7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

898. Черный пиар 157.5 KB
  О происхождении российского черного пиара. Сферы применения черного пиара. Эффективность рr и коммуникативных мероприятий: проблема измерения и оценки. Оценка эффективности РR-кампаний с помощью ЕАV. Проблемные точки оценки эффективности PR.
899. Программное обеспечения информационных технологий 171 KB
  Обоснование необходимости разработки программного продукта. Уточнение структуры входных и выходных данных. Определение формы представления входных и выходных данных. Обоснование приемов программирования. Работа с ГОСТами и нормативными документами при разработке алгоритмов и оформлении технической документации.
900. Ведущие фондовые индексы 160.5 KB
  Индексы фондового рынка США. Аукцион по размещению нового выпуска без погашения старого. Погашение ГКО на аукционе по размещению бумаг, не входящих в индекс. Методы расчета индексов. Ценовой, взвешенный по рыночной капитализации композитный фондовый индекс.
901. Обзор баз данных библиотеки ПКС 171.5 KB
  Место прохождения практики Библиотека ПКС. Библиотека занимается выдачей/приемов книг и учебников для студентов, а также ведет учет выдачи/приема. Изучение различных баз данных, на примере одного из видов баз данных - MS Access.
902. Теория эволюции 464.5 KB
  Представления о живой природе в древнем мире и средние века. Трансформизм как этап в истории биологии. Дарвин о формах, закономерностях и причинах изменчивости. Мутации как основной материал для эволюционного процесса. Внутривидовые отношения как форма борьбы за существование и как фактор естественного отбора.
903. Производственная логистика 78 KB
  Сущность и задачи производственной логистики. Типы организации производства. Система планирования в потребности в материалах. Система точно в срок и микро логистическая система капвап. Методы выравнивания производства
904. Утворення Української козацької держави та її зовнішньо-політичні відносини 170 KB
  Концепція полівасалітетної підлеглості Б. Хмельницького та українсько російські відносини середини XVII століття. Розбудова Української державності в середині XVII століття.
905. Методы и методические приемы производственного обучения 163.5 KB
  Обобщение теоретических сведений и методические особенности планирования по его задачи методические приемы производственного обучения. Анализ передового педагогического опыта. Методические особенности планирования производственного обучения в ПТУЗ.
906. Стресс в жизни 132.5 KB
  Перегрузка или слишком малая рабочая нагрузка. Личностные факторы развития стрессовых ситуаций. Причины стрессового напряжения. Как человеческий организм реагирует на стресс. Методы профилактики стресса. Релаксационные упражнения.