74366

Метод ньютона второго порядка для решения УУН

Доклад

Энергетика

Метод ньютона второго порядка для решения УУН. По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 квадратичная аппроксимация и решением квадратичного уравнения. а назовем приращением второго порядка. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы.

Русский

2014-12-31

424.5 KB

4 чел.

81. метод ньютона второго порядка для решения УУН.

Учет нелинейности при моделировании УУН осуществляется через квадратичные члены (слагаемые со вторыми производными) разложения Тейлора (8.22) в виде

(8.34)

Более полный квадратичный учет нелинейности по сравнению с линейным в методе Ньютона способствует значительно лучшей сходимости и уменьшению времени решения уравнений. Поясним это графически (рис. 8.1) на примере нелинейного уравнения с одной неизвестной ω(U).

По методу Ньютона (метод касательных), заменив в начальной точке U(0) нелинейное уравнение ω(U) касательной 1 (линейная аппроксимация) и решением линейного уравнения

находится приращение ΔU, и значение переменной . По методу Ньютона второго порядка нелинейное уравнение заменяется кривой второго порядка 2 (квадратичная аппроксимация) и решением квадратичного уравнения

(8.34 а)

вычисляется приращение ΔU2, дающее новое значение переменной , которое значительно ближе к точному решению (корню) U по сравнению с приближением , полученным методом Ньютона.

Рис. 8.1. Линейная (1) и квадратичная (2) аппроксимации                                                                                                                       нелинейного уравнения ω(U) в точке U(0).

Приращение ΔU2, определяемое из решения квадратичного уравнения (8.34 а), назовем приращением второго порядка. Использование его в рекуррентном выражении итерационного процесса при определенных условиях обеспечивает более быструю и надежную сходимость.

Возвращаемся к общему (многомерному) случаю. Основная трудность метода второго порядка заключается в решении системы (8.22) квадратичных уравнений (СКУ)

(8.35)

на каждом шаге вместо СЛУ (8.31)

(8.36)

в методе Ньютона первого порядка.

Существуют различные пути алгоритмической реализации метода второго порядка в зависимости от способа получения приращения ΔU из СКУ (8.35). В связи с тем, что применение прямых методов для этой цели невозможно, учет нелинейности УУН посредством квадратичного разложения осуществляется косвенно и связан с дополнительным решением СЛУ в новом итерационном процессе.

Обозначим ΔU, как вектор приращения первого порядка, полученный методом Ньютона при решении СЛУ (8.36). Используя ΔU1, результирующее приращение второго порядка можно определить из решения вспомогательной СЛУ

(8.37)

где D — вектор квадратичных добавок в отрезке ряда Тейлора (8.22).

Таким образом, одна внешняя итерация решения УУН заключается в последовательном решении СЛУ (8.36) и (8.37).

Применительно к уравнению ω(U) = О с одной неизвестной СЛУ (8.37) можно записать

отсюда приращение второго порядка

(8.38)

с   учетом   того,   что   в   методе   касательных   приращение   первого   порядка , в итоге получим

(8.39)

Другой способ построения итерационной процедуры второго порядка заключается в том [53], что для решения СКУ (8.35) выполняют два шага по методу Ньютона Во-первых, как и в предыдущем случае, определяются поправки ΔU, из решения СЛУ (8.36). Во-вторых, вычисляются невязки СКУ (8.22) в точке U(1) = U(0) + Δ  ,

т. е.

(8.39 а)

 

Заметим, что выражение справедливо для любого (k-го) шага метода после решения СЛУ (8.36).

После корректировки матрицы Якоби:

решается вспомогательная СЛУ:

(8.40)

относительно δU и находится результирующее приращение

(8.41)

Для сравнения с предыдущими способами перепишем СЛУ (8.40) в виде

(8.42)

Для решения уравнения с одной переменной ω(U) = 0 с учетом ΔU1 =-ω(U)/ω(U) и (8.42) результирующее приращение второго порядка определяют по формуле

(8.43)

Отметим, что, хотя объем вычислений по сравнению с методом Ньютона удваивается, общее время решения благодаря резкому улучшению сходимости уменьшается существенно (в отдельных случаях до 3-5 раз [53]) при близком расходовании памяти ЭВМ. Дополнительный объем вычисления определяется решением СЛУ (8.37) и до-расчетом вторых производных в едином цикле формирования матриц Якоби и Гессе. Заметим, что квадратичная аппроксимация достаточно точно отражает режим ЭС, а эффективность метода в значительной мере зависит от формы записи УУН. Так, уравнения баланса мощности в своем изначальном виде являются квадратичными и полно (без остальных членов) описываются анализируемым отрезком разложения ряда Тейлора (8.22), а потому решения такого уравнения можно получить за одну итерацию. В итоге отметим, что в методе Ньютона второго порядка число внешних итераций

(8.44)

существенно меньше, чем в методе Ньютона. Эффективность метода по времени решения задачи на ЭВМ немаловажна в АСДУ, в проектных и исследовательских задачах, особенно при анализе сильно загруженных ЭС, и возрастает с увеличением размерности задачи, т. е. при расчетах режимов больших и сверхбольших ЭЭС(1—3 тыс. узлов).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81513. Нарушения обмена нуклеотидов. Подагра; применение аллопуринола для лечения подагры. Ксантинурия. Оротацидурия 120.73 KB
  Когда в плазме крови концентрация мочевой кислоты превышает норму то возникает гиперурикемия. Вследствие гиперурикемии может развиться подагра заболевание при котором кристаллы мочевой кислоты и уратов откладываются в суставных хрящах синовиальной оболочке подкожной клетчатке с образованием подагрических узлов или тофусов. Поскольку лейкоциты фагоцитируют кристаллы уратов то причиной воспаления является разрушение лизосомальных мембран лейкоцитов кристаллами мочевой кислоты. Это вызывает ингибирование запасных путей спасения усиление...
81514. Биосинтез дезоксирибонуклеотидов. Применение ингибиторов синтеза дезоксирибонуклеотидов для лечения злокачественных опухолей 178.43 KB
  Синтез дезоксирибонуклеотидов идёт с заметной скоростью только в тех клетках, которые вступают в S-фазу клеточного цикла и готовятся к синтезу ДНК и делению. В покоящихся клетках дезоксинуклеотиды практически отсутствуют. Все дезоксинуклеотиды, кроме тимидиловых, образуются из рибонуклеотидов путём прямого восстановления ОН-группы у второго углеродного атома рибозы в составе рибонуклеозиддифосфатов до дезоксирибозы
81515. Биосинтез ДНК, субстраты, источники энергии, матрица, ферменты. Понятие о репликативном комплексе. Этапы репликации 154.76 KB
  Этапы биосинтеза ДНК. Предложен ряд моделей механизма биосинтеза ДНК с участием указанных ранее ферментов и белковых факторов однако детали некоторых этапов этого синтеза еще не выяснены. Основываясь главным образом на данных полученных в опытах in vitro предполагают что условно механизм синтеза ДНК у Е.
81516. Синтез ДНК и фазы клеточного деления. Роль циклинов и циклинзависимых протеиназ в продвижении клетки по клеточному циклу 163.63 KB
  Роль циклинов и циклинзависимых протеиназ в продвижении клетки по клеточному циклу. Все фазы клеточного цикла G1 S G2 M могут различаться по длительности но в особенности это касается фазы G1 длительность которой может быть равна практически нулю или быть столь продолжительной что может казаться будто клетки вообще прекратили деление. В этом случае говорят что клетки находятся в состоянии покоя фаза G0. Клетки эпителия кишечника делятся на протяжении всей жизни человека но даже у этих быстропролиферирующих клеток подготовка к...
81517. Повреждение и репарация ДНК. Ферменты ДНК-репарирующего комплекса 137.99 KB
  Ферменты ДНКрепарирующего комплекса. Процесс позволяющий живым организмам восстанавливать повреждения возникающие в ДНК называют репарацией. Все репарационные механизмы основаны на том что ДНК двухцепочечная молекула т.
81518. Биосинтез РНК. РНК полимеразы. Понятие о мозаичной структуре генов, первичном транскрипте, посттранскрипционном процессинге 108.48 KB
  РНК полимеразы. В ходе процесса образуются молекулы мРНК служащие матрицей для синтеза белков а также транспортные рибосомальные и другие виды молекул РНК выполняющие структурные адапторные и каталитические функции Транскрипция у эукариотов происходит в ядре.принцип комплементарного спаривания оснований в молекуле РНК G ≡ C =U и Т=А.
81519. Биологический код, понятия, свойства кода, коллинеарность, сигналы терминации 105.17 KB
  Генетический код и его свойства Необходимость кодирования структуры белков в линейной последовательности нуклеотидов мРНК и ДНК продиктована тем что в ходе трансляции: нет соответствия между числом мономеров в матрице мРНК и продукте синтезируемом белке; отсутствует структурное сходство между мономерами РНК и белка. Отсюда становится ясным что должен существовать словарь позволяющий выяснить какая последовательность нуклеотидов мРНК обеспечивает включение в белок аминокислот в заданной последовательности. Он позволяет шифровать...
81520. Роль транспортных РНК в биосинтезе белков. Биосинтез аминоацил-т-РНК. Субстратная специфичность аминоацил-т-РНК-синтетаз 125.71 KB
  У человека около 50 различных тРНК обеспечивают включение аминокислот в белок. тРНК называют адапторные молекулы так как к акцепторному концу этих молекул может быть присоединена определённая аминокислота а с помощью антикодона они узнают специфический кодон на мРНК. В процессе синтеза белка на рибосоме связывание антикодонов тРНК с кодонами мРНК происходит по принципу комплементарности и антипараллельности.
81521. Последовательность событий на рибосоме при сборке полипептидной цепи. Функционирование полирибосом. Посттрансляционный процессинг белков 111.26 KB
  Каждая эукариотическая мРНК кодирует строение только одной полипептидной цепи т. она моноцистронна в отличие от прокариотических мРНК которые часто содержат информацию о нескольких пептидах т. Кроме того на полицистронных мРНК синтез белка начинается до того как заканчивается их собственный синтез так как процессы транскрипции и трансляции не разделены.