73829

Комплексные числа

Лекция

Математика и математический анализ

Определение комплексного числа. Первая компонента комплексного числа действительное число называется действительной частью числа это обозначается так; вторая компонента действительное число называется мнимой частью числа. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда когда равны их действительные и мнимые части.

Русский

2014-12-21

388 KB

1 чел.

Комплексные числа.

Определение комплексного числа.

Опр.9.1.1. Комплексным числом  будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

 Опр.9.1.2. Два комплексных числа  и  равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число  изображается как точка с координатами  на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Опр.9.1.3. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.9.1.4. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью  и  получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел . Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида  , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.9.1.1 свойство "мнимой единицы".  

Легко убедиться, что операция сложения  на множестве комплексных чисел  имеет свойства, аналогичным аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2.  ;

I.3. Существует такой элемент , что  для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента  существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел  и  называется разностью чисел  и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.9.1.5. Число  называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.9.1.6. Действительное число  называется модулем комплексного числа .

Найдём произведение сопряжённых чисел:  . Таким образом,  - всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел  домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

 Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа  на любое число  равно ;

II.4. Для каждого числа  существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. .

Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. 

.

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть , . Тогда ;  ; .

9.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число  как точку на плоскости с декартовыми координатами . Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол  называется аргументом комплексного числа  и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные   и т.д. тоже будут соответствовать числу , поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям , будем называть главным;  для обозначения всех значений аргумента комплексного числа  применяется символ : .

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой числа.

Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости  и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , , , , . Решение: , , , , .

Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости  вместе с точкой  точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , , . Тогда

.

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Введём следующее обозначение: для любого действительного числа  сумму  будем записывать как . Формула  называется формулой Эйлера, она обосновывается в теории функций комплексной переменной; пока будем понимать показательную функцию в левой части этой формулы как краткую форму записи для суммы, находящейся справа. Теперь любое комплексное число  можно представить как ; эта форма записи называется показательной. Введённое обозначение согласовано со свойствами показательной функции:

;

.

Индукцией по показателю степени  легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для  и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. Выпишем степени числа :

и далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:  и т.д.). Итак,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что  , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом  различных значения корня -ой степени из числа  получаются при .

Пример: найти все значения . Число  в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой  при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , образуя правильный пятиугольник.


 
 

x

y

z

  Re z

Im z

Z

  

 (Z)

 z 

 x 

 y 

 |z |

  5/6

  /3

  z1

  /3

 (Z)

  z

  /6

  z4

  2

  z2

  -4

  -2

  -2

 (Z)

  2

  z1

  z3

  z5

x

 2

z2

z0

z

 -/3

 -/15

z1

z3

z4

 

y


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13591. Торговля не разорила еще ни одного народа 18.87 KB
  Торговля не разорила еще ни одного народа. Б. Франклин В выбранном мною высказывании автор рассматривает сущность международной торговли и ее роли и значения для развития национальной экономики. В наше время этот вопрос актуален как никогда. Именно сейчас особо явн...
13592. Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех, которые можно выжать из покупателей 30 KB
  Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех которые можно выжать из покупателей А. Смит. Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос о сущности монополизма и его опасности для потребителя. В России проблема монополизма также стала актуальной ...
13593. Погоня за прибылью Эссе по высказыванию 30 KB
  Погоня за прибылью единственный способ при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех кого они вовсе не знают. Ф. Хайек Выбранное мною высказывание связано с предпринимательской деятельностью ее целями и задачами. Эта тема несомненная актуальна ос...
13594. Погоня за прибылью – единственный способ, при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех, кого они вовсе не знают 17.55 KB
  Погоня за прибылью единственный способ при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех кого они вовсе не знают. Ф. Хайек В выбранном мною высказывании автор рассматривает проблему предпринимательской деятельности ее целей и результатов. Предприни...
13595. Слово «кризис», написанное по-китайски, состоит из двух иероглифов» один означает «опасность», другой – благоприятная возможность (Дж. Кеннеди) 15.73 KB
  Слово кризис написанное покитайски состоит из двух иероглифов один означает опасность другой благоприятная возможность. Дж. Кеннеди В выбранном мною высказывании автор американский президент Джон Кеннеди обращается к проблеме противоречивости роли и ...
13596. Если свободное общество не сможет помочь многим бедным, оно не сможет защитить немногих богатых 16.4 KB
  Если свободное общество не сможет помочь многим бедным оно не сможет защитить немногих богатых. Д. Рокфеллер В выбранном мною высказывании автор американский предприниматель и филантроп Джон Рокфеллер обращается к проблеме зависимости стабильности общества от
13597. Цена монеты – пульс государства и довольно верный способ узнать его силы 17.08 KB
  Цена монеты пульс государства и довольно верный способ узнать его силы. Вольтер Выбранное мною высказывание связано с позициями национальной валюты и соотношением устойчивости и стабильности валюты с общими показателями устойчивости и стабильности государства...
13598. Эссе по курсу обществознания, Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех, которые можно выжать из покупателей 15.26 KB
  Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех которые можно выжать из покупателей. А. Смит Данное высказывание затрагивает экономическую проблему негативных последствий наличия в обществе монополий. На рубеже XIX-XX вв. произошел широкомасштабный ...
13599. Эссе по курсу обществознания, Экономическая конкуренция – это не война, а соперничество в интересах друг друга 17.05 KB
  Экономическая конкуренция это не война а соперничество в интересах друг друга. Э. Каннан Выбранное мною высказывание раскрывает сущность значение такого важного регулятора в рыночной экономике как экономическая конкуренция. Ни одна рыночная система многих