73831

Линейные пространства

Лекция

Математика и математический анализ

Обозначим множества векторов направленных отрезков на прямой на плоскости в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например множество векторов на плоскости имеющих общее начало т. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

Русский

2014-12-21

451.5 KB

11 чел.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Аксиоматика линейных пространств.

Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…}называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что  L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для   эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a  (коммутативность сложения). 

2. (a + b) + c = a + (b + c)  (ассоциативность сложения).

3..

4.

5. 1·а = а.

6.

7. (α + β)а = αа + βа  (дистрибутивность). 

8. α(а + b) = αa + αb  (дистрибутивность).  

 Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:

Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.

{От противного: 01,02; 01+02=01 и 02+01=02 (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 01=02}

Теорема 2. противоположный элемент – единственен.

{Пусть для }

Теорема 3. 0·а = 0.

{}

Теорема 4.

{}

2. Примеры линейных пространств

1. Обозначим — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями и . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим — множество матриц-столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец . Следовательно, множество является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество столбцов размеров с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим — множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество решений неоднородной системы , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.

6. Обозначим — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество многочленов степени не выше, чем , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим — множество действительных функций, определенных и непрерывных на . Сумма функций и произведение функции на действительное число определяются равенствами:

для всех

Эти операции действительно определены на , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства для любого . По этому , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции выполняется равенство , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора будет функция . Тогда (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: для любого , т.е. . Таким образом, рассматриваемое множество с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим — множество тригонометрических двучленов (часто ты ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида , где . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как ). Поэтому множество с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим — множество действительных функций, определенных на множестве , с операциями: для всех xX.

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество может быть выбрано произвольно. В частности, если , то — упорядоченный набор чисел , где Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров , т.е. множество совпадает с множеством (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если (напомним, что — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство — множество числовых последовательностей . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

 

3. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.

Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а1, а2,…,аn  с коэффициентами λk .

Определение 2. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты  λ1,…,λn  не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.                                                

Определение 3. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости).  a1,…,an – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {ak} – л.з. ): . Пусть, для определенности,  а1 – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: am – л.к.): }

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{}

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{}

Примеры.

1) 2)

3) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.

 

4. Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L  линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):  

Примеры.  Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rn (канонический базис), в пространстве многочленов степени  ≤ n - (1,х,х2,…,хn).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты  разложения по этому базису.

(В силу т.1 это определение – корректно)

                                              Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как  

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

{}

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα1,…,λαn). {}

Определение 3. Размерностью линейного пространства L  (обозначается dimL)  называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

 Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.

{Пусть   базис пространства L Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов Разложим каждый из них по базису {e} и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы  An,n+1. Т.к. rangAn,n+1n,  то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных элементы aţ – линейно зависимы

dimL = n}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V2, V3, Rn.

 

5.  Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.

Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество

элементов L, которое само является линейным пространством.

 Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число.  (все аксиомы выполняются автоматически).

Примеры. , множество решений однородной СЛАУ.

Определение 2. Линейной оболочкой системы элементов , принадлежащих L , называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов: .

Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.

Теорема 1 (основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы  , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.

{Пусть, для определенности, а   произвольный . Тогда

, т.е.   }

Следствие.  Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов:

                    

 

6. Переход к новому базису.

Пусть {e1,…,en} и  {f1,…,fn} - 2 базиса в линейном пространстве L. Первый будем считать исходным, а второй –  новым. Все векторы нового базиса разложим по векторам исходного: , или в матричной  форме  записи  (f1,…,fn) =(e1,…,en)А, или , где   − матрица перехода от базиса {ei} к базису {f j}, столбцами которой являются координаты векторов  fj  в базисе  {ei}.

Так как, по условию, столбцы матрицы  A  линейно независимы, ее определитель не равен нулю и она имеет обратную. Следовательно, переход от базиса {f j} к базису {ei}  можно осуществлять по формуле (ei)=(f j)А-1.

 Пусть b – произвольный элемент из L. В базисе {ei} он равен: , или, в матричной форме: b=(e1,…,en)(b1,…,bn)т.

Соответственно, в базисе {f j} имеет место равенство b=(f1,…,fn)(b1,…,bn)т.

Отсюда: (e1,…,en)(b1,…,bn)т =(f1,…,fn)(b1,…,bn)т.

    Подставляя {f1,…,fn} из формулы перехода, получим: (e1,…,en)(b1,…,bn)т=(e1,…,en)А(b1,…,bn)т.

Т.к. b произвольный вектор L , имеем:

(b1,…,bn)т =А(b1,…,bn)т - формула пересчета новых координат в старые  и

(b1,…,bn)т =А-1(b1,…,bn)т -  формула пересчета старых координат в новые.

Таким образом, для вычисления столбца координат (x){f} в новом базисе приходится решать СЛАУ со столбцом старых координат (x){e} в правой части: A (x){f}=(x){e}

7.  Евклидовы пространства.

Определение 1. Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если

ставится  в соответствие число, называемое скалярным произведением:. При этом, для     выполняются аксиомы:

 

Имеет место

Неравенство Коши – Буняковского – Шварца:

{}

По определению, длиной элемента называется:, а косинусом угла между двумя элементами: (В силу неравенства К – Б – Ш  это определение корректно)

Отсюда легко получить, что

Примеры. 1)

Определение 2. Линейное пространство N называется нормированным, если N ставится

в соответствие число , называемое нормой элемента ,  и удовлетворяющее условиям:

  

Свойство (3) называется неравенством треугольника, а норма  есть обобщение понятия ‘длина’.

Примеры. 1) Абсолютная норма:

2)Средняя или евклидова норма:

В нормированных евклидовых пространствах косинус угла между векторами обычно записывают в виде   

 

8.  Ортогональные системы векторов. 

Определение 1. Система векторов евклидова пространства  {} называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:  

Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.

{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }

Определение 2. Система векторов евклидова пространства  {} называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.

  Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в  n – мерном евклидовом пространстве  ортонормированная система из n векторов образует базис (например, {i , j , k} в 3х – мерном пространстве). Такая  система называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.

   Координаты вектора  в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если  Действительно,  умножая равенство    на  , получаем указанную формулу.  

   Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как

а все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,

* Рассмотрим произвольный базис  . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:  

(Здесь  αi  и   βj – координаты векторов в базисе  {f}, а – скалярные произведения базисных векторов).

Величины  γij  образуют матрицу  G, называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *

 Теорема 2. В любом  n – мерном евклидовом пространстве  существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название

9.  Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.  

  Пусть  {a1 ,...,an} − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:

1. b1=a1, e1 = b1/ b1,  e1=1.

2. b2e1, т.к. (e1, a2)- проекция a2 на e1 , b2= a2- (e1, a2)e1, e2 = b2/ b2,  e2=1.

3. b3a1, b3a2,   b3= a3- (e1, a3)e1- (e2, a3)e2, e3 = b3/ b3,  e3=1.

.........................................................................................................

k. bka1,..., bkak-1,   bk= ak- i=1 k(ei, ak)ei, ek = bk/ bk,  ek=1.

Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис  {e1,...,en}.

Замечание 1. С помощью рассмотренного алгоритма можно построить  ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.

Пример.  x=(3,4,0,1,2), y=(3,0,4,1,2), z=(0,4,3,1,2)

Замечание 2. Особые случаи

Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j, если aj является линейной комбинацией векторов a1 ,...,aj-1. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

10. Геометрические векторные пространства R1, R2, R3.  

Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства

R1, R2, R3 . Пространство Rn при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.

1) Пусть дана система из двух векторов a  и b. Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:

a = kb.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только

тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R3, но и к любому линейному пространству.

2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:

а= kb+ lc. (*)

Если считать, что все векторы a, b, c имеют общее начало, то из (*) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Определение. Три вектора a, b, с в R3, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными

(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Рис.

Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.

Векторным произведением вектора a, на вектор b  в пространстве называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  •  длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла  между ними: ;
  •  вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
  •  вектор c направлен так, что тройка векторов a, b, c является правой;

Обозначение:

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А). Концы векторов, совмещённых началами в точке А, не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Свойства векторного произведения

Представление

Описание

свойство антикоммутативности

свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр

свойство дистрибутивности по сложению

формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа

значение этого выражения (число) называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают (a, b, c ) либо <a, b, c>

Модуль векторного произведения [a, b] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. Рисунок)

Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка (a, b, e) — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

Смешанное произведение 

Смешанное произведение (a, b, c) векторов a, b, c  — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

Свойства

  •  Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

  •  

Смешанное произведение (a, b, c) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a, b и c:

  •  Геометрический смысл — Смешанное произведение (a, b, c) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a, b и c; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой. 

Двойное векторное произведение

Тройное векторное произведение (другое название: двойное векторное произведение) [a, b, c]  векторов a, b, c — векторное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Доказательство  

Выберем правый ортонормированный базис  так, чтобы

Тогда

и

Таким образом,

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа

Признаки ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов 

Признак ортогональности векторов – их скалярное произведение равно 0:

(a, b)=0

Признак коллинеарности векторов – их векторное произведение равно 0:

[a, b]=0

Признак компланарности векторов – их смешанное произведение равно 0:

(a, b, c ) =0


Оглавление

[1] ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

[1.1] 1. Аксиоматика линейных пространств.

[1.2] 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.

[1.3] 4. Базис. Размерность. Координаты.

[1.4] 5.  Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.

[1.5] 6. Переход к новому базису.

[1.6] 7.  Евклидовы пространства.

[1.7] 8.  Ортогональные системы векторов.

[1.8] 9.  Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.  

[1.9] 10. Геометрические векторные пространства R1, R2, R3.  

[1.9.1] Свойства векторного произведения

[1.9.2] Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

[1.9.3] Смешанное произведение

[1.9.4] Двойное векторное произведение

[1.9.5] Признаки ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов

[2]
Оглавление


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25879. Анализ источников приобретения ценных бумаг и доходности этих операций 27.5 KB
  Ценная бумага это документ который выражает имущественные права акция или долг облигация Главной целью анализа операций банка с ценными бумагами явл. Основными задачами анализа операций с ценными бумагами банка является анализ: Их структуры и динамики; Значимости этих операций в деятельности банка; Качества портфеля ценных бумаг; доходности и эффективности. Анализ операций с ценными бумагами начинают с общей оценки масштабов инвестиционной деятельности банка.
25880. Анализ кредитных рисков 24.5 KB
  Кредитный риск банка можно определить как максимально ожидаемый убыток который может произойти с заданной вероятностью в течение определенного периода времени в результате уменьшения стоимости кредитного портфеля в связи с частичной или полной неплатежеспособностью заемщиков к моменту погашению кредита. Оценка кредитного риска портфеля проводится на основании концепции рисковой стоимости как итоговой меры риска необходимой для расчета размера капитала банка. В случае кредитного риска реальные распределения факторов риска и изменений...
25881. Анализ лизинговых и факторинговых операций банка 28 KB
  Лизинг означает форму долгосрочной аренды связанную с передачей в пользование имущества т. При заключении лизингового договора требуется банковская гарантия либо залог или страхование лизингового платежа и имущества которое является объектом лизинговой сделки. По степени окупаемости имущества лизинги могут быть: с полной окупаемостью при котором в течение срока действия одного договора происходит полная выплата лизингодателю стоимости арендуемого имущества; с неполной окупаемостью когда в течение срока действия одного договора окупается...
25882. Анализ наращенных процентов 27.5 KB
  Размер наращенных процентов определяется следующим образом: Разница между процентной маржой при российской и зарубежной системе учета составит: проценты начисленные и полученные банком относящиеся к предыдущему периоду минус проценты фактически уплаченные банком относящиеся к предыдущему периоду проценты наращенные и причитающиеся банку за отчетный период минус проценты наращенные и подлежащие уплате банком проценты начисленные но не уплаченные клиентами в отчетном периоде изза отсутствия средств. Наращенные проценты не...
25883. Анализ начисления и уплаты дивидендом владельцам акций КБ и паевых взносов 22 KB
  Период и величина начисления и уплаты дивидендов владельцам акций КБ обычно определяется на собрании акционеров в момент подведения итогов отч. счетам в разрезе акционеров банка. Затем производится перечисление средств на расчетные счета акционеров КБ. В отдельных случаях при принятии решения собранием акционеров дивиденды причитающиеся акционерам могут быть присоединены к размеру их доли в УК банка однако для проведения в учете таких операций необходимо вопервых письменное распоряжение акционера; вовторых ден.