76230

Спектр плотности мощности и его связь с функцией корреляции

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь дело с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например...

Русский

2015-01-30

94.43 KB

10 чел.

Международная образовательная корпорация

Факультет Прикладных Наук

Реферат

на тему «Спектр плотности мощности и его связь с функцией корреляции»

По дисциплине «Теория электрической связи»

Выполнила: студент группы

ФПН-РЭиТ(з)-4С* 

Джумагельдин  Д

Проверила: Глухова Н.В 

Алматы, 2015

Содержание

І Введение

ІІ Основная часть

  1.  Спектральная плотность мощности
  2.  Случайные величины
  3.  Плотность вероятности функции от случайной величины
  4.  Случайный процесс
  5.  Метод  определения  спектральной  плотности мощности по корреляционной функции

ІІІ Заключение

ІV Список использованной литературы

Введение

Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике". Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явлений, развивающихся во времени или по любой другой переменной, решает теория случайных процессов.

 Спектральная плотность мощности позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность при различных частотах или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.

В качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по независимой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Распределения случайных величин во времени, а равно и сигналов их отображающих в любой математической форме, обычно называют случайными процессами. В технической литературе термины "случайный сигнал" и "случайный процесс" используются как синонимы.

В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь дело с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например, акты регистрации частиц ионизирующих излучения при распаде радионуклидов. Во вторых, информационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежать определению по данным информационным сигналам. И в третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически независимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени.

Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность при различных частотах или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.

Картину распределения средней мощности по частотам называют спектром мощности. Прибор, при помощи которого измеряется спектр мощности, называется анализатором спектра. Найденный в результате измерений спектр называется аппаратным спектром.

Работа анализатора спектра основана на следующих методах измерений:

методе фильтрации;

методе преобразования по теореме Винера-Хинчена;

методе Фурье-преобразования;

методе с использованием знаковых функций;

методе аппаратного применения ортогональных функций.

Особенность измерения спектра мощности состоит в значительной продолжительности эксперимента. Нередко она превышает длительность существования реализации, или время, в течение которого сохраняется стационарность исследуемого процесса. Оценки спектра мощности, получаемые по одной реализации стационарного эргодического процесса, не всегда приемлемы. Часто приходится выполнять многочисленные измерения, так как необходимо усреднение реализаций как по времени, так и по ансамблю. Во многих случаях реализации исследуемых случайных процессов предварительно запоминают, что позволяет многократно повторять эксперимент с изменением  продолжительности анализа, использованием различных алгоритмов обработки и аппаратуры.

В случае предварительной записи реализаций случайного процесса аппаратурные погрешности могут быть уменьшены до значений, обусловленных конечной длительностью реализации и нестационарностью.

Запоминание анализируемых реализаций позволяет ускорить аппаратурный анализ и автоматизировать его.

Случайные величины

     Случайная величина описывается вероятностными законами. Вероятность того, что непрерывная величина х при измерении попадет в какой-либо интервал х1 <х <х2, определяется выражением:

, где p(x) - плотность вероятности, причем . Для дискретной случайной величины хi P(x = xi)=Pi, где Pi - вероятность, соответствующая i-у уровню величины х. 

     Моменты случайной величины:

а) среднее значение (математическое ожидание)

б) средний квадрат

в) средний квадрат флуктуаций (дисперсия)

     Вид функции р(х) плотности вероятности для различных случайных величин может быть различен. Часто выполняется нормальный закон распределения вероятности: ,

где  - среднее значение,  - дисперсия.

     Имеет место «центральная предельная теорема»: распределение вероятности для суммы независимых случайных величин с ростом числа слагаемых, при которых нет доминирующих, стремится к нормальному закону независимо от законов распределения слагаемых.

     Плотность вероятности функции от случайной величины

Пусть y - случайная величина, связанная с x однозначной функциональной зависимостью вида у = f(x). Попадание случайной точки х в интервал шириной dx и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной  являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают:

. Отсюда .

     Если функциональная связь между х и у неоднозначна, так что имеется несколько значений  для одного значения у (х=g(у) - функция, обратная по отношению к у=f(х)), то выражение для плотности вероятности ру(у) обобщается:

.

     Многомерная плотность вероятности

Пусть имеем n случайных величин х12, …, хn. Можно ввести n-мерную плотность вероятности p12, …, хn), определяющую вероятность одновременного осуществления событий , , ..., ,

причем . Зная n-мерную плотность вероятности, всегда можно найти m-мерную (m < n) плотность вероятности меньшего порядка, интегрируя по лишним координатам:

.

Располагая многомерной плотностью вероятности, можно находить среднее значение любых комбинаций этих случайных величин и определять их моменты. В частности, для двумерной случайной величины будем иметь:

  

Новым по сравнению с одномерным случаем является смешанный момент второго порядка - ковариационный момент

 

или центрированный корреляционный момент

Вводят также безразмерный коэффициент корреляции

Для статистически независимых случайных величин

Статистически независимые случайные величины некоррелированы между собой:

 при . Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статистическая независимость случайных величин.

Случайный процесс

     Под случайным процессом понимают множество (ансамбль) случайных функций хк(t), называемых возможными реализациями этого случайного процесса. В каждый выбранный момент времени t1 конкретная реализация есть случайная величина с плотностью вероятности  и ее среднее значение определяется усреднением по всем возможным реализациям:

     Различают стационарные и нестационарные случайные процессы. Для стационарных процессов плотность вероятности от времени не зависит: . Стационарный процесс называется эргодическим, если усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени в пределах одной реализации.

       

     Кроме одномерной плотности вероятности  вводят двумерную плотность вероятности совместной реализации двух значений: х1 в момент времени t1  и х2 в момент времени t2.

.

Для стационарных процессов двумерная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени   

     Двумерная плотность вероятности определяет дополнительный момент - автокорреляционную функцию случайного процесса.

Иногда используют нормированные автокорреляционные функции:

    

Для стационарного процесса:

     .

Если процесс не только стационарный, но и эргодический, усреднение по множеству может быть заменено усреднением по времени в пределах одной реализации:

Условие эргодичности для стационарного процесса с нулевым средним значением:

Это определяет стремление функции корреляции к нулю с увеличением временного сдвига t. Можно ввести интервал корреляции , который определяет время статистической зависимости между мгновенными значениями случайного сигнала.

Метод  определения  спектральной  плотности мощности по корреляционной функции

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны согласно теореме Винера – Хинчена парой преобразования Фурье:

.

Для действительных стационарных случайных функций

.

Измерения носят косвенный характер, так как непосредственно измеряют Kх, а спектр плотность вычисляют согласно приведенному выражению. Имеет место оценка

,

.

При экспериментальном  определении ее значения вычисляются для ограниченного диапазона величин аргумента от 0 до м.к.. Однако, для того, чтобы найти спектральную плотность мощности необходимо просмотреть весь участок изменения аргумента от до . Отсечение участка кривой для может привести к значительным искажениям спектра в низкочастотной области.

Эти искажения можно уменьшить, если использовать следующую оценку

,

где – весовая функция, которую часто называют «окном» (корреляционным окном). Выбор «окна» зависит от характера определяемого спектра мощности.

Заключение

Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала в зависимости от частоты, то есть мощность, приходящаяся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например в СИ: Вт/Гц = Вт/с−1 = Дж.

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: Вт/Гц/м2.

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса и его корреляционная функция связаны согласно теореме Винера – Хинчена парой преобразования Фурье:

.

Список использованной литературы

  1.  Интернет ресурс http://dee.karelia.ru/files/circuit/Ps6.htm
  2.   Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.
  3.  Интернет ресурс http://scask.ru/book_brts.php?id=32

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24184. Классификация социальных процессов 50 KB
  В тех случаях когда цели и способы их достижения у индивида или группы не могут удовлетворить индивида компромисса достичь не удается и индивид не приспосабливается к новым условиям окружающей среды. Ассимиляция ссимиляция это процесс взаимного культурного проникновения через который личности и группы приходят к разделяемой всеми участниками процесса общей культуре. Это всегда двухсторонний процесс в котором каждая группа имеет возможности для проникновения своей культуры в другие группы пропорционально своему размеру престижу и другим...
24185. Применение имитационного моделирования 47.5 KB
  Имитационное моделирование это частный случай математического моделирования. Применение имитационного моделирования К имитационному моделированию прибегают когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время причинные связи последствие нелинейности стохастические случайные переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов...
24186. АЛЛЕРГИЯ 276 KB
  В поддержании аллергического иммунного ответа важны долговременные клетки памяти в т. Схема 1 Классификация аллергических реакций: Влмфзависимые Активные Немедленная по ДжеллКумбсу гуморальные и анафилаксия 1й тип реагины Тлмфзависимые Пассивные Отсроченная 5 ч 2й цитолиз клеточные АТ и клетки Замедленная дни 3й имм. Неклеточные структуры тканей коллагена миелина базальной мембраны почек – вовлекаются соседние клетки вторично. Медиаторы: гаммаинтерферон...
24187. ПАТОЛОГИЯ ВОДНО-СОЛЕВОГО ОБМЕНА 289.5 KB
  Эфферентная часть: основной механизм – регуляция почек – диуреза: а Вегетативная нервная симпатическая адреналин – чревный нерв – снижение диуреза; б Гипоталамогипофизарная регуляция: супраоптические и паравентрикулярные ядра – АДГ задний гипофиз – почечные канальцы гиалуронидаза – активация реабсорбции – тоже снижение диуреза; в передний гипофиз – АКТГ – надпочечники – альдостерон – почечные канальцы сукцинатдегидрогеназа – усиление реабсорбции Na и пассивно – воды г диэнцефальный мозг адреногломерулотропин –...
24188. КИСЛОТНО-ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ 70 KB
  Начальные сдвиги и компенсаторные реакции при нарушениях КОС Нарушения КОС Сдвиг КОС Компенсация Дыхательные Ацидоз рН  рСО2 НСО3 Алкалоз рН рСО2 НСО3 Негазовые Ацидоз рН НСО3 рСО2 Алкалоз рН НСО3 рСО2 Схема 1 Работа гемоглобиновой буферной системы Легкие О2 Нв НвО2 СО2  Кровь: венозный_Нв артериальный_НвО2щелочные_продукты  Нв  ...
24189. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА БЕЛКА И НК 374 KB
  ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА БЕЛКА И НК Роль белков в организме незаменимые аминокислоты типы синтеза белка типы патологии белкового обмена типы алиментарной недостаточности периоды голодания и особенности обмена; синдром мальадсорбции; нарушения синтеза белка в клетке; диспротеинозы; амилоидоз – формы теории развития стадии; подагра. Пластическая роль белков структурная основа тканей и основа ферментов определяет их главенствующую роль в метаболизме. В отличие от жиров и углеводов полное белковое голодание даже при наличии...
24190. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА ЖИРОВ 262.5 KB
  Виды ЛП: по убыли размера частиц и содержания триглицеридов нарастание фосфолипидов: хиломикроны ЛПОНП ЛППП и ЛПНП атерогены ЛПВП антиатерогены так как вытесняют холестерин с рецепторов клеток. Гиперплазия жировых клеток сохраняется навсегда особенно у детей и в пубертатном периоде. Стадии: жировой полоски пятна липидов в 12 мм появляются макрофаги которые накапливают липиды и превращаются в пенистые клетки фиброзной бляшки эксцентричный рост во внутренней оболочке артерий; капсула из эндотелия Тлимфоцитов пенистых...
24191. НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА УГЛЕВОДОВ. САХАРНЫЙ ДИАБЕТ и КОМЫ 328.5 KB
  НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА УГЛЕВОДОВ САХАРНЫЙ ДИАБЕТ и КОМЫ Пути метаболизма глюкозы точки приложения действия инсулина влияние инсулина на жировой и белковый обмен влияние инсулина на водноминеральный обмен контраинсулярные гормоны и эх эффекты классификация сахарного диабета факторы предрасположения к СД патогенез жалоб и симптомов при СД осложнения СД патогенез разных типов ком при СД клиника ком принчипы лечения различных видов ком и принципы лечения СД. При аэробном расщеплении окислительное фосфорилирование в...
24192. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА ВИТАМИНОВ И МИКРОЭЛЕМЕНТОВ 222.5 KB
  Реабсорбция 2валентных ионов – паратгормон в прямом отделе проксимального канальца угнетает а за его пределами стимулирует реабсорбцию; усиление реабсорбции также кальцитриолом снижение – кальцитонином. Проявления: угнетение ВНД магнезиальный сон – снижение К и Са2 клеток снижение активности дыхательного центра мышечная гипотония артериальная гипотензия снижение нервномышечной возбудимости и передачи. Проявления: увеличение нервномышечной возбудимости тремор двигательное возбуждение тахикардия аритмии сопутствующая...