74364

Метод Ньютона (Ньотона-Рафсона) первого порядка для решении УУН (применительно к действительным УУН в форме баланса токов и баланса мощностей)

Доклад

Энергетика

Существует большое количество реализаций метода Ньютона и его модификаций, образующих класс ньютоновских методов. Большинство программно-вычислительных комплексов (ПВК) расчета и анализа установившихся режимов ЭЭС и систем передачи электроэнергии, разработанных в последние годы, базируются на методе Ньютона.

Русский

2014-12-31

80 KB

6 чел.

79. Метод Ньютона (Ньотона-Рафсона) первого порядка для решении УУН (применительно к действительным УУН в форме баланса токов и баланса мощностей)

Является более распространенным методом решения систем нелинейных уравнений. Основное преимущество метода Ньютона выражается в быстрой и устойчивой сходимости.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации нелинейной системы уравнений некоторой линейной, решение которой дает значение неизвестных, более близких к решению нелинейной системы, чем исходное приближение [44, 56]. Для линейной аппроксимации УУН наряду с нулевыми элементами разложения Тейлора используются элементы первого порядка, т. е. имеем

(8.30)

что позволяет перейти к системе линеаризованных уравнений, например, на k-ой итерации:

(8.31)

При этом полагаем, что текущие (искомые) значения переменных U лежат в                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

достаточно малой окрестности ΔU = UU(0)  начальных (исходных) значении U(O)

Данный метод относится к методам первого порядка, поскольку в нем используются только первые производные, линейно аппроксимирующие УУН (8.16). Выражения производных δωi/δUj — элементов матриц СЛУ (матриц Якоби) — различны для полученных в разд. 8.1 форм записи УУН.

В результате решения СЛУ (8.31), выполняемого обычно методом Гаусса или Зейделя, определяют поправки ΔUj к предыдущим (начальным) значениям переменных. Решение системы (8.31) отражает внутренний итерационный процесс метода Ньютона. Через найденные поправки вычисляются на внешнем шаге данного метода новые (уточненные) значения переменных:

(8.32)

За начальные (исходные) приближения переменных принимаются модули номинальных напряжений и нулевые значения фаз (или U' = UНОМ,U" = 0), если не известны лучшие приближения этих переменных.

В результате подстановки уточненных значении переменных и в решаемые УУН вида (8.6) — (8.9) определяются величины их небалансов. Описанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет удовлетворен критерий (8.18), который можно реализовать в виде

              (8.33)

т. е. наибольший по модулю небаланс уравнений не должен превышать заданную точность η.

Если процесс сходящийся, то решение с начального приближения достигается, как правило, за 3—4 итерации, и практически не зависит от размера системы уравнений. Об отсутствии сходимости свидетельствует большое количество итераций (более 15—20), не приводящих к решению.

Наряду с высокой сходимостью известна большая чувствительность метода Ньютона к исходному приближению переменных. Область, в пределах которой заданные исходные значения сходятся к решению, называется областью    сходимости.                                                                                                                        Обычно это малая окрестность (UkU0 ) точки U , для которой якобиан  отличен от нуля и обеспечивается высокая сходимость метода. Плохое исходное приближение переменных, т. е. взятое вне области притяжения переменных к решению, может привести к расходящемуся итерационному процессу. Алгоритм достаточно громоздок и, имея большую промежуточную информацию, требует значительного объема оперативной памяти ЭВМ.

Как видно из приведенного описания этапов алгоритма Ньютона, основной его операцией является решение СЛУ (8.31). Эффективность этой процедуры во многом определяет эффективность метода в целом.

Существует большое количество реализаций метода Ньютона и его модификаций, образующих класс ньютоновских методов. Большинство программно-вычислительных комплексов (ПВК) расчета и анализа установившихся режимов ЭЭС и систем передачи электроэнергии, разработанных в последние годы, базируются на методе Ньютона.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10625. Философия Фомы Аквинского 214.67 KB
  Философия Фомы Аквинского ФОМА АКВИНСКИЙ 1225 или 1226-1274 центральная фигура средневековой философии позднего периода выдающийся философ и богослов систематизатор ортодоксальной схоластики основатель одного из двух господствующих ее направлений томизма. Исх
10626. Основные черты философии эпохи Возрождения 24.43 KB
  Основные черты философии эпохи Возрождения Философия эпохи Возрождения особый этап в истории западноевропейской философии характеризующийся утверждением новой специфической формы философствования строящейся на принципиально иных независимых от философской ...
10627. Философия Нового времени: ХVII- ХVIII вв 23.44 KB
  Философия Нового времени: ХVII ХVIII вв. К 1617 вв. вся европейская культура подверглась глубочайшим трансформациям выражением которых явились социальная революция в обществе связанная с переходом от феодализма к капитализму эпоха ранних буржуазных революций и научна
10628. Философия Просвещения. Случайность и необходимость 51.5 KB
  Философия Просвещения 1.Социальноисторические предпосылки идеологии Просвещения. Борьба против метафизики 2. Общественноправовой идеал Просвещения. Коллизия частного интереса и общей справедливости 3. Случайность и необходимость 4. Просветительская трактов
10629. Гносеология И.Канта 93.5 KB
  Гносеология И.Канта Роль Иммануила Канта 1724-1804 в истории философии трудно переоценить. Этого мыслителя называют основателем немецкой классической философии являющейся вершиной европейской рационалистической философии. Наряду с И.Кантом другими выдающимися пре
10630. Современная западная философия: иррационализм и сциентизм 24.28 KB
  Современная западная философия: иррационализм и сциентизм Аннтотация: Современная западноевропейская философия весьма разнообразна. Для философии 20 века характерно выделение двух полярных направлений – сциентизма и иррационализма. В качестве наиболее показательн
10631. Русская философия. Формы бытования русской философии 23.27 KB
  РУССКАЯ ФИЛОСОФИЯ Аннотация: Русская философия в собственном смысле этого слова возникла только в 18 веке а на рубеже 19-20 вв. пережила свой расцвет. Находясь в ситуации жестокой цензуры философия выражалась в следующих формах: иконописное творчество художественная ...
10632. Проблема человека и философская антропология 26.7 KB
  Проблема человека и философская антропология Человек всегда является проблемой для самого себя. Между тем в обыденной жизни мы можем с уверенностью выделить человека из окружающего мира. Во многом подобный выбор становится возможным благодаря привычке здравому смысл
10633. Представление о совершенном человеке в различных культурах 19.73 KB
  Представление о совершенном человеке в различных культурах Обращаясь к культурам прошлого и современности можно увидеть отсутствие единого представления о совершенном человеке. Данный факт может привести либо к релятивизму либо к догматизму. В первом случае признан