7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78567. Вчимо правила безпечної поведінки, граючи 94.5 KB
  Мета: Навчити учнів дотримуватися правил безпечного переходу вулиць і доріг повторити правила дорожнього руху розглянути причини ДТП вчити запобігати їх виникнення. Я допомагаю машинам і пішоходам виконувати правила дорожнього руху.
78568. ОСНОВНІ ПРАВОПОРУШЕННЯ 32.5 KB
  Мета: Сформулювати уявлення про правопорушення; познайомити з видами правопорушень; вчити учнів бути чесними громадянами України; виховувати негативне ставлення до правопорушень норм моралі та прав людини. Сьогодні на уроці ми поговоримо про правопорушення.
78569. Мы школьниками стали 43 KB
  Ведущий: Ну, конечно, в первый! Мы проучились в нем...месяца и стали настоящими учениками. Приглашаем всех на весёлый праздник - «Мы школьниками стали». 3-й ученик: Пусть зовут нас «шестилетки»! пусть не ставят нам отметки! Не ведём мы дневники!
78570. Повторення вивченого про прикметник. Спостереження за роллю прикметників у мовленні 90 KB
  Прикметники-синоніми прикметники-антоніми та прикметники багатозначні слова. Спиши вставляючи в речення потрібні за змістом прикметники. Випиши прикметники. Опиши поданий український вишитий рушник використовуючи різні прикметники.
78571. Водойми, їх різноманіття 49 KB
  Вода. Під горою під крутою не ріка тече струною Це холодна б’є вода із старого Джерела. Яке значення має вода на Землі Які водойми суші ви знаєте Яким кольором позначають воду на карті глобусі IV Вивчення нового матеріалу 1. Вода напуває Землю яка годує людину.
78572. Збережемо природу Землі разом 95 KB
  Мета. Поглибити і розширити знання учнів про вплив людини на природу Землі. Підвести дітей до усвідомлення необхідності зберігати та примножувати природні багатства, раціонально їх використовувати.
78573. Що належить до природи. Жива і нежива природа 35.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про різноманітність природи; формувати уявлення про живу та неживу природу; вчити відрізняти предмети природи від речей виготовлених людиною; розвивати вміння спостерігати за об’єктами природи; виховувати дбайливе ставлення до природи речей створених людиною.
78574. Охорона природи України 165.5 KB
  Поглибити і розширити знання дітей про роль природи її вплив на людину про необхідність збереження і охорони природного середовища; підвести дітей до усвідомлення необхідності зберігати і примножувати природні багатства раціонально їх використовувати.
78575. Охрана природы 10.03 MB
  Много животных там стало водиться: Змеи слоны черепахи и птицы. За 1000 лет наша Земля изменилась до неузнаваемости: обмелевшие реки вырубленные леса нефтяные пятна на поверхности морей и океанов сотни исчезнувших растений и животных.