74366

Метод ньютона второго порядка для решения УУН

Доклад

Энергетика

Метод ньютона второго порядка для решения УУН. По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 квадратичная аппроксимация и решением квадратичного уравнения. а назовем приращением второго порядка. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы.

Русский

2014-12-31

424.5 KB

3 чел.

81. метод ньютона второго порядка для решения УУН.

Учет нелинейности при моделировании УУН осуществляется через квадратичные члены (слагаемые со вторыми производными) разложения Тейлора (8.22) в виде

(8.34)

Более полный квадратичный учет нелинейности по сравнению с линейным в методе Ньютона способствует значительно лучшей сходимости и уменьшению времени решения уравнений. Поясним это графически (рис. 8.1) на примере нелинейного уравнения с одной неизвестной ω(U).

По методу Ньютона (метод касательных), заменив в начальной точке U(0) нелинейное уравнение ω(U) касательной 1 (линейная аппроксимация) и решением линейного уравнения

находится приращение ΔU, и значение переменной . По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 (квадратичная аппроксимация) и решением квадратичного уравнения

(8.34 а)

вычисляется приращение ΔU2, дающее новое значение переменной , которое значительно ближе к точному решению (корню) U по сравнению с приближением , полученным методом Ньютона.

Рис. 8.1. Линейная (1) и квадратичная (2) аппроксимации                                                                                                                       нелинейного уравнения ω(U) в точке U(0).

Приращение ΔU2, определяемое из решения квадратичного уравнения (8.34 а), назовем приращением второго порядка. Использование его в рекуррентном выражении итерационного процесса при определенных условиях обеспечивает более быструю и надежную сходимость.

Возвращаемся к общему (многомерному) случаю. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы (8.22) квадратичных уравнений (СКУ)

(8.35)

на каждом шаге вместо СЛУ (8.31)

(8.36)

в методе Ньютона первого порядка.

Существуют различные пути алгоритмической реализации метода второго порядка в зависимости от способа получения приращения ΔU из СКУ (8.35). В связи с тем, что применение прямых методов для этой цели невозможно, учет нелинейности УУН посредством квадратичного разложения осуществляется косвенно и связан с дополнительным решением СЛУ в новом итерационном процессе.

Обозначим ΔU, как вектор приращения первого порядка, полученный методом Ньютона при решении СЛУ (8.36). Используя ΔU1, результирующее приращение второго порядка можно определить из решения вспомогательной СЛУ

(8.37)

где D — вектор квадратичных добавок в отрезке ряда Тейлора (8.22).

Таким образом, одна внешняя итерация решения УУН заключается в последовательном решении СЛУ (8.36) и (8.37).

Применительно к уравнению ω(U) = О с одной неизвестной СЛУ (8.37) можно записать

отсюда приращение второго порядка

(8.38)

с   учетом   того,   что   в   методе   касательных   приращение   первого   порядка , в итоге получим

(8.39)

Другой способ построения итерационной процедуры второго порядка заключается в том [53], что для решения СКУ (8.35) выполняют два шага по методу Ньютона Во-первых, как и в предыдущем случае, определяются поправки ΔU, из решения СЛУ (8.36). Во-вторых, вычисляются невязки СКУ (8.22) в точке U(1) = U(0) + Δ  ,

т. е.

(8.39 а)

 

Заметим, что выражение справедливо для любого (k-го) шага метода после решения СЛУ (8.36).

После корректировки матрицы Якоби:

решается вспомогательная СЛУ:

(8.40)

относительно δU и находится результирующее приращение

(8.41)

Для сравнения с предыдущими способами перепишем СЛУ (8.40) в виде

(8.42)

Для решения уравнения с одной переменной ω(U) = 0 с учетом ΔU1 =-ω(U)/ω(U) и (8.42) результирующее приращение второго порядка определяют по формуле

(8.43)

Отметим, что, хотя объем вычислений по сравнению с методом Ньютона удваивается, общее время решения благодаря резкому улучшению сходимости уменьшается существенно (в отдельных случаях до 3-5 раз [53]) при близком расходовании памяти ЭВМ. Дополнительный объем вычисления определяется решением СЛУ (8.37) и до-расчетом вторых производных в едином цикле формирования матриц Якоби и Гессе. Заметим, что квадратичная аппроксимация достаточно точно отражает режим ЭС, а эффективность метода в значительной мере зависит от формы записи УУН. Так, уравнения баланса мощности в своем изначальном виде являются квадратичными и полно (без остальных членов) описываются анализируемым отрезком разложения ряда Тейлора (8.22), а потому решения такого уравнения можно получить за одну итерацию. В итоге отметим, что в методе Ньютона второго порядка число внешних итераций

(8.44)

существенно меньше, чем в методе Ньютона. Эффективность метода по времени решения задачи на ЭВМ немаловажна в АСДУ, в проектных и исследовательских задачах, особенно при анализе сильно загруженных ЭС, и возрастает с увеличением размерности задачи, т. е. при расчетах режимов больших и сверхбольших ЭЭС(1—3 тыс. узлов).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71304. Психология судебного процесса 212 KB
  В формировании убеждения можно выделить следующие этапы: предварительное изучение материалов у головного дела с целью решения вопроса о предании обвиняемого суду; планирование судебного разбирательства и выдвижение судебных версий; проверка материалов предварительного следствия...
71305. Исправительная (пенитенциарная) психология 295.5 KB
  Исправительно-трудовая психология исследует: психологические стороны перевоспитания лиц совершивших преступления; возможности приобщения их к трудовой деятельности и адаптации к нормальному существованию в нормальной социальной среде; динамику личности осужденного...
71306. Психология преступного поведения 277 KB
  Криминальная психология изучает психические закономерности личности преступников которые связаны с формированием преступной установки возникновением преступного умысла подготовкой и совершением преступления а также формирование преступного стереотипа поведения.
71307. Понятие личности в психологии и правовой науке 372.5 KB
  Любая реакция человека и его психическое состояние в целом зависят от специфических особенностей конкретной личности которые сформировались у него в процессе приобретения им общественного опыта и от его потребностей интересов и установок...
71308. Предмет, содержание и система юридической психологии 346.5 KB
  Юридическая психология занимает ведущее место в системе подготовки и обучения студентов по специальности «юриспруденция». Данная дисциплина призвана исследовать проблемы повышения эффективности правоприменительной, правоохранительной, а также нормотворческой деятельности...
71309. Судебно-психологическая экспертиза 182 KB
  Основная задача СПЭ сводится к оказанию помощи суду органам предварительного следствия в более глубоком изучении специальных вопросов психологического содержания входящих в предмет доказывания по уголовным делам или являющихся составными элементами гражданско-правовых споров а также...
71310. Судебная психология 240 KB
  Судебное разбирательство как стадия уголовного процесса следует за предварительным следствием. В ходе судебного разбирательства суд должен в полном объеме проанализировать версию предварительного следствия, а также все возможные взаимосвязи событий и обстоятельств дела.
71311. Психология юридического труда 313 KB
  В кабинете следователя ничто не должно отвлекать допрашиваемого. Кабинет следователя должен быть хорошо освещен. Процессуальная самостоятельность следователя прокурора судьи в пределах определяемых законом предполагает высокий уровень ответственности волевых качеств и организаторских способностей.
71312. Основы обеспечения информационной безопасности в ОВД 153.5 KB
  Основной проблемой информационного общества сегодня является проблема защиты информации от ее утечки искажения блокирования систем и средств передачи информации а так же защита сведений конфиденциального характера и государственной тайны.