76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

11 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4818. Международный суд и его деятельность 170 KB
  Международный суди его деятельность Международный Суд, согласно пункту 1 статьи 7 Устава ООН, является одним из главных судебных органов Организации Объединенных Наций. Исходя из статьи 92 Устава ООН, Международный Суд является главным судебны...
4819. Система AutoCAD. Курс лекций 2.86 MB
  Команды общего редактирования. Кнопка ERASE Команды стереть – стирает с экрана выбранные объекты и удаляет их из рисунка. Можно использовать ручки. выделить ручками объект или мышью, и нажать на клавишу Delete. Кнопка команды копирова...
4820. Исследование и анализ режимов работы источника постоянной ЭДС 131.5 KB
  Исследование и анализ режимов работы источника постоянной ЭДС Цель работы. Изучение и анализ различных режимов работы источника электродвижущей силы (источника ЭДС) Основы теории. Системы электроизмерительных приборов. Приборы магн...
4821. Геометрия Лобачевского. Геометрия кривых поверхностей 31.5 KB
  Геометрия Лобачевского. Н.И. Лобачевскийв 1826г. впервые построил и развил одну из возможных геометрий, где аксиома (А) не имеет места. Геометрия Лобачевского основывается на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о парал...
4822. Основные понятия и принципы системы Delphi 454 KB
  Основные понятия и принципы системы Delphi. Цель: Дать студентам общие сведения об объектно-ориентированном языке программирования Delphi. План занятия. Организационный момент. Изучение нового материала. Контрольные вопросы. ...
4823. Основы программирования на языке Turbo Pascal 246 KB
  Основы программирования Цель: Дать студентам основы программирования. Задачи: Воспитательная: повторение уже изученного языка программирования TurboPascal. Учебная: научить правильно применять константы и переменные. Развивающая: развитие вним...
4824. Создание первой программы на языке Turbo Pascal 184 KB
  Создание первой программы. Цель: Показать студентам пример создания программы. Задачи: Воспитательная: повторение уже изученного языка программирования TurboPascal. Учебная: научить создавать программы. Развивающая: развитие внимательности. Пл...
4825. Создание первой программы в языке Turbo Pascal 94.5 KB
  Создание первой программы. Цель: Показать студентам управление программой при помощи меню. Задачи: Воспитательная: повторение уже изученного языка программирования TurboPascal. Учебная: научить создавать программы. Развивающая: развитие внимат...
4826. Отладка программ на языке Pascal 185 KB
  Отладка программ Цель: Дать студентам понятие ошибки, причины их возникновения. Задачи: Воспитательная: любая программа несовершенна, всегда находятся ошибки, исправить которые требует время. Учебная: обнаруживать ошибки и вовремя исправлять их. Раз...