75608

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Ортонормированный базис Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Возникает вопрос нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же как она вводится для векторного пространства Иначе говоря нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций Если это возможно то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. Рассмотрим некоторое множество функций семейство функций. Если число этих функций невелико можно...

Русский

2015-01-15

259.5 KB

6 чел.

ОС.Лекция 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Ортонормированный базис

Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Например, при измерении длины используют один стандарт величины (сантиметры, миллиметры). Если принять, что 1 см – единица измерения, то 5см больше 1 см в 5 раз, следовательно, выражается как 5 единиц. Так же и в векторном пространстве принято выбирать единицу измерения, которая выражает стандарт величины. Однако в двумерном пространстве одного параметра, измеряющего величину, недостаточно. Необходимо два параметра.

Пара взаимно перпендикулярных векторов {v1,v2} называется ортогональным базисом. Кроме того, если , то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Иначе говоря, единичный вектор, это вектор, выражающий величину одной единицы измерения. Следовательно, ортонормированный базис представляет собой пару взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров дают величину вектора.

Выразим вектор f через векторы ортонормированного базиса v1 и v2 и совокупность коэффициентов С1 и С2:

f = C1v1+C2v2

Коэффициенты С1 и С2 выражфют величину составляющих вектора f в направлении v1 и в направлении v2. Иначе говоря, определяют величину вектора. Любой вектор на плоскости можно выразить через это соотношение. Векторы C1v1 и  C2v2 называются проекциями вектора f .

Пусть дан вектор f и заранее образована система базисных векторов {v1,v2}. Для того, чтобы выразить вектор f через базис  {v1,v2} необходимо знать, как получить коэффициенты С1 и С2. Забегая вперед, представим коэффициенты С1 и С2 как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов v1 и v2 .

А теперь покажем, как выводится эта формула. Пусть

Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства и вектора v1

Согласно свойствам базиса

И так как правая часть равна С1, то справедливо равенство:

Подобным образом можно получить выражение для С2:

Ортонормированный базис – это множество взаимно перпендикулярных единичных векторов. Множество векторов {vk, k=1,2,…N}

в N – мерном пространстве, где

(т.е. vm  vn взаимно перпендикулярны и являются единичными), называется ортонормированным базисом.

Если все векторы взаимно перпендикулярны, то ни один из них нельзя выразить через другие векторы. Иначе говоря, они независимы.

Используя ортонормированный базис, можно представить вектор в виде линейной комбинации базисных векторов. Иначе говоря, N – мерный вектор можно представить в виде:

В этой формуле, по аналогии с приведенной ранее, коэффициент Ck выражается как:

Коэффициент Ck показывает величину составляющей вектора f в направлении вектора  и выражается в виде скалярного произведения f  и  vk .

Возникает вопрос, нельзя ли ввести ортонормированную систему в пространство функций так же, как она вводится для векторного пространства? Иначе говоря, нельзя ли ввести множество взаимно перпендикулярных единичных функций? Если это возможно, то рассматриваемую функцию можно выразить в виде линейной комбинации таких функций. То есть ее можно разложить на составляющие – функции, свойства которых известны заранее.

Рассмотрим некоторое множество функций (семейство функций). Если число этих функций невелико, можно обозначить их, используя алфавит, как {f(t), g(t), h(t),…}. Для того чтобы выразить множество, включающее бесконечно большое число функций, можно обозначить их, используя нижний индекс

Будем считать, что любые две функции из этого семейства функций на интервале [a, b] взаимно перпендикулярны. Иначе говоря, если скалярное произведение

то семейство этих функций называется системой ортогональных функций. Кроме того, если  норма каждой из этих функций равна 1:

то это семейство называется ортонормированной системой функций.

С помощью ортонормированной системы функций функцию f(t) можно выразить следующим образом.

Из этого соотношения понятно, что коэффициент Ck выражает долю составляющей fk(t) функции f(t). Мы уже знаем, что для вывода выражения Ck  нужно взять скалярное произведение f(t) и fk(t). Из предыдущих соотношений получим:

По определению системы ортонормированных функций, скалярное произведение всех комбинаций с равно нулю, поэтому в итоге в правой части равенства остается лишь Ck. Следовательно,

На конкретном примере рассмотрим, какая система функций является системой ортонормированных функций? Например, образует ли система функций

на отрезке систему ортонормированных функций? Для того, чтобы исследовать это, нужно провести следующие вычисления:

Следовательно, 1 и sin nt взаимно перпендикулярны. Если , то

Используя формулу преобразования тригонометрических выражений

получим:

Т.е. sin mt и sin nt () также взаимно перпендикулярны.

Из вышеизложенных результатов следует, что множество функций {1, sin t, sin 2t, …} образуют систему ортогональных функций. Однако норма каждой функции

не равна 1, а значит, функции не являются ортонормированными.

Если норма функции f(t) не равна 1, то создадим новую функцию f*(t):

Очевидно, что норма f*(t) равна 1. Подобная операция называется нормировкой системы функций. В нашем случае

поэтому, представляя исходную систему функций в новом виде:

получим множество функций, образующих систему ортонормированных функций.

Однако, как будет показано далее, выполнение условия ортонормированности системы функций является необходимым условием возможности разложения по системе функций, но не является достаточным условием возможности разложения.

Практические задания

1. Докажите, что периодические сигналы, изображенные ниже на рисунке, соответствуют условию ортогональности.

2. Докажите, что множество функций

образует на отрезке систему ортонормированных функций.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37084. Структура классного часа 22.78 KB
  При подготовке к классному часу классный руководитель должен выполнить следующее:  Определение темы классного часа формулировка его целей исходя из задач воспитательной работы с коллективом;  Тщательный отбор материала с учетом поставленных целей и задач исходя из требований к содержанию классного часа;  Составление плана подготовки проведения классного часа;  Подбор наглядных пособий музыкального оформления подготовку помещения создание обстановки благоприятной для рассмотрения вопроса для откровенного...
37085. СЦЕНАРИЙ КЛАССНОГО ЧАСА О ДРУЖБЕ 80.5 KB
  Недалеко уйдете в дружбе если не расположены прощать друг другу мелкие недостатки. Ларошфуко Истинная дружба есть забвение самого себя для того чтобы жить только в другом. Направо пойдешь друга потеряешь.
37086. Сценарий классного часа, посвященный победе под Сталинградом 29 KB
  Чтец: Сороковые роковые Военные и фронтовыеГде извещенья похоронныеИ перестуки эшелонные. Сороковые роковыеСвинцовые пороховыеВойна гуляет по РоссииА мы такие молодые Чтец: 1942 год. Чтец: Выход к Волге и захват Сталинграда мог обеспечить фашистским войскам успешное продвижение на Кавказ к его нефтяным богатствам. Чтец: Кроме того захват Сталинграда разделил бы фронт наших войск надвое отрезал центральные области от южных а главное дал бы возможность гитлеровцам обойти Москву с востока и взять ее.
37087. Литературно-музыкальная композиция «Сталинградская битва. Курская дуга» 134.5 KB
  Курская дуга Цели:расширять представления учащихся о Сталинградской битве и Курской дуге формировать чувство патриотизма любви к Родине чувство гордости за свою страну на примере героических поступков людей в военное время воспитывать уважительное отношение к старшему поколению памятникам войны.Война гуляет по РоссииА мы такие молодые Год 1941 июнь Страна жила мирной жизнью надеясь что пожар войны который разгорелся в Европе не затронет нашу страну. ИюньТогда ещё не знали мыСо школьных вечеров шагаяЧто завтра будет первый день...
37088. Сценарий классного часа «Экскурсионный день, проведенный в Новодевичьем монастыре» 160 KB
  По патриаршей грамоте 1598 года полным названием монастыря было: Пречестная Великая обитель Пречистыя Богородицы Одигитрии Новый Девичий монастырь. Первое о чем хочется рассказать это об истории Новодевичьего монастыря. Витает птицей в синем небе дух святойВ полёте всё он зорким оком озираетИ тишину монастыря его покойОн верной службой день и ночь оберегает. Таким образом в 1523 году из великокняжеской казны было выдано 230 килограммов серебра на сооружение монастыря.
37089. Сценарий классного часа для 1 класса «Что такое дружба?» 54 KB
  Слайд 1 Ребята давайте поговорим о школьной дружбе. Слайд 2 Иногда говорят: Друзья не разлей вода. Как вы понимаете это выражение Что же такое дружба Слайд 3 Давайте прочитаем стихотворение и узнаем как на этот вопрос отвечают другие. Дружить должны все на свете: И звери и птицы и дети Слайд 4 А вот так слово толкуется в словаре В.
37090. Что такое школьная дружба 56 KB
  Оформление доски Ход мероприятия 1 этап Ребята давайте поговорим о школьной дружбе. 2 этап Иногда говорят: Друзья не разлей вода. Как вы понимаете это выражение Что же такое дружба 3 этап Давайте прочитаем стихотворение и узнаем как на этот вопрос отвечают другие. Дружить должны все на свете: И звери и птицы и дети Так что же такое дружба 4 этап А вот так слово толкуется в словаре В.
37091. Башкортостан – гордимся мы историей твоей! 22.02 KB
  Самая большая и красивая среди них красавица Агидель. И мы хотим рассказать вам историю о том как появилась наша Агидель. Роли: Агидель Рафикова Ашак Мутигуллин Джигит Салимгареев Друзья джигита Арсланов Давлетшин Ахметзянов Ведущий Шайхуллина. У седого Урала имелась дочь красавица Агидель.
37092. Национальный вопрос в России в начале XX века. Политические партии о путях его решения 32.5 KB
  Исторический путь России в XX в. очевидной стала необходимость преодоления отставания России от передовых индустриально развитых государств во всех сферах жизни общества. Незавершенность индустриальных преобразований сделала аграрный вопрос в России ключевым начавшегося XX в.