73830

Многочлены -ой степени

Лекция

Математика и математический анализ

Многочленом ой степени называется функция где постоянные комплексные числа коэффициенты многочлена комплексная переменная. Число в котором многочлен принимает нулевое значение называется корнем многочлена. Представим в виде многочлена по степеням. Очевидно отсюда следует утверждение: для того чтобы число было корнем многочлена необходимо и достаточно чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении по степеням был равен нулю: .

Русский

2014-12-21

536.5 KB

6 чел.

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция

где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть  - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням :

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени   имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен  равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена .

2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,  представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

 9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен  от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если  - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа  операция сопряжения не меняет это число: , поэтому  

2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа  - корни , то  представляется в виде  .

4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней   кратностей )   с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что  - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная  принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами  от действительной переменной  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что  поделен на  с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены  и  над полем  такие, что  и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .


Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема о рациональных корнях многочлена 

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:


P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-1+…+an-1x +an

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a0 αⁿ+a1 αⁿ-1+…+an-1 α +an=0.


Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)+an=0, откуда

an= -α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)

Так как числа a
0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.


2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-1+xⁿ-2y+…+ xyⁿ-2+yⁿ-1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-1+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-1+…+an-1c+an)=

=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿ-1-cⁿ-1)+…+an-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn+a1xn1++an1x+an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a0xn+a1xn1++an1x+an является x = c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(xc)q(x), где q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c 

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, a0≠0, g(x)=xc, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1, где b0=a0,

bk=cbk1+ak, k=1, 2, ,n1. Остаток r находится по формуле r=cbn1+an 

 

a0

a1

a2

...

an−1

an

x = c

b0=a0

b1=cb0+a1

b2=cb1+a2

...

bn1=cbn2+an1

r=cbn1+an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример. Решить уравнение x3x28x+12=0 

 

a0=1

a1=1

a2=8

a3=12

 

x = 1

1

0

-8

4

не корень

x = -1

1

-2

-6

18

не корень

x = 2

1

1

-6

0

корень

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3x28x+12=(x2)(x2+x6)=0(x2)2(x3)=0x=2;x=3  

Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

  •  Q < 0 — три вещественных корня.
  •  Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  •  Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что  - правильная дробь.

Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

 9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде , . Тогда дробь  единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые  на примере. Дана функция . Здесь ,  . После деления "уголком" получим . Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде

,   (*) где - неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:

= . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:

Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим  . Если подставить в это равенство корни трёхчлена , будут определены  и . Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Коэффициенты при степенях  справа и слева от знака равенства:

Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.

; ; ;

; ; ; ;

;  ; ;

.  Окончательно, функция  представляется в виде . В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81410. Девиантное поведение как социальный феномен. Специфика девиантного поведения подростков 41.74 KB
  Специфика девиантного поведения подростков. Основными формами девиантного поведения являются: пьянство наркомания преступность проституция самоубийство гомосексуализм. Объяснения причин девиантного поведения: Биологическое люди по своему биологическому складу предрасположены к определенному типу поведения. Девиантное поведение подростков не соответствует закономерностям взрослого отклоняющегося поведения.
81411. Факторы деструктивного поведения подростков 40.07 KB
  Биологические факторы это неблагоприятные физиологические или анатомические особенности организма ребенка нарушения умственного развития дефекты слуха и зрения повреждения нервной системы телесные дефекты дефекты речи и др.; психологические факторы это психопатологии или акцентуации характера. Данные отклонения выражаются в нервнопсихических заболеваниях психопатии неврастении пограничных состояниях повышающих возбудимость нервной системы и обуславливающих неадекватные реакции подростка; социальнопсихологические факторы....
81412. Влияние семьи на формы и уровень проявления подростковых девиаций. Понятие социализации и основные этапы данного процесса 40.08 KB
  Понятие социализации и основные этапы данного процесса. На каждом этапе социализации на человека оказывают влияние те или иные факторы соотношение которых на разных этапах различно. В целом можно выделить пять факторов оказывающих влияние на процесс социализации: биологическая наследственность; физическое окружение; культура социальное окружение; групповой опыт; индивидуальный опыт. Процесс социализации охватывает все слои общества.
81413. Типологический анализ социально-дезадаптированных семей 42.07 KB
  Семьи для которых характерны наиболее глубокие дефекты социализации вольно или невольно провоцируют детей на раннее употребление психоактивных веществ и совершение правонарушений. Псевдоблагополучная семья отличается ярко выраженным деспотическим характером безоговорочным доминированием одного из родителей полным подчинением ему остальных членов семьи наличием жестоких взаимоотношений держать всех в ежовых рукавицах применением физического наказания как основного средства воспитания. Дефекты в структуре родительской семьи в...
81414. Основные аспекты взаимосвязи социологии и социальной работы 36.7 KB
  Изучая тему студент должен исходить из тесной взаимосвязи социологии и социальной работы в теоретическом учебнообразовательном и прикладном аспектах. В подготовке специалистов по соцработе социология занимает одно из ведущих мест Универсальный многопрофильный характер социальной работы сближает ее прежде всего с социологией. Речь идет о близости объектов и предметов социологии и социальной работы.
81415. Социологическое знание в социальной работе. Категории индивид, личность, группа, общность, общество. Понятия «социальный факт», «социальная реальность» и «социальное действие» 37.24 KB
  Социологические исследования в социальной работе выполняют многообразные функции. Социологические методы и техника изучения проблем социальной работы выполняют двоякую функцию расширения и углубления социологического и социального образования в целом и получения важной первичной социальной информации без чего невозможны анализ практической социальной работы накопление опыта его обобщения и в целом повышение ее эффективности. Влияние социологии на социальную работу: использование результатов изучения социологами социальной структуры...
81416. Социологические проблемы социального взаимодействия в социальной работе. Понятия: социальная структура, социальные изменения, конфликты интересов основных социальных групп 37.54 KB
  Понятия: социальная структура социальные изменения конфликты интересов основных социальных групп. Социальные изменения представляют собой смену состояний свойств и связей социальных систем. В соответствии со строением и главной характеристикой любой системы можно выделить следующие виды изменений вообще и социальных изменений в частности: Содержательные изменения Под содержанием в науке понимают совокупность элементов системы поэтому здесь речь идет об изменении элементов системы их возникновении исчезновении или изменении ими своих...
81417. Социология в теории социальной работы наука об обществе как целостной системе и об отдельных социаль 34.67 KB
  Социология в теории социальной работы наука об обществе как целостной системе и об отдельных социальных институтах рассматриваемых в их связи с общественным целым. Влияние социологии на социальную работу: использование результатов изучения социологами социальной структуры общества и других фундаментальных проблем социологического знания и практической деятельности применение этих данных в подготовке и переподготовке социальных работников анализ самой социальной работы сточки зрения участия в ней разных групп социальных работников...