73830

Многочлены -ой степени

Лекция

Математика и математический анализ

Многочленом ой степени называется функция где постоянные комплексные числа коэффициенты многочлена комплексная переменная. Число в котором многочлен принимает нулевое значение называется корнем многочлена. Представим в виде многочлена по степеням. Очевидно отсюда следует утверждение: для того чтобы число было корнем многочлена необходимо и достаточно чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении по степеням был равен нулю: .

Русский

2014-12-21

536.5 KB

6 чел.

9.2. Многочлены -ой степени.

 9.2.1. Многочлены с комплексными коэффициентами от комплексной переменной. Многочленом -ой степени называется функция

где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты многочлена), ,  - комплексная переменная. Число , в котором многочлен принимает нулевое значение (), называется корнем многочлена.

Справедлива следующая теорема, которая называется основной теоремой алгебры: любой многочлен степени  имеет комплексный корень.

Пусть  - произвольная точка комплексной плоскости. Представим  в виде многочлена по степеням :

. Здесь  - новые значения коэффициентов, получающиеся после раскрытия степеней и приведения подобных членов. Очевидно, , отсюда следует утверждение: для того, чтобы число  было корнем многочлена , необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при нулевой степени в разложении  по степеням  был равен нулю: . Но тогда

.

Таким образом, доказана теорема Безу: для того, чтобы многочлен -ой степени   имел комплексный корень , необходимо и достаточно, чтобы он без остатка делился на , т.е. чтобы  представлялся в виде , где  - многочлен -1-ой степени.

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен  равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть  - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число  не является корнем многочлена , в этом случае  называется простым корнем многочлена .

2. Число  является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к  те же рассуждения, придём к выводу: если  - корень многочлена , то  единственным образом представляется в виде , где . Число  в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен  при  имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному,  представляется в виде , где . Если , то многочлен  имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен  степени  

при старшем коэффициенте  единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где  - (попарно различные) корни многочлена,  - их кратности,- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

 9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен  от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если  - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа  операция сопряжения не меняет это число: , поэтому  

2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа  - корни , то  представляется в виде  .

4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней   кратностей )   с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что  - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная  принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами  от действительной переменной  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что  поделен на  с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены  и  над полем  такие, что  и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .


Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема о рациональных корнях многочлена 

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:


P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-1+…+an-1x +an

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a0 αⁿ+a1 αⁿ-1+…+an-1 α +an=0.


Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)+an=0, откуда

an= -α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)

Так как числа a
0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.


2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-1+xⁿ-2y+…+ xyⁿ-2+yⁿ-1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-1+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-1+…+an-1c+an)=

=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿ-1-cⁿ-1)+…+an-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn+a1xn1++an1x+an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.

Замечание 1 . Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 .Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a0xn+a1xn1++an1x+an является x = c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x = c корень многочлена f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(xc)q(x), где q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c 

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+an, a0≠0, g(x)=xc, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b0xn1+b1xn2++bn−2x+bn−1, где b0=a0,

bk=cbk1+ak, k=1, 2, ,n1. Остаток r находится по формуле r=cbn1+an 

 

a0

a1

a2

...

an−1

an

x = c

b0=a0

b1=cb0+a1

b2=cb1+a2

...

bn1=cbn2+an1

r=cbn1+an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример. Решить уравнение x3x28x+12=0 

 

a0=1

a1=1

a2=8

a3=12

 

x = 1

1

0

-8

4

не корень

x = -1

1

-2

-6

18

не корень

x = 2

1

1

-6

0

корень

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3x28x+12=(x2)(x2+x6)=0(x2)2(x3)=0x=2;x=3  

Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

  •  Q < 0 — три вещественных корня.
  •  Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  •  Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

где

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

9.3. Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей.

 9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

.

Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной , коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, , . Рациональная функция (дробь) называется правильной, если ; если , рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени  и правильной дроби: , ; нахождение целой части  и остатка  может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что  - правильная дробь.

Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. .

 9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде , . Тогда дробь  единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые  на примере. Дана функция . Здесь ,  . После деления "уголком" получим . Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде

,   (*) где - неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:

= . Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители:

Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение , получим  . Если подставить в это равенство корни трёхчлена , будут определены  и . Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Коэффициенты при степенях  справа и слева от знака равенства:

Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.

; ; ;

; ; ; ;

;  ; ;

.  Окончательно, функция  представляется в виде . В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56446. Запалюємо «Тимурівські зірочки» 318.5 KB
  Наш проект Запалюємо Тимурівські зірочки передбачає відродження саме тимурівського руху як самостійного напрямку діяльності учнів. Мета проекту: відродження тимурівського руху як самостійного напрямку діяльності.
56447. Типы и структура урока технологии 31 KB
  По этим признакам выделяются: комбинированный урок теоретический урок практический урок уроклабораторная работа урок по решению технических задач контрольнопроверочный урок. Типы уроков технологии отличаются друг от друга своей структурой. Под этим понимается совокупность элементов входящих в урок их последовательность и взаимосвязь.
56448. Типы и структура уроков русского языка 40.5 KB
  В уроке реализуется и программа, и вся методика, осуществляется процесс обучения: деятельность ученика как субъекта учебного процесса и учителя, управляющего этим процессом. Общие требования к уроку русского языка...
56449. Синтаксические трансформации в художественном тексте при переводе с русского языка на украинский язык 245.5 KB
  Теория непереводимости. По этой теории полноценный перевод с одного языка на другой вообще невозможен вследствие значительного расхождения выразительных средств разных языков; перевод является лишь слабым и несовершенным отражением оригинала, дающим о нем весьма отдалённое представление.
56450. Типы уроков иностранного языка 53 KB
  Урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Первичная проверка усвоения знаний. Первичное закрепление знаний. Контроль и самопроверка знаний.
56451. ТИПЫ УРОКОВ РУССКОГО ЯЗЫКА 72 KB
  Итак в школьной практике выделяют: урок повторения предшествующего учебного материала в начале учебного года; урок объяснения нового материала урок новых знаний; урок закрепления знаний формирования умений и навыков...
56452. Типы уроков русского языка 68.5 KB
  Применительно к организации учебного процесса на уроках русского языка можно выделить следующие структурные компоненты: а организационный момент начало урока; б проверка письменных домашних заданий...