75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16843. Проблемы перевода Problems of Translation 142 KB
  Проблемы перевода Problems of Translation В.ГГак Типология преобразований в актантной структуре высказывания при переводе При переводе нередко приходится прибегать к преобразованиям в актантной структуре высказывания особенно когда мы име
16844. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ МОЗГОВОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ 22.04 KB
  П. РАВУССИН Д. БРАККО. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ МОЗГОВОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ. Отделение анестезиологии университетской клиники г. Лозанна Швейцария Большое количество церебральных процессов может вести к необратимому повреждению. Эти процессы могут быть классифицированы как трав...
16845. ВНУТРИЧЕРЕПНОЕ ДАВЛЕНИЕ И ВНУТРИЧЕРЕПНАЯ ГИПЕРТЕНЗИЯ 35.86 KB
  М.В. БАШКИРОВ А.Р. ШАХНОВИЧ А.Ю. ЛУБНИН. ВНУТРИЧЕРЕПНОЕ ДАВЛЕНИЕ И ВНУТРИЧЕРЕПНАЯ ГИПЕРТЕНЗИЯ. НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко РАМН Москва ВВЕДЕНИЕ Первые попытки дать научное объяснение феномену внутричерепной гипертензии ВЧГ предпринимались еще 200 лет назад. Но...
16846. Основные принципы интенсивной терапии тяжелой черепно-мозговой травмы 26.8 KB
  Потапов А.А. Амчеславский В.Г. Гайтур Э.И. Парфенов А.Л. Островский А.Ю. Филимонов Б.А. Основные принципы интенсивной терапии тяжелой черепномозговой травмы. НИИ нейрохирургии им.Н.Н.Бурденко РАМН Москва Лечебные мероприятия при поступлении пострадавшего в стационар....
16847. Принципы интенсивной терапии при острых субарахноидальных кровоизлияниях нетравматической этиологии 30.58 KB
  Амчеславский В.Г. Тома Г.И. Тенедиева Н.Д. Фокин М.С. Элиава Ш.Ш. Мадорский С.В. Оганесян К.Р. Даушева А.А. Принципы интенсивной терапии при острых субарахноидальных кровоизлияниях нетравматической этиологии. НИИ нейрохирургии им. акад. Н.Н. Бурденко РАМН Москва Острые...
16848. ТОТАЛЬНАЯ ВНУТРИВЕННАЯ АНЕСТЕЗИЯ ИЛИ ИНГАЛЯЦИОННЫЙ НАРКОЗ ДЛЯ ИНТРАКРАНИАЛЬНЫХ ВМЕШАТЕЛЬСТВ 86.3 KB
  П. РАВУССИН Г. ВАН АКЕН Д. ВАН ХЕМЕЛЬРИК. ТОТАЛЬНАЯ ВНУТРИВЕННАЯ АНЕСТЕЗИЯ ИЛИ ИНГАЛЯЦИОННЫЙ НАРКОЗ ДЛЯ ИНТРАКРАНИАЛЬНЫХ ВМЕШАТЕЛЬСТВ Отделение анестезиологии университетской клиники Лозанна Швейцария отделение анестезиологии университетской клиники Леувен Бел
16849. СТАТУС ЮЖНОДУНАЙСКИХ РУМЫНСКИХ ДИАЛЕКТОВ 83.5 KB
  СТАТУС ЮЖНОДУНАЙСКИХ РУМЫНСКИХ ДИАЛЕКТОВ Для решения проблемы статуса южнодунайских диалектов требуется разграничить с одной стороны понятия €œязык€ и €œдиалект€ и с другой стороны понятия €œдиалект€ и €œнаречие€ или €œговор€. С генетической точки зрения...
16850. ФОРМИРОВАНИЕ РУМЫНСКИХ ДИАЛЕКТОВ 116 KB
  ФОРМИРОВАНИЕ РУМЫНСКИХ ДИАЛЕКТОВ Проблема формирования 4х румынских диалектов: дакорумынского арумынского мегленорумынского и истрорумынского широко обсуждается в румынской лингвистике. Для решения данной проблемы и получения ответов на многочисленные вопросы...
16851. Анализ философии нового религиозного сознания 44.5 KB
  Анализ философии нового религиозного сознания В конце прошлого столетия и особенно в начале настоящего бурно развивающегося XX века получило распространение религиознофилософское движение под названием религиозного ренессанса. Это движение охватило широкие круг...