76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

13 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34599. Мария Тюдор 20.58 KB
  Известна как Мария Кровавая Мария Католичка. Мария была единственным выжившим ребенком Генриха от его первой жены Екатерины Арагонской. Франциск I король Франции стремился укрепить свои позиции через свадьбу Марии и французского дофина решение принято осенью 1518 Мария должна выйти замуж по достижении дофином 14летнего возраста если у Генриха не появится наследник мужского пола то корону наследует Мария.
34600. Война с Испанией. «Непобедимая Армада» 33.5 KB
  Непобедимая Армада. Однако в том же 1587 году английская эскадра адмирала Френсиса Дрейка совершила налет на Кадис где базировалась Непобедимая Армада и уничтожила около 100 кораблей. 20 мая 1588 года Непобедимая Армада в составе шести эскадр вышла в море из устья реки Тахо. Армада подвергалась постоянным нападениям более легких и маневренных английских судов адмирала Дрейка.
34601. Культура Англии в XIV –XV в. 20.06 KB
  В конце 14 века оформился единый английский язык. Однако в 14 – 15 веках среди английской знати особенно при дворе была широко распространена литература на французском языке. Огромную роль в развитии английской литературы сыграли Кентерберийские рассказы Джеффри Чосера вторая половина 14 века. В 70е годы 15 века в Англии появилось книгопечатание.
34602. Династия Стюартов: Яков I 20.19 KB
  Династия Стюартов: Яков I Яков VI Шотландский Яков I Английский; 19 июня 1566 – 1625 – король Шотландии Англии первый государь правивший Шотл. Шотландия 24 июля 1567 – восстание отец Якова умер убийцей считали Марию. 29 июля 1567 Стерлинг – Яков коронован Ш. Яков правил при регентском совете с 29 июля 1567 самостоятельно – с 12 марта 1578.
34603. Долгий парламент. Гражданская война (XVII в.) 40.5 KB
  Долгого парламента 16401653 гг. В состав Долгого парламента входило 516 членов Палаты общин и 150 – Палаты лордов. Немало было депутатов бывших членами памятного парламента 1628 г. Положение англиканской церкви стало первым объектом политической атаки парламента и вынужденных уступок короны.
34604. Британия в эпоху Просвещения 19.89 KB
  Поскольку мир по Беркли не есть нечто объективное существующее реально вне нас и независимо от нас не материя поскольку все вещи теперь предстают как комплексы ощущений причем наших ощущений постольку философские идеи Д. Беркли объявлялось ими противоестественным на согласующимся с истинами здравого смысла.
34605. Революционные настроения в Британии в 1830 – 1840-е 16.85 KB
  Разделение чартистов: правое крыло Аттвут депутат Ловет секретарь лондонской ассоциации рабочих; союз буржуазии с рабочим классом; борьба исключительно духовными средствами митинги процессии петиции агитация за отмену хлебных законов снижение цены хлеба разрушение рабочих домов восстановление бумажной валюты левое крыло: О’Коннор Стефенс; борьба путем насилия полагались на решения парламента по вопросам армии и церкви так как именно на них народ приносит непосильные и бесполезные жертвы май 1838 – митинг в...
34606. Британия во второй мировой войне 31.5 KB
  Германия вела ожесточенные бомбардировки британских городов, был полностью разбомблен город Ковентри; Великобритании срочно пришлось налаживать эффективную противовоздушную оборону
34607. Великобритания после Второй мировой войны 33 KB
  Великобритания после Второй мировой войны Триумф и трагедия так охарактеризовал положение Великобритании У. Сразу после Второй Мировой Войны 26 июля 1945 года в Великобритании прошли парламентские выборы на которых одержала победу лейбористская партия Великобритании. Но в то время стране было нужно не это и народ выбрал более подходящую задачу задачу создания в Великобритании государства благоденствия выдвинутую лейбористами. Внешняя политика в послевоенное время: В области внешней политики у Великобритании было два основных...