75608

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортонормированный базис Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Возникает вопрос нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же как она вводится для векторного пространства Иначе говоря нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций Если это возможно то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. Рассмотрим некоторое множество функций семейство функций. Если число этих функций невелико можно...

Русский

2015-01-15

259.5 KB

2 чел.

ОС.Лекция 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Ортонормированный базис

Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Например, при измерении длины используют один стандарт величины (сантиметры, миллиметры). Если принять, что 1 см – единица измерения, то 5см больше 1 см в 5 раз, следовательно, выражается как 5 единиц. Так же и в векторном пространстве принято выбирать единицу измерения, которая выражает стандарт величины. Однако в двумерном пространстве одного параметра, измеряющего величину, недостаточно. Необходимо два параметра.

Пара взаимно перпендикулярных векторов {v1,v2} называется ортогональным базисом. Кроме того, если , то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Иначе говоря, единичный вектор, это вектор, выражающий величину одной единицы измерения. Следовательно, ортонормированный базис представляет собой пару взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров дают величину вектора.

Выразим вектор f через векторы ортонормированного базиса v1 и v2 и совокупность коэффициентов С1 и С2:

f = C1v1+C2v2

Коэффициенты С1 и С2 выражфют величину составляющих вектора f в направлении v1 и в направлении v2. Иначе говоря, определяют величину вектора. Любой вектор на плоскости можно выразить через это соотношение. Векторы C1v1 и  C2v2 называются проекциями вектора f .

Пусть дан вектор f и заранее образована система базисных векторов {v1,v2}. Для того, чтобы выразить вектор f через базис  {v1,v2} необходимо знать, как получить коэффициенты С1 и С2. Забегая вперед, представим коэффициенты С1 и С2 как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов v1 и v2 .

А теперь покажем, как выводится эта формула. Пусть

Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства и вектора v1

Согласно свойствам базиса

И так как правая часть равна С1, то справедливо равенство:

Подобным образом можно получить выражение для С2:

Ортонормированный базис – это множество взаимно перпендикулярных единичных векторов. Множество векторов {vk, k=1,2,…N}

в N – мерном пространстве, где

(т.е. vm  vn взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом.

Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе говоря, они независимы.

Используя ортонормированный базис, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Иначе говоря, N – мерный вектор можно представить в виде:

В этой формуле, по аналогии с приведенной ранее, коэффициент Ck выражается как:

Коэффициент Ck показывает величину составляющей вектора f в направлении вектора  и выражается в виде скалярного произведения f  и  vk .

Возникает вопрос, нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же, как она вводится для векторного пространства? Иначе говоря, нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций? Если это возможно, то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. То есть ее можно разложить на составляющие – функции, свойства которых известны заранее.

Рассмотрим некоторое множество функций (семейство функций). Если число этих функций невелико, можно обозначить их, используя алфавит, как {f(t), g(t), h(t),…}. Для того чтобы выразить множество, включающее бесконечно большое число функций, можно обозначить их, используя нижний индекс

Будем считать, что любые две функции из этого семейства функций на интервале [a, b] взаимно перпендикулярны. Иначе говоря, если скалярное произведение

то семейство этих функций называется системой ортогональных функций. Кроме того, если  норма каждой из этих функций равна 1:

то это семейство называется ортонормированной системой функций.

С помощью ортонормированной системы функций функцию f(t) можно выразить следующим образом.

Из этого соотношения понятно, что коэффициент Ck выражает долю составляющей fk(t) функции f(t). Мы уже знаем, что для вывода выражения Ck  нужно взять скалярное произведение f(t) и fk(t). Из предыдущих соотношений получим:

По определению системы ортонормированных функций, скалярное произведение всех комбинаций с равно нулю, поэтому в итоге в правой части равенства остается лишь Ck. Следовательно,

На конкретном примере рассмотрим, какая система функций является системой ортонормированных функций? Например, образует ли система функций

на отрезке систему ортонормированных функций? Для того, чтобы исследовать это, нужно провести следующие вычисления:

Следовательно, 1 и sin nt взаимно перпендикулярны. Если , то

Используя формулу преобразования тригонометрических выражений

получим:

Т.е. sin mt и sin nt () также взаимно перпендикулярны.

Из вышеизложенных результатов следует, что множество функций {1, sin t, sin 2t, …} образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции

не равна 1, а значит, функции не являются ортонормированными.

Если норма функции f(t) не равна 1, то создадим новую функцию f*(t):

Очевидно, что норма f*(t) равна 1. Подобная операция называется нормировкой системы функций. В нашем случае

поэтому, представляя исходную систему функций в новом виде:

получим множество функций, образующих систему ортонормированных функций.

Однако, как будет показано далее, выполнение условия ортонормированности системы функций является необходимым условием возможности разложения по системе функций, но не является достаточным условием возможности разложения.

Практические задания

1. Докажите, что периодические сигналы, изображенные ниже на рисунке, соответствуют условию ортогональности.

2. Докажите, что множество функций

образует на отрезке систему ортонормированных функций.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77144. Транспорт. Типы транспортна 369 KB
  При транспортировке грузов в сельском хозяйстве как и в других сферах производства стоимость созданная трудом рабочих занятых на транспорте присоединяется к стоимости перевозимых товаров. Транспорт общего пользования -– удовлетворяет потребности всех отраслей экономики и населения...
77146. Сетевые анализаторы 556.5 KB
  Компьютеры подключенные к сети Ethernet в состоянии перехватывать информацию адресованную своим соседям. Объединение компьютеров в сети ломает старые аксиомы защиты информации. Защита с помощью межсетевых экранов МСЭ может оказаться нецелесообразной для корпоративных сетей...
77147. Юстус Либих 4.67 MB
  Общественно-исторические условия в Германии, да и в Европе целом, на момент жизни Ю. Либиха (а это шел XIX в) нельзя охарактеризовать как однозначно благоприятные или неблагоприятные для развития науки о почве.
77148. Сканеры. Типы сканеров. Аппаратные интерфейсы 166 KB
  Сейчас ситуация очень изменилась и сканеры получили широкое распространение. Сканеры применяются в полиграфии и настольной издательской деятельности медицине. Существует большое количество сканеров разных типов но только некоторые из них применимы в САПР.
77149. Грузоперевозки предприятия «Дары моря» 105 KB
  Сохранность скоропортящихся грузов. Для такого режима контроля его соблюдения принятия мер для ликвидации нарушений необходимо ознакомиться со свойствами скоропортящихся продуктов способами их консервирования и техническими средствами контроля.
77150. Информационно-развлекательный интернет-сайт для Шахтинской Открытой Лиги КВН «ШАОЛИнь» 4.67 MB
  Каждый современный сайт содержит не просто набор страниц со ссылками между ними, а является полноценный программный продукт, который отслеживает действия пользователей, позволяет им между собой общаться и предлагает множество полезных сервисов в зависимости от поставленных владельцем сайта задач.