7449

Марковские модели систем

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Марковские модели систем Введение Основные понятия теории Марковских цепей ввел А.А. Марков в 1907г. С тех пор эту теорию развивали многие ведущие математики. В последнее время обнаружилась важная роль цепей Маркова в биологических и социологических...

Русский

2013-01-24

114.79 KB

141 чел.

Марковские модели систем

Введение

Основные понятия теории Марковских цепей ввел А.А. Марков в 1907г. С тех пор эту теорию развивали многие ведущие математики. В последнее время обнаружилась важная роль цепей Маркова в биологических и социологических науках. Практическое применение теории Марковских цепей требует знания некоторых терминов и основных положений. Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания. В теории систем массового обслуживания (в дальнейшем просто - СМО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.


1. Теоретическая часть

1.1 Марковские модели систем

Одним из важнейших факторов, который должен учитываться, является фактор случайности. Следует отметить при этом, что фактор "неопределенности" не адекватен фактору "случайности", так как при учете "случайности" необходимо, чтобы массовые случайные явления обладали свойством статической устойчивости. Это означает, что учитываемые случайные явления подчиняются определенным статическим закономерностям, требования которых не обязательны при учете неопределенности. Условие статической устойчивости позволяет использовать эффективные математические методы теории случайных процессов и, в частности, одного из ее разделов - теории Марковских процессов. Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как: теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория Марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов. В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции. Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной. По иному, случайную функцию можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид. Такими примерами случайной функции являются: колебания напряжения в электрической цепи, скорость движения автомобиля на участке дороги с ограничением скорости, шероховатость поверхности детали на определенном участке и т.д. Как правило, считают, что если аргументом случайной функции является время, то такой процесс называют случайным.

Если обозначить состояние Si и изобразить зависимость Si(t), то такая зависимость и будет случайной функцией.

Случайные процессы классифицируются по видам состояний Si и аргумента t. При этом случайные процессы могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем.

Например, любой выборочный контроль продукции будет относиться к случайным процессам с дискретными состояниями (S1- годная, S2 - негодная продукция) и дискретным временем (t1, t2 - времена проверки).

С другой стороны, случай отказа любой машины можно отнести к случайным процессам с дискретными состояниями, но непрерывным временем.

Проверки термометра через определенное время будут относиться к случайным процессам с непрерывным состоянием и дискретным временем.

Кроме указанных выше примеров классификации случайных процессов, существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями случайных процессов. Так, например, если в случайном процессе вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия (1):

Pi/i+1 = f (Si , S i-1, S i-2)         (1)

Зависимость Pi/i+1 = f(Si) называют переходной вероятностью, часто говорят, что именно процесс без последействий обладает марковским свойством, однако, строго говоря, здесь есть одна неточность. Дело в том, что можно представить себе случайный процесс, в котором вероятностная связь существует не только с предшествующими, но и более ранними - Si-1, Si+2 ... состояниями. Такие процессы также рассматривались А.А.Марковым, который предложил называть их в отличие от первого случая (простой цепи) - сложной цепью.

Случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью. Если случайная последовательность обладает марковским свойством, то она называется цепью Маркова. С другой стороны, если в случайном процессе состояния дискретны, время непрерывно и свойство последействия сохраняется, то такой случайный процесс называется марковским процессом с непрерывным временем. Марковский случайный процесс называется однородным, если переходные вероятности Pi/i+1 остаются постоянными в ходе процесса. Цепь Маркова считается заданной, если заданы два условия:

1. Имеется совокупность переходных вероятностей в виде матрицы:

Р [n]=  (2)

Матрица (2) называется переходной матицей (матрицей перехода). Элементами матрицы являются вероятности перехода из i-го в j-е состояние за один шаг процесса. Пример расчета такой матрицы приведен в разделе 2.2. Переходная матрица (2) обладает следующими свойствами:

2. Вектор начальных вероятностей описывающий начальное состояние системы.

P(0) = < P01, P02,..,P0n > ,   (3)

Матрица, обладающая свойством (3), называется стохастической. Кроме матричной формы модель марковской цепи может быть представлена в виде ориентированного взвешенного графа. Вершины графа обозначают состояние Si , а дуги - переходные вероятности. Состояния системы марковской цепи определенным образом классифицируются с учетом поведения системы:

а) существенное состояние - возможны переходы из Si в Sj и обратно

б) несущественное состояние - возможен переход из Si в Sj, но невозможен обратный.

В некоторых случаях, несмотря на случайность процесса, имеется возможность до определенной степени управлять законами распределения или параметрами переходных вероятностей. Такие марковские цепи называются управляемыми. Основным признаком детерминированных Марковских цепей является детерминированность временных интервалов между отдельными шагами (этапами) процесса. Однако, часто в реальных процессах это свойство не соблюдается и интервалы оказываются случайными с каким-либо законом распределения, хотя марковость процесса сохраняется. Такие случайные последовательности называются полумарковскими.

Марковский случайный процесс.

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры:

1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t0? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S1 или останется в состоянии S0 и т.д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t0 количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S1, S2, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S0 - оба станка исправны;

S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S3 - оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Граф состояний системы

Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

Марковский процесс с дискретным временем.

Модель Марковского процесса представлена в виде графа, в котором состояния (вершины) связаны между собой связями (переходами из i-го состояния в j-е состояние), см. рисунок 2.

Рисунок 2. Пример графа переходов.

Каждый переход характеризуется вероятностью перехода Pij. Вероятность Pij показывает, как часто после попадания в i-е состояние осуществляется затем переход в j-е состояние. Конечно, такие переходы происходят случайно, но если измерить частоту переходов за достаточно большое время, то окажется, что эта частота будет совпадать с заданной вероятностью перехода.

У каждого состояния сумма вероятностей всех переходов (исходящих стрелок) из него в другие состояния должна быть всегда равна 1 (см. рисунок 3).

Рисунок 3. Фрагмент графа переходов (переходы из i-го состояния являются
полной группой случайных событий).

Например, полностью граф может выглядеть так, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Пример марковского графа переходов.

Реализация Марковского процесса (процесс его моделирования) представляет собой вычисление последовательности (цепи) переходов из состояния в состояние (см. рисунок 5). Цепь на рисунке 5 является случайной последовательностью и может иметь также и другие варианты реализации.

Рисунок 5. Пример Марковской цепи, смоделированной
по Марковскому графу, изображенному на рисунке 4.

Чтобы определить, в какое новое состояние перейдет процесс из текущего i-го состояния, достаточно разбить интервал [0; 1] на подинтервалы величиной Pi1, Pi2, Pi3, … (Pi1 + Pi2 + Pi3 + … = 1), см. рисунок 6.

Рисунок 6. Процесс моделирования перехода из i-го
состояния Марковской цепи в j-е с использованием
генератора случайных чисел.

Пример. Имитация стрельбы из пушки по цели.

Для того чтобы проимитировать стрельбу из пушки по цели, построим модель Марковского случайного процесса.

Определены три состояния: S0 — цель не повреждена; S1 — цель повреждена; S2 — цель разрушена, а вектор начальных вероятностей:

S0

S1

S2

P0

0.8

0.2

0

Значение P0 для каждого из состояний показывает, какова вероятность каждого из состояний объекта до начала стрельбы.

Матрицу перехода состояний показана в таблице 1.

Таблица 1. Матрица вероятностей перехода дискретного Марковского процесса.

В S0

В S1

В S2

Сумма вероятностей
переходов

Из S0

0.45

0.40

0.15

0.45 + 0.40 + 0.15 = 1

Из S1

0

0.45

0.55

0 + 0.45 + 0.55 = 1

Из S2

0

0

1

0 + 0 + 1 = 1

Матрица задает вероятность перехода из каждого состояния в каждое. Вероятности заданы так, что сумма вероятностей перехода из некоторого состояния в остальные всегда равна единице (куда-то система должна перейти обязательно).

Наглядно модель Марковского процесса можно представить себе в виде следующего графа (см. рисунок 7).

Рисунок 7. Граф Марковского процесса, моделирующий стрельбу из пушки по цели.

Используя модель и метод статистического моделирования, попытаемся решить следующую задачу: определить среднее количество снарядов, необходимое для полного разрушения цели.

Пусть начальное состояние будет S0. Значения последовательностей взяты из таблицы случайных чисел: 0.31, 0.53, 0.23, 0.42, 0.63, 0.21, ….

0.31: цель находится в состоянии S0 и остается в состоянии S0, так как 0 < 0.31 < 0.45;

0.53: цель находится в состоянии S0 и переходит в состояние S1, так как 0.45 < 0.53 < 0.45 + 0.40;

0.23: цель находится в состоянии S1 и остается в состоянии S1, так как 0 < 0.23 < 0.45;

0.42: цель находится в состоянии S1 и остается в состоянии S1, так как 0 < 0.42 < 0.45;

0.63: цель находится в состоянии S1 и переходит в состояние S2, так как 0.45 < 0.63 < 0.45 + 0.55.

Так как достигнуто состояние S2 (далее цель переходит из S2 в состояние S2 с вероятностью 1), то цель поражена. Для этого в данном эксперименте потребовалось 5 снарядов.

На рисуноке 8 приведена временная диаграмма, которая получается во время описанного процесса моделирования. Диаграмма показывает, как во времени происходит процесс изменения состояний. Такт моделирования для данного случая имеет фиксированную величину. Важен сам факт перехода (в какое состояние переходит система) и не важно, когда это происходит.

Рисунок 8. Временная диаграмма переходов

в Марковском графе (пример имитации).

Процедура уничтожения цели совершена за 5 тактов, то есть Марковская цепь этой реализации выглядит следующим образом: S0S0S1S1S1S2. Конечно, ответом задачи это число быть не может, так как в разных реализациях получатся разные ответы. А ответ у задачи может быть только один.

Повторяя данную имитацию, можно получить, например, еще такие реализации (это зависит от того, какие конкретно случайные числа выпадут): 4 (S0S0S1S1S2); 11 (S0S0S0S0S0S1S1S1S1S1S1S2); 5 (S1S1S1S1S1S2); 6 (S0S0S1S1S1S1S2); 4 (S1S1S1S1S2); 6 (S0S0S1S1S1S1S2); 5 (S0S0S1S1S1S2). Всего уничтожено 8 целей. Среднее число циклов в процедуре стрельбы составило: (5 + 4 + 11 + 5 + 6 + 4 + 6 + 5)/8 = 5.75 или, округляя, 6. Именно столько снарядов, в среднем, рекомендуется иметь в боевом запасе пушки для уничтожения цели при таких вероятностях попаданий.

Определяем точность. Именно точность может нам показать, насколько следует доверять данному ответу. Для этого необходимо проследить, как сходится последовательность случайных (приближенных) ответов к правильному (точному) результату.

На первом этапе вычислений средний ответ составил 5 снарядов, на втором этапе средний ответ составил (5 + 4)/2 = 4.5 снаряда, на третьем — (5 + 4 + 11)/3 = 6.7. Далее ряд средних величин, по мере накопления статистики, выглядит следующим образом: 6.3, 6.2, 5.8, 5.9, 5.8. Если изобразить этот ряд в виде графика средней величины выпущенных снарядов, необходимых для поражения цели, в зависимости от номера эксперимента, то обнаружится, что данный ряд сходится к некоторой величине, которая и является ответом (см. рисунок 9).

Рисунок 9. Изменение средней величины в зависимости от номера эксперимента.

Визуально мы можем наблюдать, что график «успокаивается», разброс между вычисляемой текущей величиной и ее теоретическим значением со временем уменьшается, стремясь к статистически точному результату. То есть в некоторый момент график входит в некоторую «трубку», размер которой и определяет точность ответа.

В вышерассмотренном случае безразлично, в какие моменты времени будет происходить переход. Переходы идут такт за тактом. Если важно указать, в какой именно момент времени произойдет переход, сколько времени система пробудет в каждом из состояний, требуется применить модель с непрерывным временем.

Марковские случайные процессы с непрерывным временем

Модель Марковского процесса представлена в виде графа, в котором состояния (вершины) связаны между собой связями (переходами из i-го состояния в j-е состояние), см. рисунок 10.

Рисунок 10. Пример графа Марковского процесса с непрерывным временем.

Теперь каждый переход характеризуется плотностью вероятности перехода λij. По определению:

При этом плотность понимают как распределение вероятности во времени.

Переход из i-го состояния в j-е происходит в случайные моменты времени, которые определяются интенсивностью перехода λij.

К интенсивности переходов (здесь это понятие совпадает по смыслу с распределением плотности вероятности по времени t) переходят, когда процесс непрерывный, то есть, распределен во времени.

Зная интенсивность λij появления событий, порождаемых потоком, можно сымитировать случайный интервал между двумя событиями в этом потоке.

где τij — интервал времени между нахождением системы в i-ом и j-ом состоянии.

Система из любого i-го состояния может перейти в одно из нескольких состояний j, j + 1, j + 2, …, связанных с ним переходами λij, λij + 1, λij + 2, ….

В j-е состояние она перейдет через τij; в (j + 1)-е состояние она перейдет через τij + 1; в (j + 2)-е состояние она перейдет через τij + 2 и т. д.

Система может перейти из i-го состояния только в одно из этих состояний, причем в то, переход в которое наступит раньше.

Поэтому из последовательности времен: τij, τij + 1, τij + 2 и т. д. надо выбрать минимальное и определить индекс j, указывающий, в какое именно состояние произойдет переход.

Пример. Моделирование работы станка.

Промоделируем работу станка (см. рисунок 10), который может находиться в следующих состояниях: S0 — станок исправен, свободен (простой); S1 — станок исправен, занят (обработка); S2 — станок исправен, замена инструмента (переналадка) λ02 < λ21; S3 — станок неисправен, идет ремонт λ13 < λ30.

Значения параметров λ: λ01 — поток на обработку (без переналадки); λ10 — поток обслуживания; λ13 — поток отказов оборудования; λ30 — поток восстановлений. Реализация будет иметь следующий вид (рисунок 11).

Рисунок 11. Пример моделирования непрерывного Марковского процесса с визуализацией на временной диаграмме (желтым цветом указаны запрещенные, синим — реализовавшиеся состояния).

Из рисунка 11 видно, что реализовавшаяся цепь выглядит так: S0S1S0—… Переходы произошли в следующие моменты времени: T0T1T2T3—…, где T0 = 0, T1 = τ01, T2 = τ01 + τ10. Алгоритм имитации будет иметь следующий вид (рисунок 12).

Рисунок 12. Блок-схема алгоритма моделирования непрерывного Марковского процесса на примере имитации работы станка.

Очень часто аппарат Марковских процессов используется при моделировании компьютерных игр, действий компьютерных героев.

Скрытая Марковская модель — статистическая модель, имитирующая работу процесса, похожего на Марковский процесс с неизвестными параметрами, и задачей ставится разгадывание неизвестных параметров на основе наблюдаемых. Полученные параметры могут быть использованы в дальнейшем анализе, например, для распознавания образов.

В обычной Марковской модели состояние видимо наблюдателю, поэтому вероятности переходов — единственный параметр. В скрытой марковской модели мы можем следить лишь за переменными, на которые оказывает влияние данное состояние (Рисунок 13). Каждое состояние имеет вероятностное распределение среди всех возможных выходных значений. Поэтому последовательность символов, сгенерированная скрытой Марковской моделью, даёт информацию о последовательности состояний.

Во второй половине 1960-х Баум с коллегами опубликовал первые заметки о скрытых марковских моделях. И уже в середине 70-х их впервые применили при распознавании речи. С середины 1980-х скрытые Марковские модели применяются при анализе биологических последовательностей, в частности ДНК.

Основное применение скрытые Марковские модели получили в области распознавания речи, письма, движений и биоинформатике.

Рисунок 13. Диаграмма переходов в скрытой Марковской модели.

x — скрытые состояния

y — наблюдаемые результаты

a — вероятности переходов

b — вероятность результата

Диаграмма на рисунке 14 показывает общую архитектуру скрытой Марковской модели. Овалы представляют собой переменные со случайным значением. Случайная переменная x(t) представляет собой значение скрытой переменной в момент времени t. Случайная переменная y(t) — это значение наблюдаемой переменной в момент времени t. Стрелки на диаграмме символизируют условные зависимости.

Из диаграммы становится ясно, что значение скрытой переменной x(t) (в момент времени t) зависит только от значения скрытой переменной x(t − 1) (в момент t − 1). Это называется свойством Маркова. Хотя в то же время значение наблюдаемой переменной y(t) зависит только от значения скрытой переменной x(t) (обе в момент времени t).

Рисунок 14. Архитектура скрытой Марковской модели.

Пример скрытой Марковской модели:

Представим двух друзей, обсуждающих каждый вечер по телефону, что они сегодня делали днём. Ваш друг может делать лишь три вещи: гулять в парке, ходить за покупками или убираться в комнате. Его выбор основывается лишь на погоде, которая была в момент принятия решения. Вы ничего не знаете о погоде в том регионе, где живёт ваш друг, но вы можете, основываясь на его решениях, попытаться предугадать, какая погода была.

Погода представима в виде марковской цепи, она имеет два состояния: солнечно или дождливо, но вы не можете сами увидеть её, поэтому она скрыта от вас. Каждый день ваш друг принимает одно из трёх возможных решений: прогулка, покупки или уборка. Вы можете узнать о решении вашего друга, поэтому это наблюдаемое значение. В целом мы получаем скрытую Марковскую модель.


2. Практическая часть

2.1 Построение модели в GPSS World

Условие задачи:

В вычислительную машину, работающую в системе управления технологическим процессом, через каждые 2-4 секунды поступает информация от датчиков и измерительных устройств. До обработки на ЭВМ информационные сообщения накапливаются в буферной памяти емкостью в одно сообщение. Продолжительность обработки сообщений на ЭВМ - 3-7 секунды. Динамика технологического процесса такова, что имеет смысл обрабатывать сообщения, ожидавшие в буферной памяти не более 12 секунд. Остальные сообщения считаются потерянными. Смоделировать процесс поступления в ЭВМ 200 сообщений. Подсчитать число потерянных сообщений и определить коэффициент загрузки ЭВМ.

Листинг программы:

generate 3,1,,200

transfer ,met1

generate 12,,,,5

met1 preempt buf,PR,evm,,RE

return buf

evm seize ust2

advance 5,2

release ust2

terminate 1

start 200


Отчет о работе модели:

             GPSS World Simulation Report - Kursovaya model.9.1

                  Friday, December 18, 2009 10:49:31  

          START TIME           END TIME  BLOCKS  FACILITIES  STORAGES

               0.000           1017.169     9        2          0

             NAME                       VALUE  

         BUF                         10000.000

         EVM                             6.000

         MET1                            4.000

         UST2                        10001.000

LABEL              LOC  BLOCK TYPE     ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

                   1    GENERATE           200             0       0

                   2    TRANSFER           200             0       0

                   3    GENERATE            84             0       0

MET1                4    PREEMPT            284             0       0

                   5    RETURN             284            83       0

EVM                 6    SEIZE              201             1       0

                   7    ADVANCE            200             0       0

                   8    RELEASE            200             0       0

                   9    TERMINATE          200             0       0

FACILITY         ENTRIES  UTIL.   AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

BUF                284    0.000       0.000  1        0    0    0     0      0

UST2               201    0.996       5.042  1      147    0    0     0     83

CEC XN   PRI          M1      ASSEM  CURRENT  NEXT  PARAMETER    VALUE

  147    0         354.932    147      6      7

FEC XN   PRI         BDT      ASSEM  CURRENT  NEXT  PARAMETER    VALUE

  285    5        1020.000    285      0      3

Вывод по отчету.

Создано 200 сообщений, всего обработано 200, 83 сообщения было утеряно. Загруженность устройств показана в разделе UTIL (почти 100% загруженность ЭВМ), а количество обработанных каждым устройством сообщений в разделе ENTRIES.


2.2. Расчет вектора Мε

0.2 

0.2 

0.1 

0.5 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0.3 

0.1 

0.4 

0.2 

=

1

0

0

0

0

1 

0 

0 

0,1

0,2 

0,2 

0,5 

0.4

0.1 

0.3 

0.2 

=

I

0

RQ


I-Q =

Находим обратную матрицу:

Алгоритм Штрассена предусматривает перемножение квадратных матриц, количество строк которых (и соответственно столбцов) является точной степенью двойки.

 =  *

1=a*0,8 – 0,3b

0=-0,5a+0,8b

0=0,8c – 0,3d

1=-0,5c+0,8d

(I-Q)-1 =

ME =  * =

В данном случае компоненты вектора МE означают, что если процесс начинается с состояния S2 то общее среднее число шагов процесса до поглощения будет равно 2.653 и, соответственно, если процесс начинается с состояния S3, то - 2,245.


Заключение

Возникает вопрос, всегда ли можно удовлетворить нашим моделям экономики равновесия. Разумеется, нас интересуют лишь такие экономические системы, которые могут реально существовать. Это значит, что рассматриваемые товары (вход) должны быть товарами, которые как-то производятся и которые не могут быть произведены из ничего. Следовательно, в каждом процессе должен затрачиваться по меньшей мере один процесс, производящий этот товар. Рассмотренные примеры можно существенно улучшить, если рассчитать данные с учетом реальных условий.


Список литературы

  1.  Дж. Кемени и Дж. Снелл «Конечные цепи Маркова», Наука, М-1970г., 273с.
  2.  Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование – М.: “Техническая книга” 2004 г. -380с.
  3.  Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов - М.: Высшая школа, 2001 г. –343с.
  4.  Кудрявцев Е.М. “GPSS WORLD Основы имитационного моделирования различных систем” – М.:ДМК Пресс, 2004 -320с.
  5.  Советов Б.Я., Яковлев С.А. "Моделирование систем" Лабораторный практикум - М.: Высшая школа, 1999 г. –224с.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23686. ЧЕЛОВЕК В ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ОРГАНИЗАЦИИ 147 KB
  И задачей данной лекции является определение ее ключевых признаков рассмотрение основных экономических и социологических подходов к хозяйственной организации. Будучи продуктом социального и экономического действия индивидов организации обретают особую ранее не существовавшую независимость и образуют те структурные рамки в которых теперь развивается весомая часть всякой хозяйственной деятельности. Несмотря на важность организационного переустройства экономики вклад экономистов основного потока в теорию организации оказался достаточно...
23687. Краткие теоретические сведения и требования к электротехническим сталям 157.5 KB
  Удельные потери в стали слагаются из потерь от гистерезиса и вихревых токов. В соответствии с назначением выпускаемые горячекатаные и холоднокатаные стали разделяются на два класса: изотропные и анизотропные. Изотропные – все марки малотекстурованной стали с анизотропией магнитных свойств ограниченной определенным уровнем и марки горячекатаной стали имеющие слабо выраженную текстуру. Изотропные электротехнические стали по степени легирования кремнием разделяются на шесть групп указанных в табл.
23688. Оптимизация технологического процесса нитрации с детальной разработкой фазы кислотоотжима нитроцеллюлозы на центрифуге 662 KB
  Легкость воспламенения, возможность превращения путем желатинизации в медленногорящий материал, активный кислородный баланс молекулы, выделение большого количества газов при разложении и доступность исходных материалов объясняют применение нитратов целлюлозы для производства бездымного пороха.
23689. Внутрипартийная борьба. Борьба за власть. Репрессии и большой террор 145.5 KB
  Между приступами болезни Ленин диктовал письма и статьи излагая в них свои мысли о дальнейшем развитии страны и задачах партии. В Письме к съезду названным впоследствии Завещание Ленина Ленин дал характеристики шести видным членам ЦК партии от взаимоотношения которых зависело единство партии и то что нужно увеличить количество большевиков с десятка и до сотни тысяч. О Бухарине: Бухарин не только ценнейший и крупнейший теоретик партии он также законно считается любимцем всей партии но его теоретические воззрения очень с большим...
23690. Растровое кодирование графической информации 23.89 KB
  1 слайд 2. 2 слайд В компьютере мы можем хранить всю информацию а где именно в памяти 3 слайд. 4 слайд Что же вы хотите узнать при изучении данного вопроса 5 слайд Мы узнаем как же кодируется графическая информация в памяти компьютера. 6 слайд.
23691. Основы теории и методики музыкального образования детей школьного возраста 117 KB
  Николо Паганини Каприс №24 amoll ор. звучит фрагмент Большой этюд №6 по Капрису Паганини №24 транскрипция Тема Д: Это звучит фортепиано музыка изначально написана наверное для другого инструмента. Кто же он вы знаете слайд Д: Никколо Паганини. У: Прозвучала тема одного из самых знаменитых произведений Паганини – каприса №24 ля минор для скрипки соло фрагмент в исполнении скрипки.
23692. Футбол. Передачи мяча внутренней стороной стопы. Ведение мяча. Удары по неподвижному мячу 52.5 KB
  Подготовительная часть 15 минут Построение. Если даже слон научился футболу то чем мы хуже ребята Результат умножить на 4 чтобы узнать за 1 минуту. 1 мин. 1 мин.
23693. Футбол. Спорт в жизни учеников 44 KB
  8мин 1. 1мин Сидя на рабочих местах. За 2 минуты посовещавшись в своей группе сформулируйте в нескольких предложениях почему вы придерживаетесь своей точки зрения. Ученики через 2 минуты выбирают капитана который защищает точку зрения группы.
23694. Правила гри в футбол 53 KB
  Можливо саме ви а не іноземці допоможете Закарпаттю виграти Європейські кубки. – стійка ноги нарізно руки на поясі: 1нахил голови вперед; 2 те саме назад; 3 те саме ліворуч; 4 те саме праворуч. 34 те саме ліворуч. стійка ноги нарізно руки в сторони: 14 по черзі колові оберти в плечових суглобах вперед; 14 те саме назад.