства тех видов продукции, на которые имеется растущий спрос, либо объём производства недостаточен для воспроизводства трудового ресурса на постоянном уровне.

Это даёт 4 основных варианта балансовой модели.

Типы модели

Открытая

Закрытая

Статическая

Открытая статическая модель Леонтьева

Закрытая статическая модель Леонтьева

Динамическая

Открытая динамическая модель Леонтьева

Закрытая динамическая модель Леонтьева

Простейшей формой модели является открытая статическая линейная балансовая модель. Сформулируем для начала условия и варианты применения, а так же основные приближения, используемые при её построении.

Первое условие применения открытой линейной балансовой модели - моделируемый экономический объект состоит из нескольких (n штук) взаимосвязанных процессов (отраслей), то- есть имеет структуру. В каждом из процессов (с номером i) получается некоторый продукт (полный объём продукта - xi), часть которого расходуется в этом же и некоторых других процессах. Оставшиеся после этого объёмы продуктов (конечные объёмы продуктов или объёмы конечного потребления yi) являются конечными, выходными результатами для всей модели. Свойство наличия баланса состоит как раз в том, что полные объёмы всей продукции складываются только из объёмов её конечного потребления и объёмов потребления продукции в производственных процессах (межотраслевых потоков). Примером такой взаимосвязи может служить, например, потребление с/х продукции машиностроением, добывающей, лёгкой и пищевой промышленностью, и наоборот, потребление продукции машиностроения и добывающей промышленности сельским хозяйством. При этом у этих отраслей имеются значительные сторонние заказы, т.е. объёмы конечного потребления.

Второе условие - свойство открытости состоит в том, что в этой модели не делается попыток задать структуру объёма конечного потребления, требуется просто найти его.

Третье условие - количество каждого продукта (с номером j), расходуемого при получении единицы результирующего продукта номер i, не зависит от конкретных объёмов произведённых продуктов (нет оптовых скидок) и является постоянной величиной aji. Все эти величины образуют квадратную (nn) матрицу технологических, или структурных коэффициентов (коэффициентов прямых материальных затрат) А=(aji)nn. величина трудозатрат на единицу i-й продукции также является постоянной величиной Ki и измеряется в человекочасах. w - стоимость человекочаса - одинакова для всех отраслей.

Варианты применения открытой модели Леонтьева: моделирование экономической деятельности всего мирового сообщества, отдельно взятого государства, отдельной отрасли или фирмы. Возможны две формы этой модели: баланс за весь рассматриваемый период и моментальный баланс, в котором участвуют не объёмы, а интенсивности  производства и потребления.

Приближения:

  1.  в случае моментального баланса все интенсивности не зависят от времени, при расчёте баланса за весь период они могут произвольно меняться, но информация об этом теряется.
  2.  Все коэффициенты модели (aji, Ki, w) от времени не зависят (она статическая).
  3.  Модель линейная (см. выше).

Решим в этой модели прямую задачу, то есть попытаемся найти уравнения баланса – выражения для вычисления объёмов конечного потребления, полный объём трудозатрат и цены на продукцию. Для этого рассмотрим, что происходит с полным объёмом j-й продукции xj. Он расходуется на производство продукции других видов (в том числе и на воспроизводство j-й продукции) а также на конечное потребление (т.е. собственно потребление и накопление). Так как, согласно свойству линейности, количество j-го продукта, расходуемого при получении единицы i-го продукта является постоянной величиной aji, то для производства всего объёма i-го продукта потребуется ajixi, а для производства всех видов продукции -  единиц  j-й продукции. Вместе с конечным потреблением это даёт полный объём xj:  При изменении j от 1 до n это выражение даёт первую группу из n уравнений баланса. Ещё одно выражение получается для полного объёма трудозатрат z при суммировании полных объёмов трудозатрат на каждый вид продукции (произведений Kixi) по всем видам продукции:  Третья группа из n балансовых уравнений – уравнения для цен на единицу продукта – получается на базе трудовой теории стоимости. Цена единицы  j-й продукции Pj складывается из издержек производства (цены ресурсов – i-ых продуктов, израсходованных на производство - aijPi) и прибавленной стоимости wКj:   Приведём полученную выше полную систему из 2n+1 уравнений баланса в натуральном выражении:

.                     (1)

Введя n- мерные вектора конечного потребления , объёма произведённых продуктов , цен  и трудозатрат , и используя операцию транспонирования , можно получить матричную форму системы уравнений (1):

                    (2)

Уравнения баланса в форме (1), (2) позволяют по известным полным объёмам продукции и ценам на неё определить объёмы конечного потребления, величины трудозатрат на единицу продукции и полный объём трудозатрат, связанный с количеством занятых в производстве. Если последний действительно является величиной, искомой в процессе анализа экономической системы, то первые два (,) являются как раз отправной точкой этого анализа. С точки зрения анализа поведения экономической системы важной является задача, обратная к решённой выше, т.е. задача определения полных объёмов продукции, цен на неё и числа занятых в производстве по известным технологическим и демографическим характеристикам системы, прямо связанным с объёмами конечного потребления и величинами трудозатрат на единицу продукции, то есть определение , z и  через  и. В силу того, что уравнения (2) являются матричной формой системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами по отношению к переменным  и , они могут быть решены с использованием стандартного аппарата линейной алгебры. При этом далее здесь значки векторов у векторных переменных будут опущены, так как любой n- мерный вектор может быть представлен, как матрица – столбец размера (n1). Решая уравнения (2) и используя соотношение , получим:

                      (3)

Здесь Е=(ij)nn – единичная матрица, а обратная матрица (Е-А)-1 (её ещё иногда называют матрицей полных затрат) и транспонированная к ней являются неизменными при любых изменениях демографической ситуации (вектор Y) и вычисляются по общему правилу: , где Е-А - определитель, а  - присоединённая к (Е-А). Приведённое здесь выражение обратной матрицы через ряд является альтернативным способом её вычисления, позволяющим организовать процесс приближённого вычисления (Е-А)-1 с помощью быстро сходящегося ряда. Это выражение отражает процесс установления равновесия в рассматриваемой экономической системе. матрицы (Е-А)-1 и {(Е-А)-1}Т могут измениться только в случае изменения структуры производства (матрицы А), т.е. технологической революции. Более того, структура цен, как следует из третьего уравнения (3), также может измениться только в случае изменения технологии производства, принятой в обществе, т.е. изменения А и К. Изменение же величины почасовой оплаты w, принятой во всём экономическом объекте, приведёт лишь к пропорциональному изменению всех цен, без изменения соотношения между ними. Отдельно замечу, что матрица (Е-А)-1 обязательно существует, и получаемый из (3) Х имеет экономический смысл (его компоненты положительны) в случае, когда все элементы А неотрицательны и суммы их по столбцам не больше 1, причём хотя бы одна строго меньше. Таким образом, для гарантии получения Х из (3), вообще говоря, может быть необходим подбор специальной системы единиц измерения объёмов Х и Y, в которой матрица А удовлетворяет упомянутым условиям. В принципе, матрица А называется продуктивной, если для любого Y>0 существует неотрицательное решение Х>0 любого из уравнений (3).

Существует несколько критериев продуктивности структурной матрицы. Приведем некоторые из них.

Первый критерий продуктивности. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора Y с неотрицательными компонентами уравнение (3) имеет решение Х с неотрицательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (3) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица А была продуктивной.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E-A)-1 существует и неотрицательна.

Третий критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

В заключении этого пункта отмечу, что в любой из точных наук, к которым можно отнести и эконометрию, как раздел экономики, существуют прямая, обратная, оптимизационная задачи и задача поиска множества оптимальных решений при изменении исходных данных (параметров) в некоторой области (параметрическая задача). В случае линейной балансовой модели это тоже так. В модели В.Леонтьева со случаем открытой линейной балансовой модели могут быть связаны прямая задача, формулируемая системой (2), и обратная задача из системы (3). остальные могут быть отнесены к закрытой линейной балансовой модели, которая позволяет исследовать условия равновесия в системе взаимосвязанных процессов и здесь, в силу ограниченности случаев применения, рассматриваться не будет.

2. Пример выполнения задания

Конкретные условия примера выполнения домашнего задания взяты из для Сидорова И. П.:

,, , w=$5.

В рассматриваемых отраслях действует 40 часовая рабочая неделя, 4 недели в году – отпуск.

Произвести расчёт баланса в модели Леонтьева для четырёх  отраслевого народного хозяйства, выполнив пункты 1)-6) задания [1] и найдя вектора

.

в матрице структурных коэффициентов и векторах годового объёма конечного потребления, полного годового объёма оказанных услуг Х, объёма трудозатрат на единицу продукции и цен на единицу продукции Р: первая отрасль -  сельское хозяйство, производящее продукцию, измеряемую тоннами; вторая отрасль – добывающая промышленность, производящая продукцию, измеряемую тоннами; третья отрасль – машиностроение, производящее машины, количество которых измеряется в штуках; четвёртая – лёгкая промышленность, производящая товары народного потребления (измеряются в штуках)

1) экономический смысл структурных коэффициентов

Перечислим все исходные данные задачи с указанием их экономического смысла. В рассматриваемых отраслях существуют следующие технологические соотношения:

a11=0,095 т. продукции с/х необходимо для воспроизводства 1т. этой продукции.

a12=0,05 т. продукции с/х необходимо для производства 1т. сырья.

a13=0,025 т. продукции с/х необходимо для производства 1 универсальной машины.

a14=0,08 т. продукции с/х необходимо для производства 1 шт. товара народного потребления (ТНП).

a21=0,09 т. сырья необходимо для производства 1т. продукции с/х.

a22=0,08 т. сырья необходимо для воспроизводства 1т. этой продукции.

a23=0,015 т. сырья необходимо для производства 1 унив.машины.

a24=0,05 т. сырья необходимо для производства 1товара народного потребления (ТНП).

a31=0,085 машины необходимо для производства 1т. продукции с/х (при полном износе 1 машины производится 11,76 т. продукции с/х).

a32=0,095 машины необходимо для производства 1т. сырья.

a33=0,05 машины необходимо для её воспроизводства.

a34=0,025 машины необходимо для производства 1товара народного потребления (ТНП).

a41=0,08 ТНП необходимо для производства 1т. продукции с/х.

a42=0,09 ТНП необходимо для производства 1т. сырья.

a43=0,08 ТНП необходимо для производства 1 унив.машины.

a44=0,015 ТНП необходимо для его воспроизводства.

трудозатраты – 100 человекочасов на 1 т. продукции с/х (K1=100 ч.час./шт.); 10 человекочасов на 1 т. сырья (K2=10 ч.час./шт.); 500 человекочасов на 1 машину (K3=500 ч.час./шт.) и 3 человекочаса на 1 ТНП (K3=3 ч.час./шт.). Требуется решить прямую задачу планирования, т.е. найти величины полного годового объёма оказания услуг и цены единицы услуги для каждой из четырёх отраслей при условии того, что конечное потребление составит 1900000 т. с/х продукции (y1), 100000 т. сырья (y2), 50000 машин (y3) и 16 млн. ТНП (y4).

2) уравнения межотраслевого баланса в натуральном выражении

Составим теперь уравнения межотраслевого баланса в натуральном выражении в явном виде согласно (1), при этом диагональные коэффициенты результирующей линейной системы при искомых объёмах xi будут равны (1- aii):

.

Эти уравнения могут быть решены различными способами, но в случае реальных экономических систем, где n велико, единственно возможным является применение компьютерных средств и аппарата работы с матрицами.

3) матрица (Е-А)-1

Вычисление матрицы (Е-А)-1 может быть произведено вручную с помощью приведённой выше формулы, однако даже в рассматриваемом случае эта процедура чрезвычайно громоздка, по- этому здесь приводятся только окончательные результаты компьютерных расчётов:

(Е-А)-1=.

По II-у критерию продуктивности наша матрица А является продуктивной. Зная эту матрицу, можно переходить к определению векторов Х и Р.

4) Определение вектора полного объема оказанных услуг и вектора цен

вектора полного объема производства и цен легко определить с использованием первого и третьего выражения из (3):

шт.;

5) Определение численности занятых в отраслях

Для определения численности занятых в отраслях используем второе выражение из (3), тогда полный объём трудозатрат z, связанный с количеством занятых в этих отраслях, будет равен:

Число занятых в этих отраслях Nзан. можно определить, разделив z на годовой объём рабочего времени одного занятого в вышеупомянутых отраслях СКС – 40(52-4)=1920 ч.час.:    Nзан.=9,138108/1920=475.900 чел.

6) Оформление отчёта

Отчет о выполнении задания должен содержать титульный лист, формулировку задачи с конкретными числовыми данными и пункты выполнения задания, аналогичные вышеизложенным в §I.2. При выполнении пунктов  3), 4)  должно  быть указано,      как   были    найдены

(Е-А)-1, Х и Р. Если они найдены без применения компьютерных средств, то должны быть приведены промежуточные выкладки, если были использованы компьютерные программы, то необходимо указать, какие и приложить рабочие файлы выполнения расчётов в электронном виде в формате того приложения, в котором были произведены вычисления.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

602. Грузоподъемные краны 75.5 KB
  Краны состоят из механизмов: подъёма груза в виде лебёдки, в сочетании с полиспастом и устройством для захвата груза; передвижения, посредством которого осуществляется перемещение остова крана или какой-либо его части.
603. Программная оболочка Norton Commander. Назначение и возможности сервисной программы оболочки Norton Commander 69.5 KB
  Программная оболочка Norton Commander и основные функции. Основные функциональные клавиши Norton Commander. Копирование файлов и каталогов. Переименование файлов и каталогов. Удаление файлов и каталогов Поиск файлов на диске. Структура файла nc.ext и его редактирование.
604. Обработка текстовых электронных документов. Подготовка документов на ПЭВМ 72.5 KB
  Классификация документов. Виды и структура текстовых документов, принятых в делопроизводстве органов внутренних дел. Текстовые и графические редакторы ПЭВМ.
605. Особенности ценовой политики фирмы 70.5 KB
  Понятие ценовой политики в системе маркетинга. Ценовая политика является неотъемлемой частью стратегии маркетинга и представляет собой систему принципов и методов управления деятельностью по установлению цен в процессе достижения целей предприятия на рынке.
606. Процесса адиабатного истечения газа через суживающееся сопло 75.5 KB
  Снять опытные характеристики процесса истечения при различных давлениях газа за сопловым каналом. Провести обработку экспериментальных данных и определить области докритического и критического истечения. Построить опытную и теоретическую характеристики суживающегося сопла в координатах.
607. Основные принципы антидотной терапии 68 KB
  Противоядия, действие которых основано на физических процессах (активированный уголь и другие сорбенты). Противоядия, образующие в организме соединения, обладающие особенно высоким средством к яду (амилнитрит, метиленовый спирт и др.)
608. Исследование показателей надежности и рисков нерезервированной технической системы 93 KB
  Определить показатели надежности и риск нерезервированной технической системы. Исследовать функцию риска: представить функцию риска в виде таблицы и графика. Дать качественный и количественный анализ соотношения риска, вычисленного по точной и приближенной зависимостям в MathCAD или табличном процессоре Microsoft Excel.
609. Изучение и освоение практики работы с управленческими корпоративными информационными системами на примере системы Галактика 70 KB
  В работах требуется смоделировать наиболее распространенную в экономической практике ситуацию – а именно: сформировать ряд взаимосвязанных операционных и сводных отчетных документов, отражающих бизнес-процессы и результаты сделок предприятия с контрагентами по покупке и продаже товаров.
610. Однофакторные регрессионные модели 339 KB
  Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью критерия Фишера и Стьюдента.