76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

25 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20070. Структурные схемы приборов. Схема с последовательным соединением звеньев. Чувствительность. Погрешность 253.5 KB
  Структурной схемой называют схему содержащую предельно упрощенное обозначение функциональных узлов прибора или устройства а также логические связи этих узлов друг с другом. При эксплуатации прибора на его вход воздействует информативный параметр х измеряемая величина а также неинформативные параметры g1 g2 gn. При прохождении сигнала по компонентам прибора на подсистемы подузлы прибора воздействуют внутренние дестабилизирующие факторы q1 q2 qm которые так или иначе влияют на работоспособность этих узлов а следовательно и на...
20071. Дифференциальная схема соединения звеньев 55 KB
  Дифференциальной называется схема содержащая два канала с последовательным соединением преобразователей причем выходные величины каждого из каналов подаются на два входа вычитающего преобразователя. Вычитающий преобразователь это преобразователь с двумя входами выходная величина которого: у=у1у2 Оба канала дифференциальной схемы одинаковы и находятся в одинаковых условиях. В схеме первого типа измеряемая величина воздействует на вход одного канала а на вход другого канала подается величина той же физ. В схеме второго типа измеряемая...
20072. Схемы включения резистивных преобразователей. 86 KB
  I=E RxRИПRлсRE При изменении сопротивления резистивного преобразователя Rx изменяется ток Iр в цепи и следовательно показания прибора ИП. достоинства: простота Делитель напряжения E= IR1 Rx UХ= I Rx= E Rx Rx R1 Потенциометрическая схема включения резистивных преобразователей напряжение от источника питания E подается на крайние выходы резистивного преобразователя Rx. При этом напряжение нагрузки пропорционально перемещению движка при линейной функции...
20073. Мостовая схема включения резистивных преобразователей. Балансировка 79.5 KB
  Ветви с сопротивлениями R1 R2 R3 и R4 называются плечами моста. Ветви включающие измерительный прибор и источник питания называются диагоналями моста. Резистивные преобразователи могут включаться в 1 2 или все четыре плеча моста режим х. то выходное напряжение моста: ; где Uпит = Е напряжение питания.
20074. Схемы включения емкостных преобразователей. Резонансная схема 74.5 KB
  Резонансная схема. REM: Рассмотрим схемы преобразующие изменения с в напряжение: Резонансная схема Используется для включения недифференциальн. Чувствительность схема довольно высока. Схема чувствительна к температурным погрешностям имеет несимметричность ст.
20075. Мостовая схема включения емкостных преобразователей 61 KB
  Экранирование. Для устранения влияния внешних электромагнитных полей применено экранирование.
20076. Прямоугольно-координатный компенсатор переменного тока. Условие компенсации 43 KB
  Uax = Uak Upx = Upk Вследствие этого компенсаторы потенциометры переменного тока должны иметь схему более сложную чем компенсаторы постоянного тока. Различают два вида потенциометров переменного тока: Полярнокоординатные в которых отдельно регулируется модель компенсирующего напряжения и отдельно его фаза обычно с помощью фазорегулятора того или иного вида. Цепь имеет два контура: Первый контур тока IР содержит измерительный резистор Ra первичную обмотку катушки взаимоиндуктивности М и амперметр А.
20077. Устройства выборки зазора в винтовых механизмах 8.53 MB
  Устройства выборки зазора в винтовых механизмах. 1корпус 2винт 3двусторонняя цанга 4регулировочная цанга 5стопорный винт При повышенной сложности устройство может применяться как в силовых так и кинематических передачах и работоспособна при высоких скоростях вращения. Выборка осевого зазора между винтом и базой. винт Корпус Упорный подшипник Упорный подшипник служит для снижения потерь при значительных осевых нагрузках на винт.
20078. ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ. КЛАССИФИКАЦИЯ. БОКОВОЙ ЗАЗОР. МЕРТВЫЙ ХОД. УСТРОЙСТВА ВЫБОРКИ МЕРТВОГО ХОДА 82 KB
  в которых движение передается и преобразуется за счет зацепления зубьев колес. По расположению и форме зубьев прямозубые косозубые и шевронные По назначению силовые кинематические и скоростные . По профилю зубьев в приборостроении нашли применение эвольвентное и часовое зацепление упрощенный профиль. уменьшать число зубьев трибки до z = 6 сохраняя плавность но при этом передаточное отношение перестает быть строго постоянным.