75608

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортонормированный базис Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Возникает вопрос нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же как она вводится для векторного пространства Иначе говоря нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций Если это возможно то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. Рассмотрим некоторое множество функций семейство функций. Если число этих функций невелико можно...

Русский

2015-01-15

259.5 KB

3 чел.

ОС.Лекция 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Ортонормированный базис

Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Например, при измерении длины используют один стандарт величины (сантиметры, миллиметры). Если принять, что 1 см – единица измерения, то 5см больше 1 см в 5 раз, следовательно, выражается как 5 единиц. Так же и в векторном пространстве принято выбирать единицу измерения, которая выражает стандарт величины. Однако в двумерном пространстве одного параметра, измеряющего величину, недостаточно. Необходимо два параметра.

Пара взаимно перпендикулярных векторов {v1,v2} называется ортогональным базисом. Кроме того, если , то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Иначе говоря, единичный вектор, это вектор, выражающий величину одной единицы измерения. Следовательно, ортонормированный базис представляет собой пару взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров дают величину вектора.

Выразим вектор f через векторы ортонормированного базиса v1 и v2 и совокупность коэффициентов С1 и С2:

f = C1v1+C2v2

Коэффициенты С1 и С2 выражфют величину составляющих вектора f в направлении v1 и в направлении v2. Иначе говоря, определяют величину вектора. Любой вектор на плоскости можно выразить через это соотношение. Векторы C1v1 и  C2v2 называются проекциями вектора f .

Пусть дан вектор f и заранее образована система базисных векторов {v1,v2}. Для того, чтобы выразить вектор f через базис  {v1,v2} необходимо знать, как получить коэффициенты С1 и С2. Забегая вперед, представим коэффициенты С1 и С2 как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов v1 и v2 .

А теперь покажем, как выводится эта формула. Пусть

Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства и вектора v1

Согласно свойствам базиса

И так как правая часть равна С1, то справедливо равенство:

Подобным образом можно получить выражение для С2:

Ортонормированный базис – это множество взаимно перпендикулярных единичных векторов. Множество векторов {vk, k=1,2,…N}

в N – мерном пространстве, где

(т.е. vm  vn взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом.

Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе говоря, они независимы.

Используя ортонормированный базис, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Иначе говоря, N – мерный вектор можно представить в виде:

В этой формуле, по аналогии с приведенной ранее, коэффициент Ck выражается как:

Коэффициент Ck показывает величину составляющей вектора f в направлении вектора  и выражается в виде скалярного произведения f  и  vk .

Возникает вопрос, нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же, как она вводится для векторного пространства? Иначе говоря, нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций? Если это возможно, то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. То есть ее можно разложить на составляющие – функции, свойства которых известны заранее.

Рассмотрим некоторое множество функций (семейство функций). Если число этих функций невелико, можно обозначить их, используя алфавит, как {f(t), g(t), h(t),…}. Для того чтобы выразить множество, включающее бесконечно большое число функций, можно обозначить их, используя нижний индекс

Будем считать, что любые две функции из этого семейства функций на интервале [a, b] взаимно перпендикулярны. Иначе говоря, если скалярное произведение

то семейство этих функций называется системой ортогональных функций. Кроме того, если  норма каждой из этих функций равна 1:

то это семейство называется ортонормированной системой функций.

С помощью ортонормированной системы функций функцию f(t) можно выразить следующим образом.

Из этого соотношения понятно, что коэффициент Ck выражает долю составляющей fk(t) функции f(t). Мы уже знаем, что для вывода выражения Ck  нужно взять скалярное произведение f(t) и fk(t). Из предыдущих соотношений получим:

По определению системы ортонормированных функций, скалярное произведение всех комбинаций с равно нулю, поэтому в итоге в правой части равенства остается лишь Ck. Следовательно,

На конкретном примере рассмотрим, какая система функций является системой ортонормированных функций? Например, образует ли система функций

на отрезке систему ортонормированных функций? Для того, чтобы исследовать это, нужно провести следующие вычисления:

Следовательно, 1 и sin nt взаимно перпендикулярны. Если , то

Используя формулу преобразования тригонометрических выражений

получим:

Т.е. sin mt и sin nt () также взаимно перпендикулярны.

Из вышеизложенных результатов следует, что множество функций {1, sin t, sin 2t, …} образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции

не равна 1, а значит, функции не являются ортонормированными.

Если норма функции f(t) не равна 1, то создадим новую функцию f*(t):

Очевидно, что норма f*(t) равна 1. Подобная операция называется нормировкой системы функций. В нашем случае

поэтому, представляя исходную систему функций в новом виде:

получим множество функций, образующих систему ортонормированных функций.

Однако, как будет показано далее, выполнение условия ортонормированности системы функций является необходимым условием возможности разложения по системе функций, но не является достаточным условием возможности разложения.

Практические задания

1. Докажите, что периодические сигналы, изображенные ниже на рисунке, соответствуют условию ортогональности.

2. Докажите, что множество функций

образует на отрезке систему ортонормированных функций.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28821. На каких принципах был построен СССР в 1922г? Какие альтернативные варианты объединения обсуждались 14.64 KB
  I съезд Советов СССР утвердил Декларацию и Договор об образовании Союза Советских Социалистических республик. II съезд Советов СССР принял первую Конституцию СССР она состояла из Декларации и Договора об образовании СССР. Конституция признавала республики суверенными государствами с правом свободного выхода из Союза внесения в свои конституции изменений в соответствии с Конституцией СССР.
28822. Какое значение имел НЭП для социалистического строительства? Почему он был свернут 20.45 KB
  Достижения нэпа значительны: к 1925 г. Вместе с тем успехи нэпа не следует преувеличивать. Противоречия нэпа проявлялись в: экономике техническая отсталость промышленности высокие темпы ее восстановления острая потребность в обновлении производственных мощностей нехватка капиталов внутри страны. невозможность широкого привлечения иностранных капиталовложений абсолютное преобладание мелких полунатуральных крестьянских хозяйств на селе; социальной сфере усиление неравенства неприятие нэпа значительной частью рабочего класса и...
28823. Планы осуществления индустриализации в СССР: проекты, цели, пути осуществления, итоги 16.39 KB
  Задачу осуществления индустриализации т. Где взять капиталы для финансирования промышленности Какие темпы индустриализации дадут стабильный устойчивый рост Какую пену готово заплатить за неизбежные лишения общество К 1927 г. первый подход обоснованный видными ученымиэкономистами: капиталы для финансирования индустриализации дадут развитие частного предпринимательства привлечение иностранных займов расширение торгового оборота; темпы индустриализации должны быть высокими но при этом ориентироваться на реальные возможности а не на...
28824. «Великий перелом» в сельском хозяйстве и его цена 19.12 KB
  когда крестьяне продавали зерно по выгодным для себя рыночным ценам а государство сделало успешные закупки. Деревня была обеспокоена внешними проблемами и крестьяне не желали продавать зерно. Серьезные ошибки были допущены в политике цен которая стимулировала развиьтие технических культур и животноводства за счет посевов зерновых. Страх перед войной побуждал крестьянина насколько это было возможно придерживать зерно.
28825. Почему «культурная революция» является составной частью «Большого скачка»? Каковы ее задачи 16.46 KB
  Иными словами сущность культурной революции это в первую очередь коренное качественное изменение субъекта культурноисторического процесса выражающееся в приобщении масс и каждого отдельного человека к сознательному историческому творчеству. Сущность культурной революции можно сформулировать и как социалистическое обновление условий и характера творческой деятельности в области культуры и системы распределения и потребления духовных ценностей и связанный с этим резкий культурный подъем общества. Основу ленинской концепции культурной...
28826. Эволюция советской политической системы в 20-30гг. Было ли неизбежно становление тоталитарного режима в СССР 15.43 KB
  Она поддерживалась всей мощью государства на всех уровнях.Тоталитаризм Одна из форм устройства авторитарного государства характеризующаяся его полным господством над всеми сторонами жизни; тоталитарный режим. Так происходит провоцирование ГОСУДАРСТВА на расширение его контрольных функций то есть подталкивание к ТОТАЛИТАРИЗМУ. В итоге общество получает полное огорчение по поводу деятельности ГОСУДАРСТВА и начинает ратовать за освобождение от тоталитаризма.
28827. Становление детской психологии в конце 19 н 20 в. 48.5 KB
  Предпосылками возникновения возрастной психологии явились запросы педагогической практики разработка идей развития в психологии появление экспериментальной психологии и разработка объективных методов исследования детей. Бюлера биогенетический закон периодизации психического развития. Эволюция как основа психологического развития. В основе развития психики лежит биогенетический закон.
28828. Кризис в психологии в начале XX века 53.5 KB
  Кризис в психологии в начале XX века Причины и значение открытого кризиса в психологии поиски новых объяснительных принципов и объективных методов исследования психики. К началу 20 века теория начала отставать в своем объяснении данных психологических исследований а порой оказывалась и просто неадекватной им привела к ситуации кризиса в психологии. По Выготскому это был кризис методологических основ психологии. Кризис в психологии совпал с периодом обострения экономических и социальнополитических противоречий в буржуазном обществе.
28829. Глубинная психология 72.5 KB
  Во втором периоде 1906 1918 фрейдизм превращается в общепсихологическое учение о личности и ее развитии. Структура личности представляется теперь в виде учения о трех инстанциях Я Оно СверхЯ Я и Оно 1923. Структура личности функции Ид Эго Суперэго Ид – располагается в бессознательном слое является энергетической основой личности в ид содержаться врожденные бессозн инстинкты инстинкт жизни и смерти; исключительно примитивные инстинктивные и врожденные аспекты личности. Развитие личности стадии Фундамент...