76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

13 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35663. Чернігівська кераміка. Особливості її форми та колориту 1.77 MB
  До побутових художніх керамічних виробів належать полив’яні глиняні яйця так звані писанки широко розповсюджені на Русі в тому числі і в Чернігові. У формах керамічних виробів того часу помітні прототипи форм і елементів декору гончарних виробів наступних віків горщик макітра миска. У формах керамічних виробів того часу помітні прототипи форм і елементів декору гончарних виробів наступних віків горщик макітра миска. Розпис ангобами в оздобленні глиняних виробів набув широкого розповсюдження в ХVІ–ХVІІ ст.
35664. Вишивка атласними стрічками. Картина Кошик з квітами 1.69 MB
  Його мета полягає в тому щоб з’ясувати якої вони думки щодо того якою повинна бути обрана мною картина. Аналіз об’єктіваналогів Ця картина приваблює мене своєю кольоровою гамою у поєднанні з ніжним віддтінком тканини. Ця картина приваблює мене своїми дрібними деталями тобто вони виконані францюзькими вузликами.
35665. Вязання крючком. Творчий проект 208.84 KB
  Відповідно до метиоб’єкту і предмету роботи були поставлені такі завдання: Проаналізувати та теоретично обґрунтувати особливості в’язання крючком. Висока якість виконання речей з могил коптів дозволяє вважати що техніка в'язання була відома набагато раніше. У 1867 році Вільям Фелкін висунув гіпотезу що в'язання було відоме ще за часів Троянської війни.
35666. Технологія пошиття повсякденної спідниці 64.07 KB
  Але де взяти нову спідницю щоб вона була не тільки модна але і подобалася б у всіх деталях добре сиділа на фігурі і була не дуже дорога Найкраще зшити її самої. Мета: Зшити спідницю. Завдання: 1 Навчитися шити спідницю 2 Ознайомитися з технологією пошиття спідниці 3 Зшити спідницю. Мистецтво шиття Для того щоб зшити спідницю потрібно виконати кілька етапів.
35667. Випалювання сови. Творчий проект 2.23 MB
  Випалювання сови Хід проектування У ході проектування свого виробу я повинен пройти такі етапи: І. Щоправда я вимушений був розчаруватись бо не мав спеціального пристрою для випалювання по дереву. І коли у школі задали домашнє завдання зробити якийнебудь виріб то одразу ж згадав про випалювання і прийшовши додому взявся за роботу. Серед багатьох художніх ремесел що з обробкою дерева окреме місце посідає декоративне випалювання.
35668. Вышитая открытка. Творческий проект 1.08 MB
  3 Минимаркетинговое исследование Проведя минимаркетинговое исследование направленное на выбор объекта проектирования выяснилось что 5 проголосовало за мягкую игрушку 15 за изготовление открытки техникой скрапбукинг а остальные проголосовали за изготовление вышитой открытки. По большому счету это были не совсем обычные открытки не представляющие большой культурной ценности. Кроме того в тоже время а именно к концу 19го века стали очень популярны фото открытки. Привнеся в европейскую традицию чтото свое отечественные...
35669. Театрализованные игры. Исследовательская работа 965.67 KB
  Что такое театрализованная игра. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ Игра. Что такое театрализованная игра. Он хочет играть играет всем и познаёт окружающий мир прежде всего и легче всего в игре игрой.
35670. Виготовлення спідниці. Творчий проект 586.77 KB
  Іспанія епохи Відродження була в той момент законодавцем мод і вводить в гардероб каркасний костюм. Спідниці шиються на спеціальному щільному чохлі з металевими або деревяними обручами різних розмірів. Вузька в талії, підігнана до корсета, спідниця розширюється донизу, облягаючи конусоподібний каркас (вертюгаден) без єдиної складкиитки 5 грн –1 моток 1 моток 5 грн Прикраси 3 грн –1 шт...