75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16507. История политических и правовых учений 4.23 MB
  История политических и правовых учений. Учебник для вузов. Под общей редакцией членакорреспондента РАН В. С. Нерсесянца. М. 1996. Учебник посвящен всемирной истории политической и правовой мысли. В нем освещаются основные политико правовые теории древнего мира ср...
16508. Ошибки медицины, опыт целителей 11.47 MB
  А.М. Береснев Ошибки медицины опыт целителей Пришло время осознать что в окружающем нас мире само устройство Мирозданья сообразуется с канонами которые наука называет законами Природы и привести все свои знания и действия в соответствие с этими канонами. Если бы
16509. Создать программу в Delphi с задаными действиями 75 KB
  Лабораторная работа № 6 Создать программу в Delphi со следующими действиями. Задайте цвет формы свойство color. Часть первая: На событие мыши OnMouseDown переведите значение переменной Flag:Boolean в True выполните процедуру Form1.Canvas.MoveTox0y0 где x0y0 – позиция курсора мышки и откройте ...
16510. Изучение назначения, устройства, принципа действия и характеристик газореактивных исполнительных устройств систем автоматического управления ЛА 2.9 MB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Изучение назначения устройства принципа действия и характеристик газореактивных исполнительных устройств систем автоматического управления ЛА. 1.Цель работы. Изучение назначения устройства принципа действия и характеристик газо
16511. Основы эмбриологического рисунка 180.61 KB
  Основы эмбриологического рисунка Современные способы получения изображений биологических объектов становятся все более привычными для специалистовбиологов. Так классический фотопроцесс вытесняется методами видеомикроскопии объект исследования все чаще фотограф...
16512. ПРАВИЛА ВИКОНАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ СХЕМ ЦИФРОВОЇ ТЕХНІКИ 143.5 KB
  Лабораторна робота 3 Тема: ПРАВИЛА ВИКОНАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ СХЕМ ЦИФРОВОЇ ТЕХНІКИ Електрична схема – це конструкторський документ в якому умовними графічними позначеннями УГП показано складові частини виробу і зв’язки між ними. Їх виконують у відповідності д...
16513. Прикладная численная математика 134 KB
  Лабораторная работа №5 Прикладная численная математика 1.1 Вычисление определенных интегралов В MATLAB определены команды quad и quadl для приближенного вычисления определенных интегралов I = dx. Команда quad или quadl имеет следующие модификации: quad'fx' ab; quad'fx' a...
16514. Вычисление пределов – команда limit 62 KB
  Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов – команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa – возвращает предел символьного выражения F
16515. Разложение в ряд Тейлора – команда taylor 208.5 KB
  Лабораторная работа №7 1.1 Разложение в ряд Тейлора – команда taylor В задачах аппроксимации и приближения функций fx важное место занимает их разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a: fx = . Частным случаем этого ряда при a = 0 является ряд Маклорена: fx = ...