75608

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортонормированный базис Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Возникает вопрос нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же как она вводится для векторного пространства Иначе говоря нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций Если это возможно то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. Рассмотрим некоторое множество функций семейство функций. Если число этих функций невелико можно...

Русский

2015-01-15

259.5 KB

4 чел.

ОС.Лекция 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Ортонормированный базис

Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Например, при измерении длины используют один стандарт величины (сантиметры, миллиметры). Если принять, что 1 см – единица измерения, то 5см больше 1 см в 5 раз, следовательно, выражается как 5 единиц. Так же и в векторном пространстве принято выбирать единицу измерения, которая выражает стандарт величины. Однако в двумерном пространстве одного параметра, измеряющего величину, недостаточно. Необходимо два параметра.

Пара взаимно перпендикулярных векторов {v1,v2} называется ортогональным базисом. Кроме того, если , то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Иначе говоря, единичный вектор, это вектор, выражающий величину одной единицы измерения. Следовательно, ортонормированный базис представляет собой пару взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров дают величину вектора.

Выразим вектор f через векторы ортонормированного базиса v1 и v2 и совокупность коэффициентов С1 и С2:

f = C1v1+C2v2

Коэффициенты С1 и С2 выражфют величину составляющих вектора f в направлении v1 и в направлении v2. Иначе говоря, определяют величину вектора. Любой вектор на плоскости можно выразить через это соотношение. Векторы C1v1 и  C2v2 называются проекциями вектора f .

Пусть дан вектор f и заранее образована система базисных векторов {v1,v2}. Для того, чтобы выразить вектор f через базис  {v1,v2} необходимо знать, как получить коэффициенты С1 и С2. Забегая вперед, представим коэффициенты С1 и С2 как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов v1 и v2 .

А теперь покажем, как выводится эта формула. Пусть

Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства и вектора v1

Согласно свойствам базиса

И так как правая часть равна С1, то справедливо равенство:

Подобным образом можно получить выражение для С2:

Ортонормированный базис – это множество взаимно перпендикулярных единичных векторов. Множество векторов {vk, k=1,2,…N}

в N – мерном пространстве, где

(т.е. vm  vn взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом.

Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе говоря, они независимы.

Используя ортонормированный базис, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Иначе говоря, N – мерный вектор можно представить в виде:

В этой формуле, по аналогии с приведенной ранее, коэффициент Ck выражается как:

Коэффициент Ck показывает величину составляющей вектора f в направлении вектора  и выражается в виде скалярного произведения f  и  vk .

Возникает вопрос, нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же, как она вводится для векторного пространства? Иначе говоря, нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций? Если это возможно, то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. То есть ее можно разложить на составляющие – функции, свойства которых известны заранее.

Рассмотрим некоторое множество функций (семейство функций). Если число этих функций невелико, можно обозначить их, используя алфавит, как {f(t), g(t), h(t),…}. Для того чтобы выразить множество, включающее бесконечно большое число функций, можно обозначить их, используя нижний индекс

Будем считать, что любые две функции из этого семейства функций на интервале [a, b] взаимно перпендикулярны. Иначе говоря, если скалярное произведение

то семейство этих функций называется системой ортогональных функций. Кроме того, если  норма каждой из этих функций равна 1:

то это семейство называется ортонормированной системой функций.

С помощью ортонормированной системы функций функцию f(t) можно выразить следующим образом.

Из этого соотношения понятно, что коэффициент Ck выражает долю составляющей fk(t) функции f(t). Мы уже знаем, что для вывода выражения Ck  нужно взять скалярное произведение f(t) и fk(t). Из предыдущих соотношений получим:

По определению системы ортонормированных функций, скалярное произведение всех комбинаций с равно нулю, поэтому в итоге в правой части равенства остается лишь Ck. Следовательно,

На конкретном примере рассмотрим, какая система функций является системой ортонормированных функций? Например, образует ли система функций

на отрезке систему ортонормированных функций? Для того, чтобы исследовать это, нужно провести следующие вычисления:

Следовательно, 1 и sin nt взаимно перпендикулярны. Если , то

Используя формулу преобразования тригонометрических выражений

получим:

Т.е. sin mt и sin nt () также взаимно перпендикулярны.

Из вышеизложенных результатов следует, что множество функций {1, sin t, sin 2t, …} образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции

не равна 1, а значит, функции не являются ортонормированными.

Если норма функции f(t) не равна 1, то создадим новую функцию f*(t):

Очевидно, что норма f*(t) равна 1. Подобная операция называется нормировкой системы функций. В нашем случае

поэтому, представляя исходную систему функций в новом виде:

получим множество функций, образующих систему ортонормированных функций.

Однако, как будет показано далее, выполнение условия ортонормированности системы функций является необходимым условием возможности разложения по системе функций, но не является достаточным условием возможности разложения.

Практические задания

1. Докажите, что периодические сигналы, изображенные ниже на рисунке, соответствуют условию ортогональности.

2. Докажите, что множество функций

образует на отрезке систему ортонормированных функций.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70583. Воспитание и образования эпохи Средневековья 67.47 KB
  Объектом её изучение стал человек в его обычной жизни. Античность присутствовала в культуре на протяжении всего Средневековья: Средневековое богословие развивалось авторами имевшими высокий уровень античной образованности на них большое влияние оказали идеи Платона Аристотеля стоиков...
70584. УПРАВЛЕНИЕ ДАННЫМИ 1009 KB
  Основное назначение данного курса систематическое введение в идеи и методы используемые в современных реляционных системах управления базами данных. Как показывает опыт без знания основ баз данных трудно на серьезном уровне работать с конкретными системами как бы хорошо они не были документированы.
70585. ОГРАНИЧЕНИЯ И ПРЕКРАЩЕНИЕ ПРАВ НА ЗЕМЕЛЬНЫЕ УЧАСТКИ. ИЗЪЯТИЕ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ. ПОРЯДОК ИЗЪЯТИЯ И ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ ДЛЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И МУНИЦИПАЛЬНЫХ НУЖД. ВОЗМЕЩЕНИЕ УБЫТКОВ 85 KB
  Государственный кадастровый учет осуществляется по следующим основаниям: постановка на учет объекта недвижимости в связи с образованием или созданием объекта недвижимости; изменение уникальных характеристик объекта недвижимости: вида объекта недвижимости его кадастрового номера...
70586. ПРАВО СОБСТВЕННОСТИ НА ЗЕМЛЮ 84 KB
  Право собственности принадлежит к числу таких правовых институтов интерес к которым не ослабевает и не увядает на протяжение столетий. Это особенно относится к собственности на землю поскольку земля являет собой самое ценное богатство.
70587. ПОНЯТИЕ, ЗАДАЧИ И ВИДЫ МОНИТОРИНГА ЗЕМЕЛЬ. ПОНЯТИЕ, ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ ОХРАНЫ ЗЕМЕЛЬ 221.5 KB
  Мониторинг земель система наблюдения за состоянием земель для своевременного выявления различных изменений их оценки а также предупреждения и устранения последствий негативных процессов. Мониторинг имеют право осуществлять только государственные органы управления земельным фондом РФ.
70588. ГОСУДАРСТВЕННАЯ И МУНИЦИПАЛЬНАЯ СОБСТВЕННОСТЬ НА ЗЕМЛЮ. ЧАСТНАЯ СОБСТВЕННОСТЬ НА ЗЕМЛЮ. ВИДЫ ВЕЩНЫХ ПРАВ НА ЗЕМЕЛЬНЫЕ УЧАСТКИ 32 KB
  Государственную собственность на землю составляет собственность Российской Федерации и ее субъектов. В государственной собственности находятся земли не являющиеся собственностью граждан юридических лиц или муниципальных образований.
70589. ОСОБЕННОСТИ СОВЕРШЕНИЯ СДЕЛОК С ЗЕМЕЛЬНЫМИ УЧАСТКАМИ, ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ОБЩЕЙ СОБСТВЕННОСТЬЮ. НАСЛЕДОВАНИЕ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ 49 KB
  Для совершения сделок с земельными участками являющимися общей собственностью необходимо согласие всех собственников. Без выделения земельного участка в счет земельной доли участник долевой собственности имеет право по своему усмотрению: завещать свою земельную долю...