7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59055. Нетрадиційний урок: Що? Де? коли? 33.5 KB
  Оцінка історичної постаті і діяльності гетьмана Б.Хмельницького Очікувані результати: Закріпити знання учнів з даної теми; Оцінити історичну постать і діяльність гетьмана Б.Хмельницького; Виховувати почуття гордості до славного минулого нашого народу...
59056. Новорічний гороскоп 44.5 KB
  Звучить музика П. Чайковського з балету «Лускунчик». На сцену вибігають Зірочки й танцюють свій танець. У цей час виходить Звіздар у довгому халаті, ковпаку, окулярах.
59057. Мультисервісна мережу стадіону для надання послуг трансляціі відео потоків, IP-телефоніі, доступу до внутрішніх web-сервісів і доступу в інтернет 795.5 KB
  Мультисервісна мережа зможе поєднувати велику кількість пристроїв користувачів на всій території стадіону. Їх число може вимірятися десятками тисяч, які зможуть не тільки використовувати надані послуги, а й мати доступ до мережі інтернет, яка стала невід’ємною частиною життя
59058. Образ віку в ліриці ХХ століття 50 KB
  Література не задовольняючись формами романтизму і реалізму намагалася знайти нові форми зображення змін що відбувалися передусім у людській свідомості і разом зі світовим мистецтвом вийти на новий рівень творення художніх цінностей.
59059. Око як оптична система. Комбінований урок із біології, фізики та основ здоровя 77.5 KB
  На основі знань одержаних вами у 8-му класі на уроках фізики про світло про закони заломлення світла на межі двох прозорих середовищ про геометричну оптику ми ознайомимося з тим як наше око сприймає світло та колір пояснимо причини порушення зору...
59060. Олена Пчілка - світоч національних ідей 56.5 KB
  У таких складних навіть небезпечних історичних умовах розвивалась українська мова працювали та продовжували видавати свої чудові твори видатні українські поети та письменники серед яких була Олена Пчілка.
59061. Оповідання Р. Бредбері. Усмішка 60 KB
  Мета: розкрити вплив мистецтва Леонардо да Вінчі на творчість Р. Обладнання: репродукції картин Леонардо да Вінчі книги що розповідають про нього: Всеобщая история искусств Т. да Вінчі та Р. да Вінчі та його картину Джоконда .
59062. Трудове навчання. Осінні фантазії 34 KB
  Виховувати любов до природи та бережливе ставлення до неї Наочність та обладнання: репродукція картини Левітана Золота осінь грамзапис П. Чайковського Пори року відеозапис телевізор відеомагнітофон програвач казковий герой Осінь.
59063. Особливі, одиничні та суттєві ознаки. Корекційне заняття 4-й клас 38 KB
  Запитання озвучуються інші команди дають відповіді. Запрошення до зоопарку Капітан команди Євразія знайомить усіх дітей із кішкою рись. Капітан команди Африка знайомить усіх дітей із кішкою сервал яка проживає на Африканському континенті.