74366

Метод ньютона второго порядка для решения УУН

Доклад

Энергетика

Метод ньютона второго порядка для решения УУН. По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 квадратичная аппроксимация и решением квадратичного уравнения. а назовем приращением второго порядка. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы.

Русский

2014-12-31

424.5 KB

3 чел.

81. метод ньютона второго порядка для решения УУН.

Учет нелинейности при моделировании УУН осуществляется через квадратичные члены (слагаемые со вторыми производными) разложения Тейлора (8.22) в виде

(8.34)

Более полный квадратичный учет нелинейности по сравнению с линейным в методе Ньютона способствует значительно лучшей сходимости и уменьшению времени решения уравнений. Поясним это графически (рис. 8.1) на примере нелинейного уравнения с одной неизвестной ω(U).

По методу Ньютона (метод касательных), заменив в начальной точке U(0) нелинейное уравнение ω(U) касательной 1 (линейная аппроксимация) и решением линейного уравнения

находится приращение ΔU, и значение переменной . По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 (квадратичная аппроксимация) и решением квадратичного уравнения

(8.34 а)

вычисляется приращение ΔU2, дающее новое значение переменной , которое значительно ближе к точному решению (корню) U по сравнению с приближением , полученным методом Ньютона.

Рис. 8.1. Линейная (1) и квадратичная (2) аппроксимации                                                                                                                       нелинейного уравнения ω(U) в точке U(0).

Приращение ΔU2, определяемое из решения квадратичного уравнения (8.34 а), назовем приращением второго порядка. Использование его в рекуррентном выражении итерационного процесса при определенных условиях обеспечивает более быструю и надежную сходимость.

Возвращаемся к общему (многомерному) случаю. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы (8.22) квадратичных уравнений (СКУ)

(8.35)

на каждом шаге вместо СЛУ (8.31)

(8.36)

в методе Ньютона первого порядка.

Существуют различные пути алгоритмической реализации метода второго порядка в зависимости от способа получения приращения ΔU из СКУ (8.35). В связи с тем, что применение прямых методов для этой цели невозможно, учет нелинейности УУН посредством квадратичного разложения осуществляется косвенно и связан с дополнительным решением СЛУ в новом итерационном процессе.

Обозначим ΔU, как вектор приращения первого порядка, полученный методом Ньютона при решении СЛУ (8.36). Используя ΔU1, результирующее приращение второго порядка можно определить из решения вспомогательной СЛУ

(8.37)

где D — вектор квадратичных добавок в отрезке ряда Тейлора (8.22).

Таким образом, одна внешняя итерация решения УУН заключается в последовательном решении СЛУ (8.36) и (8.37).

Применительно к уравнению ω(U) = О с одной неизвестной СЛУ (8.37) можно записать

отсюда приращение второго порядка

(8.38)

с   учетом   того,   что   в   методе   касательных   приращение   первого   порядка , в итоге получим

(8.39)

Другой способ построения итерационной процедуры второго порядка заключается в том [53], что для решения СКУ (8.35) выполняют два шага по методу Ньютона Во-первых, как и в предыдущем случае, определяются поправки ΔU, из решения СЛУ (8.36). Во-вторых, вычисляются невязки СКУ (8.22) в точке U(1) = U(0) + Δ  ,

т. е.

(8.39 а)

 

Заметим, что выражение справедливо для любого (k-го) шага метода после решения СЛУ (8.36).

После корректировки матрицы Якоби:

решается вспомогательная СЛУ:

(8.40)

относительно δU и находится результирующее приращение

(8.41)

Для сравнения с предыдущими способами перепишем СЛУ (8.40) в виде

(8.42)

Для решения уравнения с одной переменной ω(U) = 0 с учетом ΔU1 =-ω(U)/ω(U) и (8.42) результирующее приращение второго порядка определяют по формуле

(8.43)

Отметим, что, хотя объем вычислений по сравнению с методом Ньютона удваивается, общее время решения благодаря резкому улучшению сходимости уменьшается существенно (в отдельных случаях до 3-5 раз [53]) при близком расходовании памяти ЭВМ. Дополнительный объем вычисления определяется решением СЛУ (8.37) и до-расчетом вторых производных в едином цикле формирования матриц Якоби и Гессе. Заметим, что квадратичная аппроксимация достаточно точно отражает режим ЭС, а эффективность метода в значительной мере зависит от формы записи УУН. Так, уравнения баланса мощности в своем изначальном виде являются квадратичными и полно (без остальных членов) описываются анализируемым отрезком разложения ряда Тейлора (8.22), а потому решения такого уравнения можно получить за одну итерацию. В итоге отметим, что в методе Ньютона второго порядка число внешних итераций

(8.44)

существенно меньше, чем в методе Ньютона. Эффективность метода по времени решения задачи на ЭВМ немаловажна в АСДУ, в проектных и исследовательских задачах, особенно при анализе сильно загруженных ЭС, и возрастает с увеличением размерности задачи, т. е. при расчетах режимов больших и сверхбольших ЭЭС(1—3 тыс. узлов).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9664. Сертификация продукции и услуг 52 KB
  Сертификация продукции и услуг. Сертификация - это деятельность специальных органов исполнительной власти, прошедших государственную регистрацию в качестве системы сертификации в порядке, установленном Госстандартом России. Сертификация устанавливае...
9665. Экспертиза и гигиеническая оценка товаров 47 KB
  Экспертиза и гигиеническая оценка товаров. Сертификация услуг представляет собой процедуру подтвержденная соответствия, посредством которой независимая от исполнителя услуг и потребителя (покупателя) организация удостоверяет в письменной форме, что...
9666. Регистрация и аттестация продукции и услуг 32 KB
  Регистрация и аттестация продукции и услуг. Государственная регистрация продукции осуществляется на основании статьи 43 Федерального закона Российской Федерации от 30 марта 1999 г. N 52-ФЗ О санитарно-эпидемиологическом благополучии населения, ста...
9667. Правила торговли 62.5 KB
  Правила торговли Определение внешнеторговой деятельности дается в Федеральном законе от 13 октября 1995 г. № 157-ФЗ О государственном регулировании внешнеторговой деятельности. Под ней понимается предпринимательская деятельность в области междун..
9668. Товарооборот, цены и тарифы. Правовое регулирование цен 32 KB
  Товарооборот, цены и тарифы Цена - это денежное выражение стоимости продукции, работ, услуг. Разновидностью цены является тариф, который применяется при перевозке. Цены подразделяются на: свободные регулируемые. Свободная цена складывае...
9669. Маркирование товаров. Товарный знак и знак обслуживания 44.5 KB
  Маркирование товаров. Товарный знак и знак обслуживания Маркировка - это условные обозначения и данные, которые наносятся на товар и/или упаковку. Маркировка выполняет следующие функции: информационная идентифицирующая эмоциональная мотивирующая. ...
9670. Понятие оптовой торговли, ее задачи и принципы 34 KB
  Коммерческая деятельность (от лат. commercium - торговля) в широком смысле трактуется как любая предпринимательская деятельность, ориентированная на получение прибыли. Коммерческая деятельность в торговле - охватывает все виды операций, направленных...
9671. ЭТАПЫ КОММЕРЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ОПТОВЫМ ЗАКУПКАМ 33 KB
  Закупочная работа является основой коммерческой деятельности в торговле. С нее по существу начинается коммерческая работа. Чтобы продать товар покупателю (потребителю) и получить прибыль, необходимо располагать (владеть) товаром. Как отмечалось, гла...
9672. Изучение и поиск коммерческих партнеров по закупке товаров. Классификация поставщиков 68.5 KB
  Изучение и поиск коммерческих партнеров по закупке товаров. Классификация поставщиков Для успешного выполнения коммерческих операций по закупкам товаров оптовые базы должны систематически заниматься выявлением и изучением источников закупки и постав...