75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79919. Страна превратится в пустыню, если семья не станет святыней 45 KB
  Показать учащимся необходимость ценить и уважать свою семью, чтобы обеспечить благополучие и процветание своей страны. Познакомить детей с понятиями «семья», «генеалогия», «генеалогическое древо». Научить учащихся составлять родословную своей семьи. Показать основы для дальнейшего изучения истории поколений.
79920. КЛАССНЫЙ ЧАС ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ: «СЕМЬЯ — КЛЮЧ К СЧАСТЬЮ» 36.5 KB
  А что же должно быть между двумя молодыми людьми чтобы они захотели создать семью Правильно любовь А что же такое любовь Лично для меня любовь это любовь к моим родителям их я люблю дочерней любовью. Это любовь к моим детям их я люблю материнской любовью. Это любовь к моему мужу его я люблю женской любовью.
79921. Вивчення проблеми сенсу буття та призначення людини на Землі за творами Річарда Баха «Чайка Джонатан Лівінгстон» та Пауло Коельо «Алхімік» 185.5 KB
  Ніколи людині не було байдужим питання про сутність її призначення, місію на Землі. Пошук істини виправдовував зміст життя, приводив до відкриттів, які окриляли, запевняли: не дарма, не дарма... Складався досвід, життєстверджуючий, ґрунтовний. Здавалось би, повтори, доповни своїм.
79922. Гра «Щасливий випадок» 46 KB
  Мета: Показати учням красу та багатство української мови, викликати навички бажання вивчати її, збагачувати її, збагачувати свій словниковий запас; розвивати навички виразного читання, усне мовлення учнів, кмітливість. Виховувати любов і повагу до своєї Батьківщини, свого народу, рідної мови
79923. Початкова школо, прощавай! 60 KB
  Свято відбувається у шкільній залі. Учні четвертих класів вишикувались біля актової зали. Звучить запис фанфар. На середину зали вибігають глашатаї: 1-й глашатай: Слухайте! Слухайте! 2-й глашатай: І не кажіть, що ви не чули! 1-й глашатай: І не кажіть, що ви не бачили!
79924. Обряд щедрування «Маланка та Василь» 57 KB
  Ознайомити школярів з культурною спадщиною рідного краю, традиціями, звичками, обрядами. Формувати пізнавальний інтерес учнів. Сприяти розвиткові творчих здібностей дітей, бажанню примножувати родинні традиції. Виховувати любов до народної творчості, прагнення вивчати й зберігати народні скарби...
79926. Ток-шоу «Твоє життя – твій вибір» 70 KB
  Ведуча Вітаю всіх присутніх і зацікавлених в проблемі що обговорюватиметься сьогодні. В зеленому секторі їхні опоненти які вважають що алкоголь тютюн і наркотики неприємлимі в будьякій кількості за будьяких обставин ведуча представляє учасників та проблеми над якими вони працювали.
79927. Тренинг личностного роста «Я – реальный» и «Я - идеальный» 56 KB
  Цель. Помочь участникам тренинга лучше узнать себя, осознать важность позитивного принятия своего «Я», свои сильные стороны, способствовать развитию чувства собственного достоинства, умений и навыков делать самоанализ, преодолевать психологические барьеры, мешающие полноценному самовыражению.