75609

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОДОБИЯ СИГНАЛОВ. КОРРЕЛЯЦИЯ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Элемент из этого числового набора называется компонентом вектора. Это означает что анализ вектора f аналогичен анализу функции непрерывного сигнала ft если она не имеет точек разрыва. Для этого необходимо определить понятия: расстояния между векторами скалярное расстояние норма вектора...

Русский

2015-01-15

136 KB

3 чел.

ОС.Лекция 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОДОБИЯ СИГНАЛОВ. КОРРЕЛЯЦИЯ.

Методы цифровой обработки обоснованы в [1] на основе аналогии с векторным представлением дискретизированных сигналов. Изложение этого подхода приведено ниже.

При малом интервале дискретизации можно достаточно точно воспроизвести аналоговый сигнал по цифровому сигналу. Если временной интервал [a,b] разделить на одинаковые отрезки, а сигнал f, уже подвергшийся дискретизации, перевести в цифровую форму и записать в виде ряда значений N точек

                                  f=(f1, f2, …fN),

то f можно представить N-мерным вектором (N-мерным вектором называется величина, представленная набором N числовых значений, расположенных в определенном порядке). Элемент из этого числового набора называется компонентом вектора.

Качество приближения функции f(t) будет зависеть от числа N. Если увеличивать N, то степень приближения будет тоже увеличиваться. Если увеличивать N до бесконечности, то вся информация, содержащаяся в f(t), будет содержаться в f. Это означает, что анализ вектора f  аналогичен анализу  функции непрерывного сигнала f(t), если она не имеет точек разрыва.

Двумерный вектор соответствует одной точке в двумерном пространстве, т.е. на плоскости, трехмерный вектор тоже соответствует одной точке, но в трехмерном пространстве, а N-мерный вектор – одной точке в N-мерном пространстве. Назовем это пространство бесконечно большой размерности пространством функций.

Цель этой аналогии заключается в том, чтобы объяснить физический смысл коэффициента корреляции как показателя степени близости функций, и прицип разложения любой произвольной функции сумму составляющих (это объяснит, например, почему возможно разложение любой функции в ряд Фурье или какой-либо другой и по каким функциям можно разложить, а по каким нельзя).

Для этого необходимо определить понятия: расстояния между векторами, скалярное расстояние, норма вектора.

Определение степени близости функций

Рассмотрим задачу определения взаимоотношения между сигналами f(t) и g(t) по их векторному представлению. Конечно, два значения сигнала весьма слабо характеризуют сигналы, но, как будет показано дальше, выводы, сделанные по двум выборкам могут быть распространены на случай сколь угодно большого количества выборок.

Итак, определим векторы, содержащие по два элемента из выборки каждого сигнала, иначе говоря, двумерные векторы. Обозначим их как f и g:

                        f=( f1 , f2),      g=( g1 , g2  )

Если сигналы выразить через векторы, то исследование отношений между сигналами будет равносильно исследованию отношений между векторами. Исследование может заключаться в определении степени близости функций. В векторном представлении это соответствует расстоянию между векторами. Обозначим d(f,g) расстояние между векторами f и g. Чем меньше значение d, тем ближе векторы f и g, а, значит, и сильнее между ними взаимосвязь.

Величину вектора f (абсолютное значение) обозначим как   || f ||. Используя компоненты вектора f, получим:

|| f || называют также нормой вектора f.

Итак, из рис. 1 видно, что расстояние между векторами f и g есть норма вектора fg. Это можно записать, используя компоненты векторов, в следующем виде:

Однако, норма вектора характеризует лишь величину вектора разности, но не учитывает его направления.

Для выражения связи между векторами используют скалярное произведение. Скалярное произведение между   f и g   обозначается как   и определяется как

Следовательно

Обозначим эту величину

, следовательно

Величина r выражает силу связи между векторами f и g   через угол между ними. Если направления f и g   совпадают, т.е. , то r принимает максимальное значение, равное 1. С увеличением угла  значение r уменьшается. Если r=0, т.е. =0, то векторы f и g взаимно перпендикулярны. Назовем величину r коэффициентом корреляции.

Как видно из приведенного выше соотношения, r зависит от угла между векторами и не зависит от нормы векторов. Выразим скалярное произведение, используя компоненты вектора:

Чтобы вывести эту формулу, применим теорему косинусов для векторов:

Следовательно

Подставим полученные результаты в выражение коэффициента корреляции и представим r следующим образом:

Представляя это выражение через составляющие вектора, получим

Из этого соотношения можно вывести выражение для коэффициента корреляции в N-мерном пространстве:

Обобщив последнее соотношение можно вывести формулу для скалярного произведения функций. Используя соответствие вектор функция, сумма интеграл, определим скалярное произведение функций f(t) и g(t) на интервале [a,b] :

Скалярное произведение функции f(t) на саму себя:

Это означает, что f(t) имеет те же свойства, какими обладает многомерный вектор в векторном пространстве. То, что мы смогли определить скалярное произведение функций, означает также и то, что мы приняли и учли такое понятие, как угол между функциями. Если функции f(t) и g(t) в пространстве функций расположены под углом , то коэффициент корреляции можно определить так же, как и в случае векторов, используя норму и скалярное произведение:

Если записать подробно, то получим:

Это соотношение имеет довольно сложный вид, но принцип тот же, что и в случае векторов. Как и прежде, коэффициент корреляции показывает степень «похожести» функций. Причем r принимает значения от -1 до 1. Чем больше значение r по абсолютной величине, тем выше корреляция между функциями. Иначе говоря, они более похожи.

Однако стоит отметить, что коэффициент корреляции не является единственным показателем похожести функций.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72106. Характеристика французского книжного рынка 20.66 KB
  Если в эпоху Дидро книгоиздатель выполнял все операции связанные с изготовлением и распространением книги то сегодня подготовка к изданию полиграфическое исполнение сбыт распространение и продажа разграничены. Согласно этому закону нельзя превышать отпускную...
72108. Современное состояние книжного дела в России 21.69 KB
  Правовой основой становления новой издательской системы стали важнейшие положения Закона Российской Федерации О средствах массовой информации принятого парламентом России в декабре 1991 г. Наконец формированию новой издательской системы России в значительной степени способствовала...
72112. КНИЖНЫЙ РЫНОК ГЕРМАНИИ: ЦИФРЫ И ФАКТЫ 20.98 KB
  Новая статистика Биржевого союза немецкой книготорговли отраслевого объединения в которое входит подавляющее большинство книжных магазинов Германии и издательств обнадеживает. Женщины читают больше мужчин Согласно последним социологическим опросам больше трети жителей Германии...