7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12337. Әлеуметтану ғылыми пән ретінде 592.5 KB
  І тақырып. Әлеуметтану ғылыми пән ретінде 1. Қоғам туралы түсінік. 2. Әлеуметтанудың объектісі мен пәні. 3. Әлеуметтанудың категориялары мен заңдары. 4. Әлеуметтанудың құрылымы мен қызметі. 5. Әлеуметтанудың басқа гуманита...
12338. Әлеуметтану ғылым ретінде. Макс Вебер «ұғыну, түсіну» социология және идеалды тип ұғымы 75.5 KB
  Әлеуметтану ғылым ретінде Әлеуметтану қоғамның қалыптасуы жұмыс істеуі және даму заңдылықтары туралы ғылым. Социология әлеуметтану фактілерді үдерістерді қатынастарды жеке тұлғалардың әлеуметтану топтардың қызметін олардың рөлін мәртебесі мен әлеумет
12339. Әлемдік әлеуметтанудың даму тарихы 84.5 KB
  2сабақ. Әлемдік әлеуметтанудың даму тарихы. 3 сағат. 1. Антикалық және Ортағасыр дәуіріндегі әлеуметтік ойлар. 2. Жаңа заман мен Ағартушылар дәуіріндегі әлеуметтік тұжырымдамалар. 1. Қандай ғылым болса да қоғамдық қажеттіліктен туатыны белгілі. Әлеу
12340. Пути повышения товарооборачиваемости при планировании товарных запасов Мамадышского РайПО 6.39 MB
  Целью дипломной работы является оценка состояния товарных запасов и товарооборачиваемости в эффективности развития торгового предприятия, их влияние на конечный результат деятельности предприятия, а также разработка путей оптимизации товарных запасов и ускорения их оборачиваемости в торговле на материалах Мамадышского РайПО.
12341. Құқықтық мәдениет - әлеуметтенудің маңызды факторы 57.5 KB
  11дәріс. Құқықтық мәдениет әлеуметтенудің маңызды факторы. 1сағат. 1. Мәдениет ұғымы. 2. Құқықтық мәдениеттің мәні. 3. Құқықтық мәдениет әлеуметтенудің маңызды факторы. 4. Қазіргі кезеңде құқықтық мәдениеттің қалыптасу жағдайы. 1. Мәдениет деген сөз ...
12342. Құқық әлеуметтануының атқаратын функциялары 76.5 KB
  10дәріс. Құқық әлеуметтануының атқаратын функциялары. 1сағат. 1. Құқықтың әлеуметтік қызметтері 2. Құқықтың реттеушілік қорғаушылық және коммуникативті қызметтері. 3. Құқықтық жүйенің атқаратын қызметін зерттеу. 1. Құқықтың қоғамдағы атқаратын міндетті әлеуметт
12343. Этноәлеуметтану. Ұлттық-этникалық қатынастар, оның мазмұны 64.5 KB
  6дәріс. Этноәлеуметтану. 1сағат. 1. Қоғамның этникалық қауымдастығы туралы ұғым. 2. Этникалық қауымдастықтың ұлтқа бірігуі. 3. Ұлттықэтникалық қатынастар оның мазмұны. 4. Қазіргі Қазақстандағы ұлтаралық қатынастар. 1. Бұл тақырып с...
12344. Этноәлеуметтану. Этникалық әлеуметтанудың негізгі функциялары 129.5 KB
  Этноәлеуметтану 1. Қоғамның этникалық қауымдастығы туралы ұғым. 2. Этникалық қауымдастықтың ұлтқа бірігуі. 3. Ұлттықэтникалық қатынастар оның мазмұны. 4. Этникалық әлеуметтанудың негізгі функциялары. 5. Қазіргі Қазақстандағы ұлтаралық қатын
12345. Құқық әлеуметтануы. Құқық әлеуметтануындағы әлеуметтанулық зерттеулер 56.5 KB
  9дәріс. Құқық әлеуметтануы. 1сағат. Құқық әлеуметтік институт ретінде Құқық әлеуметтануының объектісі мен пәні 3.Құқық әлеуметтануындағы әлеуметтанулық зерттеулер 1. Жалпы әлеуметтанудың негізгі айналысатыны қоғамдық жүйенің әлеуметтік қырларын қоғам