74364

Метод Ньютона (Ньотона-Рафсона) первого порядка для решении УУН (применительно к действительным УУН в форме баланса токов и баланса мощностей)

Доклад

Энергетика

Существует большое количество реализаций метода Ньютона и его модификаций, образующих класс ньютоновских методов. Большинство программно-вычислительных комплексов (ПВК) расчета и анализа установившихся режимов ЭЭС и систем передачи электроэнергии, разработанных в последние годы, базируются на методе Ньютона.

Русский

2014-12-31

80 KB

7 чел.

79. Метод Ньютона (Ньотона-Рафсона) первого порядка для решении УУН (применительно к действительным УУН в форме баланса токов и баланса мощностей)

Является более распространенным методом решения систем нелинейных уравнений. Основное преимущество метода Ньютона выражается в быстрой и устойчивой сходимости.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации нелинейной системы уравнений некоторой линейной, решение которой дает значение неизвестных, более близких к решению нелинейной системы, чем исходное приближение [44, 56]. Для линейной аппроксимации УУН наряду с нулевыми элементами разложения Тейлора используются элементы первого порядка, т. е. имеем

(8.30)

что позволяет перейти к системе линеаризованных уравнений, например, на k-ой итерации:

(8.31)

При этом полагаем, что текущие (искомые) значения переменных U лежат в                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

достаточно малой окрестности ΔU = UU(0)  начальных (исходных) значении U(O)

Данный метод относится к методам первого порядка, поскольку в нем используются только первые производные, линейно аппроксимирующие УУН (8.16). Выражения производных δωi/δUj — элементов матриц СЛУ (матриц Якоби) — различны для полученных в разд. 8.1 форм записи УУН.

В результате решения СЛУ (8.31), выполняемого обычно методом Гаусса или Зейделя, определяют поправки ΔUj к предыдущим (начальным) значениям переменных. Решение системы (8.31) отражает внутренний итерационный процесс метода Ньютона. Через найденные поправки вычисляются на внешнем шаге данного метода новые (уточненные) значения переменных:

(8.32)

За начальные (исходные) приближения переменных принимаются модули номинальных напряжений и нулевые значения фаз (или U' = UНОМ,U" = 0), если не известны лучшие приближения этих переменных.

В результате подстановки уточненных значении переменных и в решаемые УУН вида (8.6) — (8.9) определяются величины их небалансов. Описанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет удовлетворен критерий (8.18), который можно реализовать в виде

              (8.33)

т. е. наибольший по модулю небаланс уравнений не должен превышать заданную точность η.

Если процесс сходящийся, то решение с начального приближения достигается, как правило, за 3—4 итерации, и практически не зависит от размера системы уравнений. Об отсутствии сходимости свидетельствует большое количество итераций (более 15—20), не приводящих к решению.

Наряду с высокой сходимостью известна большая чувствительность метода Ньютона к исходному приближению переменных. Область, в пределах которой заданные исходные значения сходятся к решению, называется областью    сходимости.                                                                                                                        Обычно это малая окрестность (UkU0 ) точки U , для которой якобиан  отличен от нуля и обеспечивается высокая сходимость метода. Плохое исходное приближение переменных, т. е. взятое вне области притяжения переменных к решению, может привести к расходящемуся итерационному процессу. Алгоритм достаточно громоздок и, имея большую промежуточную информацию, требует значительного объема оперативной памяти ЭВМ.

Как видно из приведенного описания этапов алгоритма Ньютона, основной его операцией является решение СЛУ (8.31). Эффективность этой процедуры во многом определяет эффективность метода в целом.

Существует большое количество реализаций метода Ньютона и его модификаций, образующих класс ньютоновских методов. Большинство программно-вычислительных комплексов (ПВК) расчета и анализа установившихся режимов ЭЭС и систем передачи электроэнергии, разработанных в последние годы, базируются на методе Ньютона.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10180. Наука как объект теоретического исследования 46 KB
  Наука как объект теоретического исследования Проблематика науковедения и его становление. Структура современного науковедения и место в нем философии науки. Философия науки изучение которой начинается является частью обширной области исследований.
10181. Изготовление орудий труда и накопление знаний о природных веществах в каменном веке. Значение использование огня в первобытном обществе 46 KB
  Изготовление орудий труда и накопление знаний о природных веществах в каменном веке. Значение использование огня в первобытном обществе. Человек и техника появились одновременно еще в каменном веке 2 млн лет конец 4го тысячелетия до н.э.. Первыми орудиями труда сознат
10182. Техника бронзового века. Изобретение и использование плуга, колеса, паруса 35.5 KB
  Техника бронзового века. Изобретение и использование плуга колеса паруса. Следующим этапом в развитии техники стало овладение человека металлом в качестве основного сырья для производства орудий. Люди постоянно использующие огонь не могли не заметить что прокалива
10183. Развитие технических знаний в Древней Греции. Архимед и становление инженерной механики 35.5 KB
  Развитие технических знаний в Древней Греции. Архимед и становление инженерной механики В период железного века достаточно много изобретений появилось в Древней Греции Среди ученых античности серьезно занимавшихся механикой особое место принадлежит Архимеду...
10184. Развитие техники в средние века. Создание доменной печи, часового механизма, печатного станка 41 KB
  Развитие техники в средние века. Создание доменной печи часового механизма печатного станка Период средневековья длившейся с V по первую половину XV в. оказался в целом благоприятным для технического развития что имеет свое объяснение. В 476 г. н.э. под напором варваров ...
10185. Техническая мысль эпохи Возрождения. Изобретения и инженерная деятельность Леонардо да Винчи 34.5 KB
  Техническая мысль эпохи Возрождения. Изобретения и инженерная деятельность Леонардо да Винчи Гениальным ученым-изобретателем эпохи Возрождения был Леонардо да Винчи 1452-1519 гг.. Он являлся незаконнорожденным сыном нотариуса. Когда Леонардо исполнилось 15 лет отец устр...
10186. Техника XVII - XVIII вв. Создание и использование паровой машины 43.5 KB
  Техника XVII-XVIII вв. Создание и использование паровой машины На протяжении практически всего XVII в. главным источником энергии оставался водяной двигатель. О его потенциальных возможностях свидетельствует крупнейшая гидротехническая установка сооруженная на реке Сена
10187. Трудовая биография и изобретательская деятельность И.И. Ползунова 33.5 KB
  Трудовая биография и изобретательская деятельность И. И. Ползунова Первый в мире универсальный паровой двигатель изобрел русский механик И. И. Ползунов 1728-1766 гг.. Он родился в Екатеринбурге в семье рядового солдата. Окончив горнозаводскую школу. Ползунов стал трудитьс
10188. Стефенсон Д. - основатель мирового локомотивостроения и железнодорожного дела 32 KB
  Д. Стефенсон основатель мирового локомотивостроения и железнодорожного дела Основоположником железнодорожного транспорта принято считать английскою инженера Джорджа Стефенсона 1781-1848 гг.. Он родился в семье потомственных рабочих угольных копи Ньюкасла где и сам на...