7384

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная

Математика и математический анализ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Решение методом Крамера. Запишем формулы Крамера...

Русский

2013-01-22

528 KB

8 чел.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение методом Крамера.

Запишем формулы Крамера:   ;; .

Здесь: Δ - определитель системы;

Δx – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

Δy - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

Δz – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

=

Теперь найдем значения неизвестных:

; ;

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:

Ответ:

Решение методом Гаусса.

Cвободные члены представим в виде:,

Припишем к матрице А матрицу-столбец В, получим расширенную матрицу системы и последующими элементарными преобразованиями, приводим её к треугольному виду:

В итоге получим систему:

 

Ответ:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

  1.  длину ребра А1А2;
  2.  угол между ребрами А1А2 и А1А4;
  3.  площадь грани А1А2А3;
  4.  уравнение плоскости А1А2А3.
  5.  объём пирамиды А1А2А3А4.

Где    А1 ( 6; 6; 5), А2 ( 4; 9; 5), А3 ( 4; 6; 11), А4 ( 6; 9; 3)

Решение:

  1.  Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

    

 

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

  1.   Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры: 

;    ;   ;

В нашем случае     ,   .  Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  1.  Площадь треугольника   А1А2А3    можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах | и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

Имеем,

(кв.ед.)

Итак, площадь грани  А1А2А3     равна 11.225 (кв.ед.)  

  1.   Уравнение плоскости  А1А2А3  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,   и :

  1.   Объем пирамиды  А1А2А3А4  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов  ,     и    :

 (куб.ед.)

Ответы:

  1.  длина ребра равна (ед.) 
  2.  угол между ребрами и равен
  3.   площадь грани равна 11.225 (кв. ед.)
  4.  уравнение плоскости (в общем виде):
  5.  объем пирамиды равен 4  (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23088. Реєстрація спектрів випромінювання 167 KB
  Вимірювання форми імпульсу випромінювання. Реєстрація спектрів випромінювання. Терміни та визначення Спектр випромінювання абсолютно чорного тіла.
23089. Фотоелектронний помножувач 310 KB
  Опис спектрофотометра СФ5 У цій лабораторній роботі Ви познайомитеся з пристроєм принципом дії характеристиками фотоелектронного помножувача ФЕП особливостями методики вимірювання цих характеристик а також способами реєстрації слабких світлових потоків за допомогою ФЕП. Схема включення ФЕП показана на мал. Після nго динода електрони збираються на аноді ФЕП. Якщо струм катода ic то анодний струм ФЕП 1 де темновой струм mго динода.
23090. ФОТОДІОДИ 172 KB
  У рівноважному стані рівні Фермі обох напівпровідників вирівнюються а енергетичні зони утворять потенційний бар'єр для основних носіїв мал. Мал. При прикладанні до pnпереходу зовнішньої напруги в прямій полярності тобто до pобласті та до nобласті бар'єр знижується мал. При зворотному зміщенні pnпереходу зовнішнє поле складається з внутрішнім підвищуючи потенційний бар'єр мал.
23091. ЕЛЕКТРОМЕТР 319.5 KB
  Електрометричний вимірювач струму. Опис спектрофотометра СФ5 Ця лабораторна робота знайомить із принципами вимірювання і будовою електрометричних вимірювачів струму їхньою конструкцією і способами визначення основних характеристик що дозволяють використовувати такі прилади разом з фотоелектронними помножувачами ФЕП і фотодіодами ФД для реєстрації слабких потоків випромінювання. За допомогою електрометричних вимірювачів реалізується метод виміру постійного струму застосовуваний для таких приймачів випромінювання що мають малий рівень...
23092. Рівняння максвела як узагальнення експериментальних фактів 70.5 KB
  Рівняння максвела як узагальнення експериментальних фактів. Рівняння Максвела сформульовані на основі узагальнення емпіричних законів електричних та магнітних явищ. Ці рівняння звязують величини що характеризують електромагнітне поле з його джерелами та з розподілами в просторі електричних зарядів та струмів. Перше рівняння максвела є узагальненням емпіричного закону БіоСавара.
23093. Магнітні властивості речовини 36 KB
  Пара та діа магнетиками називаються речовини які за відсутності магнітного поля завжди не намагнічені і які характеризуються однозначною залежністю між вектором намагнічування I и напруженістю статичного магнітного поля Н. Зокрема у слабких магнітних полях ця залежність лінійна: причому для парамагнетиків χ 0 а для діамагнетиків χ 0. Феромагнетиками називаються тверді тіла які можуть мати спонтанну намагніченість тобто намагнічені вже при відсутності магнітного поля. Магнітна сприйнятливість феромагнетику є функцією напруженості...
23094. Рівняння для електромагнітних потенціалів, їх розв’язок у вигляді запізнювального потенціалу 91.5 KB
  Рівняння для електромагнітних потенціалів їх розвязок у вигляді запізнювального потенціалу. Система рння Максвелла: Перше рівняння М. Підставивши у 3 рння М. Використовуючи те що потенціали вибираються не однозначно рння не зміняться якщо зробити заміну це калібрувальна інваріантність.
23095. Fast Ethernet и 100VG-AnyLAN как развитие технологии Ethernet 151 KB
  В результате поисков и исследований специалисты разделились на два лагеря, что в конце концов привело к появлению двух новых технологий — Fast Ethernet и 100VG-AnyLAN. Они отличаются степенью преемственности с классическим Ethernet.
23096. Розсіяння електромагнітних хвиль зарядами. Формула Томсона 76.5 KB
  Розсіяння електромагнітних хвиль зарядами. Цей рух в свою чергу супроводжується випромінюванням в усі боки: відбувається розсіяння початкової хвилі. Нехай енергія яка випромінюється системою в тілесний кут в 1с при тому що на неї падає хвиля з вектором Пойнтінга Тоді переріз розсіяння риска означає усереднення по часу Розглянемо розсіяння що проводиться одним нерухомим зарядом вільним зарядом. отримана зарядом швидкість припускається малою 2 1 в 2: одиничний вектор в напрямку розсіяння.