73829

Комплексные числа

Лекция

Математика и математический анализ

Определение комплексного числа. Первая компонента комплексного числа действительное число называется действительной частью числа это обозначается так; вторая компонента действительное число называется мнимой частью числа. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда когда равны их действительные и мнимые части.

Русский

2014-12-21

388 KB

0 чел.

Комплексные числа.

Определение комплексного числа.

Опр.9.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

 Опр.9.1.2. Два комплексных числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число  изображается как точка с координатами  на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Опр.9.1.3. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.9.1.4. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью  и  получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел . Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида  , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.9.1.1 свойство "мнимой единицы".  

Легко убедиться, что операция сложения  на множестве комплексных чисел  имеет свойства, аналогичным аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2.  ;

I.3. Существует такой элемент , что  для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента  существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел  и  называется разностью чисел  и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.9.1.5. Число  называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.9.1.6. Действительное число  называется модулем комплексного числа .

Найдём произведение сопряжённых чисел:  . Таким образом,  - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел  домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

 Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа  на любое число  равно ;

II.4. Для каждого числа  существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. .

Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. 

.

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть , . Тогда ;  ; .

9.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число  как точку на плоскости с декартовыми координатами . Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол  называется аргументом комплексного числа  и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные   и т.д. тоже будут соответствовать числу , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям , будем называть главным;  для обозначения всех значений аргумента комплексного числа  применяется символ : .

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой числа.

Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости  и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , , , , . Решение: , , , , .

Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости  вместе с точкой  точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , , . Тогда

.

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Введём следующее обозначение: для любого действительного числа  сумму  будем записывать как . Формула  называется формулой Эйлера, она обосновывается в теории функций комплексной переменной; пока будем понимать показательную функцию в левой части этой формулы как краткую форму записи для суммы, находящейся справа. Теперь любое комплексное число  можно представить как ; эта форма записи называется показательной. Введённое обозначение согласовано со свойствами показательной функции:

;

.

Индукцией по показателю степени  легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для  и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. Выпишем степени числа :

и далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:  и т.д.). Итак,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что  , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом  различных значения корня -ой степени из числа  получаются при .

Пример: найти все значения . Число  в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой  при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , образуя правильный пятиугольник.


 
 

x

y

z

  Re z

Im z

Z

  

 (Z)

 z 

 x 

 y 

 |z |

  5/6

  /3

  z1

  /3

 (Z)

  z

  /6

  z4

  2

  z2

  -4

  -2

  -2

 (Z)

  2

  z1

  z3

  z5

x

 2

z2

z0

z

 -/3

 -/15

z1

z3

z4

 

y


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52106. Agatha Christie 72 KB
  Аgatha Mary Clarissa Christie is possibly the worlds most famous detective story writer. She wrote 79 novels and several plays. Her sales outnumber those of William Shakespeare. However, behind her 4,680,000 words was a painfully shy woman whose life was often lonely and unhappy.
52107. Я і мої друзі - лідери здоровя 269.5 KB
  Так працюючи за програмою Сприяння просвітницькій роботі Рівний Рівному серед молоді України щодо здорового способу життя я маю можливість формувати здоровязберігаючу компетентність учнів орієнтувати дітей та молодь на здоровий спосіб життя виховувати у них відповідальне ставлення до здоровя. Однією із дієвих форм пропаганди учасниками програми здорового способу життя серед широких учнівських мас є створення і виступи агітбригади яка є близькою і зрозумілою для всіх томущо в ній є творче вираження та активна подача великого...
52108. Was ist Deutschland für uns 38 KB
  Die Musik ist eine Kunst. Ich habe Music gern. In Deutschland können Sie Philharmonie besuchen, und schöne Music hören. Hören die Werk des bekannten Musikers. Solche wie: Iogan Bach, Ludwig van Bethoven, Brahms Johannes. Horen die Werk des Großen Musikers.
52109. Сценарий выступления агитбригады молодых творческих педагогов 88.5 KB
  Карманова Деньгиденежки затем на мотив песни группы Гринджоли Разом нас багато Разом вас багато Всіх не прогодувати Председатель ПК: ах так Ну теперь держитесь отходит в сторону зовёт членов ПК Члены Пк берут транспаранты: ПК нас защитит и ходят по сцене со словами: Разом нас багато Всіх не подолати 3 раза Министр выглядывает кусает губыприносит приказ на повышение З п председателю ПК Все радуются обнимаютсяуходят со сцены Вера Васильевна: вот это да к самому министру не побоялись поехать Ирина Владимировна:...
52110. World AIDS Day is December 1st 70.5 KB
  Ukraine has an HIV/AIDS epidemic. UNAIDS estimates the number of people infected with HIV/AIDS to be between 260 000 and 590 000. The cases of HIV have doubled every year for the past three years. Experts estimate that 1.4 percent of the adult population is HIV positive or has AIDS. This is the highest rate of infection in Eastern Europe and the CIS states. Unfortunately, it is also estimated that about 90 percent of these people don't know, and arent registered with the government thus not receiving the treatment.
52111. Оглянись внимательно вокруг 49.5 KB
  Что по вашему мнению мы должны заложить в фундамент Дома личности способности здоровье окружение Стены можно сравнить с характером человека Их каких кирпичиков по вашему мнению мы возведём стены Дома личности доброта терпение любовь дружба понимание милосердие терпение уважение целеустремленностть Что может быть светом в окошке нашего дома Умение любить людей Что украшает наш дом жизнерадостность оптимизм внешность увлечения духовность И наконец что венчает любой дом Его крыша. Все названные...
52112. Активизация учащегося на уроке как фактор повышения его эффективности 136.5 KB
  В учебном заведении особое место занимают такие формы занятий которые обеспечивают активное участие в уроке каждого учащегося повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность учащихся за результаты учебного труда. Вопросы и их роль в активизации деятельности учащихся [7] 2. Приемы активизации [8] Уровни познавательной активности [9] Принципы активизации познавательной деятельности учащихся. [17] Факторы побуждающие учащихся к активности.
52113. АКТИВІЗАЦІЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ УЧНІВ НА УРОКАХ УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ ТА ЛІТЕРАТУРИ 115 KB
  Сучасний етап історичного розвитку України характеризується істотними змінами в житті її народу оновленням усіх сфер діяльності людини переоцінкою та утвердженням у свідомості нації нових світоглядних орієнтацій. Згідно із законом України Про освіту Державною національною доктриною розвитку освіти України в XXI столітті Концепцією загальної середньої освіти ми маємо здійснити кардинальний перехід від традиційного інформаційнопояснювального навчання зорієнтованого на передачу готових знань до особистісно розвивального спрямованого не...
52114. Створення на уроці умов для підвищення пізнавальної акивності учнів 130 KB
  Нові завдання шкільної освіти в Україні що спрямовані на гуманізацію та демократизацію всього навчального процесу в школі визначають нові пріоритети навчання і виховання потребують формування ініціативної особистості здатної до раціональної творчої праці. Тому ми не повинні забувати про те що сучасні діти не такі якими були ми отже вони потребують від сучасного навчання чогось нового. Формування пізнавального інтересу необхідна умова шкільного навчання. Стійкий пізнавальний інтерес ознака готовності дитини до навчання в школі.