7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73852. Правление Александра Невского 107 KB
  Даниил Александрович Юрий Даниилович Иван Калита. сообщает что Юрий заложил город Москву на новом месте. Так и на месте вятичского городка Юрий заложил новый город. Когда Константин временно примирился с братьями Юрий осадил Москву.
73853. Симеон Гордый, Иван Красный, Дмитрий Донской. Борьба за сохранение старшинства 63 KB
  Дмитрий Иванович. После Ивана Красного остались его два малолетних сына – Дмитрий род. Ранняя смерть великого князя и отсутствие взрослого преемника – князем Москвы стал Дмитрий Иванович – ему еще не было девяти лет – вновь поставил вопрос о старшинстве Москвы.
73854. Ранняя Русская держава. Олег, Игорь. Походы на Византию 88 KB
  В правление Ольги многое будет упорядочено Святослав пойдет по стопам своих предшественников но его политика завершится крахом. После гибели Игоря в Киеве остался его малолетний сын Святослав и вдова Ольга. а Святослав родился не ранее 935 – 940 г. но в этом случае Святослав стал бы полноправным правителем ему было бы 16 лет в то время как ПВЛ говорит о его детском возрасте.
73855. Начало правления Владимира Святославича. Языческая реформа. Выбор вер 161.5 KB
  Перун – бог громовержец, его Владимир сделал главным богом, перед ним постоянно горел огонь. Хорс и Дажьбог – ипостаси солнечного божества, Стрибог – родоначальник ветров, ветры – стрибожьи внуки, Симаргл/Семаргл – спорно – либо божество
73856. Начало княжеских усобиц при Святополке Изяславиче. Нашествия половцев 177.5 KB
  Вопрос с Киевским престолом. Теперь правами на Киев согласно праву старшинства обладали сыновья Изяслава из которых в живых остался только Святополк затем сыновья Святослава и только затем сыновья Всеволода. Киев мог бы занять и Владимир Мономах однако этого он не сделал опасаясь вражды со Святополком. Святополк пришел в Киев и был принят киевлянами с радостью.
73857. Новгородская земля 149.5 KB
  Участие Новгорода во Владимирских усобицах. После разгрома Ростиславичей в борьбе за Владимир Новгородцам для противостояния с Всеволодом Большое гнездо пришлось идти на союз со Смоленском. И новгородцы призвали сына киевского князя Святослава Всеволодовича Черниговского Владимира.
73858. Роль налога как основной категории налогового права 110.5 KB
  Роль налога как основной категории налогового права. Понятие налога и виды налогов. Категория налога исследуется учеными с различных позиций. Финансовый аспект связан с выражением экономической сущности налога и проявляется в экономической природе отношений возникающих между государством и налогоплательщиком.
73859. Характеристика элементов юридической конструкции налога. 235.5 KB
  Характеристика элементов юридической конструкции налога. Между элементами юридической конструкции налога образуются системные связи которые определяют особенности функционирования этой системы и определяют характеристики устанавливаемого налога как целостного правового механизма. Поэтому целесообразно рассматривать характеристики элементов юридической конструкции налога в той последовательности в которой они используются при формировании законопроекта о конкретном налоге и при исследовании действующих законов о налогах. Группа элементов...
73860. Налоговое право как подотрасль финансового права 58 KB
  Налоговое право как подотрасль финансового права. Понятие подотрасли налогового права и его место в системе финансового права. Налоговое право в качестве подотрасли финансового права начинает формироваться с конца 20 века в связи с законодательным установлением в Российской Федерации системы налогообложения нового типа. Подотрасль налогового права включает всю совокупность юридических норм осуществляющих правовое регулирование в сфере налогообложения.