75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43786. Розробка обємно-планувальних рішень готелю на 90 місць категорії *** 386.97 KB
  Метою дипломної роботи є розробка обємнопланувальних рішень готелю на 90 місць категорії . Задачі роботи: Визначити земельну ділянку для будівництва готелю. Обґрунтувати розміщення готелю на земельній ділянці.
43787. ЕФЕКТИВНІСТЬ ВИКОРИСТАННЯ СПЕКТРУ СМУГ ЧАСТОТ 174 – 230 МГц, 470 – 862 МГц 2.45 MB
  МЕРЕЖІ ЦИФРОВОГО ТЕЛЕБАЧЕННЯ 1. Найбільш важливими ресурсами мережі цифрового телебачення є частотний і територіальний ресурси. Портативний прийом може забезпечуватися методами організації одночастотної мережі з використанням заповнювачів. Найбільш важливими ресурсами мережі цифрового телебачення є частотний і територіальний ресурси.
43788. Оценка и анализ инвестиционных проектов на примере капиталообразующих вложений аэропорта «Внуково» 506.64 KB
  Инвестиции могут осуществляться в различных формах. В целях систематизации планирования и анализа они могут быть сгруппированы по ряду различных оснований или признаков классификации. Объект инвестирования выступает базисным типологическим признаком при классификации инвестиций.
43789. Державне регулювання попиту і пропозиції на регіональному ринку праці (на прикладі Житомирської області) 374.62 KB
  Здебільшого ринок праці визначається як інститут або механізм, у якому покупці та продавці здійснюють процеси купівлі-продажу товару «робоча сила», вступаючи у відносини товарного обміну. Очевидно, що при визначенні поняття «ринок праці» багато уваги приділяється обміну через те, що ця сфера відіграє значну роль у системі суспільного виробництва і саме в ній відбуваються процеси купівлі–продажу товару.
43790. Изучение элементов диодной оптопары: светодиода и фотодиода 462.73 KB
  Оптронами называют такие оптоэлектронные приборы в которых имеются источник и приемник излучения светоизлучатель и фотоприемник с тем или иным видом оптической и электрической связи между ними конструктивно связанные друг с другом. Яркость излучения L величина равная отношению силы света к площади светящейся поверхности. Максимальное спектральное распределение λmx длина волны излучения соответствующая максимуму спектральной характеристики излучения СИД. Характеристики светодиодов Цвет свечения характеризуется спектральными...
43791. Особенности изображения пространства и времени в поэзии XX века (на материале лирики А. Блока, В.Брюсова, О. Мандельштама) 126.25 KB
  Еще одним свойством литературных времени и пространства является их дискретность прерывность. Применительно ко времени это особенно важно поскольку литература оказывается способной не воспроизводить весь поток времени но выбирать из него наиболее существенные фрагменты обозначая пропуски пустоты с художественной точки зрения определенными формулами. Не имея возможности подробно останавливаться на моделях времени отметим лишь что от модели к модели время постепенно распрямляется и абстрагируется от событий его заполняющих. Эти...
43792. Особенности рассмотрения и разрешения трудовых споров о восстановлении на работе 127.24 KB
  Дела о восстановлении на работе. Подсудность и подведомственность дел о восстановлении на работе Лица участвующие в деле о восстановлении на работе. Доказывание по делам о восстановлении на работе
43793. Вопросы налогообложения и бухгалтерского учета ОАО «Металлург» 150.67 KB
  Основой рыночного механизма являются экономические показатели, необходимые для планирования и объективной оценки производственно-хозяйственной деятельности предприятия, образования и использования специальных фондов, соизмерения затрат и результатов на отдельных стадиях воспроизводственного процесса.
43794. Оценка конкурентоспособности ЗАО «Потенциал» 4.08 MB
  Рассматривая управление конкурентоспособностью предприятия как организационно-экономическую категорию, необходимо отметить, что это управление экономическими процессами и соответственно складывающимися при их осуществлении рыночными конкурентными экономическими отношениями.