75101

Исторические задачи

Практическая работа

Педагогика и дидактика

Решение исторических задач на составление уравнения. При решении уравнения Если в части одной Безразлично какой Встретится член отрицательный Мы к обеим частям С этим членом сличив Равный член придадим Только с знаком другим И найдем результат нам желательный.

Русский

2015-01-12

67.5 KB

4 чел.

Конференция Исторические задачи (2 урока)

Цели:

закрепить умения решать задачи составлением уравнений;

• прививать интерес к истории алгебры;

• развивать культуру устной и письменной математической речи, умение выступать перед аудиторией с подготовленным сочинением;

приучать работе со справочной, дополнительной литературой.

Оформление доски: исторические задачи на составление уравнения.

План конференции

1. Исторический экскурс и теория решения уравнений.

2. Язык алгебры - уравнение. Перевод задачи «с родного языка на язык алгебры».

3. Решение исторических задач на составление уравнения.

4. Заключение. Знакомство с литературой, рефератами.

Ход урока-конференции

Учитель. Алгебра - один из важнейших разделов математики, который помогает решать сложные задачи, встречающиеся в науке, технике и практической жизни.

В истории арифметики и алгебры           

большое значение имеют труды Мухаммеда ал-Хорезми. Написанный им в начале IX в. алгебраический трактат «Китаб ал-джабр ва-л-мукабала» явился  первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра - это искусство решения уравнений, необходимое людям, как писал он, «в случаях наследования, наследованных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех их деловых взаимоотношениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода».

Много уравнений умел решать греческий математик Диофант, который даже применял буквы для обозначения неизвестных. Но по-настоящему метод решения уравнений был сформулирован арабскими учеными. Они, по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы решения и привели их в систему.

Первым книгу о решении уравнений написал на арабском языке уже знакомый нам Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Название у нее было очень странное - «Краткая книга об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало хорошо известное нам слово «алгебра». Что же означают слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»? Ответ на этот вопрос дадут ваши архивариусы (архивариус - хранитель архивных документов).

Первый архивариус. Вот как писал в стихах один персидский математик:

Ал-джабра (записано на доске, показывает).

При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим

- И найдем результат нам желательный.

Второй архивариус.

•Ал-мукабала (записано на доске, показывает).

Дальше смотрим на уравнение,
Можно ль сделать приведенье.
Если члены в нем подобны,
Сопоставить их удобно.
Вычтя равный член из них,
К одному приводим их.

Первый архивариус. Таким образом, «ал-джабра» называлась операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Дело в том, что в те времена отрицательные числа считались абсурдными, фиктивными; перенесение же их с противоположным знаком в другую часть уравнения и превращение их таким образом в положительные числа как бы восстанавливало их, превращало в настоящие числа.

Второй архивариус. Слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов. В отличие от слова «ал-джабра», которое в форме «алгебра» стало одним из самых употребительных в математике, про «ал-мукабалу» помнят только историки науки.

Первый архивариус. Итак, когда при решении уравнения

6х - 13 = 2х - 5 (записано на доске) мы заменяем его уравнением

6х + 5 = 2х + 13 (пишет), то делаем операцию «ал-джабра».

Второй архивариус. Когда после этого мы заменяем члены 6х и 2х на 4х в левой части, а 13 и 5 на 8 - в правой части (пишет = 8) и получаем уравнение 4х = 8, то делаем «ал-мукабалу». Операция последующего деления обеих частей уравнения на 4 специального названия не получила.

Учитель. Спасибо архивариусам за экскурс в историю математики. Чтобы приготовить эти сообщения, им пришлось перелистать страницы книг Г.И. Глейзера «История математики в школе (4-6 кл.)» и И.Я. Депмана, Н.Я. Виленкина «За страницами учебника алгебры».

Решение исторических задач на составление уравнения. Язык алгебры- И или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебры «Всеобщая арифметика».

Как именно выполняется такой перевод, Ньютон показал на примерах. Вот один из них (кодопозитив):

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается решить последнее уравнение:
64* -14 800

       27         =

(Один ученик решает на доске, остальные решают в своих тетрадях.)

Имеем: 64х - 14 800 = 54х,

64х - 54х = 14 800,
10х = 14 800,

х = 1480.
Итак, купец первоначально имел 1480 фунтов.

Учитель. Решение уравнений - зачастую дело нетрудное, составление уравнения по данным задачи чаще вызывает затруднения. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен, поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот речи. «Переводы» имеют различную трудность.

Практически не сохранилось фактов биографии замечательного древнего александрийского математика Диофанта, жившего в III в. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его надгробии, составленной в форме математической задачи. Вот эта надпись (с переводом на язык алгебры):

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант.

Предложите учащимся самостоятельно решить полученное уравнение, один ученик работает на переносной доске, или на пленке; правильность решения проверяем с помощью кодоскопа. Имеем:

х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4

умножим обе части уравнения на 84, получаем:
84х = 14х+ 7х + 12х + 420 + 42х + 336,
84х = 75х + 756,
84х - 75х = 756,
9х = 756,
х=756/9

х = 84.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Учитель. Учебные задачи, которые мы решаем сегодня с помощью уравнения, были хорошо известны еще в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте, в Древнем Китае, в Древней Индии и Древней Греции. Решим несколько старинных задач (сообщения учеников).

1. Задача Бхаскары.
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве - третью долю этого множества, Вишпу - пятую, Солнцу - шестую, четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

Ответ. Всего было 120 цветков лотоса.

2.Задача Сриддхары

Есть кадамба цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.
Разность ты их найди.
Ее трижды сложи
И тех пчелок на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед, и везде

Ароматом цветов наслаждаясь.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.

Ответ. Всего собралось 15 пчел.

3. (Из арифметики Магницкого.) Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублей и каф-тан. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он же дади ему по достоинству расчет, 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

Решение. Пусть х рублей стоил кафтан, тогда имеем

Ответ. Кафтан стоил 4 рубля 80 копеек.

4. В рассказе «Репетитор» великий русский писатель Антон Павлович Чехов приводит следующую задачу: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

Решение. Пусть было х аршин синего сукна, тогда черного сукна 138 - х (аршин). Получаем:

Если х = 63, то 138 - х =138 - 63 = 75 Ответ. Купец купил 63 аршина синего сукна, а черного - 75 аршин.

5. (Старинная русская задача) Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

Пусть у учителя было х учеников. Тогда получаем:

Умножим обе части уравнения на 4:

4х + 4х + 2х + х + 4 = 400,   11х = 396,  х = 36.

Ответ. У учителя было 36 учеников.

Учитель. Конференция закончилась. И если у вас появилось желание попробовать свои силы в решении старинных задач на составление уравнений, то возьмите в библиотеке следующие книги:

Депман ИЛ., Виленкин НЛ. «За страницами учебника алгебры».

Игнатьев ЕМ. «В царстве смекалки»;

Кордемский Б А. «Математическая смекалка»;

Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»;

Комментарии к задачам, предложенным учениками

1.  Перевод с родного языка на язык алгебры разобран подробно, а решение уравнения пояснялось по готовым записям на доске, и учащиеся записывали решение уравнения кратко.

2.  Ученик сразу записал составленное им уравнение и по тексту задачи показал, что означает каждый из членов левой и правой частей уравнения. Решение уравнения пояснено подробно с записью его в тетради каждого учащегося.

3.  Дано подробное обоснование к составлению уравнения с записью учащимися в тетрадь. Уравнение решено на основании свойства пропорции, поэтому его решение не потребовало много времени.

4.  Дано подробное обоснование к составлению уравнения, учащиеся записали его в свои тетради, затем записали уравнение и его корень. Дали ответ к задаче, т. к. уравнение простое и решение его не вызывает затруднения.

5. Показан выбор неизвестного и сразу по тексту задачи сделан перевод с родного языка на язык алгебры — составлено уравнение. Его решение записано кратко, так как особых трудностей нет.

Таким образом, на уроке больше внимания было уделено обоснованию составления уравнения к задаче.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79998. Разработка эффективной стратегии развития объектов размещения 771 KB
  Разработана система стратегий, которые могут реализовать гостиничные предприятия: повышение уровня конкуренции, дифференциация услуг, фокусирование, стратегия продвижения; разработаны предложения по совершенствованию системы управления производственной деятельностью компании на основе прогрессивных подходов к решению задач управления и результатов управленческой практики ведущих отечественных предприятий...
79999. ЭВОЛЮЦИЯ КАТЕГОРИИ «ДОБРОСОВЕСТНОСТЬ» В ГРАЖДАНСКОМ ПРАВЕ РОССИИ 283.24 KB
  Исследование содержания категории «добросовестность» в науке гражданского права и в правоприменительной практике. Выявление соотношения недобросовестного поведения и злоупотребления правом в цивилистической науке и судебной практике. Изучение презумпции добросовестности в цивилистике и правоприменительной практике.
80000. Интеллектуальный анализ влияния текущих событий на протекание связанных с ними процессов 336.53 KB
  Дипломная работа посвящена методике разработки программного продукта для поиска причин в изменениях трендов в данных. Рассмотрено создание системы предобработки данных и разработка системы классификации на базе различных алгоритмов машинного обучения. В работе определяется область применения разработанной программы. Для разработки системы предобработки данных использован язык программирования
80001. ОРГАНІЗАЦІЯ ОБЛІКУ ВИТРАТ ТА МЕТОДИКА АНАЛІЗУ СОБІВАРТОСТІ ПОСЛУГ 757 KB
  Привести існуючий порядок обліку затрат до Методичних рекомендацій з формування собівартості будівельно-монтажних робіт; запровадити зарубіжний досвід системи калькулювання «Директ-костинг»; автоматизувати облік, що підвищить продуктивність праці бухгалтерів;
80002. История поселка Хвойная 234 KB
  Хвойнинский район находится на северо-западе Европейской части России, на стыке трех областей: Ленинградской, Вологодской и Новгородской. Он граничит на Севере с Тихвинским районом Ленинградской области, на северо-востоке с Чагодощенским районом Вологодской области и районами Пестовским, Мошенским, Боровичским, Любытинским Новгородской области
80003. Задачи IV соросовской олимпиады по математике для 6 - 11 классов 1.94 MB
  В последнее десятилетие широкую известность получили так называемые соросовские олимпиады, проводимые под эгидой фонда Сороса. Уровень этих олимпиад весьма высок и успех на них возможен только при наличии незаурядных математических способностей.
80004. ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭФФЕКТОВ НА ДИНАМИКУ ВСПЛЫТИЯ ПУЗЫРЬКА 2.21 MB
  Данная работа состоит из трех разделов. В первом рассмотрена динамика всплытия пузырька в стационарном режиме. Приведены теоретические расчеты скорости пузырьков в различных растворах. При движении пузырьков в режиме ускорения на них действуют дополнительные силы: сила, приведенной массы, связанная с присоединенной массой и сила Бассэ.
80005. Сравнительный анализ «опыта потока» в игровой и продуктивной деятельности 1.15 MB
  Человек, переживающий поток, оказывается сверхвовлеченным и сверхсконцентрированным в своей деятельности, причем она доставляет ему огромное удовольствие. Поток принадлежит к кругу явлений внутренней мотивации: деятельностью, в которой возникает поток, люди продолжают заниматься ради самого процесса, конечный результат не столь важен для них.
80006. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА РЕГЛАМЕНТНЫХ РАБОТ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА СРЕДНЕГО ПОТОКА В СЕТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ТРАНСПОРТИРОВКИ НЕФТИ ПО МАГИСТРАЛЬНОМУ НЕФТЕПРОВОДУ 960 KB
  проведена программная реализация алгоритма Форда – Фалкерсона нахождения максимального потока в сети, построен и программно реализован алгоритм субоптимального планирования регламентных работ на участках нефтепровода по критерию максимума потока в сети. Тем самым разработан и реализован метод решения задачи максимизации потока в нестационарной сети на основе алгоритма Форда – Фалкерсона.