74363

Метод Z-матрицы для решения УУН

Доклад

Энергетика

Метод Zматрицы для решения УУН. Обращение матрицы Y осуществляется численными методами что по своей трудоемкости эквивалентно решению систем линейных уравнений. Метод Zматрицы может оказаться эффективным в расчетах режимов ЭС с неизменными или малоизменяющимися конфигурацией и параметрами сети и при изменении нагрузок в узлах. Метод Зейделя ГауссаЗейделя.

Русский

2014-12-31

160 KB

1 чел.

78. Метод Z-матрицы для решения УУН.

При заданных или известных на очередной итерации напряжениях система нелинейных УУН (8.1) становится линейной следующего вида:

Эта же система в матричной записи

(8.23)

где компоненты вектора J определяются по формуле

(8.24)

Матричная запись УУН в виде (8.23) дает возможность реализовать процедуру (8.17) в явном виде, если воспользоваться понятием обратной матрицы и учесть свойства действий с матрицами. Для неособенной (невырожденной) матрицы коэффициентов Y (det Y0), являющейся матрицей узловых и взаимных проводимостей узлов, существует обратная матрица Y-1 =Zy, называемая матрицей собственных и взаимных сопротивлений узлов (Z - матрица). Умножая слева обе части системы (8.23) на Y-1, получим

Полученные в результате решения СЛУ (8.23) напряжения U(K)    следует считать исходными приближениями к искомым напряжениям UK+1 . Поэтому применительно к нелинейной системе (8.1) итерационная процедура (8.17) получения решения реализуется в виде

(8.25)

Здесь токи j(K) в узлах уточняют на каждой итерации через напряжения предыдущей итерации U(K) по формуле (8.24). Далее по выражению (8.25) вычисляют новые приближения напряжений U(K+1) . Такой процесс продолжается до выполнения критерия (8.19).

Необходимо отметить, что матрица Zy, в отличие от матрицы Y, является заполненной,    т. е. не содержит нулевых элементов и поэтому требует значительно большей, чем для матрицы Y, оперативной памяти ЭВМ для хранения ее элементов. Обращение матрицы Y осуществляется численными методами, что по своей трудоемкости эквивалентно решению систем линейных уравнений.

Метод Z-матрицы может оказаться эффективным в расчетах режимов ЭС с неизменными или малоизменяющимися конфигурацией и параметрами сети и при изменении нагрузок в узлах. В этом случае, обратив один раз матрицу Y, напряжения в узлах определяют через неизменную матрицу Z и изменяющийся в соответствии с изменением нагрузок узлов вектор правых частей УУН.

Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя). Метод Зейделя был первым методом, примененным для расчета установившихся режимов ЭЭС на ЭВМ. Простота алгоритмической реализации, малый объем вычислений на каждом шаге, незначительная потребность оперативной памяти и приемлемая для широкого круга задач сходимость метода позволили даже на первых моделях ЭВМ рассчитывать режимы сетей, содержащих сотни узлов [46, 55, 56].

Для получения рекуррентной формулы метода необходимо непосредственно (напрямую) выразить каждое напряжение, стоящее при собственной проводимости, через другие напряжения соответствующего уравнения системы (8.1), привести уравнения к виду, удобному для итераций (нормальному виду):

(8.26)

Из формулы видно, что вместо простейшего итерационного процесса (метода Якоби), метод Зейделя использует для вычисления каждой последующей переменной самые последние (новые) значения предыдущих переменных, т. е. для вычисления текущей i-й переменной берутся значения всех предыдущих (j < i), полученных на данной (к+1) итераций, а остальные переменные Q > i) — на предыдущей (к-й) итерации. Отметим, что такая процедура вычислений значительно эффективней по сходимости, чем простая итерация.

При переходе от комплексных уравнений к действительным, выполнив в (8.26) подстановку (8.5) и выделив действительные и мнимые части, получим следующие расчетные формулы метода:

где

Как правило, для решения УУН применяется «ускоренный» метод Зейделя (метод релаксации). Ускорение сходимости достигается вводом в итерационную процедуру ускоряющего коэффициента (αy).

Определив обычным способом (8.27) на каждой итерации новое значение переменной Uj(k+1), вычисляется улучшенное значение   Uiy(k+1) переменной:

(8.28)

принимаемой в качестве исходного приближения в следующей итерации.

Итерационный процесс (8.28) реализуется отдельно для продольной и поперечных составляющих напряжения:

(8.29)

Скорость сходимости зависит от выбранной величины αy, принимаемой в интервале 0<αу<2. Основная трудность состоит в подборе коэффициента αу, определяемого пробными расчетами. Значение αу, обеспечивающее минимальное число итераций, обычно составляет 1,2...... 1,4 [46].

Огромный опыт применения программ, основанных на методе Зейделя, показывает, что для большинства схем и нормальных эксплуатационных режимов, обеспечивается получение решения за приемлемое время. Поэтому соответствующие ПВК до сих пор применяются в службах режимов и диспетчерских управлениях электросетевых предприятий и энергосистем.

Несмотря на значительное улучшение сходимости с помощью описанного приема в ряде случаев (например, при расчете режимов сетей с повышенными нагрузками) метод Зейделя может сходиться очень медленно или даже расходиться. Поэтому, до тех пор, пока недостаточная оперативная память к быстродействие ЭВМ сдерживали применение более эффективных методов, метод Зейделя был практически основным, реализованным в промышленных программах расчета установившихся режимов ЭС.

Заметим, что нелинейность, присущая УНН баланса мощностей (8.7), (8.9), не позволяет найти решение методами нулевого порядка. Весте с тем, значительный рост возможностей ЭВМ как по быстродействию, так и оперативной памяти, повышенные требования к программам по скорости и надежности получения решения во многом стимулировали развитие и практическое применение более сложных и вместе с тем более эффективных алгоритмов, в частности, базирующихся на использовании методов первого и второго порядка. В практических алгоритмах расчета установившихся режимов ЭС используют большой класс ньютоновских и градиентных методов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58552. Урок математики і вимоги до нього 92 KB
  Підготовка вчителя до уроку вибір методів засобів і форм організації діяльності учнів. Особливості уроку математики в початковій школі Основною формою організації навчальної роботи з математики як і з інших предметів є урок. Особливості уроку математики обумовлені перш за все особливостями самого навчального предмета.
58554. Время. Единицы времени 61 KB
  Цели урока: Создать условия для формирования понятий: Время Единицы времени. Способствовать развитию навыков перевода из одних единиц времени в другие. Какие знаете вы Нет времени.
58555. Веселый урок математики 49.5 KB
  Ведущий: Ребята Сегодня у нас урок занимательной математики. Ведущий: Первого греческого ученого который начал рассуждать о математике звали Фалес. Ведущий: Ребята давайте поиграем в занимательную игру. Ведущий: №1.
58556. Способ сложения столбиком 47 KB
  Кто не сделал ни одной ошибки поставьте на полях Для чего мы выполняли эту работу Что общего в тематике этих задач Как мы должны относиться к животным Кому хочется больше узнать о животных Можно взять вот такие книги в библиотеке или почитать в читальном зале...
58557. Образование числа 7 55 KB
  Цель: образовательная: познакомить с образованием числа 7 и его составом из двух меньших; формировать навыки вычисления; продолжать учить решать задачи на нахождение суммы, разности двух чисел, составлять задачи по схемам, выражениям...
58558. Закрепление изученного материала по теме «Нумерация чисел больше 1000» 55 KB
  Цели: образовательные: закрепление знаний по нумерации чисел больше 1000; развивающие: развитие словесно-логического мышления, памяти, произвольного внимания, математической речи...
58559. Решение задач. Сказочный задачник по технологии ТРИЗ 49.5 KB
  Очень важно выложить задачу четко по предложениям. Необходимо отметить почему данный текст является задачей в задаче есть условие вопрос Так как мы решаем сказочную задачу замечаем почему данная задача называется сказочной в условии говорится о сказочном предмете совершается волшебство.
58560. Додавання і віднімання числа 7 із переходом через десяток. Складання і розв’язування задач за схематичними записами їх умов 43 KB
  МЕТА: Закріплювати вміння додавати і віднімати число 7 із переходом через десяток; учити учнів користуватися переставною властивістю при додаванні 57; вчити розв’язувати задачі за схематичними записами їх умов...