7427

Кратные и криволинейные интегралы

Лекция

Математика и математический анализ

Кратные и криволинейные интегралы. § I. Двойной интеграл. Определение и геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим в плоскости xOy замкнутую область Д, т.е. такую область, которой принадлежат и точка ограничивающей её линии. Пусть в области Д...

Русский

2013-01-23

8.08 MB

89 чел.

Кратные и криволинейные интегралы.

§ I. Двойной интеграл.

Определение и геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим в плоскости xOy замкнутую облась Д, т.е. такую область, которой принадежат и точка ограничивающей её линии. Пусть в области Д задана непрерывная функция двух независимых переменных – z=f(x,y).

  1.  Разобьем область Д произвольным образом на конечное число n площадок с площадями Si.
  2.  В каждой из площадок Si произвольным образом выберем точку Pi=P(xi, yi), где i=1, 2,3…n.
  3.  В каждой точке Pi вычислим значение функции z=f(xi, yi) и составим сумму

Vn=                         (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y) в области Д. В зависимости от способа разбиения области Д на площадки Si и выбора в них точек Pi таких сумм существует бесконечное множество.

  1.  Будем неограниченно увеличивать число n разбиений области Д, (n→∞), полагая, что при этом каждая площадка Si стягивается в точку.

Тогда, если функция f(x, y) непрерывна в области Д, интегральная сумма (1) будет стремится к определенному пределу, не зависящему ни от способа разбиения области Д на площадки Si, ни от выбора точек Pi на этих площадках. Этот предел называется двойным интегралом функции f(x, y) по областям Д и обозначается так:

Следовательно согласно определению,

                    (2)

Для выполнения геометрического смысла двойного интеграла будем считать, что непрерывная в области Д функция f(x, y) положительна, f(x, y)>0. В координатах Xyz она определяет некоторую поверхность z=f(x, y).

Разобьем область Д на n частей и в каждой площадке Si выберем произвольную точку P(xi, yi). Произведение f(xi, yi)∆Si представляет собой объем прямого цилиндра с площадью основания Si и высотой zi=f(xi, yi), т.е.

Vi=f(xi, yi)∆Si

Просуммировав объемы Vi по всей области Д, получим объем ступенчатого тела, состоящего из таких цилиндриков:

Vст=

приближенно равному объему V тела, ограниченного плоскостью xOy, поверхностью z=f(x, y) и прямой цилиндрической поверхностью б, проектирующей поверхность z=f(x, y) на плоскость xOy в области Д. При неограниченном увеличении числа n разбиений области Д, объем

Vст ступенчатого тела будет стремиться к объему тела V, т.е.

Сравнивая это выражение с равенством (2), получим

  (3)

т.е. по геометрическому смыслу двойной интеграл представляет собой объем тела, ограниченного плоскостью xOy, поверхностью z=f(x, y) и прямой цилиндрической поверхностью, проектирующей поверхность z на плоскость xOy.

Свойства двойного интеграла.

1) Двойной интеграл по области Д от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от каждой из этих функций по той же области Д, т.е.

2) Постоянный сомножитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Оба эти свойства легко доказываются заменой двойного интеграла пределом интегральных сумм.

3) Если область Д разбита на две области Д1 и Д2, то двойной интеграл по области Д равен сумме двойных интегралов по областям Д1 и Д2 от той же функции:

Доказательство.

Поскольку про образовании интегральной суммы разбиение области Д на площадки Si произвольно, то разобьем область Д так, чтобы линия раздела этой области на Д1 и Д2 была и границей между площадками ∆Si, принадлежащими к этой длине. Тогда

и, переходя к пределам при n→∞, получим доказательство свойства (3).

Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

Разобьем область Д на площадки Si координатными линиями, т.е. прямыми параллельными осям Ox и Oy. Тогда Si=∆xiyj и dS=dxdy.

Пусть линия, ограничивающая область Д, пересекается прямыми параллельными оси Oy, не более, чем в двух точках. Такая область называется правильной в направлении оси Oy.

Крайние абсциссы контура области Д обозначим через a и b, где a<b.

Тогда линии x=a  и x=b делят контур области Д на две части, на каждой из которых переменная y является однозначной функцией от переменной x. Обозначим уравнение нижний части контура через y=y1(x), а уравнение верхней границы области Д через y=y2(x), где y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим тело, ограниченное плоскостью xOy, поверхностью z=f(x y) и прямой цилиндрической поверхностью по контуру области Д, правильной в направлении оси Oy.

Его объем

       (1)

Рассечем это тело плоскостью xi=const. Получим сечение с площадью S(xi).

Итак, имеем тело V, простирающееся по оси Ox от a и b, и имеющее площади сечений, перпендикулярных оси Ox, равные S(xi). В этом случае его объем выразится известной формулой:

                   (2)

Для определения площади поперечного сечения S(x) спроектируем его на плоскость yOz. Получим плоскую фигуру, занимающую по оси Oy отрезок [y1(xi), y2(xi)] и ограниченную сверху линией z=(xi, yi), где для данного сечения xi является постоянной величиной. Следовательно площадь сечения равна

                   (3)

где x=const.

С учетом этого выражения формула (2) примет вид:

                      (4)

Из сравнения равенства (1) и (4), получим формулу для вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах:

    (5)

т.е. вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла.

Обычно формула (5) записывается так:

       (6)

В этой записи интеграл называется внутренний и вычисляется он первым в предложении x=const. Интеграл называется внешним интегралом.

Итак, вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию: сначало функция f(x, y) интегрируется по переменной y при x=const в пределах от y1(x) до y2(x), где y1(x) и y2(x) – уравнения соответственно нижний и верхний границ области Д, а затем полученная функция F(x, y) интегрируется по переменной x в пределах от a до b.

Порядок интегрирования в двойном интеграле можно изменить.

Пусть область интегрирования Д правильная в направлении оси Ox и проектируется на ость Oy в отрезок  [c, d], где c<d. Линия y=c и y=d делят контур области Д на две части, на каждой из которых переменная x, есть однозначная функция от y. Вход в область Д по направлению оси Ox происходит по левой границе контура, имеющей уравнение x=x1(y), а выход – по правой границе контура, описываемой уравнением x=x2(y).

Рассуждая аналогично изложенному выше, получим:

,

или

,

где внутренний интеграл по переменной x вычисляется в предложении y=const.

Замечания.

  1.  Если область Д правильна в направлении оси Oy, но нижняя или верхняя ее границы описываются не одной, а несколькими различными функциями, то двойной интеграл вычисляется по частным областям и суммируется. Там, например:

  1.  Если область Д не является правильной ни в направлении оси Oy, ни в направлении оси Ox, то для вычисления двойного интеграла эту область на ряд

правильных частичных областей и суммировать двойные интегралы по этим частичным областям.

Примеры:

1.Вычислить двойной интеграл , если область Д ограничена линиями: y=2x, y=0, x=1

Решение:

2.Вычислить двойной интеграл , если область Д ограничена линиями:

y=x, y=2-x, y=0.

Решение:

,

или

Приложение двойного интеграла.

  1.  Вычисление объема тела.

Если тело ограничено прямой цилиндрической поверхностью по контуру области Д, сверху – поверхностью z2=f2(x, y), а снизу – поверхностью z1=f1(x, y), то его объем V можно рассматривать как разность объемов тела V2, ограниченного указанной цилиндрической поверхностью, поверхностью z2=f2(x, y) и плоскостью xOy, и тела V, ограниченного той же цилиндрической поверхностью, поверхность z1=f1(x, y) и плоскостью xOy, т.е. V=V2 - V1.

Применяя известные формулы для вычисления объемов V1 и V2, получим:

      (1)

  1.  Вычисление площади плоской фигуры – площади области Д. Следовательно:

             (2)

Пример.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

y2=x, x+y=2

Найдем точки пересечения линий ограничивающих область Д:

, , , ,

Пределы интегрирования:

, .              

 кв.ед.

  1.  Вычисление массы плоской фигуры.

По условию толщина плоской фигуры есть величина постоянная, δ=const. Фигуру координатными линиями на площадки Si. В пределах каждой площадки Si плотность вещества ρ, - массу единицы объема, будем считать постоянной и равной таковой в точке P(xi, yi), т.е. ρi=ρ(xi, yi). Тогда масса элемента с площадью основания Si будет равна

,

а всей плоской фигуры

,

или

             (3)

  1.  Определение центра масс плоской фигуры.

Статический момент материальной точки с массой m относительно какой-либо линии равен произведению массы точки на расстояние от точки до этой линии. Так, статические моменты относительно осей координат будут равны:

Mx=my, My=mx

Для плоской фигуры будем считать, что вся масса mi площадки Si сосредоточена в точке p(xi, yi). Тогда статический момент этой площадки относительно оси Ox будет равен

(∆Mx)i=∆xiyi=δyiρ(xi, yi)∆Si ,

Для всей плоской фигуры

или переходя к пределу при n→∞,

           (4)

с другой стороны,

,                         (5)

где yc – координаты центра масс,

     m – масса всей плоской фигуры.

Из формулы (4) и (5) получим:

.          (6)

Аналогично для координаты xc центра масс будет иметь:

          (7)

При ρ=const формулы (6) и (7) упрощаются:

,   .     (8)

  1.  Вычисление моментов инерции плоской фигуры.

Момент инерции материальной точки с массой m относительной какой-либо линии (точки) равен произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до данной линии (точки). Так, моменты инерции относительно осей координат будут равны:

Jx=my2, Jy=mx2,

в полярный момент инерции – момент инерции относительно начала координат,

J0=m(x2+y2).

Для элементарной площадки Si, при принятых выше предположениях, будем иметь:

  •  момент инерции относительно оси Ox

,

  •  момент инерции относительно оси Oy

,

  •  полярный момент инерции

Просуммировав эти моменты инерций по всей площади фигуры: переходя пределам при n→∞, получим:

  (9)

  (10)

 (11)

Пример1. Найти момент инерции относительно оси Oy однородной плоской фигуры (δ=const, ρ=const), ограниченной параболой y=4-x2 и осью Oy (y=0).

Решение. При y=0 имеем: x=±2. Тогда

Пример2. Момент сопротивления изгибу балки прямоугольного сечения размером .

Решение.

При δ=1 и ρ=1 имеем:

.    

.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется длинной радиус-вектора r и углом φ между полярной осью OP и этим вектором.

Рассмотри в полярной системе координат r, φ область Д, правильную в направлении лучей u=const.

Крайние полярные лучи φ=α и φ=β делят контур области Д на две части, и в каждой из которых r есть однозначная функция от φ.

Обозначим функцию, описывающую нижнюю к полюсу часть контура, через r1(φ), а для дальней части контура – через r2(φ), где .

Пусть в области Д задана непрерывная функция f(r,φ). Требуется вычислить  .

Разобьем область Д на площадки Si координатными линиями, т.е. лучами φ-const и окружностями r=const. Тогда площади элементарной площадки равна

Пренебрегая величиной  как имеющей более высокий порядок малости, получим:

Si=ri  ri  φi,

или переходя к дифференциалам ,

dS=r∙dr∙dφ         (1)

Таким образом,

,

где угол φ изменяется в пределах от α до β, а длина радиус-вектора r – r1(φ) до r2(φ).

Следовательно, вычисление двойного интеграла в полярной системе координат сводиться к вычислению двукратного интеграла:

           (2)

Замечания.

1). Если полюс О принадлежит области интегрирования Д, то r1(φ)=0, а интегрирование по переменной φ производится в пределах от 0 до 2π

        (3)

2). Если область Д ограничена координатными линиями φ=α, φ=β, r1=R1, r2=R2, то

пределы интегрирования по φ и r постоянны:

    (4)

3). При f(r, φ)=1 получим формулу для вычисления площади области Д:

          (5)

4). В ряде случаев, в зависимости от вида области Д и подынтегральной функции, вычисление двойного интеграла в полярных координатах проще, чем прямоугольных. В этих случаях целесообразно от прямоугольных координат перейти к полярным. Для этого нужно

а). Учитывая связь между координатами

          (6)

перевести к полярным координатам подынтегральную функцию: f(r∙cosφ, r∙sinφ).

б). Дифференциал площади dS=dxdy в прямоугольных координатах заменить его выражением в полярных координатах:

ds=rdrdφ

в). Переписать в полярных координатах, учитывая формулы (6), уравнения линий, ограничивающих область Д.

г). Определить новые пределы интегрирования.

Получим:

Пример1. Найти момент сопротивления кручению стержня круглого сечения радиуса R.

При δ=1 и ρ=1 имеем:

Перейдем к полярным координатам:

.     ,  . Тогда

,

откуда

.

Пример2. Вычислить объем тела ограниченного сферой        (1)

и цилиндром x2+y2=a2 и расположенного вне цилиндра.

Определим область Д. Из при z=0 имеем:

x2+y2=4a2,

цилиндр: x2+y2=a2

т.е. область Д ограничена окружностями R=a и R=2a.

Ограничивающие тело поверхности:

,

.

Перейдем к полярным координатам. Получим:

,

,  .

(r не зависит от φ)

куб.ед.

§2. Тройной интеграл.

Определение и физический смысл тройного интеграла.

Пусть в пространстве задано некоторое тело V, и в этой трех мерной области V задана непрерывная функция f(x, y, z).

1). Разобьем тело V  произвольным образом на n малых объемов Vi.

2). В каждом малом объеме Vi произвольным образом выберем точку Pi=P(xi, yi, zi).

3). Вычислим в точках Pi значение функции f(xi, yi, zi).

4). Составим произведение f(xi, yi, zi)Vi и определим сумму

.      (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y, z) по области V.

Если функция f(x, y, z) непрерывна в замкнутой трехмерной области V, то при неограниченном увеличении числа n деления объема V на частичные объемы Vi, т.е. при n→∞ (при Vi→0), интегральные суммы (1) стремятся к конечному пределу, не зависящему ни от способа разбиения объема V на частичные объемы Vi, ни от выбора в них точек P(xi, yi, zi). Этот предел интегральной суммы при n→∞ (Vi→0) называется тройным интегралом функции f(x, y, z) по области V и обозначается

.

Итак по определению

      (2)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

Физический смысл тройного интеграла.

Пусть функция f(x, y, z) определяет плотность вещества ρ – масса единицы объема. Полагая, что в пределах кааждого элементарного объема Vi плотность постоянна и равна таковой в точке P(xi, yi, zi), т.е. ρi= P(xi, yi, zi), найдем приближенное значение массы каждого частичного объема

и массы всего тела

Переходя к пределу при n→∞, получим:

(3)

Следовательно, если функция f(x, y, z) определяет плотность вещества, то тройной интеграл определяет массу тела V. В этом состоит физический смысл тройного интеграла.

Если функция f(x, y, z)=1, то интегральная сумма приближенно определяет объем тела,

,

и, следовательно,

,      (4)

т.е. тройной интеграл определяет объем тела V, в этом состоит геометрический смысл тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах.

Рассмотрим в прямоугольных координатах xyz некоторую область V. Пусть в этой области V задана непрерывная функция f(x, y, z).

Спроектируем область V на плоскость xOy. Получим на плоскости xOy область Д.

Будем считать, что область V является правильной в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, параллельна оси Oz, пересекает поверхность б, ограничивающую область V, не более чем в двух точках.

Тогда прямая цилиндрическая поверхность по контуру области Д разобьет поверхность б тела V на две части – верхнюю и нижнюю, каждая из которых пересекается прямыми, параллельными оси Oz, только один раз, т.е. на каждой из частей поверхности б координата z является однозначной функцией x и y. Обозначим их соответственно через z=z1(x, y) и z=z2(x, y).

Разобьем область V на n элементарных объемов ∆Vi координатными плоскостями x=const, y=const и z=const. Тогда:

,

и интегральная сумма примет вид:

,

или

,

где Si=∆xi∙∆yi площадки, на которые разбита область Д.

Упорядочим вычисление интегральной суммы (1) – зафиксируем площадки Si, выберем на ней точку P(xi, yi) и на линии P(xi, yi)=const на каждом из к отрезков длинной ∆zi выберем произвольно точку zj, где j…k.

Составим сумму

,  (2)

а затем сумма (2) просуммируем по всем l площадкам Si. Получим:

 (3)

Предел интегральной суммы (3) при n→∞, т.е. при l→∞ и к→∞, по определению есть тройной интеграл функции f(x, y, z) по области V.

Предел интегральной суммы (2) при к→∞, т.е. при ∆zj – 0, есть определенный

интеграл по переменной z, вычисляемый при xi=const и yi=const:

 (4)

или

С учетом этого, можем записать:

,       (5)

т.е. вычисление тройного интеграла свелось к вычислению двойного интеграла:

Учитывая правило вычисление двойного интеграла по области Д, получим:

.   (6)

Обычно это записывается так:

  (7)

Итак, для вычисления тройного интеграла в прямоугольных координатах:

1). Спроектировать пространственную область V на плоскость xOy, определить область Д.

2). Определить уравнения поверхностей z1(x, y) и z2(x, y), ограничивающих тело V снизу и сверху.

3). Считая x и y вычислить интеграл

4). Вычислить двойной интеграл по области Д

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла (6).

Замечание.

Порядок интегрирования тройного интеграла можно изменить, проектируя область V в область Д или на плоскость xOz или на плоскость yOz.

Пример.

Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями х=0, у=х, z=y, z=0.

Решение.

Определим область Д на плоскости xOy и найдем пределы интегрирования:

Получим:

Приложение тройного интеграла.

Как было показано выше, с помощью тройного интеграла можно вычислить

1). Объем тела

 (1)

2). Массу тела

 (2)

где ρ(x, y, z)плотность вещества.

Рассмотри другие случаи приложения тройного интеграла.

3). Определение центра масс тела.

Статический момент элементарного объема ∆Vi с массой ∆mi относительно, например, плоскости xOy, равен произведению массы ∆mi на zi от выбранной в этом объеме точки P(xi, yi, zi) до плоскости xOy, т.е.

Для всего тела V, переходя к пределу, будем иметь:

    (3)

С другой стороны, если точка C(xi, yi, zi) является центром масс этого тела, то

,     (4)

где m – масса всего тела.

Из (3) и (4) получим:

.  (5)

Аналогично получим:

  •  статический момент относительно плоскости xOz

,

  •  относительно плоскости yOz

,

откуда найдем координаты центра масс

,     (6)

Если плотность ρ постоянна по объему V, то эти выражения упрощаются:

,   ,          (7)

Определение моментов инерции тела.

Момент инерции точки с массой m относительно плоскости, линии или точки равен произведению массы заданной точки на квадрат расстояния от нее до плоскости, линии или точки.

Пусть в прямоугольной системе координат задана точка M(x, y, z).

Расстояние от нее до плоскости xOy равно z,

до плоскости xOzy,

до плоскости yOz – x,

до оси Ox - ,

до оси Oy - ,

до оси Oz - ,

до начала координат - .

С учетом этого, определив моменты инерции элементарных объемов суммируя их и переходя к пределам, будем иметь:

  •  моменты инерции относительно координатных плоскостей

  •  моменты инерции относительно координатных осей

  •  моменты инерции относительно начала координат – полярный моменты инерции

Пример.

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение.

Найдем координаты точки пересечения линий  и :

, ; . . . ,

Установим пределы интегрирования:

, , .

Получим:

куб.ед.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах положение точки в пространстве определяется длинной радиус-вектора r, соединяющего начало координат с проекции точки на плоскости xOy, направлением этого вектора – углом φ, и координатой z.

Координаты r и φ определяют проекцию точки на плоскости xOy, т.е. эти координаты совпадают с полярными.

Если поверхности, ограничивающие тело, есть прямые круговые цилиндры и сферы, то обычно вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах проще, чем в прямоугольных.

Для перехода при вычислении тройного интеграла

к цилиндрическим координатам, нужно:

1). По формуле перехода  заменить переменные x и y в функции f(x, y, z) и в уравнениях поверхностей  z1(x, y) и z2(x, y), ограничивающих область V.

2). Установить в полярных координатах границы интегрирования по области Д – диапазон изменения угла  и уравнения линии контура области – r=r1(φ) и r=r2(φ).

3). Выразить в полярных координатах дифференциал площади

.

Координата z остается без изменения.

Получим:

.

Пример.

Найти момент инерции прямого кругового цилиндра радиуса R и высотой H относительно оси Oz, если плотность ρ постоянна.

Решение.

Перейдем к цилиндрическим координатам.

,

, , ,

Получим:

.

§3. Криволинейный интеграл по координатам.

Работа переменной силы на криволинейном пути.

Пусть в координатах xOy задана кривая линия L. По этой линии от точки А к точке В под действием силы , перемещается материальная точка M(x, y).

Сила  переменная, ее величина и направления зависят от положения точки M(x, y), т.е.

.

1). Разобьем дугу L произвольным образом на n элементарных дуг ∆Li.

2). На каждой элементарной дуге ∆Li выберем произвольно точку M(xi, yi).

3). Каждую дугу ∆Li заменим отрезком прямой AiBi.

4). Будем считать, что при движении точки по каждому i-му участку AiBi на нее действует постоянная сила , равная силе , приложенной в точке M(xi, yi).

Обозначим угол между векторами  и AiBi через φi. Тогда работа силы  на отрезке AiBi будет равна

  (1)

т.е. выражается скалярным произведением векторов  и AiBi. Эта работа приблизительно равна работе переменной силы  на пути ∆Li.

Разложим векторы  и  по координатному базису:

где P(xi, yi) и Q(xi, yi) проекции вектора  соответственно на оси Ox и Oy,

∆xi и ∆yiпроекции на эти оси вектора ,

и  - орты координатных осей.

Выражая скалярное произведение (1) через проекции векторов, получим:

.

Приближенное значение работы переменной силы  на всем криволинейном пути будет равно сумме ∆Wi по всем n участкам,

,      (2)

а точнее ее значение определяется как предел суммы (2) при n→∞:

  (3)

Определение криволинейного интеграла по координатам.

Рассмотрим в координатах xOy кривую линию L, на которой заданы непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y) .

1). Разобьем дугу L произвольным образом на n частичных дуг ∆Li.

2). На каждом i-ом участке ∆Li выберем произвольно точку M(xi, yi) и вычислим в этих точках значения функций P(xi, yi) и Q(xi, yi).

3). Обозначим проекции элементарной дуги ∆Li на оси координат xi и ∆yi и составим произведения

P(xi, yi)xi+ Q(xi, yi)∆yi.

4). Составим интегральную сумму

  (4)

Предел этой интегральной суммы при n→∞ (при ∆Li) называется криволинейным интегралом по линии L, или криволинейным интегралом второго рода и обозначается так:

или .

где А и В – точки, определяющие начало и конец линии L.

Таким образом, согласно определению,

.   (5)

Замечания.

1). Если на всей кривой L функция Q(x, y) равна нулю, то криволинейный интеграл  2-го рода примет вид:

Такой интеграл называется криволинйным интегралом по координате x. Аналогично, ели на кривой L равна нулю функция P(x, y), то получим криволинейный интеграл по координате y:

.

2). Если линия L представляет собой отрезок АВ примой, параллельной оси Ox,       АВ // Ox, то на этой y=yA=const, dy=dyA=0, и криволинейный интеграл превращается в обыкновенный интеграл по переменной x:

Аналогично, если линия интегрирования АВ параллельна оси Oy, то x=xA=const, dx=0 и криволинейный интеграл превращается в обыкновенный интеграл по переменной y:

3). Если функции P(x, y) и Q(x, y) представляют собой проекции силы , действующей на материальную точку, перемещающуюся по линии L, то из сравнения выражений (3) и (5) следует, что работа переменной силы на криволинейном пути L выражается криволинейным интегралом 2-го рода по этой кривой:

.

В этом состоит механический смысл криволинейного интеграла по координатам.

Свойства криволинейного интеграла по координатам.

1). При перемене направления интегрирования криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак на противоположный.

,

т.к. в интегральной сумме (4) меняют знак величины xi и ∆yi.

2). Если линия интегрирования  разбита точкой С на части, то криволинейный интеграл 2-го рода по дуге  равен сумме интегралов по ее частям:

.

3). Если кривая интегрирования замкнутая, т.е. интегрирования производиться по замкнутому кругу, то

а). За начало интегрирования можно выбирать любую точку, поскольку

б). Положительным считается направление обхода контура против часовой стрелки. Обозначается интеграл по замкнутому контуру L так:

Вычисление криволинейного интеграла по координатам.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам сводиться к вычислению обыкновенного определенного интеграла.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода под дуге  :

  (1)

Пусть уравнение кривой интегрирования  задано в параметрическом виде:

    (2)

где t – параметр.

Тогда из уравнений (2) имеем:

     (3)

Из этих же уравнений, записанных для точек А и В,

, ,           (4)

найдем значения tA и tB параметра, соответствующие началу и концу кривой интегрирования .

Подставив выражения (2) и (3) в интеграл (1), получим формулу для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода:

.   (5)

Если кривая интегрирования  задана в явном виде относительно переменной y, т.е. в виде

y=f(x),     (6)

то примем переменную x за параметр (t=x) и получим следующую запись уравнения (6) в параметрическом виде:

или

Отсюда имеем: , tA=xA, tB=xB, и криволинейный интеграл 2-го приводиться к определенному интегралу по переменной x:

,   (7)

где y(x) – уравнение линии по которой производится интегрирование.

Если уравнение кривой интегрирования АВ задано в явном виде относительно переменной x, т.е. в виде

x=φ(y)    (8)

то примем за параметр переменную y, запишем уравнение (8) в параметрическом виде:

или .

Получим: , tA=yA, tB=yB, и формула для вычисления интеграла 2-го рода примет вид:

  (9)

где x(y) – уравнение линии АВ.

Замечания.

1). Криволинейный интеграл по координатам существует, т.е. существует конечный предел интегральной суммы при n→∞, если на кривой интегрирования функции P(x, y) и Q(x,y) непрерывны, а функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными  и .

2). Если кривая интегрирования замкнутая, то нужно следить направление интегрирования, поскольку

.

Пример.

Вычислить интеграл , если АВ задана уравнениями:

а). (x-1)2+y2=1.

б). y=x

в). y=x2

Случай А. Линия интегрирования есть окружность радиуса R=1 с центром в точке C(1;0). Ее параметрическое уравнение:

  Находим

Определим значения параметра t в точках А и В.

Точка А.      tA.

Точка В.       

Получим:

Случай Б. Линия интегрирования парабола. Принимаем x за параметр. Тогда , , .

Получим:

.

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутому контуру и двойным интегралом по области Д, ограниченной этим контуром.

Теорема.

Если функция P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные  и  непрерывны в области Д, ограниченной контуром L, то имеет место формула:

  (1)

  1.  – формула Грина.

Доказательство.

Рассмотрим в плоскости xOy область Д, правильную в направлении координатных осей Ox и Oy.

Контур L прямыми x=a и x=b разделяется на две части, на каждой из которых y является однозначной функцией от x. Пусть верхний участок АДВ контура описывается уравнением y=y2(x), а нижний участок АСВ контура – уравнением y=y1(x).

Рассмотрим двойной интеграл

Учитывая, что внутренний интеграл вычисляется при x=const получим:

т.е.

или

.

Но первый интеграл в этой сумме, как следует из формулы (7), есть криволинейный интеграл по линии ВДА, так как y=y2(x) – уравнение этой линии, т.е.

а второй интеграл есть криволинейный интеграл функции P(x, y) по линии АСВ, так как y=y1(x) – уравнение этой линии:

.

Сумма этих интегралов представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от функции P(x, y) по координате x.

В итоге получим:

  (2)

Разбив контур L прямыми y=c и y=d на участки САД и СВД, описываемые соответственно уравнениями x=x1(y) и x=x2(y) аналогично получим:

  (3)

Сложив правые и левые части равенств (2) и (3), получим формулу Грина:

.

Следствие.

С помощью криволинейного интеграла 2-го рода можно вычислять площади плоских фигур.

Определим, какими для этого должны быть функции P(x, y) и Q(x, y). Запишем:

или, применяя формулу Грина,

.

Следовательно, должно выполняться равенство

,

что возможно например, при

, .

Откуда получим:

   (4)

Пример.

Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, уравнение которого задано в параметрическом виде:

,

Решение.

Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от пути интегрирования.

Мы установили, что по механическому смыслу криволинейный интеграл 2-го рода представляет работу переменной силы  на криволинейном пути или другими словами, работу по перемещению материальной точки в поле сил. Но из физики известно, что работа в поле сил тяжести не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечной точек пути. Следовательно, имеются случаи, когда и криволинейный интеграл  2-го рода не зависит от пути интегрирования.

Определим условия, при которых криволинейный интеграл по координатам не зависит от пути интегрирования.

Пусть в некоторой области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и частные производные

и  непрерывны. Возьмем в этой области  точки А и В и соединим их произвольными линиями АСВ и AFB.

Если криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования, то

,

или

           (1)

Но интеграл (1) есть интеграл по замкнутому контуру ACBFA.

Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода в некоторой области Д не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру в этой области равен нулю.

Определим, какие условия должны удовлетворять функции P(x, y) и Q(x, y) для того чтобы выполнялось равенство

,           (2)

т.е. для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам не зависел от пути интегрирования.

Теорема.

Пусть в области Д функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные первого порядка  и  непрерывны. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл по координатам

     (3)

не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области Д выполнялось равенство

.         (4)

Доказательство.

  1.  Необходимость. Дано: интеграл  не зависит от пути интегрирования.

Следовательно, выполняется равенство (2), т.е.

,      (5)

для чего необходимо выполнение условия (4).

  1.  Достаточность. Дано .

Тогда из уравнения (5) следует, что выполняется равенство (2) и, следовательно, интеграл  не зависит от пути интегрирования.

Таким образом, теорема доказана.

Покажем, что условие

выполняется в том случае, если подынтегральное выражение

        (6)

является полным дифференциалом какой-либо функции U(x, y).

Полный дифференциал этой функции равен

.      (7)

Пусть подынтегральное выражение (6) является полным дифференциалом функции  U(x, y), т.е.

,        (8)

откуда следует, что

, .

Из этих равенств найдем выражения для частных производных  и :

, .

Но вторые смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, , следовательно , что и требовалось доказать.

Итак, получим три равнозначных утверждения: криволинейный интеграл по координатам не зависит от пути интегрирования, если

1). Криволинейный интеграл по любому замкнутому кругу равен нулю.

2). Выполняется равенство .

3). Подынтегральное выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом какой-либо функции U(x, y).

Примеры.

1). Вычислить .

Решение.

Найдем частные производные функций.

, ,

, ,

Имеем: , следовательно J=0.

2). Вычислить , если А(0; -1), В(3; 3).

Решение.

Как получили выше, интеграл по замкнутому контуру равен нулю, следовательно данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем наиболее простой путь интегрирования – по прямым, параллельным осям, например путь АСВ, где точка

С(3; -1). Тогда

.

На пути АС имеем: y=1, dy=0, , и

На пути СВ имеем: x=3, dx=0, ,

.

Получим: .

8

PAGE  2


EMBED Imaging. Документ

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  

EMBED Imaging. Документ  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30085. Специальная психология. Шпаргалка 1.04 MB
  Принципы психологического изучения аномальных детей. Методы психологического изучения аномальных детей. Обучение и воспитание детей с глубокой умственной отсталостью в России. Психологопедагогическая характеристика детей с олигофренией.
30086. Материальное обеспечение преподавания предмета «Окружающий мир» 38 KB
  Материальную базу обучения естествознанию составляют: кабинет естествознания с учебным оборудованием; уголок живой природы; пришкольный участок с экологической тропой; географическая площадка. Уголок живой природы – это место для хранения живых растений и животных подготовки опытов с ними проведения внеурочных и внеклассных занятий. Уголок живой природы может быть в кабинете естествознания и являться его составной частью. Требования к уголку живой природы.
30087. Исторический экскурс в развитие отечественной методики преподавания естествознания 41 KB
  Естествознание как учебный предмет перестало существовать в общеобразовательной школе Возвращение естествознания в школу произошло после длительного перерыва лишь в 1852 г. Существенный вклад в развитие методики естествознания внес А. он опубликовал план построения школьного курса естествознания.
30088. Принципы и критерии отбора содержания 30 KB
  Принципы и критерии отбора содержания Одним из критериев отбора содержания образования являются принципы обучения. Принципы от лат. Коменский в своей Великой дидактике определил только два принципа: природосообразности и народности. В современных условиях основоположники дидактических систем и авторы учебных программ формулируют свои авторские принципы которых насчитывается несколько десятков.
30089. Методические особенности вариативных курсов «Окружающий мир» 62 KB
  Методические особенности вариативных курсов Окружающий мир Учебная программа – документ определяющий цели задачи и основное содержание обучения по конкретному предмету уровень его предъявления учащимся и требования к результатам усвоения. В связи с углублением процесса дифференциации начального образования разработаны различные варианты учебных программ по предметам Окружающий мир и Естествознание Природоведение. Плешаков Система учебных курсов Зеленый дом обеспечивает ознакомление младших школьников с окружающим миром их...
30090. Формирование и развитие начальных естественнонаучных представлений и понятий на уроках «Окружающий мир» 37.5 KB
  Понятия отражают существенные свойства связи и отношения предметов и явлений. Как понятия так и представления которыми овладеют дети при изучении естествознания делятся на общие и единичные. Общие понятия охватывают однородные предметы и явления. Единичные понятия это понятия о конкретных объектах и явлениях например река Волга Кавказские горы озеро Байкал дождь гроза и т.
30091. Олигофрения 18.9 KB
  а также с резуснесовместимостью крови матери и плода травмой и асфиксией плода в родах перенесёнными менингитомэнцефалитом и т. Имбецильность средняя степень олигофрении слабоумия интеллектуального недоразвития обусловленная задержкой развития мозга плода или ребёнка в первые годы жизни. В ней выделяется 4 степени тяжести олигофрении: Легкая IQ 5070 Умеренная IQ 3550 Тяжелая IQ 2035 Глубокая IQ менее 20 Причинами олигофрении могут служить: наследственные факторы в том числе патология генеративных клеток...
30092. Заде́ржка психи́ческого разви́тия 19.51 KB
  ЗПР нарушение нормального темпа психического развития когда отдельные психические функции память вниманиемышление эмоциональноволевая сфера отстают в своём развитии от принятых психологических норм для данного возраста. ЗПР как психологопедагогический диагноз ставится только в дошкольном и младшем школьном возрасте если к окончанию этого периода остаются признаки недоразвития психических функций то речь идёт уже оконституциональном инфантилизме или об умственной отсталости. Синдром психического инфантилизма Церебрастенический...
30093. Микроцефалия 15.16 KB
  Микроцефалия характерна для таких синдромов как: трисомия по 18 хромосоме синдром Эдвардса трисомия по 13 хромосоме синдром Патау синдром кошачьего крика сидром Миллера синдром ПрадераВилли и др. плодный алкогольный синдром Аутосомнорецессивный тип наследования.