73938

ВИЗНАЧЕННЯ ВАРТОСТİ ГРОШЕЙ У ЧАСİ ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ У ФİНАНСОВИХ РОЗРАХУНКАХ

Лекция

Финансы и кредитные отношения

Методичний інструментарій оцінювання вартості грошей у часі та його застосування у фінансових розрахунках Визначення кількісної оцінки зміни вартості грошей у часі є основою більшості фінансових розрахунків та математикостатистичних моделей які використовуються у фінансовому менеджменті. Приймаючи управлінські рішення фінансовий менеджер повинен брати до уваги особливості впливу зміни вартості грошей на фінансові процеси та адекватно враховувати величину такого впливу. Відповідно оцінка вартості грошей у часі використовується при...

Украинкский

2014-12-21

164.5 KB

0 чел.

21

ТЕМА 4. ВИЗНАЧЕННЯ ВАРТОСТİ ГРОШЕЙ У ЧАСİ ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ У ФİНАНСОВИХ РОЗРАХУНКАХ

4.1.  Методичний інструментарій оцінювання вартості грошей у часі

та його застосування у фінансових розрахунках

Визначення кількісної оцінки зміни вартості грошей у часі є основою більшості фінансових розрахунків та математико-статистичних моделей, які використовуються у фінансовому менеджменті.

Приймаючи управлінські рішення, фінансовий менеджер повинен брати до уваги особливості впливу зміни вартості грошей на фінансові процеси та адекватно враховувати величину такого впливу. Відповідно, оцінка вартості грошей у часі використовується при управлінні сукупністю фінансових процесів, які виникають у період функціонування суб’єкта господарювання. До таких, зокрема, відносять: управління інвестиціями, грошовими розрахунками, дебіторською та кредиторською заборгованістю, ціновою політикою підприємства та ін. Розміщуючи капітал в один з обраних проектів, фінансовий менеджер планує не тільки з часом повернути вкладені гроші, а й отримати бажаний економічний ефект. Отже, гроші набувають такої об’єктивно існуючої характеристики, як часова вартість, яка була невідомою широкому загалу людей в умовах адміністративної системи управління економікою.

Зміну вартості грошей у часі можна пояснити так. Грошова одиниця в попередньому році була такою самою, як і в поточному. Проте наслідки інфляції чітко ілюструють, що купівельна спроможність грошей змінюється з плином часу.

Зміну вартості грошей зумовлює сукупність чинників, які визначають рівень їх корисності для власника у конкретний момент часу. При цьому необхідно зазначити, що переважна більшість чинників сприяє саме зниженню корисності грошей, що, у свою чергу, зменшує їх поточну вартість.

Основними причинами зміни вартості грошей є:

  •   інфляційні (або дефляційні) процеси в економіці (ризик зміни купівельної спроможності грошей);
  •   комерційна надійність (ненадійність) бізнес-партнерів (наявність ризику невиконання зобов’язань);
  •   віддання підприємцями переваги наявним грошам.

Отже:

  1.  Сьогодні гроші дорожчі, ніж завтра.
  2.  Гроші втрачають свою вартість через інфляцію, ризик, схильність до ліквідності.

Відповідно, часова вартість грошей як результат впливу визначених вище чинників може розглядатися з позицій:

  •   теперішньої вартості майбутніх грошових потоків;
    •   майбутньої вартості грошей, які є у розпорядженні на поточний момент часу.

Для того щоб отримати у тимчасове користування певну величину грошових коштів, позичальник має компенсувати власнику грошових коштів (кредитору) його відмову від поточного їх споживання. Разом із втратою можливості користуватися певною сумою грошей сьогодні капіталовкладень постає перед проблемою невизначеності вартості цієї суми грошей у момент їх повернення позичальником, - майбутньої вартості грошей. Кількісним вираженням рівня невизначеності інвестора щодо майбутньої вартості його грошей вважається ризик. Відповідно, процент, який сплачує позичальник за використання грошових коштів, компенсує інвестору відстрочене споживання, а також його сукупний ризик, тобто процент компенсує капіталодавцеві неможливість задоволення своїх потреб у поточний момент.

Залежно від порядку застосування процента щодо грошових потоків, які виникають у результаті фінансових взаємовідносин між позичальником та капіталодавцем, можливе використання:

  •   простого процента (об’єктом нарахування є виключно абсолютна величина боргу);
  •  складного (нарощеного) процента (об’єктом нарахування виступає абсолютна величина боргу, збільшена на суму нарахованих у попередні періоди процентів).

Процес, за якого гроші рухаються від поточного часу до майбутнього (за заданої початкової суми та ставки процента), є накопиченням (компаундуванням); процес, за якого гроші рухаються від майбутнього часу до теперішнього (за заданої майбутньої суми та ставки дисконту) є дисконтуванням.

Отже, компаундування – це визначення майбутньої вартості грошей, дисконтування – визначення поточної (теперішньої) вартості грошей.

Зв’язок між вартістю грошей у теперішній і майбутній час можна зобразити схематично:

Теперішній час

Майбутній час

1. Початкова сума

2. Ставка процентна

Накопичення

3. Сума, що буде отримана у майбутньому (майбутня вартість) 

3. Поточна сума (теперішня вартість)

Дисконтування

1. Майбутня сума

2. Ставка дисконту

Рис. 4.1. Структурно-логічна схема зв’язку між вартістю грошей

у теперішній і майбутній час  

Методичний інструментарій оцінки вартості грошей за простими процентами. Для розрахунку суми простого процента в процесі прирощення вартості використовується формула:

  I = PV . n . i,         (4.1)

де:  I – сума процента за обумовлений період часу;

PV – початкова сума грошових коштів (теперішня вартість);

n – кількість інтервалів, за якими здійснюється розрахунок відсоткових платежів, у загальному обумовленому періоді;

і – відсоткова ставка, виражена десятковим дробом.

Майбутня вартість (FV) вкладених сьогодні грошей з урахуванням нарахованої суми процента визначається за формулою:

FV = PV + I =  PV . (1 + n . i).      (4.2)

Множник (1 + n . i) називають множником, або коефіцієнтом, нарощення суми простих процентів.

(1 + n . i) завжди > 1.

Методичний інструментарій оцінки вартості грошей за складними процентами. Для розрахунку майбутньої суми вкладу (вартості грошей) у процесі його прирощення за складними процентами використовується формула:

FV = PV . (1 + i)n,           (4.3)

де: FV – майбутня вартість вкладу (грошових коштів) при його нарощенні за складними процентами;

PV – початкова сума вкладу (грошових коштів);

i – процентна ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, за якими здійснюється кожний процентний платіж, в загальному обумовленому періоді.

Відповідно, сума процента I в цьому випадку визначається за формулою:

  I =  FV PV.          (4.4)

Складний процент може нараховуватися кілька разів у межах одного року. Відповідно, чим частіше нараховуються проценти, тим більшою є сума накопичення. У разі нарахування процентів, здійснюваному частіше, ніж один раз на рік, необхідно відкоригувати процентну ставку та кількість періодів нарахування процентів. Коригування здійснюється за такими формулами:

Кількість періодів =

     Кількість періодів           

нарахування за один рік

×

Кількість років

  накопичення

.

     (4.5)

Процентна ставка

=

Річна ставка

×

Кількість місяців у періоді нарахування

.

 (4.6)

        12

Отже, якщо m – кількість разів нарахування складного процента протягом року, тоді майбутня вартість FV депозиту PV за ставки процента i після n років становить:

                 i

FV = PV (1 + ---)n.m,           (4.7)

           m 

Проблема ”гроші–час” не нова, на сьогодні розроблено зручні моделі та алгоритми, які дають змогу орієнтуватися в справжній вартості майбутніх дивідендів з позицій поточного періоду.      

Різноманітність завдань щодо визначення зміни вартості грошей у часі можна звести у такі групи:

I. Компаундування – визначення майбутньої вартості грошей (FV, future valueмайбутня вартість, англ.):

1.1. Просте компаундування.

1.2. Компаундування ануїтетів, або ренти:

1.2.1. Компаундування звичайної (відстроченої) ренти (ануїтетів).

1.2.2. Компаундування авансової ренти (ануїтетів).

II. Дисконтування – визначення поточної (теперішньої) вартості грошей (FV, future valueтеперішня вартість, англ.):

2.1. Просте дисконтування.

2.2. Дисконтування ануїтетів, або ренти:

2.2.1. Дисконтування звичайної (відстроченої) ренти (ануїтетів).

2.2.2. Дисконтування авансової ренти (ануїтетів).

Алгоритм вирішення вищезазначених типів завдань визначений за допомогою рівнянь, які розв’язуються способами:

  •   арифметичним;
  •   табличним;
  •   із застосування фінансового калькулятора;
  •   Із застосуванням числа ”72”, якщо необхідно подвоїти капітал.

Слід чітко розуміти взаємозв’язаність процесів дисконтування та компаундування. Дисконтування спрямоване на отримання адекватної величини вартості майбутніх грошових потоків, зіставної з фінансовими показниками для проведення аналізу у поточному періоді. Компаундування (нарощення) передбачає отримання адекватної величини вартості наявних грошових ресурсів, зіставної з фінансовими показниками для проведення фінансового планування операцій (діяльності) наступних періодів.

4.2. Визначення майбутньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Одним із механізмів визначення часової вартості грошових потоків є компаундування (нарощення) (англ. - compounding). Компаундування є фінансово-математичною моделлю визначення майбутньої вартості грошових коштів, які є у розпорядженні підприємця на початок планового періоду (у поточний момент часу).

Майбутня вартість таких грошових потоків визначається нарощенням на величину процента, який може бути отриманий у разі, якщо наявні грошові кошти будуть використані для фінансування тієї чи іншої фінансової операції. Відповідно, майбутня вартість сучасного грошового потоку відповідає абсолютній величині суми грошових коштів (включаючи основну сума та проценти), яку отримає їх власник за умови їх інвестування через певний проміжок часу – плановий (аналізований) період. Такий підхід дає змогу фінансовому менеджеру отримати зіставні абсолютні величини вартості грошей для прийняття необхідних управлінських рішень щодо інвестування.

Можливість практичного застосування моделей нарощення для визначення майбутньої вартості грошових потоків потребує їх відповідної фінансово-математичної формалізації. Для аналізу грошових потоків, запланованих до надходження в результаті здійснення інвестиційного проекту (інших фінансових операцій), можуть використовуватися різні моделі, у тому числі:

  •   просте нарощення вартості грошових потоків;
  •   нарощення ануїтетів (відстроченої або авансової ренти).

Під простим компаундуванням (нарощенням) (single compounding) розуміється фінансово-математична модель розрахунку вартості наявних грошових ресурсів, або теперішніх грошових потоків, використання яких протягом чітко визначеного періоду, як очікується, дасть можливість отримати відповідний економічний ефект у майбутньому. Результатом простого нарощення є майбутня вартість (future value, або FV) теперішнього грошового потоку, або грошових коштів, які перебувають у розпорядженні на поточний момент часу. Отже, просте компаундування – це визначення майбутньої вартості грошей, вкладених одноразово на певний термін під певний процент.

Оцінка майбутньої вартості грошових потоків із використанням простого процента відповідає формулі (4.2) і має вигляд:

FV = PV . (1 + n . i),

де: FV – майбутня вартість грошових коштів;

PV – абсолютна величина наявних грошових коштів (теперішнього грошового потоку);

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – процентна ставка (виражена десятковим дробом).

Приклад 4.1. Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5% річних на п’ять років за умови нарахування простих процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через п’ять років?

Розв’язок.

Наприкінці першого року підприємець матиме:

100 гр. од. + 100 гр. од. . 5% = 105 гр. од.  

Нарахування процентів протягом другого року відбувається на ті самі
100 гр. од., і оскільки база для нарахування процентів лишається незмінною
(100 гр. од.), сума процентів за рік також не змінюється (5 гр. од.).

Сума процентів за п’ять років у нашому випадку становитиме:

5,0 гр. од. . 5 = 25,0 гр. од.  

При цьому майбутня вартість 100 гр. од., укладених одноразово під 5% річних на п’ять років за умови нарахування простих процентів, становитиме:

FV = 100 гр. од. . (1 + 5 % . 0,05) = 125 гр. од.  

Майбутня вартість наявних грошових коштів у разі використання складного процента визначається за формулою (4.3) і має вигляд:

FV = PV . (1 + i)n. 

Приклад 4.2. Підприємець хоче покласти на депозит у банк 100 гр. од. одноразово під 5% річних на п’ять років за умови нарахування складних процентів. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через п’ять років?

Розв’язок.

Йдеться про одноразове вкладення грошової суми в банк на депозит за умови нарахування складного процента, тобто якщо нарахування процента за перший рік не відрізняється від нарахування, здійсненого у попередньому прикладі (наприкінці першого року підприємець отримає ті самі 100 гр. од. +
+ 100 гр. од. × 5%  = 105 гр. од.), то база для нарахування процентів у наступних роках збільшуватиметься на суму вже нарахованих процентів. Наприклад, нарахування процентів за другий рік відбуватиметься вже не на 100 гр. од., а на суму вкладу з процентами, нарахованими за попередній період (тобто на 105 гр. од.), нарахування процентів за третій рік відбуватиметься на суму початкового вкладу з урахуванням процентів, нарахованих за два попередні роки, і так до кінця запланованого до інвестування періоду. Розрахунок величини приросту вкладу для полегшення арифметичних дій та для наочності доречно звести в таблицю (табл. 4.2).

З розрахунків, наведених у таблиці, зрозуміло, що за умови нарахування складних процентів через п’ять років підприємець матиме 127,63 гр. од.

Значно простіше можна визначити майбутню вартість теперішнього грошового потоку із використанням фінансових таблиці, які містять абсолютне значення стави нарощення, виходячи із рівня ставки та кількості інтервалів нарахувань процентів.

У додатку до розділу наведено математичну таблицю А-1, у якій підраховано фактор майбутньої вартості процента для різноманітних комбінацій  і 

Таблиця 4.2.

Розрахунок майбутньої вартості поточного вкладу за умови нарахування складних процентів, гр. од.

Рік

Сума вкладу на початок року

Сума приросту вкладу (гр. 1 × 5%)

Сума вкладу на кінець року (гр. 2 + гр. 3)

Гр. 1

Гр. 2

Гр. 3

Гр. 4

1

100

5,0

105,0

2

105,0

5,25

110,25

3

110,25

5,51

115,76

4

115,76

5,79

121,55

5

121,55

6,08

127,63

Усього

х

27,63

х

та n (FVIFi,n), тобто визначена майбутня вартість однієї грошової одиниці, залишеної на рахунку на n періодів під і –процентну ставку.

Якщо

FVIFi,n = (1 + i)n, 

то формула (4.3) матиме вигляд:

FV n = PV . (FVIFi,n),               (4.8)

де: FVIFi,n – абсолютне значення ставки нарощення;

i – процентна ставка (виражена десятковим дробом);

n – кількість інтервалів у плановому періоді.

У нашому випадку в таблиці А-1 для FVIF для п’яти років із 5-процентною ставкою знаходимо цифру, яка стоїть на перехрещенні стовпчика для періоду 5 і стовпчика для 5%. Бачимо, що FVIF = 1,2763.

Звідси FV n = PV . (FVIFi,n) = 100 гр. од. . (1,2763) = 127,63 гр. од.

За наявності фінансового калькулятора поступово вводимо значення N, I, PV, N. Натиснувши кнопку FV, отримаємо відповідь (при введені даних прикладу 4.2 отримаємо FV = 127,63).

Для впровадження фінансових калькуляторів та таблиць фінансові менеджери використовували ”Правило числа 72”, яке дає можливість приблизно визначити, яка комбінація рівня процентної ставки і термінів вкладу приведе до подвоєння вкладеного капіталу. Наприклад, інвестиції з 9-процентним річним доходом подвоюються приблизно за вісім років (8 . 9 = 72). Інвестиція з доходом 6% на рік вимагає 12 років для подвоєння вкладеного капіталу, і так далі. Використавши фінансові таблиці або фінансовий калькулятор, легко переконатися в дієвості  цього правила.

Ануїтет (annuity) (рента) – це серія рівновеликих платежів (внесків) протягом визначеної кількості періодів. Розрізняються звичайний та авансовий ануїтет.

За звичайного ануїтету платежі здійснюються наприкінці кожного періоду (постнумерандо), за авансового – на початку кожного періоду (пренумерандо).

Ануїтет може бути вихідним грошовим потоком підприємця (здійснення періодичних рівновеликих внесків на рахунок банківської установи) або вхідним грошовим потоком (надходження орендної плати, яка найчастіше встановлюється однаковою фіксованою сумою).

Приклад. 4.3. Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок наприкінці кожного року під 5% річних протягом п’яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п’ятого року?

Арифметичне рішення прикладу зведемо в табл. 4.3.  

Ураховуючи, що умови ануїтету передбачають рівність та рівномірність окремих грошових потоків РМТ (у нашому випадку сума вкладів), фінансово-математична модель оцінки майбутньої вартості ануїтету може бути відображена у такий спосіб:

       (1 + i)n - 1

FVА n = PМТ . --------------,      (4.9)

      i

            

де: FVА n – майбутня вартість ануїтету;

PМТ – абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів); 

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – процентна ставка (виражена десятковим дробом).

Таблиця 4.3.

Розрахунок майбутньої вартості звичайного ануїтету, гр. од.

Рік

Сума вкладу на початок року

Сума приросту вкладу (гр. 2 × 5%)

Сума вкладу на кінець ро-ку (гр. 2 + гр. 3 + 100 гр. од.)

Гр. 1

Гр. 2

Гр. 3

Гр. 4

1

0

0

100,0

2

100,0

5,00

205,0

3

205,0

10,25

315,25

4

315,25

15,76

431,01

5

431,01

21,55

552,56

Усього

х

52,56

х

Визначення майбутньої вартості ануїтетів за допомогою таблиць передбачає використання фактору процента майбутньої вартості ануїтетів (FVIFАi,n) за n періодів з i –процентною ставкою.

(1 + i)n - 1

FVIFАi,n =  --------------.              

                       i

Значення FVIFА в таблиці А-2 вже підраховано для різних комбінацій i та n. Для того, щоб обчислити майбутню вартість ануїтетів за допомогою таблиць, використовується формула:

FVА n = PМТ . (FVIFАi,n).              (4.10)

   

У таблиці А-2 на перехрещенні 5 років та 5% знаходимо значення FVIFА = 5,5256.

При використанні формули (4,10) визначимо майбутню вартість ануїтетів у 100 гр. од. для 5 років при 5% ставці.

100 грн. × (5,5256) = 552,56 гр. од.

Слід звернути увагу, що формула (4.10) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти).

Проте якщо має місце авансовий ануїтет (рента), порядок кількісної оцінки майбутньої вартості грошового потоку дещо змінюється.

Приклад. 4.4. Вклади в однаковій сумі 100 гр. од. здійснюються на депозитний рахунок на початку кожного року під 5% річних протягом п’яти років. Скільки грошей буде на рахунку наприкінці п’ятого року?

Арифметичний розв’язок задачі зведемо в таблицю (табл. 4.4). 

Таблиця 4.4.

Розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету, гр. од.

Рік

Сума вкладу на початок року

Сума приросту вкладу (гр. 2 × 5%)

Сума вкладу на кінець ро-ку (гр. 2 + гр. 3)

Гр. 1

Гр. 2

Гр. 3

Гр. 4

1

100

5,00

105,0

2

205,0

10,25

215,25

3

315,25

15,76

331,01

4

431,01

21,55

452,56

5

552,56

27,63

580,19

Усього

х

80,19

х

Необхідність коригування фінансово-математичної моделі оцінки відстроченої ренти обумовлена відмінностями у порядку руху грошових коштів, що наочно можна побачити з таблиці. Так, для звичайного ануїтету грошові потоки виникають по закінченні першого інтервалу періоду, який аналізується (саме тому зви чайний ануїтет часто називають відстроченим, постнумерандо).

Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже починаючи з першого інтервалу планового періоду. Згадані відмінності обумовлюють різницю між відстроченим та авансовим ануїтетом на один інтервал, що і закладено у фінансово-математичну модель оцінки майбутньої вартості авансового ануїтету.

Для розрахунку майбутньої вартості авансового ануїтету застосовується формула:

                 (1 + i)n – 1       (1 + i)n - 1

FVА n(аванс) = PМТ . --------------. (1 + i) = PМТ .   [------------- - 1].          (4.11)

     і       i

Використовуючи наведену формулу, розрахунок майбутньої вартості авансового ануїтету в наведеному прикладі 4.4 можна записати у такий спосіб:

                   

FVА n(аванс) = 552,56 . (1 + 0,05) =  552,56 . 1,05 = 580,19 гр. од.

Нарахування процентів за авансового ануїтету здійснюється раніше, тому більше наробляється процентів (майбутня вартість авансових ануїтетів більша – 580,19 гр. од. проти 552,56 гр. од. за звичайного ануїтету).

Приклад 4.5. підприємцеві запропонували варіанти вкладання грошей у розмірі 500 гр. од. під 5% (за умови нарахування складних процентів):

  1.  одноразово на п’ять років;
  2.  поступово рівними частками протягом п’яти років з нарахуванням процентів у кінці кожного року (постнумерандо);
  3.  поступово рівними частками протягом п’яти років з нарахуванням процентів на початку кожного року (пренумерандо).

Розв’язок.

1) Ідеться про просте нарощення вкладу в розмірі 500 гр. од. або про просте компаундування.

Застосовуємо формулу (4.8) та значення таблиці А-1:

FV = 500 гр. од. . FVIF5 %,5 = 500 гр. од. . 1,2763 = 638,15 гр. од.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

638,15 – 500 = 138,15 гр. од.

2) Ідеться про компаундування звичайних ануїтетів (ренти) у розмірі
100 гр. од. щорічно протягом п’яти років. Розв’язок прикладу наведено в табл. 4.3.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

552,56 – 500 = 52,56 гр. од.

3) Мова йде про компаундування авансових ануїтетів (ренти) у розмірі
100 гр. од. щорічно протягом п’ят років. Розв’язок прикладу наведено в табл. 4.4.

Сума зароблених процентів за таких умов становитиме:

580,19 – 500 = 80,19 гр. од.

Висновки

Наведені розрахунки свідчать, що п’ять вкладів по 100 гр. од. кожного року протягом п’яти років є менш привабливим для підприємця проектом з погляду прибутковості інвестицій.

За одноразового вкладення 500 гр. од. на п’ять років зиск становить
138,15 гр. од. проти вкладання 100 гр. од. щорічно протягом п’яти років та отримання прибутку на суму 89,19 гр. од. за нарахування процентів пренумерандо або отримання прибутку на суму 52,56 гр. од. за умови нарахування процентів постнумерандо.

Отже, ефект від вкладення грошових коштів одноразово набагато більший, але і ризик з часом зростає, оскільки ці гроші ”лежать” на депозитному рахунку всі п’ять років. Це приклад ще раз підтверджує концепцію, що чим вищий ризик, тим більша компенсація за цей ризик, і сьогодні гроші дорожні, ніж завтра.

Підприємець у нашому прикладі вибере той варіант вкладення грошей, який, на його думку, буде не тільки більш привабливим з погляду розрахунків, а й враховуватиме суб’єктивні чинники: загальну ризикованість операції; репутацію банку, що відкриває депозитний рахунок; можливості швидкого та ефективного реінвестування отриманих грошей тощо.

4.3. Визначення теперішньої вартості грошей у фінансових розрахунках

Однією із форм визначення часової вартості грошових потоків на противагу компаундуванню є дисконтування (англ. - discounting).

Дисконтування є фінансово-математичною моделлю визначення поточної (теперішньої) вартості грошових потоків, надходження яких, як очікується, матиме місце у майбутньому протягом певного планового періоду. Теперішня вартість майбутніх грошових потоків визначається шляхом приведення – дисконтування на величину процента, який міг би бути заробленим у випадку, коли б грошові кошти були доступні для їх використання на момент оцінювання. Отже, теперішня вартість майбутнього грошового потоку дорівнює абсолютній величині грошових коштів, інвестування якої на прийнятих для дисконтування умовах через визначений проміжок часу дало б вартість, еквівалентну вартості майбутнього грошового потоку, що аналізується. Такий підхід дає можливість фінансовому менеджеру, так само, як і у разі компаундування, отримати зіставні абсолютні величини вартості грошей для прийняття адекватних управлінських рішень щодо інвестування.

Практичне застосування дисконтування для визначення приведеної теперішньої вартості грошових потоків вимагає відповідної фінансово-математичної формалізації моделі дисконтування – визначення абсолютної величини дисконту. Залежно від потреб аналізу грошових потоків та зміни їх вартості у часі можуть використовуватися такі моделі дисконтування:

  •   просте дисконтування;
    •   дисконтування ануїтетів (відстроченої або авансової ренти).

Під простим дисконтуванням (single discounting) розуміється фінансово-математична модель розрахунку приведеної вартості майбутнього грошового потоку, отримання якого, як очікується, відбудеться одноразово через чітко визначений період. Результатом простого дисконтування є приведена теперішня вартість (present value, або PV) окремого майбутнього грошового потоку.

Процеси компаундування і дисконтування тісно взаємозв’язані один з одним. Визначення поточної вартості (дисконтування) є прямою протилежністю компаундуванню. Таким чином, якщо нам відомий показник майбутньої вартості грошей (FV), то за допомогою дисконтування ми можемо розрахувати їх теперішню вартість (PV).

Оскільки оцінка майбутньої вартості грошових потоків із використанням простого процента відповідає формулі (4.2)

FV = PV . (1 + n . i),

то дисконтування майбутніх грошових потоків із використанням простого процента відповідає такій формулі:

           FV        

РV =  --------------,                        (4.12)

  (1 + n . i)             

де: РV – приведена теперішня вартість майбутнього грошового потоку;

FV  – абсолютна величина майбутнього грошового потоку; 

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Оскільки майбутня вартість наявних грошових коштів у разі використання складного процента визначається за формулою (4.3):

FV = РV . (1 + i)n, 

то приведена теперішня вартість майбутніх грошових потоків при використанні складного процента визначається за такою формулою:

               FV    1

РV = ----------- = FV .  (-------)n.                                      (4.13)

  (1 + i)n            1 + i      

Можна визначити теперішню вартість майбутнього грошового потоку із використанням фінансової таблиці А-3, яка містить абсолютне значення ставки дисконтування, виходячи із рівня процентної ставки та кількості інтервалів у плановому періоді.

Частина рівняння (4.13), взята в дужки, називається фактором процента поточної вартості FVIF.

Таким чином, якщо

                 1    n

FVIFАi,n =  (-----),              

                        1 + i

то формула (4.13) матиме вигляд:

FV = FV . (FVIFi,n).                        (4.14)

де: FVIFi,n – абсолютне значення ставки дисконтування;

i – процентна ставка;

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

Приклад 4.6. Яку суму грошей повинен покласти и підприємець у банк на депозитний рахунок у поточний момент часу, якщо за процентної ставки 5% за умови нарахування складного процента через п’ять років він планує отримати 127,63 гр. од.?   

Розв’язок.

Як бачимо, приклад 4.6 і приклад 4.2 мають дещо спільне: процентна ставка і термін, на який кладуться гроші на депозит, - однакові. Проте в прикладі 4.2 визначена сума, яку підприємець має покласти и на депозит, є заданою, а в прикладі 4.6 ми повинні визначити цю суму. У прикладі 4,6 задається очікувана сума через п’ять років, а в прикладі 4.2, навпаки, саме ця сума невідома. Отже, приклад 4.6 є оберненим до прикладу 4.2.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, визначимо суму, яку необхідно покласти на депозит сьогодні:

                                        1

РV = 127,0 ------------ = 127,0 .   0,7835 = 100 гр. од.                                     

                                       (1 + 0,05)5            

Дисконтування грошових потоків застосовується також за необхідності оцінювання поточної вартості цінних паперів, об’єктів нерухомості, що плануються до продажу у майбутньому.

Приклад 4.7. Підприємець має цінний папір, який надає йому право на отримання після двох років 1000 гр. од. Річна вартість грошей на ринку капіталу сьогодні становить 16%. Скільки коштує цей цінний папір сьогодні?

Розв’язок.

Застосовуючи формули (4.13), (4.14) та дані таблиці А-3, маємо вартість цінного папера на сьогодні:

     1000

РV = ------------ = 1000 . 0,7432 = 1743,2 гр. од.                                     

                                   (1 + 0,16)2            

Різноплановість руху грошових коштів у результаті підприємницької діяльності створює ситуацію, коли застосування простого дисконтування для оцінки приведеної вартості майбутніх грошових потоків є недостатнім. Передусім це стосується оцінки грошових потоків, які виникають протягом усього періоду із певною періодичністю, тобто ануїтетів (ренти).

Якщо припустити, що абсолютна величина грошових потоків протягом періоду, який аналізується, однакова і постійна, тобто умови ануїтету передбачають рівність окремих грошових потоків, формула теперішньої вартості ануїтету матиме вигляд:

                   (1 + i)n – 1        (1 + i)n                 1

FVА n = PМТ . (--------------) = PМТ .  (----------  - -----------)  =          (4.15)

  і . (1 + i)n        і . (1 + i)n    і . (1 + i)n

                                          1            1

       = PМТ . (---  -  -----------) ,          

                                          і      і . (1 + i)n  

де: FVА n – теперішня вартість ануїтету;

PМТ – абсолютна величина періодичних рівновеликих виплат (ануїтетів);

n – кількість інтервалів у плановому періоді;

i – ставка дисконтування (виражена десятковим дробом).

Різниця в дужках рівняння (4.15) називається фактором процента поточної вартості ануїтетів (PVIFАi,n). Фактор процента поточної вартості ренти – це показник ануїтетів за n–ну кількість періодів, дисконтований на i процента.
У фінансових таблицях А-4 обчислено значення цього показника для різних
n та i.    

                                                      1            1

PVIFАn = ( ---  -  -----------).          

                                               і        і . (1 + i)n

Тоді рівняння (4.15) матиме вигляд:

PVАn = PМТ . FVIFi,n .                                 (4.16)

Фінансово-математична модель визначення теперішньої вартості ануїтетів застосовується для обчислення постійних рівних виплат з погашення кредиту, орендних платежів за користування активами підприємства, для порівняння теперішньої вартості цінних паперів, які дисконтуються під різні процентні ставки та приносять власникові певний щорічний дохід, для визначення суми, яку необхідно покласти на депозит за умови вилучення з рахунка кожного року однакової суми грошей.

Приклад 4.8. Яку суму підприємець має покласти на депозит сьогодні під 10% річних, щоб протягом п’яти років щорічно знімати з рахунка по 300 гр. од.? 

Розв’язок.

Ідеться про дисконтування ануїтетів на суму 300 гр. од. протягом п’яти років. Скористаємося формулою визначення теперішньої вартості ануїтетів (4.15), (4.16) та даними таблиці А-4.

PVАn = PМТ . FVIFА10%, = 300 гр. од. .  3,7908 = 1137 гр. од.

За результатами застосування табличного способу вирішення задачі маємо, що вклад у розмірі 1137 гр. од. дає змогу інвестору протягом п’яти років у кінці кожного року знімати з рахунка по 300 гр. од. за умови нарахування банком складного процента у розмірі 10% річних. Перевіримо правильність результату арифметично, звівши розрахунки у табл. 4.5.   

Таблиця 4.5

Розрахунок поточної вартості звичайного ануїтету, гр. од.

Рік

Залишок на поча-ток року

Нарахова-ний про-цент (Гр. 2 × 10%)

Залишок на кінець року без щорічних вирахувань

(Гр. 2 + Гр.3 )

Щорічне вилучен-ня з ра-хунка

Залишок на кінець року (Гр. 4 – Гр. 3)

Гр. 1

Гр. 2

Гр. 3

Гр. 4

Гр. 5

Гр. 6

1

1137,0

114,0

125,1

300,0

951,0

2

951,0

95,0

1046,1

300,0

746,1

3

746,1

74,6

820,7

300,0

520,7

4

520,7

52,0

572,7

300,0

0

5

272,7

27,3

300,0

300,0

0

Усього

х

363,0

х

15000,0

х

Різниця між початковим вкладом та знятою з рахунка сумою (сумою накопичення) є сумою процентів, що нараховуються на залишок вкладу:

1500 – 1137 = 363,9 гр. од.

У прикладі 4.8 ануїтет виникав наприкінці кожного року (постумерандо). Отже, формула (4.15) стосується звичайного (відстроченого) ануїтету (ренти). Проте, якщо має місце авансова рента, порядок розрахунку теперішньої вартості грошового потоку дещо змінюється. Необхідність коригування відстроченої ренти обумовлена відмінностями у прядку руху грошових коштів. Для звичайного ануїтету грошові потоки, вартість яких оцінюється, виникають по закінченні першого інтервалу аналізованого періоду (тому звичайний ануїтет називають також відстроченим). Для авансового ануїтету характерним є рух грошових коштів уже на початку першого інтервалу планового періоду. Згадані особливості обумовлюють відмінність між відстроченим та авансовим ануїтетом на один інтервал, що і відображає формула оцінки приведеної вартості авансового ануїтету:

PVАn(аванс) = PМТ . VIFАi, n ) . (1 + i),                         (4.17)

За авансового ануїтету кожний період дисконтується однією виплатою. Оскільки виплати виконуються швидше, така рента має більшу вартість, ніж звичайна. Значення авансової ренти може бути розраховано множенням показника PV звичайної ренти на (1 + i).

Приклад 4.9. Щорічні відрахування становлять 300 гр. од. протягом п’яти років. Ставка дисконту становить 10%. Визначити теперішню вартість ренти за умови виникнення ануїтетів на початку кожного року.

Розв’язок.

Застосовуючи формулу (4.17) та значення таблиці А-4, отримаємо результат:

PVАn(аванс) = 300 гр. од. .  3,7908 . 1,1 = 1 251,0 гр. од.  

У розділі розглянуто основні фінансово-математичні моделі, які можуть бути застосовані для оцінювання прибутковості різноманітних інвестиційних проектів та вибору з них оптимальнішого.

Проте, застосовуючи математичний апарат для обрання того чи іншого варіанта вкладання грошових коштів, фінансовий менеджер повинен також зважати на обставини суб’єктивного характеру, які неможливо формалізувати в ту чи іншу фінансово-математичну модель: джерела виникнення початкового капіталу; репутація фірми, у справу якої інвестуються кошти; економічна та політична стабільність у країні та ін.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84340. Работа с электронными геодезическими приборами 1.18 MB
  Прибор удобен в обращении благодаря быстроте производства угловых и линейных измерений широкому диапазону измеряемых расстояний возможности производить измерения без использования отражателя удобному настраиваемому под требования пользователя меню.
84341. Характеристика продукции сетевой экономики. Интернет как инструмент маркетинга 167.5 KB
  Изобретение телеграфа телефона радио и компьютера привело к беспрецедентной интеграции всех этих средств в глобальную информационную гипермедийную систему которая одновременно является средой для сотрудничества и общения людей средством общемирового вещания и распространения информации а также мощным инструментом для ведения бизнеса лишенного...
84342. Техника и технология вызова притока заменой бурового раствора (промывки) 644 KB
  После выхода из турбобура буровой раствор омывает забой скважины и как и при роторном способе бурения выносит продукты бурения на устье скважины. Сложность этой конструкции состоит в том что буровой раствор на забой скважины должен проходить через электродвигатель и редуктор. Недостатками турбобуров являются высокая чувствительность к вязкости бурового раствора и высокая частота вращения которая приводит к повышенной разработке ствола скважины при бурении мягких пород а также ускоренному износу ПРИ и следовательно к увеличению...
84343. Поводы и основания к возбуждению уголовного дела. Процессуальный порядок возбуждения и отказа в возбуждении уголовного дела 134.58 KB
  Поводы и основания к возбуждению уголовного дела. Процессуальный порядок возбуждения и отказа в возбуждении уголовного дела Поводами для возбуждения уголовного дела служат: ст. Основанием для возбуждения уголовного дела является наличие достаточных данных указывающих на признаки преступления. Заявление о преступлении может быть сделано в устном или письменном виде.
84344. Финансовое регулирование в системе управления финансами 65.89 KB
  Финансовое регулирование осуществляется в целях корректировки со стороны государства развития общественного производства в нужном направлении. Таким образом финансовое регулирование представляет собой организованную государством деятельность по использованию всех аспектов финансовых отношений в целях...
84345. Функции культуры 98 KB
  Характерно что проблематика различных функций культуры разрабатывалась разными учеными сосредоточившими свое концептуальное внимание на тех или иных сторонах духовной системы. Можно выделить следующие функции культуры: а поддержание преемственности традиции...
84346. Утренняя физическая зарядка 51.94 KB
  Стоя подниматься на носки руки поднять через стороны вверх прогнуться вдох; вернуться в исходное положение выдох. Стоя мах левой ногой назад руки махом вперед кисти расслаблены вдох; исходное положение выдох; повторить то же с правой ноги.
84347. Дробные выражения 160 KB
  Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Тема нашего занятия «Дробные выражения».
84348. Поэтика рассказа «Бирюк» 32.9 KB
  Задачи: Продолжить формирование умения выявлять причинно-следственные связи в процессе самостоятельной и коллективной работы учащихся их поисковая исследовательская деятельность; Формировать познавательную активность умение решать проблемные ситуации продолжить развитие навыков...