74366

Метод ньютона второго порядка для решения УУН

Доклад

Энергетика

Метод ньютона второго порядка для решения УУН. По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 квадратичная аппроксимация и решением квадратичного уравнения. а назовем приращением второго порядка. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы.

Русский

2014-12-31

424.5 KB

4 чел.

81. метод ньютона второго порядка для решения УУН.

Учет нелинейности при моделировании УУН осуществляется через квадратичные члены (слагаемые со вторыми производными) разложения Тейлора (8.22) в виде

(8.34)

Более полный квадратичный учет нелинейности по сравнению с линейным в методе Ньютона способствует значительно лучшей сходимости и уменьшению времени решения уравнений. Поясним это графически (рис. 8.1) на примере нелинейного уравнения с одной неизвестной ω(U).

По методу Ньютона (метод касательных), заменив в начальной точке U(0) нелинейное уравнение ω(U) касательной 1 (линейная аппроксимация) и решением линейного уравнения

находится приращение ΔU, и значение переменной . По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 (квадратичная аппроксимация) и решением квадратичного уравнения

(8.34 а)

вычисляется приращение ΔU2, дающее новое значение переменной , которое значительно ближе к точному решению (корню) U по сравнению с приближением , полученным методом Ньютона.

Рис. 8.1. Линейная (1) и квадратичная (2) аппроксимации                                                                                                                       нелинейного уравнения ω(U) в точке U(0).

Приращение ΔU2, определяемое из решения квадратичного уравнения (8.34 а), назовем приращением второго порядка. Использование его в рекуррентном выражении итерационного процесса при определенных условиях обеспечивает более быструю и надежную сходимость.

Возвращаемся к общему (многомерному) случаю. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы (8.22) квадратичных уравнений (СКУ)

(8.35)

на каждом шаге вместо СЛУ (8.31)

(8.36)

в методе Ньютона первого порядка.

Существуют различные пути алгоритмической реализации метода второго порядка в зависимости от способа получения приращения ΔU из СКУ (8.35). В связи с тем, что применение прямых методов для этой цели невозможно, учет нелинейности УУН посредством квадратичного разложения осуществляется косвенно и связан с дополнительным решением СЛУ в новом итерационном процессе.

Обозначим ΔU, как вектор приращения первого порядка, полученный методом Ньютона при решении СЛУ (8.36). Используя ΔU1, результирующее приращение второго порядка можно определить из решения вспомогательной СЛУ

(8.37)

где D — вектор квадратичных добавок в отрезке ряда Тейлора (8.22).

Таким образом, одна внешняя итерация решения УУН заключается в последовательном решении СЛУ (8.36) и (8.37).

Применительно к уравнению ω(U) = О с одной неизвестной СЛУ (8.37) можно записать

отсюда приращение второго порядка

(8.38)

с   учетом   того,   что   в   методе   касательных   приращение   первого   порядка , в итоге получим

(8.39)

Другой способ построения итерационной процедуры второго порядка заключается в том [53], что для решения СКУ (8.35) выполняют два шага по методу Ньютона Во-первых, как и в предыдущем случае, определяются поправки ΔU, из решения СЛУ (8.36). Во-вторых, вычисляются невязки СКУ (8.22) в точке U(1) = U(0) + Δ  ,

т. е.

(8.39 а)

 

Заметим, что выражение справедливо для любого (k-го) шага метода после решения СЛУ (8.36).

После корректировки матрицы Якоби:

решается вспомогательная СЛУ:

(8.40)

относительно δU и находится результирующее приращение

(8.41)

Для сравнения с предыдущими способами перепишем СЛУ (8.40) в виде

(8.42)

Для решения уравнения с одной переменной ω(U) = 0 с учетом ΔU1 =-ω(U)/ω(U) и (8.42) результирующее приращение второго порядка определяют по формуле

(8.43)

Отметим, что, хотя объем вычислений по сравнению с методом Ньютона удваивается, общее время решения благодаря резкому улучшению сходимости уменьшается существенно (в отдельных случаях до 3-5 раз [53]) при близком расходовании памяти ЭВМ. Дополнительный объем вычисления определяется решением СЛУ (8.37) и до-расчетом вторых производных в едином цикле формирования матриц Якоби и Гессе. Заметим, что квадратичная аппроксимация достаточно точно отражает режим ЭС, а эффективность метода в значительной мере зависит от формы записи УУН. Так, уравнения баланса мощности в своем изначальном виде являются квадратичными и полно (без остальных членов) описываются анализируемым отрезком разложения ряда Тейлора (8.22), а потому решения такого уравнения можно получить за одну итерацию. В итоге отметим, что в методе Ньютона второго порядка число внешних итераций

(8.44)

существенно меньше, чем в методе Ньютона. Эффективность метода по времени решения задачи на ЭВМ немаловажна в АСДУ, в проектных и исследовательских задачах, особенно при анализе сильно загруженных ЭС, и возрастает с увеличением размерности задачи, т. е. при расчетах режимов больших и сверхбольших ЭЭС(1—3 тыс. узлов).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34185. Фондовая биржа: организация, механизм, сделки 18.92 KB
  Организация фондовой биржи представляет собой частные корпорации различные формы акционерных обществ Великобритания и Соединенные Штаты Америки либо в форме ППИ публичноправовых институтов Федеративная Республика Германия и Франция. Если фондовая биржа создана в форме акционерного общества и организована биржевыми дельцами то такие фондовые биржи называются акционерами биржи. Прием в участники биржи является ограниченным; самостоятельная деятельность на фондовой биржи является монополизация членов. Главной в структуре организации...
34186. Макроэкономический анализ 16.61 KB
  НАЦИОНАЛЬНОЕ СЧЕТОВОДСТВО комплексная система понятий которые объясняют создание распределение перераспределение и использование валового национального продукта и национального дохода в рамках экономической системы с определенной структурой и закономерностями функционирования. Модель национального счетоводства ООН можно рассматривать как некоторую теоретическую концепцию которая включает в себя: а описание продукта и дохода нации а также их движение с точки зрения равенства инвестиций и сбережений; б модель межотраслевого баланса В....
34187. ВВП и способы его измерения 19.04 KB
  Распределительный по доходам использование потоков доходов средств. Доходы получают владельцы факторов производства. Различают два вида доходов: трудовые и на собственность предпринимательский.
34188. Номинальный и реальный ВНП. Дефлятор ВНП 17.45 KB
  Номинальный и реальный ВНП. Дефлятор ВНП Макроэкономические показатели ВНП и ВВП денежные показатели поэтому их значение зависит от динамики цен покупательной способности денежной единицы. Следовательно увеличение или уменьшение уровня цен оказывает влияние на величину ВНП и ВВП. ВНП и ВВП в номинальном значении измеряются в рыночных текущих ценах.
34189. Показатели, производные от ВНП 16.78 KB
  Национальный доход. Таким образом получаем показатель национального дохода НД. С точки зрения собственников ресурсов национальный доход является измерителем их доходов от участия в производстве за текущий период. Предприятия рассматривают национальный доход как показатель отражающий уровень цен на факторы производства или ресурсы.
34190. Экономический рост, его типы и факторы. Длинные волны экономической конъюнктуры 21.43 KB
  позволяет исключить воздей ствие инфляции и универсальнее поскольку при расчете темпов роста трудно рассчитать общий показатель для производства раз личных изделий. Основные показатели экономического роста: 1 годовой прирост объема ВНП ВВП НД; 2 годовые темпы роста ВНП ВВП НД на душу населения; 3 годовые темпы роста промышленного производства в целом его отраслей на душу населения. При данном типе экономического роста в произ водство вовлекается все большее количество ресурсов природ ных трудовых материальных но не...
34191. Государственное регулирование экономического роста 17.32 KB
  Кейнсианцы рассматривают экономический рост преимущественно с точки зрения факторов спроса. Обычно они объясняют низкие темпы роста неадекватным уровнем совокупных расходов которые не обеспечивают необходимого прироста ВНП. В отличие от них сторонники âэкономики предложенияâ отдают предпочтения долгосрочным перспективам делая упор на факторы обеспечивающие рост общественного продукта при полной занятости и полной загрузке производственных мощностей.
34192. Инфляция: причины, формы и виды 24.41 KB
  Инфляция это снижение покупательной способности денег проявляющееся через относительно быстрый рост цен. Скрытая инфляция существует как правило в нерыноч ной экономике в которой цены и заработные платы контро лируются и определяются государством. Открытая инфляция проявляется в форме роста цен на товары и услуги. Бумажные деньги обесцениваются возни кает избыточная денежная масса не обеспеченная соот ветствующим количеством товаров и услуг.
34193. Безработица и ее виды. Норма безработицы 31.96 KB
  Норма безработицы. Причины безработицы падение темпов экономического роста технический прогресс структурная перестройка эконо мики инфляция демографическая политика государства. Основные формы безработицы фрикционная структур ная циклическая сезонная застойная. Для характеристики состояния безработицы использу ются различные показатели доля безработных в совокупной рабочей силе количество безработных средняя продолжи тельность безработицы доля длительно безработных в эконо мически активном населении и др.