76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

14 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47943. Информатика в школе 382.5 KB
  Процедуры вывода Write и WriteLn. читается райт и райтлайн; переводится пиши и пиши строку С помощью операторов Write и WriteLn изображают на экране ту или иную информацию состоящую из символов. Правила записи и выполнения оператора WriteLn те же что и у Write с одним исключением после его выполнения следующий оператор Write или WriteLn печатает свою информацию с начала следующей строки а после выполнения оператора Write продолжает печатать в той...
47944. Правознавство. Теорія держави і права 1.42 MB
  Держава у різних народів формувалась не однаково. Окрім закономірних причин виникнення держав, що проявлялися у всіх народів були в окремих народів і специфічні причини, які Ф. Єнгельс у своїй праці „Походження сім’ї, приватної власності і держави” назвав форми виникнення держави : а) афінська; б) римська; в) германська.
47945. ПР-жанри та ПР-технології 269.39 KB
  Безумовно, працюючи над тим, щоб налагодити плідні і взаємовигідні відносини між організацією та різноманітними групами громадськості, піармени справді намагаються подати її соціальному оточенню у привабливому, зокрема й спрощеному, вигляді. У своїй практичній діяльності вони виходять із того, що сприйняття
47946. Загальна психологія 408.5 KB
  Всі психічні явища поділяють на 3 групи: Психічні процеси окремі форми чи види психічної діяльності Память мислення сприймання уява відчуття Психічні властивості найбільш суттєві і стійкі психічні особливості людини потреби інтереси здібності темперамент характер Психічні стани особлива характеристика психічної діяльності людини за певний проміжок часу сумнів радість гнів творчий підйом апатія і т. Ключові поняття: методи вивчення психіки спостереження експеримент тест вивчення продуктів діяльності бесіда...
47947. Основні категорії інформації як обєкта інформаційного права 496.5 KB
  Основні категорії інформації як обєкта інформаційного права Основні поняття Розглядаючи інформацію як обєкт захисту треба зазначити що інформація це результат відображення і опрацювання у людській свідомості різноманіття навколишнього світу це відомості про оточуючі людину предмети явища природи діяльність інших людей. Залежно від сфери і масштабів застосування тієї чи іншої системи опрацювання даних втрата або витік інформації може призвести до наслідків різної тяжкості: від невинних жартів до надзвичайно великих втрат...
47948. Регіональна економіка. Конспект лекції 924 KB
  Мета: формування знань щодо теоретичних і практичних засад територіальної організації продуктивних сил України сучасного стану та напрямів регіонального розвитку економіки а також мислення та свідомості економістів. Завдання: засвоєння теорії регіональної економіки і регіонального розвитку наукових засад регіональної економічної політики; оволодіння знаннями про територіальну і галузеву структуру господарського комплексу України та її регіонів; об'єктивну необхідність раціонального та...