75609

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОДОБИЯ СИГНАЛОВ. КОРРЕЛЯЦИЯ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Элемент из этого числового набора называется компонентом вектора. Это означает что анализ вектора f аналогичен анализу функции непрерывного сигнала ft если она не имеет точек разрыва. Для этого необходимо определить понятия: расстояния между векторами скалярное расстояние норма вектора...

Русский

2015-01-15

136 KB

3 чел.

ОС.Лекция 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОДОБИЯ СИГНАЛОВ. КОРРЕЛЯЦИЯ.

Методы цифровой обработки обоснованы в [1] на основе аналогии с векторным представлением дискретизированных сигналов. Изложение этого подхода приведено ниже.

При малом интервале дискретизации можно достаточно точно воспроизвести аналоговый сигнал по цифровому сигналу. Если временной интервал [a,b] разделить на одинаковые отрезки, а сигнал f, уже подвергшийся дискретизации, перевести в цифровую форму и записать в виде ряда значений N точек

                                  f=(f1, f2, …fN),

то f можно представить N-мерным вектором (N-мерным вектором называется величина, представленная набором N числовых значений, расположенных в определенном порядке). Элемент из этого числового набора называется компонентом вектора.

Качество приближения функции f(t) будет зависеть от числа N. Если увеличивать N, то степень приближения будет тоже увеличиваться. Если увеличивать N до бесконечности, то вся информация, содержащаяся в f(t), будет содержаться в f. Это означает, что анализ вектора f  аналогичен анализу  функции непрерывного сигнала f(t), если она не имеет точек разрыва.

Двумерный вектор соответствует одной точке в двумерном пространстве, т.е. на плоскости, трехмерный вектор тоже соответствует одной точке, но в трехмерном пространстве, а N-мерный вектор – одной точке в N-мерном пространстве. Назовем это пространство бесконечно большой размерности пространством функций.

Цель этой аналогии заключается в том, чтобы объяснить физический смысл коэффициента корреляции как показателя степени близости функций, и прицип разложения любой произвольной функции сумму составляющих (это объяснит, например, почему возможно разложение любой функции в ряд Фурье или какой-либо другой и по каким функциям можно разложить, а по каким нельзя).

Для этого необходимо определить понятия: расстояния между векторами, скалярное расстояние, норма вектора.

Определение степени близости функций

Рассмотрим задачу определения взаимоотношения между сигналами f(t) и g(t) по их векторному представлению. Конечно, два значения сигнала весьма слабо характеризуют сигналы, но, как будет показано дальше, выводы, сделанные по двум выборкам могут быть распространены на случай сколь угодно большого количества выборок.

Итак, определим векторы, содержащие по два элемента из выборки каждого сигнала, иначе говоря, двумерные векторы. Обозначим их как f и g:

                        f=( f1 , f2),      g=( g1 , g2  )

Если сигналы выразить через векторы, то исследование отношений между сигналами будет равносильно исследованию отношений между векторами. Исследование может заключаться в определении степени близости функций. В векторном представлении это соответствует расстоянию между векторами. Обозначим d(f,g) расстояние между векторами f и g. Чем меньше значение d, тем ближе векторы f и g, а, значит, и сильнее между ними взаимосвязь.

Величину вектора f (абсолютное значение) обозначим как   || f ||. Используя компоненты вектора f, получим:

|| f || называют также нормой вектора f.

Итак, из рис. 1 видно, что расстояние между векторами f и g есть норма вектора fg. Это можно записать, используя компоненты векторов, в следующем виде:

Однако, норма вектора характеризует лишь величину вектора разности, но не учитывает его направления.

Для выражения связи между векторами используют скалярное произведение. Скалярное произведение между   f и g   обозначается как   и определяется как

Следовательно

Обозначим эту величину

, следовательно

Величина r выражает силу связи между векторами f и g   через угол между ними. Если направления f и g   совпадают, т.е. , то r принимает максимальное значение, равное 1. С увеличением угла  значение r уменьшается. Если r=0, т.е. =0, то векторы f и g взаимно перпендикулярны. Назовем величину r коэффициентом корреляции.

Как видно из приведенного выше соотношения, r зависит от угла между векторами и не зависит от нормы векторов. Выразим скалярное произведение, используя компоненты вектора:

Чтобы вывести эту формулу, применим теорему косинусов для векторов:

Следовательно

Подставим полученные результаты в выражение коэффициента корреляции и представим r следующим образом:

Представляя это выражение через составляющие вектора, получим

Из этого соотношения можно вывести выражение для коэффициента корреляции в N-мерном пространстве:

Обобщив последнее соотношение можно вывести формулу для скалярного произведения функций. Используя соответствие вектор функция, сумма интеграл, определим скалярное произведение функций f(t) и g(t) на интервале [a,b] :

Скалярное произведение функции f(t) на саму себя:

Это означает, что f(t) имеет те же свойства, какими обладает многомерный вектор в векторном пространстве. То, что мы смогли определить скалярное произведение функций, означает также и то, что мы приняли и учли такое понятие, как угол между функциями. Если функции f(t) и g(t) в пространстве функций расположены под углом , то коэффициент корреляции можно определить так же, как и в случае векторов, используя норму и скалярное произведение:

Если записать подробно, то получим:

Это соотношение имеет довольно сложный вид, но принцип тот же, что и в случае векторов. Как и прежде, коэффициент корреляции показывает степень «похожести» функций. Причем r принимает значения от -1 до 1. Чем больше значение r по абсолютной величине, тем выше корреляция между функциями. Иначе говоря, они более похожи.

Однако стоит отметить, что коэффициент корреляции не является единственным показателем похожести функций.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45546. Консалтинг в PR-деятельности: виды и технологии 44 KB
  Мнение консультанта должно носить свободный и объективный характер. Опыта консультанта. Самая важная характеристика в консалтинге КОМПЕТЕНТНОСТЬ консультанта в области бизнеса клиента и самое главное связей с общественностью. И может быть охарактеризована следующими позициями: Неосязаемость услуги Непостоянство качества Неотделимость от источника Несохраняемость Главные критерии оценки труда консультанта: Прозрачность труда консультанта степень открытости к.
45547. Понятийный аппарат 70 KB
  Потенциалом навредить компании или разрушить ее.Регресс Негативизация имиджа падение авторитета Последствия кризисов: необходимость уплаты штрафных санкций; смена руководства компании; массовые увольнения сотрудников; отзыв продукции с рынка; остановка производства; ликвидация предприятия; поглощение конкурентами Особенности эффективного давления на кризис: репутация компании; признание вины; открытость и обеспечение информацией; аргументы и факты; поддержка общественных групп; гибкость стратегии Кризисный PR В каких же...
45548. PR в системе интегрированных маркетинговых коммуникаций 33.5 KB
  ИМК это технология т. ИМК новый способ понимания целого состоящего из отдельных видов МКPR это группы общественности Маркетинг потребиели а реклама целевая аудитория . ИМК перестраивают МК с целью увидеть их так как и потребитель единым потоком инфи из одного источника. Что входит в состав ИМК Несколько точек зрения: 1.
45549. Использование современных интернет-технологий в ПР-деятельности 42 KB
  Использование современных интернеттехнологий в ПРдеятельности. PR в Интернете это коммуникативная деятельность в сети Интернет направленная на формирование и поддержание взаимопонимания и сотрудничества между субъектом PR Интернетпредставительством компании Интернетпроектом отдельным сайтом и сетевой общественностью; а также на обеспечение стабильной двусторонней коммуникации и получение обратной связи от целевых групп субъекта PR. Под PRкоммуникацией в сети Интернет можно понимать следующие: PR коммуникация в Интернете...
45550. Маркетинговые исследования в PR 41.5 KB
  Маркетинговое исследование состоит из 5 основных этапов: Выявление проблемы возможности и формулировка целей Отбор источников информации Сбор информации Анализ полученной информации Подготовка отчета Главные цели маркетингового исследования: Поисковые разведдовательные сбор предварительной информации которая поможет определить проблему и выдвинуть гипотезу. Каузеальные причинноследственные Эксперимент проверка гипотезы На этапе отбора источников информации важно помнить что выделяют ПЕРВИЧНЫЕ собираем под цели...
45551. Ситуационный анализ в PR 26.5 KB
  Ситуационный анализ в PR. Компоненты ситуационного анализа: анализ сильных и слабых сторон компании SWOT; анализ стратегической позиции компании; анализ конкуренции; позиционный анализ. Технология ситуационного анализа: 1. Исследовательский этап анализ ситуации.
45552. Оценка эффективности PR-деятельности: подходы, методы, методики 42 KB
  Оценка эффективности PRкампании систематическое измерение результатов проекта с т. Виды исследования оценки эффективности: только после используется часто легко проводится оценивается только результат подходит не для всех целей. Методы оценки эффективности Упрощенный подход измерение СМИ Н.
45553. Бренд и брендбилдинг 39.5 KB
  Брендинг это процесс создания и продвижения бренда с пом.: создание усиление репозиционирование обновление и изменение стадии развития бренда его расширение и углубление. Основной метод формирования бренда: позиционирование товара на рынке определение на основе марк. Бренд это обещание на 4 уровнях: гарантия соотия обещанных и ожидаемых характеристик; обещание решить стоящую проблему; обещание предоставить ценность существенную для клиента; востребованный результат деятсти бренда згачимые переживания.
45554. Ценности внутреннего PR-а 59.5 KB
  Правильно выстроенные коммуникации с целевыми группами общественности позволяют организации создать не только позитивный имидж компании но добиться максимального эффекта от деятельности. Рассматривая целевые группы общественности мы зачастую забываем что помимо таких важных групп как потребители клиенты акционеры конкуренты СМИ органы власти существует и еще одна общность чье отношение к деятельности компании может стать буквально решающим для успеха всей ее деятельности. Эта общность сотрудники компании. Тем не менее в...