73829

Комплексные числа

Лекция

Математика и математический анализ

Определение комплексного числа. Первая компонента комплексного числа действительное число называется действительной частью числа это обозначается так; вторая компонента действительное число называется мнимой частью числа. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда когда равны их действительные и мнимые части.

Русский

2014-12-21

388 KB

0 чел.

Комплексные числа.

Определение комплексного числа.

Опр.9.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

 Опр.9.1.2. Два комплексных числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число  изображается как точка с координатами  на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Опр.9.1.3. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.9.1.4. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью  и  получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел . Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида  , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.9.1.1 свойство "мнимой единицы".  

Легко убедиться, что операция сложения  на множестве комплексных чисел  имеет свойства, аналогичным аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2.  ;

I.3. Существует такой элемент , что  для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента  существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел  и  называется разностью чисел  и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.9.1.5. Число  называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.9.1.6. Действительное число  называется модулем комплексного числа .

Найдём произведение сопряжённых чисел:  . Таким образом,  - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел  домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

 Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа  на любое число  равно ;

II.4. Для каждого числа  существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. .

Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. 

.

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть , . Тогда ;  ; .

9.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число  как точку на плоскости с декартовыми координатами . Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол  называется аргументом комплексного числа  и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные   и т.д. тоже будут соответствовать числу , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям , будем называть главным;  для обозначения всех значений аргумента комплексного числа  применяется символ : .

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой числа.

Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости  и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , , , , . Решение: , , , , .

Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости  вместе с точкой  точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , , . Тогда

.

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Введём следующее обозначение: для любого действительного числа  сумму  будем записывать как . Формула  называется формулой Эйлера, она обосновывается в теории функций комплексной переменной; пока будем понимать показательную функцию в левой части этой формулы как краткую форму записи для суммы, находящейся справа. Теперь любое комплексное число  можно представить как ; эта форма записи называется показательной. Введённое обозначение согласовано со свойствами показательной функции:

;

.

Индукцией по показателю степени  легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для  и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. Выпишем степени числа :

и далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:  и т.д.). Итак,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что  , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом  различных значения корня -ой степени из числа  получаются при .

Пример: найти все значения . Число  в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой  при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , образуя правильный пятиугольник.


 
 

x

y

z

  Re z

Im z

Z

  

 (Z)

 z 

 x 

 y 

 |z |

  5/6

  /3

  z1

  /3

 (Z)

  z

  /6

  z4

  2

  z2

  -4

  -2

  -2

 (Z)

  2

  z1

  z3

  z5

x

 2

z2

z0

z

 -/3

 -/15

z1

z3

z4

 

y


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6931. Материя. Категория и атрибуты бытия 123 KB
  Введение Нас, людей, как мыслящих существ, естественно интересует вопрос: как возник наш человеческий мир, что ему предшествовало, благодаря чему он стал возможным? Что представляет собой реальный предмет, реальный мир? Каково его бытие? Мы, ко...
6933. Управление налогами на предприятие в России 322 KB
  Введение В науке финансового менеджмента традиционно сложилась ситуация, при которой как западными, так и отечественными учеными-экономистами вопросам налогового планирования практически не уделяется внимания. Отсутствует глубокая теоретическая прор...
6934. Экзаменационные ответы по философии. 403.5 KB
  Мировоззрение. Особенности философской мысли Древнего Китая. Философия Нового времени. Способы понимания диалектики развития. Особое место в социальном опосредовании. Бывает инд...
6935. Философия. Философские понятия, категории и глобальные проблемы 2.33 MB
  Предмет философии. Если философия–наука, то должна иметь предмет исследования. В центре материального, духовного и идеального–стоит человек здесь надо искать предмет философии. Проблема человека–проблема сопоставления себя и пр...
6936. Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билеты 184.59 KB
  Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билеты 1. ПРЕДМЕТ ФИЛОСОФИИ Философия (от греч. phileo - люблю, sophia - мудрость) - любовь к мудрости. Философия — это наука о всеобщем, она - свободная и универсальная обла...
6937. Философия (конспект лекций). Философия как разновидность мировоззрения 1.11 MB
  Философия (конспект лекций) Вопрос 1. Философия как разновидность мировоззрения 1. Мировоззрение - целостный взгляд на мир и место человека в нем. В истории человечества выделяются три основные формы мировоззрения: мифология религия фил...
6938. Философия. Предмет философии и основные аспекты философского знания 1.42 MB
  Предмет философии и основные аспекты философского знания Философия - это теоретически разработанное мировоззрение, система самых общих теоретических взглядов на мир, на место человека в нем, уяснения различных форм его отношения к миру. Две главные ...
6939. Философия как основа мироваззрения 1.05 MB
  Философия как разновидность мировоззрения. Специфика философского знания. Предмет и методы философии. Функции философии. Основной вопрос и основные направления философии. Общее по...