73875

Тензоры упругости и податливости

Доклад

Физика

Тензоры упругости и податливости Приложенные извне механические напряжения Х упруго и обратимо изменяют форму кристалла – происходит его деформация х. Поскольку xmn и Xmn – тензоры второго ранга в анизотропных кристаллах или текстурах можно ожидать что каждая из девяти компонентов деформаций xkp индуктирована девятью компонентами тензора напряжения Xkp : xmn = smnkpXkp В тензорном представлении xmn имеют ввиду девять уравнений правая часть которых имеет по девять членов. Очевидно что тензор упругой податливости как и тензор упругой...

Украинкский

2014-12-21

14.46 KB

2 чел.

18. Тензоры упругости и податливости

Приложенные извне механические напряжения Х упруго и обратимо изменяют форму кристалла – происходит его деформация х. При небольшой деформации выполняется линейная зависимость:

Х = sX,

где sупругая податливость.  Это соотношение называют законом Гука: деформация х растет (или уменьшается) прямо пропорционально приложенному механическому напряжению Х. Изменения деформации и механического напряжения взаимно обусловлены, поэтому закон Гука можно записать в виде:

Х = сх,

где с – упругая жесткость, называемая также модулем Юнга.

Поскольку деформация безразмерна, а единица измерения механического напряжения – Н/м2, то такая же единица сохраняется и для упругой жесткости: с = Н/м2 = Па (паскаль).Упругую податливость определяют соответственно как s = Па-1. Для с и Х иногда используют и другие (внесистемные) единицы: 1 килобар = 108 Па, 1 дин/см2 = 0.1 Па.

Поскольку xmn и Xmn – тензоры второго ранга, в анизотропных кристаллах или текстурах можно ожидать, что каждая из девяти компонентов деформаций xkp индуктирована девятью компонентами тензора напряжения Xkp :

xmn = smnkpXkp

В тензорном представлении xmn имеют ввиду девять уравнений, правая часть которых имеет по девять членов. Первое из этих уравнений:

x11 = s1111X11 + s1112X12  + s1113X13 + s1121X21 + s1122X22 + s1123X23 +  s1131X31 + s1132X32  s1133X33.

Очевидно, что тензор упругой податливости, как и тензор упругой жесткости, является тензором четвертого ранга и имеет 34 = 81 компоненту. На самом деле независимых компонент этого тензора намного меньше, поэтому и тензор напряжений, и тензор деформаций симметричны и имеют даже в самом общем случае не по девять, а по шесть компонент. Соответственно и тензор smnkp и тензор сmnkp симметричны по двум первым и двум последним индексам:

smnkp = skpmn = smnpk = snmpk.

Значит, эти тензоры имеют не больше, чем по 36 независимых компонент. В свою очередь, и тензор, которых состоит из 6х6 = 36 компонент, тоже симметричен относительно главной диагонали соответствующей матрицы. Поэтому каждый кристалл, в особенности и тот, который имеет самую низкую категорию симметрии, имеет не больше 21й компоненты тензоров упругих податливости и жесткости.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20871. ФИНАНСОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 5.62 MB
  В условиях рыночной экономики государственные и муниципальные органы выполняют функции регуляторов производства, хозяйствующих субъектов, участников обмена. Для обеспечения своих функций они создают финансовую систему, которая включает три уровня: федеральный, региональный, муниципальный.
20872. Водопостачання, водовідведення та поліпшення якості води 354.5 KB
  Тип основних споруд та установок-освітлювачі зі зваженим осадом (за таблицею 14 ДБН: Рекомендації для попереднього вибору споруд для освітлення і знебарвлення води).
20873. Основи технічної графіки: проеціювання на дві площини 97.5 KB
  Мета уроку: Засвоєння знань про проеціювання центральне паралельне; креслення деталей об'ємної форми та умовні позначення на кресленнях. Формування умінь здійснювати проеціювання на дві взаємно перпендикулярні площини. План вивчення 1 Суть поняття проеціювання.