76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

14 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29750. Концепція професійної освіти та завдання інженера педагога 16.96 KB
  Відповідно до Концепції професійної освіти України кожен професійний навчальновиховний заклад незалежно від відомчого підпорядкування розробляє на основі діючого законодавства свій Статут в якому визначається мета і завдання його діяльності організаційна структура права та обов'язки членів інженернопедагогічного та учнівського колективів. У процесі своєї діяльності інженерпедагог вирішує такі завдання: а проектує технології навчальновиховного процесу; б створює дидактичні проети навчальновиховного процесу; в формує науковотехнічні...
29751. Поняття про педагогічну діяльність, завдання професійної освіти 18.4 KB
  Одним із завдань навчання є підготовка юної особистості до професійного вибору на основі певних знань і навичок.Фактори ефективності уроку виробничого навчання Викладачів і майстрів дотримуватися слідуючих положень правил: високого рівня навчання; систематичності і послідовності навчання; наглядності навчання; доступності навчання; навчання на виробничій практиці; активності і свідомості учнів у навчанні; твердості знань умінь і навиків.
29752. Критерії оптимізації процесу навчання 18.29 KB
  До критеріїв оптимізації процесу навчання належать: а ефективність процесу навчання результат успішності навчання учнів а також їх вихованості і розвитку; б якість навчання ступінь відповідності результатів навчання вимогам всього комплексу цілей і завдань навчання ступінь відповідності результатів максимальним можливостям кожного школяра в певний період розвитку; в оптимальність витрат часу та зусиль учнів та учителів відповідність діючим гігієнічним нормам. Вибір певної структури процесу навчання завжди повязаний з прийняттям...
29753. Принцип індивідуальне навчання 18.64 KB
  Один учень взаємодіє лише із засобами навчання книги компютер. Загальні принципи: Індивідуалізація є стратегія процесу навчання; Індивідуалізація являється необхідним фактором формування особистості; Використання індивідуалізованого навчання з усіх предметів які вивчаються; Інтеграція індивідуальної роботи з іншими формами навчальної діяльності; Навчання в індивідуальному стилі і темпі; Передумовою Індивідуалізації навчання являється вивчення особливостей учнів які в першу чергу слід враховувати при індивідуалізації навчальної...
29754. Організація робочих місць учнів у навчальній майстерні 19.38 KB
  В навчальних майстернях обладнуються робочі місця учнів індивідуального і колективного користування та робоче місце вчителя у відповідності до вимог ергономіки. У навчальних майстернях обладнуються робочі місця учнів індивідуального і колективного користування робоче місце вчителя. Конструкція й організація робочих місць повинні забезпечувати можливість виконання робіт у повній відповідності з навчальними програмами а також враховувати відмінності антропометричних даних учнів вимоги ергономіки наукової організації праці та технічної...
29755. Стандарт освіти та його структура 77.91 KB
  Забезпечення мотивації і прийняття учнями мети навчальнопізнавальної діяльності актуалізація опорних знань і умінь. Готовність учнів до активної навчальнопізнавальної діяльності на основі опорних знань. Засвоєння нових знань і способів дій. Забезпечення сприйняття осмислення і первинного запам'ятовування знань і способів дій зв'язків і стосунків в об'єкті вивчення.
29756. Алгоритм підготовки викладача до уроку теоретичного навчання 18.07 KB
  Попередня підготовка до уроку: вивчення навчальної програми;змісту самої програми усвідомлення мети і завдань навчальної дисципліни в цілому та мети і завдань які вирішує кожна тема. Послідовність безпосередньої підготовки до уроку: 1.Формулювання мети і завдань уроку.
29757. Методика вивчення навчальних досягнень учнів 17.77 KB
  Запровадження 12бальної системи оцінювання навчальних досягнень учнів потребують розробки різнорівневих завдань. Основним видом оцінювання навчальних досягнень учнів є тематичне тому що тільки у межах відповідної мети в учнів формується цілісне сприйняття обєкта вивчення забезпечується ситність та наступність у засвоєнні знань можливість поступового їхнього опанування від нижчого до вищого рівня. Оцінюючи навчальні досягнення учнів враховують: характер відповіді учня: елементарна фрагментарна неповна повна логічна доказова...
29758. Методи створення і використання навчальних матеріалів 19.26 KB
  Засоби навчання: Технічні засоби навчання обладнання й апаратура що застосовуються в навчальному процесі з метою підвищення його ефективності. При підготовці і проведенні уроку з використанням технічних засобів навчання необхідно: детально проаналізувати зміст і мету уроку зміст і логіку навчального матеріалу; визначити обсяг та особливості знань які повинні засвоїти учні уявлення факти закони гіпотези необхідність демонстрування предмета явища або їх зображення. Якщо умовно представити коло де розташовані різні предмети в...