76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

14 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54252. Математика – це цікаво! Математика – це потрібно! 59 KB
  Математика це цікаво Математика це потрібно Важко обійтися сьогодні без математики Усім і дрослим і дітям потрібна її допомога у повсякденному житті. Колись в Америці було обіцяно велику премію тому хто напише книжку під назвою Як людина жила без математикиâ. За більше ніж 30 років викладання математики в школі я переконалася що одним із шляхів удосконалення навчання учнів такому складному предмету є нетрадиційність у його репрезентації школярам.
54253. Властивості степеня з цілим показником 795 KB
  Властивості степеня з цілим показником. Сформувати прикладну необхідність вивчення властивостей степеня з натуральним показником. Які операції ви вмієте виконувати над числами Прочитати число; записати; порівняти; додати; відняти; помножити; поділити; піднести до степеня. Які саме вирази ми зараз вивчаємо Вирази зі степенями То які операції нам потрібно вміти виконувати над виразами зі степенями Прочитати вирази зі степенями; записати; порівняти; додати; відняти; помножити; поділити; піднести до степеня.
54254. Функціональна залежність в системі прикладних задач шкільного курсу математики 631.08 KB
  Стаття містить приклад класифікації прикладних задач та аналіз способу їх розв’язання, узагальнений алгоритм розв’язування задач прикладного характеру. Основне її завдання спонукати використання прикладних задач при вивченні функціональної лінії шкільного курсу математики.
54255. Письмове додавання трицифрових чисел із переходом через розряд 716 KB
  Ознайомити учнів із прийомом письмового додавання трицифрових чисел з переходом через розряд; формувати навички письмового додавання і віднімання трицифрових чисел; виховувати почуття взаємодопомоги, вміння працювати в команді, аргументовано відстоюючи власну думку; розвивати охайність при виконанні робіт.
54256. Відсоткові розрахунки, Один день праці на підприємстві 102.5 KB
  Мета уроку: Формування в учнів вмінь самостійно визначати тип задачі на відсотки та навичок обчислень відсотка від числа, числа за його відсотком та відсоткового відношення двох чисел; розкрити практичну необхідність вивчення теми «Відсотки» в шкільному курсі; розвивати інтерес до математики, прагнення до самовдосконалення; виховувати почуття колективізму та відповідальності перед колективом.
54257. Умножение и деление рациональных чисел 174.5 KB
  Цель: развивать социальную компетентность используя самооценку и взаимооценку; развивать компетентность самообразования стимулируя познавательный интерес; развивать коммуникативную компетентность организовывая работу в парах; обобщить знания учащихся об умножении и делении рациональных чисел; экономическое воспитание. Тема урока Умножение и деление рациональных чисел. Как будет называться наше АО вы узнаете по своим ответам на мои вопросы составив слово Теория первична Учитель ...
54258. Закрепление сложения и вычитания трехзначных чисел 333 KB
  Ребята сегодня у нас необычный урок математики к нам пришли гости. Какие вы второклассники Ждут вас сегодня затеи и задачи Игры шутки всё для вас Пожелаю вам удачи За работу в добрый час Ребята за ваши правильные и полные ответы я вам буду раздавать наклейки. Ребята наши гости решили поиграть с вами в прятки спрятались от вас.
54259. Переместительное свойство сложения 22.5 KB
  Материалы необходимые для урока: изображение дерева изображения листьев Ход урока: Давайте посчитаем сколько же листьев на нашем дереве Сколько листьев справа от дерева 4 Сколько листьев слева от дерева 3 Где листьев больше а где меньше 3.
54260. Видатні українські математики. Застосування різних способів розкладання многочленів на множники 619.5 KB
  1 учень: Остроградський Михайло Васильович народився у вересні 1801 року на Полтавщині. 2 учень: Походив з родини збіднілих дворян які мали глибоке козацьке коріння. 3 учень: У 8 років його віддали до гімназії у Полтаві але хлопчик жвавої та веселої вдачі звикший до роздольного життя у рідному селі особливою старанністю не відзначався. Учень: Блискуче закінчивши університет Михайло рік живе у батька а потім вирішивши присвятити себе математиці знову повертається до Харкова для вдосконалення своїх знань.