75610

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В последнем соотношении колебание самого большого периода, представленное суммой cost и sint, называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом, равным половине основного периода, называют второй гармоникой

Русский

2015-01-15

282.5 KB

6 чел.

ОС. Лекция 4.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Раньше было показано, что любую функцию f(t) можно представить в виде:

где   - ортонормированные функции.

Коэффициенты сk вычисляются по формуле:

Условие ортонормированности выполняется, если скалярное произведение любых двух функций, входящих в набор, равно нулю, а норма любой функции равна единице:

 

Разложение функции на интервале

Функцию f(t)  можно разложить по системе тригонометрических функций на отрезкеследующим образом:

Коэффициенты , как было показано ранее, можно выразить через скалярные произведения:


В общем виде функцию f(t) можно представить следующим образом:

Коэффициенты называют коэффициентами Фурье, а подобное представление функции называется разложением в ряд Фурье. Иногда такое представление называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты — действительными коэффициентами Фурье. Термин «действительный» вводится для того, чтобы отличить представленное разложение от разложения в ряд Фурье в комплексной форме, о котором мы будем говорить позже. Как уже было сказано раньше, произвольную функцию можно разложить по системе ортогональных функций, даже если функции из этой системы не представляются в виде тригонометрического ряда. Обычно под разложением в ряд Фурье подразумевается разложение в тригонометрический ряд. Если коэффициенты Фурье выразить через , получим:

Поскольку при k = 0 cos(kt) = 1, то константа a0/2 выражает общий вид коэффициента ak при k = 0.

В последнем соотношении  колебание самого большого периода, представленное суммой cost и sint, называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом, равным половине основного периода, называют второй гармоникой. Колебание с периодом, равным 1/3 основного периода, называют третьей гармоникой и т.д. Как видно из соотношения (5.1) а0 является постоянной величиной, выражающей среднее значение функции f(t). Если функция f(t) представляет собой электрический сигнал, то а0 представляет его постоянную составляющую. Следовательно, все остальные коэффициенты Фурье выражают его переменные составляющие.

Первая гармоника является периодической функцией с периодом 2p. Прочие гармоники также имеют период, кратный 2p. Исходя из этого, при формировании сигнала из составляющих ряда Фурье мы, естественно, получим периодическую функцию с периодом 2p. А если это так, то разложение в ряд Фурье — это, собственно говоря, способ представления периодических функций.

Итак, каждая из гармоник, представленных рядом Фурье, представляет собой сумму вида a*cos(x)+b*sin(x). Эта сумма может быть преобразована к виду :

Лемма. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а2 + b2 = 1, то существует угол φ, такой, что

а = cos φ;  b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

( \/3/2 )2 + ( 1/2 )2 = 3/4 + 1/4 = 1

Поэтому существует угол φ,  такой,  что   \/3/2 = cos φ;   1/2 = sin φ.

В качестве φ в данном случае можно  выбрать любой   из  углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.

Доказательство леммы.

Рассмотрим вектор с координатами (а, b). Поскольку а2 + b2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение  a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \/ а2 + b2

Поскольку

первое из чисел    и     можно   рассматривать   как   косинус   некоторого   угла   φ , а второе как синус того же угла φ:

Но в таком случае

a sin х + b cos х = ( cos φ sin х + sin φ cos х) = sin ( x + φ )

Итак,

a sin х + b cos х  = sin ( x + φ ) , где угол φ определяется из условий


Разложение функции, представленной в дискретизированном виде, в ряд Фурье на интервале

В дискретизированном виде (т.е. в виде набора дискретных значений или, что то же, в виде числового массива, содержащего N значений) функция f(t) на интервале  будет иметь вид:

где N – количество дискретных значений сигнала. При  дискретизированная функция будет приближаться к непрерывной f(t).

Разложение в ряд Фурье будет иметь вид, аналогичный тому, который был получен для случая непрерывного сигнала:

а коэффициенты  :

;

;

.

и коэффициенты a0, ak и bk:

а общий вид разложения:

Ниже приведена программа вычисления коэффициентов разложения для функции y(t)=t .

% Разложение функции t3 в ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале  

N=255; %Количество отсчетов (элементов массива y(t))

K=16; %Количество членов ряда Фурье

T=pi; %диапазон изменения функции f(i) равен +/-T

kp=2.4; %количество периодов гармонической функции

y=zeros(1,N+1);

Sa = zeros(1,K);

Sb = zeros(1,K);

p=3;% показатель степени функции t^p

f=zeros(1,N+1);

Sa0=0;

for i=1:N+1  

  f(i)=sin(2*pi*kp*(i-1)/N); % гармоническая функция  

 %  f(i)= (2*T*(((i-1-N/2))/N))^p; %функция t^p     

   Sa0=Sa0+f(i);

end

Sa0=Sa0/N

for i=1:N+1

   for j=1:K

       Sa(j) = (Sa(j)+f(i)*cos((j)*2*pi*(i-1-N/2)/N));

       Sb(j) = (Sb(j)+f(i)*sin((j)*2*pi*(i-1-N/2)/N));        

   end

  

end

for j=1:K

   Sa(j)=Sa(j)*(1/(N/2));

   Sb(j)=Sb(j)*(1/(N/2));

end

%Вычисление и отображение спектра амплитуд (начало)

for j=1:K

Sab(j)=sqrt(Sa(j)^2+Sb(j)^2);

end

i=1:K;

figure

plot(i,Sab);

stem(Sab(1:K)); %вывод графика  дискретной последовательности данных

axis([1 8 -0.2 1.2]);%задание осей: [xmin xmax ymin ymax]

title('Амплитуды частотных составляющих спектра');

xlabel('Количество периодов')

axis tight;

%Вычисление и отображение спектра амплитуд (конец)

y=zeros(1,N+1);

for i=1:N+1

   for j=1:K

       y(i)= y(i)+Sa(j)*cos(j*2*pi*(i-1-N/2)/N)+Sb(j)*sin(j*2*pi*(i-1-N/2)/N);        

   end  

    y(i)=Sa0+y(i);

end

i=1:N+1;

figure

plot(i,f);

axis tight;

hold on;

plot(i,y,'r-')

hold off;

pause;

close all;

Рис. 1. Исходная и восстановленная функция t3 при N=128, K=32,p=3.

Примечание. Для разложения четной функции из ряда можно исключить члены, содержащие синусы, для разложения  нечетной –  косинусы. Но можно оставить ряд разложения полностью.

Разложение функции на интервале [-T/2,T/2]

До этого момента мы рассматривали функцию переменной t на отрезке   [-p,p]. В случае периодического сигнала с периодом 2p мы брали этот интервал за основной. В общем случае периодического сигнала с периодом Т при разложении в ряд Фурье мы должны использовать интервал [-Т/2, Т/2]. Если интервал [-p,p] расширить (или сократить) до интервала [-T/2, Т/2], то и период первой гармоники увеличится (или уменьшится) от 2 p до Т. Поскольку кратность этого преобразования равна (Т/2) *p, то составляющие первой гармоники примут вид:

Для составляющих k-й гармоники можно записать:

Следовательно, если функцию f(t) разложить в ряд Фурье на интервале [-Т/2, Т/2], получим:

Если обозначить угловую частоту через , то поскольку , последнее выражение можно записать и в таком виде:

В соотношении, определяющем коэффициенты Фурье на отрезке

произведем замену переменной

а также замену отрезка, на котором берется интеграл

Оставив функцию f(t) без изменения, получим

Аналогичным образом выводится следующее соотношение:

Разложение функции, представленной в дискретизированном виде, в ряд Фурье на интервале [-T,T]

В дискретизированном виде (т.е. в виде набора дискретных значений или, что то же, в виде числового массива, содержащего N значений) функция f(t) на интервале [-T,T] будет иметь вид:

где N – количество дискретных значений сигнала. При  дискретизированная функция будет приближаться к непрерывной f(t).

Разложение в ряд Фурье будет иметь тот же вид, что и при разложении функции в непрерывной форме, а коэффициенты  :

;

;

.

и коэффициенты a0, ak и bk:

а общий вид разложения:

Ниже приведена программа вычисления коэффициентов разложения для функции y(t)=t .

% Разложение функции y(t)=tp в ряд Фурье

% в дискретизированном виде на интервале [0,T], например,

 

N=255; %Количество отсчетов (элементов массива y(t)=t)

K=64;%Количество членов ряда Фурье

T=pi;%диапазон изменения функции f(i)+/-T

kp=2.0

y=zeros(1,N+1);

Sa = zeros(1,K);

Sb = zeros(1,K);

p=3;%показатель степени функции t^p

f=zeros(1,N+1);

Sa0=0;

for i=1:N+1  

   f(i)=sin(2*pi*kp*(i-1)/N); % гармоническая функция   

  % f(i)= (T*(((i-1))/N))^p; %функция t^p, i-1, если p>0, i, если p<0       

   Sa0=Sa0+f(i);  

end

Sa0=Sa0/N

for i=1:N+1

   for j=1:K

       Sa(j) = (Sa(j)+f(i)*cos((j)*2*pi*(i-1)/N));

       Sb(j) = (Sb(j)+f(i)*sin((j)*2*pi*(i-1)/N));        

   end   

end

for j=1:K

   Sa(j)=Sa(j)*(1/(N/2));

   Sb(j)=Sb(j)*(1/(N/2));   

end

%Вычисление и отображение спектра амплитуд (начало)

for j=1:K

Sab(j)=sqrt(Sa(j)^2+Sb(j)^2);

end

i=1:K;

figure

plot(i,Sab);

stem(Sab(1:K)); %вывод графика  дискретной последовательности данных

axis([1 8 -0.2 1.2]);%задание осей: [xmin xmax ymin ymax]

title('Амплитуды частотных составляющих спектра');

xlabel('Количество периодов')

axis tight;

%Вычисление и отображение спектра амплитуд (конец)

y=zeros(1,N+1);

for i=1:N+1

   for j=1:K

       y(i)= y(i)+Sa(j)*cos(j*2*pi*(i-1-N)/N)+Sb(j)*sin(j*2*pi*(i-1-N)/N);        

   end  

    y(i)=Sa0+y(i);

end

i=1:N+1;

figure

plot(i,f);

axis tight;

hold on;

plot(i,y,'r-')

hold off;

pause;

close all;

   

Рис. 2. Исходная и восстановленная функция y=tp после разложения в ряд Фурье, N=128, T=5, p=4,K=16.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30611. Шопенгауэр о творчестве 29.5 KB
  Интеллект слуга воли. Царство платоновских идей представляет собой высшую объективацию воли. Искусства иерархичны разные степени объективации воли: архитектура тяжесть садоводство и ландшафтный дизайн растительный мир скульптура животные живопись и поэзия чел. Но круче всех музыка она мистическое воплощение самой воли.
30612. Иосиф Бродский о творчестве (воспоминания) 19.1 KB
  Творчество вообще Для Бродского творчество это прежде всего процесс а не результат потому что последний невозможен без первого это он высказывает и в интервью и в речи нобелевского лауреата и в своих эссе например Кошачье мяу. Поэтическое творчество Язык это уникальный инструмент познания. Творчество учит частности человеческого существования. Поэзия не столько форма искусства сколько искусство форма к которой часто прибегает поэзия Творчество Бродского Всё что не относится к творческому процессу семья и...
30613. А. П. Чехов о журналистском творчетсве 28.87 KB
  Чехов о журналистском творчетсве.Первые опыты литературного творчества Чехова в юмористическом духе относятся к гимназическим годам. Чехов в воспоминаниях комунибудь подражая или когонибудь представляя.Так еще в гимназические годы проявляется у Чехова тяга к юмору и желание установить связь с юмористическими журналами.
30614. Сергей Довлатов: ремесло и творчество 44 KB
  Произведения Довлатовапрозаика не издавались в СССР. В Америке проза Довлатова получила широкое признание публиковалась в известнейших американских газетах и журналах. Через пять дней после смерти Довлатова в России была сдана в набор его книга Заповедник ставшая первым значительным произведения писателя изданным на родине.Основные произведения Довлатова: Зона 19641982 Невидимая книга 1978 Соло на ундервуде: Записные книжки 1980 Компромисс 1981 Заповедник 1983 Наши 1983 Марш одиноких 1985 Ремесло 1985 Чемодан...
30615. З. Фрейд: бессознательное и творчество 38 KB
  Если председатель палаты депутатов в первых же своих словах закрывает заседание вместо того чтобы его открыть мы склонны считать это ошибочное действие не лишенным смысла. Особый вид сна сны наяву является сырым материалом для поэтического творчества потому что сны наяву поэт использует в своих новеллах романах пьесах. Гёте на вопрос когда и где появляется национальный классический писатель он отвечает: Когда в образе мысли своих соотечественников он не видит недостатка в величии равно как и в...
30616. Понятие творчества в философии С.Н.Булгакова («Свет невечерний») 37.5 KB
  ТВОРЧЕСТВО Главное: Бог творец. И творчество его возможность заложено богом. От них можно либо уйти в ленность либо их испытывать постоянно либо прийти к смирению перед богом и все творчество сделать религиозным. Чел существо двуполое и творчество тоже двуполое Оно есть скрещение двух начал гениальности и талантливости.
30618. Суть художественного тв-ва В. Кандинского (по книге «Духовное в искусстве») 76 KB
  Действие цвета. Скольжение нашего взора по покрытой красками палитре приводит к двум главным результатам: осуществляется чиста физическое воздействие цвета когда глаз очарован его красотой и другими его свойствами. При низкой душевной восприимчивости цвет может вызвать лишь поверхностное действие которое исчезает вскоре после того как прекратилось раздражение. Глаз становитсябеспокойным не выдерживает долго вида этого цвета и ищет углубления и покоя всинем или зеленом.
30619. Архитип и символ в творческой деятельности по Ницше «О музыке и слове» 30 KB
  Архитип и символ в творческой деятельности по Ницше О музыке и слове ФРИДРИХ НИЦШЕ предлагает поставить язык и соответственно слово в категорию физической символики. В разных языках слово и предмет не совпадают вполне = слово есть символ. Слово символизирует представления. Так происходит потому что слово символ не может соответствовать той внутренней сущности отражением которой являемся мы сами вместе с миром.