73830

Многочлены -ой степени

Лекция

Математика и математический анализ

Многочленом ой степени называется функция где постоянные комплексные числа коэффициенты многочлена комплексная переменная. Число в котором многочлен принимает нулевое значение называется корнем многочлена. Представим в виде многочлена по степеням. Очевидно отсюда следует утверждение: для того чтобы число было корнем многочлена необходимо и достаточно чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении по степеням был равен нулю: .

Русский

2014-12-21

536.5 KB

6 чел.

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция

где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть  - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням :

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени   имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен  равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена .

2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,  представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

 9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен  от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если  - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа  операция сопряжения не меняет это число: , поэтому  

2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа  - корни , то  представляется в виде  .

4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней   кратностей )   с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что  - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная  принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами  от действительной переменной  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что  поделен на  с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены  и  над полем  такие, что  и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .


Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема о рациональных корнях многочлена 

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:


P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-1+…+an-1x +an

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a0 αⁿ+a1 αⁿ-1+…+an-1 α +an=0.


Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)+an=0, откуда

an= -α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)

Так как числа a
0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.


2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-1+xⁿ-2y+…+ xyⁿ-2+yⁿ-1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-1+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-1+…+an-1c+an)=

=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿ-1-cⁿ-1)+…+an-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn+a1xn1++an1x+an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a0xn+a1xn1++an1x+an является x = c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(xc)q(x), где q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c 

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, a0≠0, g(x)=xc, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1, где b0=a0,

bk=cbk1+ak, k=1, 2, ,n1. Остаток r находится по формуле r=cbn1+an 

 

a0

a1

a2

...

an−1

an

x = c

b0=a0

b1=cb0+a1

b2=cb1+a2

...

bn1=cbn2+an1

r=cbn1+an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример. Решить уравнение x3x28x+12=0 

 

a0=1

a1=1

a2=8

a3=12

 

x = 1

1

0

-8

4

не корень

x = -1

1

-2

-6

18

не корень

x = 2

1

1

-6

0

корень

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3x28x+12=(x2)(x2+x6)=0(x2)2(x3)=0x=2;x=3  

Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

  •  Q < 0 — три вещественных корня.
  •  Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  •  Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что  - правильная дробь.

Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

 9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде , . Тогда дробь  единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые  на примере. Дана функция . Здесь ,  . После деления "уголком" получим . Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде

,   (*) где - неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:

= . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:

Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим  . Если подставить в это равенство корни трёхчлена , будут определены  и . Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Коэффициенты при степенях  справа и слева от знака равенства:

Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.

; ; ;

; ; ; ;

;  ; ;

.  Окончательно, функция  представляется в виде . В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75343. Столетняя война 42.5 KB
  Борьба из–за бывшей территории Франции – Аквитании особенно ее зап. область Франции юридически была фьефом англ. Толчком к войне послужила династическая ситуация сложившаяся во Франции в 1328 г. Корона Франции была передана Филиппу VI Валуа представителю боковой ветви Капетингов.
75345. Кризис в Западной Римской империи в III-V вв. и возникновение протофеодальных отношений. Падение Западной Римской империи и образование варварских королевств 45.5 KB
  Кризис в Западной Римской империи в IIIV вв. Падение Западной Римской империи и образование варварских королевств. в состав рабовладельческой Римской империи кроме Италии входили большая часть Британии Испания Галлия области по правому берегу Дуная Балканский полуостров Малая Азия острова Средиземного моря Киренаика Сирия Северная Аравия часть Месопотамии Северная Африка и Египет. в большей части империи наблюдалось уже запустение земель деградация ремесла и острая нехватка рабочей силы вызванная низкой производительностью труда...
75346. Государства крестоносцев на Востоке. Второй и третий крестовый походы 36.5 KB
  Вскоре после взятия Иерусалима крестоносцы овладели значительной частью восточного побережья Средиземного моря. Поделив между собой новые владения крестоносцы установили в них феодальные порядки во многом схожие с теми которые существовали на их родине. При этом крестоносцы жили главным образом в прибрежных юродах и укрепленных замках которые им пришлось построить чтобы обеспечить себе безопасность. началось сплочение мусульманских княжеств в результате чего крестоносцы стали терять свои владения.
75347. Христианство, церковь, ереси в V-XI вв. Сложение христианства как мировой религии 43.5 KB
  Социальная роль христианской религии и церкви в феодальном обществе Христианство стояло у колыбели феодального общества как сложившаяся религиозная идеология. Исключительно большая роль религии и церкви в феодальную эпоху их сильнейшее воздействие на умы людей определялись тем что мировоззрение средневекового человека было по преимуществу теологическим. он добавил разработанное им учение о единоспасающей роли церкви. Объявляя нехристиан и еретиков жертвами дьявола Августин проповедовал необходимость не только убеждать но и принуждать их...
75350. Особенности социально-экономического и политического развития Испании в V-XI веках 51.5 KB
  Особенности социальноэкономического и политического развития Испании в VXI вв. Вандалы переправились далее в Северную Африку вестготы и свевы остались в Испании которая была в конце V в. Оно занимало кроме Испании всю Южную Галлию до Луары на севере Бискайского залива йа западе Средиземного моря и реки Роны на юговостоке. В вестготской Испании начали развиваться феодальные отношения.
75351. Англия в V-XI веках 62 KB
  Завоевание Британии англосаксами После того как римские войска в начале V в. были выведены из Британии населённой бриттами кельтами на её территорию стали массами вторгаться германские племена саксованглов и ютов жившие между Эльбой и Рейном область расселения саксов и на Ютландском полуострове область расселения англов и ютов. Англосаксонское завоевание Британии продолжалось свыше 150 лет и закончилось в основном в начале VII в. Столь длительный характер завоевания объясняется прежде всего тем что кельтское население Британии...