76415

Преобразование Лапласа и его свойства

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением. Обратное преобразование Лапласа определяют из решения.

Русский

2015-01-30

89.59 KB

14 чел.

Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: f(0)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания):

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на  .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения):

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить  . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения:

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что  , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):



Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(
t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции): 

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72341. Влияние на человека электромагнитных полей и (неионизирующих) излучений 20.7 KB
  Действие ЭМП радиочастот на центральную нервную систему при плотности потока энергии ППЭ более 1 м Вт см2 свидетельствует о ее высокой чувствительности к электромагнитным излучениям. Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна разности потенциалов т.
72342. 2 вида эффекта облучения: пороговые и беспороговые 16.14 KB
  Пороговый эффект облучения это биологические эффекты облучения в отношении которых предполагается существование порога выше которого тяжесть эффекта зависит от дозы. Пороговые эффекты облучения радиационные поражения: 1 острые поражения острая лучевая болезнь ОЛБ наступает при облучении...
72343. Защитные сооружения гражданской обороны 85 KB
  По защитным свойствам: убежища; противорадиационные укрытия далее ПРУ; простейшие укрытия. Под убежища и противорадиационные укрытия далее - ПРУ можно приспосабливать естественные и искусственные подземные горные выработки.
72344. Приборы радиационной, химической разведки и дозиметрического контроля 356.5 KB
  Для измерения величин характеризующих синтезирующие излучения используют следующие внесистемные единицы: Рентген единица экспозиционной дозы рентгеновского или гамма-излучения под воздействием которого в 1 см3 сухого воздуха при t=00С и давлении 760 мм рт.
72345. Средства индивидуальной защиты 253.5 KB
  Для защиты от газов военнослужащих в частности хлора стали применять многослойные марлевые повязки пропитанные специальными растворами но все эти действия оказались малоэффективными. В настоящее время системе защиты населения важное значение имеет обеспечение всего населения необходимыми...
72346. Современные средства поражения 115.5 KB
  В случае возникновения на территории России локальных вооруженных конфликтов и развертывания широкомасштабных боевых действий источниками чрезвычайных ситуаций военного характера будут являться современные обычные средства поражения при высокой вероятности применения противником...
72347. Гражданская оборона и ее задачи. Организация ГО в образовательных учреждениях 109.5 KB
  Настоящий Федеральный закон определяет задачи правовые основы их осуществления и полномочия органов государственной власти Российской Федерации органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации органов местного самоуправления и организаций в области гражданской обороны.
72349. Современная Интернет-реклама и ее особенности 17.94 KB
  Почтовая реклама: электронная почта есть практически у всех пользователей Сети; возможность персонифицированного обращения; интересное сообщение может быть распространено получателем среди его коллег и знакомых. Баннерная реклама. Контекстная реклама реклама которая размещается в результатах поиска...