75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84276. Генотип и фенотип микроорганизмов 34.06 KB
  Гены подразделяются на структурные гены генырегуляторы и геныоператоры. Генырегуляторы контролируют синтез белковрепрессоров подавляющих функцию структурных генов а геныоператоры выполняют роль посредников между генами регуляторами и структурными генами. Гены обозначают строчными начальными буквами названия синтезируемого под их контролем соединения например his гистидиновый ген rg аргининовый ген lc и ml гены контролирующие расщепление coответственно лактозы мальтозы.
84277. Формы изменчивости микроорганизмов 41.75 KB
  Фенотипические изменения При фенотипической изменчивости микробы образовавшиеся из одной материнской клетки могут различаться между собой по ферментативной активности морфологическим признакам потребности в источниках питания. Мутагенным действием обладают ультрафиолетовые рентгеновские и радиоактивные излучения которые вызывают повреждение генетического аппарата клетки. Бактериальные клетки в которых произошла мутация называют мутантами. Трансдукция перенос генов фрагментов ДНК от донорской клетки бактерии к реципиентной...
84278. Практическое значение изменчивости микроорганизмов 31.56 KB
  Вследствие этого учение о наследственности и изменчивости микроорганизмов является научной основой систематики микроорганизмов и их идентификации. Знания закономерностей модификационной и мутационной изменчивости позволяют проводить целенаправленную селекцию отбор из популяций микроорганизмов особей с нужными человеку свойствами. Селекцию микроорганизмов для выделения полезных мутантов осуществляют несколькими путями: благодаря поиску и отбору полезных форм микроорганизмов из природных источников; в результате адаптации микроорганизмов...
84279. Спиртовое брожение. Химизм, условия проведения процесса. Возбудители. Практическое использование спиртового брожения 34.17 KB
  Практическое использование спиртового брожения Спиртовое брожение микробиологический процесс превращения углеводов в спирт и углекислый газ. Суммарное уравнение реакции: С6 H12 O6 → 2 СНзCH2 ОН 2 СО2 Е глюкоза этиловый спирт Как и любое брожение это сложный многоступенчатый процесс см. Дрожжи верхового брожения вызывают бурное и быстрое брожение при температуре 2028 С.
84280. Химизм процесса. Характеристика молочнокислых бактерий. Практическое значение молочнокислого брожения 33.66 KB
  Суммарное уравнение процесса имеет вид: С6H12О6 СНзСНОНСООН СООНСН2СН2СООН СНзСООН глюкоза молочная кислота янтарная кислота уксусная кислота СНзСН2ОН C02Н2 Е этиловый спирт К гетероферментативным молочнокислым бактериям относятся бактерии рода Streptococcus: Streptococcus dicetilctis Streptococcus cetoinicus; бактерии рода Lctobcillus: Lctobcillus brevis Lctobcillus helveticus а также бактерии рода Leuconostoc: Leuconostoc mesenteroides Leuconostoc cremoris. Характеристика молочнокислых бактерий Все молочнокислые бактерии...
84281. Пропионовокислое брожение. Химизм процесса, возбудители. Практическое использование пропионовокислого брожения 30.49 KB
  Практическое использование пропионовокислого брожения Пропионовокислое брожение вызывается пропионовокислыми бактериями относящимися к роду Propionibcterium. Химизм пропионовокислого брожения: ЗС6H12О6 → 4СНзCH2СООН 2СНзСООН 2CO2 2H2O Е глюкоза пропионовая уксусная кислота кислота Пропионовокислые бактерии небольшие неподвижные грамположительные палочки не образующие спор факультативные анаэробы. Практическое применение пропионовокислого брожения Пропионовокислое брожение используется в сыроделии.
84282. Маслянокислое брожение. Химизм процесса. Возбудители. Практическое использование и роль в процессах порчи пищевых продуктов 32.61 KB
  Эти бактерии могут сбраживать многие углеводы, в т.ч. (крахмал, гликоген, пектиновые вещества, целлюлозу), спирты (этиловый, маннит, глицерин) и аминокислоты. По характеру используемых субстратов маслянокислые бактерии делятся на две группы: сахаролитические клостридии, которые сбраживают в основном углеводы
84283. Уксуснокислое брожение. Химизм процесса. Возбудители. Практическое использование и роль в процессах порчи пищевых продуктов 31.83 KB
  Возбудителями уксуснокислого брожения являются уксуснокислые бактерии относящиеся к двум родам: Gluconobcter и cetobcter. Бактерии кислотоустойчивы оптимальное значение рН для развития 5463. С другой стороны уксуснокислые бактерии являются вредителями спиртового пивоваренного консервного производств виноделия производства безалкогольных напитков.
84284. Окисление жиров и высших жирных кислот микроорганизмами. Микроорганизмы - возбудители порчи жиров 32.33 KB
  Микроорганизмы возбудители порчи жиров Жиры представляют собой сложные эфиры глицерина и высших жирных кислот. Практическое значение процесса Процесс разложения жиров отмерших животных и растений происходит постоянно и имеет большое значение в круговороте веществ в природе. С другой стороны в пищевой промышленности микроорганизмы окисляющие жиры приносят вред вызывая порчу пищевых жиров и жира содержащихся в различных пищевых продуктах.