75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38898. Освещение ЛГБТ-проблематики в современном Рунете 355 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему Освещение ЛГБТ проблематики в современном Рунете. ЛГБТ проблематика как одно из тематических направлений современных СМИ. Актуальность ЛГБТ проблематике в современном социуме 1. Правовые и профессионально-этические проблемы в освещении ЛГБТ проблематики.
38899. Специфика работы с ЛГБТ-проблематикой в рунете 334.5 KB
  Журналистика ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему Специфика работы с ЛГБТпроблематикой в рунете. ЛГБТпроблематика как одно из тематических направлений современных СМИ. Обоснованность обращения к ЛГБТпроблематике в журналистском и публицистическом научном дискурсе. Правовая и профессиональноэтическая проблемы освещения ЛГБТпроблематики в СМИ.
38900. Міжпроцесна взаємодія в локальній обчислювальній мережі 364 KB
  Переваги використання локальних обчислювальної мережі. Визначення локальної обчислювальної мережі5 1. Модульна структура локальної мережі. Протокол Internet забезпечує при необхідності також фрагментацію і збір датаграм для передачі даних через мережі з малим розміром пакетів.
38901. УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 560 KB
  Информатика УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Студент Пахтаев Александр Остапович гр. Теоретические основы формирования познавательного интереса младших школьников 1. Особенности познавательного интереса младших школьников 10 1. Роль и значение нестандартных уроков по математике в формировании познавательного интереса младших школьников 25 1.
38902. ПОНЯТТЯ, ВИДИ І ЗНАЧЕННЯ НАСЛІДКІВ ЗЛОЧИНУ 172 KB
  Правове забезпечення охорони прав і свобод людини і громадянина, власності, громадського порядку та громадської безпеки, довкілля, конституційного устрою України від злочинних посягань, забезпечення миру і безпеки людства, а також запобігання злочинам
38903. Исследование законов движения тел по наклонной плоскости 346.5 KB
  Цель работы: проверка законов сохранения энергии для поступательного и вращательного движения тел по наклонной плоскости с учетом силы трения.1 Сила трения Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела например жидкости или газа носит название внутреннего трения. Сила и есть сила трения покоя.
38904. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА 2.35 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: Перед включением электроприборов проверить целостность шнуров питания вилки и заземление. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение перераспределения энергии соударяющихся тел определение времени удара. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий.
38905. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА 1.5 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 А ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА Методическое руководство подготовлено: к. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий. После удара столкнувшиеся тела движутся вместе с одинаковой скоростью.
38906. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ 2.74 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ6 ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ Составитель: к. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение периодов колебаний и моментов инерции тел относительно главных осей инерции. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Моментом инерции тела относительно некоторой оси в физике называют величину равную сумме произведений элементарных масс из которых состоит тело на квадраты их расстояний до оси: Проекция момента импульса тела на ось вращения и угловую скорость связаны...