75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86084. Судова влада і судова система в Україні. Принципи організації і діяльності суддів 207 KB
  Завданням суду при здійсненні правосуддя є забезпечення: захисту гарантованих Конституцією України та законами прав і свобод людини і громадянина; захисту прав і законних інтересів юридичних осіб; інтересів суспільства і держави.
86085. Предмет, система, метод і основні поняття навчальної дисципліни 219.5 KB
  Навчальна дисципліна «Судоустрій України» ставить за мету ознайомлення студентів із сучасною судовою системою України, яка забезпечує право на справедливий суд, із засадами організації та діяльності судів, з правовими основами статусу суддів, а також підготувати їх до вивчення процесуальних галузей права.
86087. Психологічний вплив у професійному спілкуванні працівників ОВС 145.5 KB
  У сучасній психологічній науці не існує єдиного розуміння поняття психологічного впливу. Психологічний вплив є одним із численних видів впливу, поряд з ним існують фізичний, правовий, економічний, педагогічний та будь-які інші різновиди впливів.
86089. Основні напрями виховання молодших школярів 65.37 KB
  Актуальність теми аргументується необхідністю формування духовно багатого інтелігентного самодостатнього громадянина висококваліфікованого фахівця в галузі початкової освіти який ґрунтовно володіє теорією та технологіями громадянського розумового морального виховання молодших школярів...
86090. Основні напрями виховання молодших школярів. Трудове виховання. Естетичне виховання. Фізичне виховання 48.61 KB
  Мета лекції: формувати у студентів поняття про трудове, естетичне та фізичне виховання як педагогічні категорії; ознайомити із метою, основними завданнями трудового, естетичного та фізичного виховання молодших школярів, умовами ефективності цих процесів; проаналізувати зміст та організаційні форми...