75611

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения

Русский

2015-01-15

60.5 KB

1 чел.

ОС. Лекция 5.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Система функций на отрезке  образует ортонормированную систему функций. Значит, произвольная функция f(t) может быть представлена по этой системе следующим образом:

Это и есть разложение в комплексный ряд Фурье. Коэффициенты Сk называются комплексными коэффициентами Фурье и, подобно действительным коэффициентам Фурье, вычисляются как скалярные произведения f(t) и ejkt:

Если период функции не равен , а, например, равен Т, то получим следующее общее выражение для комплексных коэффициентов:

Коэффициенты Фурье являются комплексными числами, но f(t) является действительной функцией, а значит правая часть  последнего выражения должна быть действительной. Так оно и есть на самом деле, потому что коэффициенты Ck и C-k являются сопряженными. Если взяты целые положительные значения k, то функцию f(t) можно записать в виде:

Но, учитывая то, что Ck и C-k являются сопряженными, получим:

Ниже приведена программа разложения дискретизированной функции y=x2 содержащего N значений в комплексный ряд Фурье на интервале [-T,T] с М членами разложения, M<N, и  последующего восстановления. Для сравнения приведены результаты, полученные с помощью стандартных функций fft (БПФ) и ifft (ОБПФ) MATLAB.

%Разложение функции t^2 в комплексный ряд Фурье

%в дискретизированном виде на интервале [0,T]

%Восстановление функции производится по формуле

% fв(i)=y(i)=sum(ck*exp(j*2*pi*0*i/N)), k=[1,M],

% i= [0,N-1]

%Чем больше М, тем точнее восстановление

 

T=4;%Значение T (произвольное)

N=128;%количество значений функции на интервале [0,T](произвольное)

M=8;

for i=1:N

   f(i)=2*T*(i-1)^2/N;  %исходная дискретизированная функция      

end

for k=1:M

  C(k)=0;

for i=1:N

   C(k)=C(k)+f(i)*exp(-j*2*pi*k*(i-1)/N);   

end

C(k)=C(k)*(1/N);

end

 

for i=1:N

   y(i)=0;

   f3(i)=0;

   for k=1:M    

   y(i)=y(i)+C(k)*exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);   

   end

end

for k=1:M

   koef(k)=C(k);

   koef2(k)= exp(j*2*pi*k*(i-1)/N);

end    

   f3(1)=C(1);

   f3(2)=C(2);

   f3(3)=C(3);

   f3(4)=C(4);

   f3(5)=C(5);

   f3(5)=C(6);

 

   

   i=1:N;

   f3=f3/max(f3);

 

%2. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (БПФ)

i=1:N;

bpfy=fft(f,N);%БПФ

bpf=(bpfy.*conj(bpfy));%БПФ

bpf=bpf/max(bpf);%%%%%%%

f2=ifft(bpfy);

figure

hold on;

plot(i(1:10),bpf(1:10));

plot(i(1:10),f3(1:10));

axis tight;

title('Frequency domain')

xlabel('Количество периодов')

 

hold off;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%нахождение макс. знач. функции БПФ для массива Y

C=max(bpf);

for i=1:N %поиск количества периодов, соответствующих максимуму БПФ

   if (bpf(i)==C)          

       kpbpf=(i-1);         

       break

   end

end

kp_bpf=kpbpf

i=1:N;

figure

%plot(i(1:N),y(1:N));%отображение графика y линией красного цвета

plot(i,y,'r-');

axis tight;

title('Time domain. Восст. Y  и f2')

xlabel('Points number')

%hold on;

figure

plot(i,f2);

axis tight;

%hold off;

pause;

close all;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80270. ПРОГНОЗУВАННЯ ВАРТОСТІ ДОСЛІДНОГО ЗРАЗКА ВИРОБУ 423.5 KB
  Створення програми та методики експерименту. Планування експерименту. Використання елементів теорії математичної статистики для визначення результатів експерименту. Вибір ключових слів і рубрик УДК У ході підготовки даної роботи використовувалися такі ключові слова: планування експерименту.
80272. ВИМІРЮВАННЯ ЧАСТОТИ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ П’ЄЗОКЕРАМІЧНОГО МЕМБРАННОГО ГЕНЕРАТОРА КОЛИВАНЬ 2.71 MB
  Відкривається спадаюче меню. На екрані виникає меню Інструменти – Tools у вигляді матриці елементів. – Меню Палітра інструментів – Tools Plette. У меню Палітра інструментів – Tools Plette обрати піктограму у вигляді стрілки Позиціонування Розмір Вибір 12 – Position Size Select 12.
80274. ДОСЛІДЖЕННЯ СПЕКТРУ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ 489 KB
  Об’єкт дослідження процес визначення частотної характеристики коливань і відповіді імпульсу системи Мета – за допомогою функції Coherence визначити Частотну характеристику і Відповідь Імпульсу механічної системи що коливається. Тут ми вимірюємо відповідь системи смугового фільтра Фільтр Баттерворта VI передаючи білий шум Однорідний Білий шум VI як стимул системи і збираючи висновок фільтра як відповідь системи. Збільшуючи кількість кадрів фреймів даних введення і виведення збільшення становить...
80276. ОБОЛОНКА LabVIEW 82 KB
  ВСТУП LbVIEW Lbortory Virtul Instrument Engineering Workbench – Середовище розробки лабораторних віртуальних приладів додаток розробки програми дуже схожий на C або Бейсик або NI LbWindows. Однак LbVIEW відрізняється від тих додатків в одному важливому відношенні. Інші системи програмування використовують: текстово засновані мови щоб створити рядок програми програмний код у той час як LbVIEW використовує графічну мову програмування GДжей щоб створювати програми у формі блоксхеми алгоритм створюється в графічній іконній...
80277. ПАЛІТРИ LABVIEW 86 KB
  Зображення елементів Палітри Інструментів Tools та пояснення щодо їх використання Інструмент керування. Використовується для роботи з передньою панеллю керування й індикаторами. Палітра керування Controls Палітра керування призначена для відтворення передньої панелі віртуального приладу.
80278. Палітра Функції - Functions 72 KB
  Палітра Функції Functions За допомогою палітри Функції – Functions. Якщо палітра Функції Functions не відображена на екрані необхідно викликати палітру вибравши рядок Показати палітру Функції Show Functions Plette у меню Вікна Windows. Палітра Функції Functions може бути пришпилена до робочого стола за допомогою кнопки в лівому куті палітри або прибрана кнопкою хрестик . Палітра Функції Functions доступна тільки якщо активно вікно Діаграма Digrm.