7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36687. МАТЕРІАЛЬНІ ОСНОВИ СУСПІЛЬСТВА. СПОСІБ ВИРОБНИЦТВА ТА ЙОГО СТРУКТУРА 108 KB
  ТЕМА: МАТЕРІАЛЬНІ ОСНОВИ СУСПІЛЬСТВА. Матеріальне виробництво основа розвитку суспільства. Томуто головним структурним компонентом як суспільства в цілому так і його підсистем є людина.
36688. СВІДОМІСТЬ. Опорний конспект лекції 89.5 KB
  Дух душа свідомість їх місце в духовному світі людини. Роль несвідомого в житті людини. Дух душа свідомість їх місце в духовному світі людини Проблема свідомості цікавила людство з давніх часів. Пояснюється це тим що свідоме і духовне в діяльності людини тісно повязані між собою.
36689. БУТТЯ, СУБСТАНЦІЯ, МАТЕРІЯ 147.5 KB
  БУТТЯ СУБСТАНЦІЯ МАТЕРІЯ для студентів ІІ курсів усіх факультетів Полтава2009 ТЕМА: БУТТЯ СУБСТАНЦІЯ МАТЕРІЯ ПЛАН 1. Філософське поняття буття. Основні форми буття. Філософське поняття буття.
36690. РОЗВИТОК ФІЛОСОФІЇ В УКРАЇНІ 86 KB
  Закорінення філософії України відбувається за часів Київської Русі. До визначення витоків її дослідники приходять лише в другій половині ХХ ст. Дмитро Чижевський в книзі «Філософія на Україні» стверджує, що українська філософія починається з Г.Сковороди
36691. РОСІЙСЬКА ФІЛОСОФІЯ 73 KB
  Короленка Кафедра філософії Опорний конспект лекції з курсу ФІЛОСОФІЯ на тему: РОСІЙСЬКА ФІЛОСОФІЯ для студентів ІІ курсів усіх факультетів Полтава2009 ТЕМА: РОСІЙСЬКА ФІЛОСОФІЯ ПЛАН Загальна характеристика російської філософії. Російська релігійна філософія Російська філософська думка ХХ ст. Російська релігійна філософія. Філософія М.
36692. ОСНОВНІ НАПРЯМКИ ТА ОСОБЛИВОСТІ СУЧАСНОЇ СВІТОВОЇ ФІЛОСОФІЇ 103 KB
  Філософія ХІХ ст. відмовляється від досягнень попередньої філософії, і заявляє, що в усьому досвіді людства виявляється безсилля розуму; вона стає на позиції ірраціоналізму – течії, що об’єднує різні філософські вчення, що відстоюють обмеженість раціонального пізнання, протиставляє йому інтуїцію, віру, інстинкт, як основні види пізнання. Ірраціоналізм за своїм змістом включає усі релігійні і релігійно-філософські вчення.
36693. Администрирование Web-сервера Apache. Виртуальный хостинг на основе имен 43.5 KB
  Пусть необходимо создать виртуальные хосты с именами www.ваша_фамилия1.ua и www.ваша_фамилия2.ua. Сначала необходимо создать на локальном сервере DNS запись, указывающую, что адресу 127.0.0.1 соответствуют несколько имен. Для этого откройте файл /etc/hosts и допишите в строку
36694. Данило Галицький 90.16 KB
  Метою цього завдання є опис практичного застосування ресурсів мережі Інтернет при вивченні історії та особисто персони Данила Галицького. В даному випадку переді мною постало завдання отримання інформація для роботи з моєю презентацією. Її темою було Данило Галицький
36695. Администрирование СУБД MySQL. Работа с таблицами системной базы данных mysql 62 KB
  Откройте их с помощью команд [ltF3] и [ltF4] и зайдите в систему под именем любого пользователя например user. В лабораторной работе создаваемые пользователи обозначаются user1 и user2. То есть вам необходимо подставить вместо user1 и user2 имена ivnov1 и ivnov2. Выполните команду для добавления пользователя user1 и задания ему привилегий: insert into user Host User Pssword Select_priv vlues ‘loclhost user1 pssword‘user1Y; Выполните команду для добавления пользователя user2 и задания ему привилегий: insert into...