76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

17 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17332. КРИТИЧНИЙ НАПРЯМ ПОЛІТИЧНОЇ ЕКОНОМІЇ. ФОРМУВАННЯ СОЦІАЛІСТИЧНИХ ІДЕЙ 97 KB
  КРИТИЧНИЙ НАПРЯМ ПОЛІТИЧНОЇ ЕКОНОМІЇ. ФОРМУВАННЯ СОЦІАЛІСТИЧНИХ ІДЕЙ Початок XIX ст. ознаменувався бурхливим розвитком капіталізму що був прискорений промисловим переворотом. Розвиток капіталістичних відносин супроводжувався занепадом і розкладом дрібного виро
17333. ЕКОНОМІЧНІ ВЧЕННЯ ЗАХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИХ СОЦІАЛІСТІВ-УТОПІСТІВ 150 KB
  ЕКОНОМІЧНІ ВЧЕННЯ ЗАХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИХ СОЦІАЛІСТІВУТОПІСТІВ Економічна теорія особлива форма переосмислення дійсності з метою її вдосконалення. Вона завжди виходила з того що економічне життя суспільства є базовим щодо інших сторін суспільного буття і виз...
17334. ВИНИКНЕННЯ АЛЬТЕРНАТИВНОЇ ШКОЛИ ПОЛІТИЧНОЇ ЕКОНОМІЇ. НІМЕЦЬКА НАЦІОНАЛЬНА ПОЛІТЕКОНОМІЯ 146 KB
  Виникнення альтернативної школи політичної економії. Німецька національна політекономія У XIX cт. доктрина Адама Сміта користувалася загальним визнанням залишаючи далеко позаду інші економічні теорії. Хоча послідовники класичної школи пропонували власні кор
17335. МАРЖИНАЛІЗМ. СТАНОВЛЕННЯ НЕОКЛАСИЧНОЇ ТРАДИЦІЇ В ЕКОНОМІЧНІЙ ТЕОРІЇ 181.5 KB
  МАРЖИНАЛІЗМ. СТАНОВЛЕННЯ НЕОКЛАСИЧНОЇ ТРАДИЦІЇ В ЕКОНОМІЧНІЙ ТЕОРІЇ В останній третині ХІХ ст. в економічній теорії виникла нова течія маржиналізм яка згодом стала визначальним напрямом розвитку політичної економії. Обєктивна зумовленість її появи поляга
17336. ЕКОНОМІЧНА ДУМКА В РОСІЇ 174 KB
  ЕКОНОМІЧНА ДУМКА В РОСІЇ На стані російської суспільної у тім числі економічної думки ХІХ ст. позначились особливості історичного розвитку країни. Якщо на Заході економічна думка вирішувала проблеми капіталізму як реально існуючого способу виробництва то прогре...
17337. ЕКОНОМІЧНА ДУМКА В УКРАЇНІ 269.5 KB
  ЕКОНОМІЧНА ДУМКА В УКРАЇНІ Економічна думка в Україні має багатовікову історію. У цьому розділі розглянуто лише економічну думку другої половини ХІХ ст. коли відбувалися величезні зрушення в економіце та соціальній структурі суспільства. Ліквідація кріпацтва при
17338. КЕЙНСІАНСТВО ТА ЙОГО ОСОБЛИВОСТІ В РІЗНИХ КРАЇНАХ 209.5 KB
  КЕЙНСІАНСТВО ТА ЙОГО ОСОБЛИВОСТІ В РІЗНИХ КРАЇНАХ Сучасна захiдна економiчна теорiя характеризується неоднорідністю наявністю багатьох напрямків шкіл течій. Така різноманітність є наслідком передовсім розбіжностей у визначенні предмета дослідження й теоретичног
17339. ЕВОЛЮЦІЯ НЕОКЛАСИЧНИХ ІДЕЙ.НЕОЛІБЕРАЛІЗМ 490 KB
  ЕВОЛЮЦІЯ НЕОКЛАСИЧНИХ ІДЕЙ.НЕОЛІБЕРАЛІЗМ 1. Еволюція неокласичних ідей у ХХ ст. Монополізація економіки виникнення державномонополістичної форми власності усесвітня економічна криза 20 30х рр. поставили під сумнів основні постулати ортодоксального неокласи...
17340. ІНСТИТУЦІОНАЛІЗМ 278.5 KB
  ІНСТИТУЦІОНАЛІЗМ Інституціоналізм своєрідний напрям в економічній науці. Його своєрідність полягає насамперед у тім що прихильники інституціоналізму в основу аналізу беруть не тільки економічні проблеми а звязують їх з проблемами соціальними політичними ет...