76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

22 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76203. Косвенный иск: понятие и общая характеристика 134.5 KB
  Нарушение интересов общества может выражаться в причинении обществу убытков в результате сделок заключенных единоличным исполнительным органом самостоятельно или по указанию контролирующего участника.
76204. Биологические ритмы и работоспособность 79.44 KB
  Целью являлось рассмотрение динамики работоспособности человека. Биологические ритмы или биоритмы - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
76205. Стандартизація 33.72 KB
  Різко зростають вимоги до сировини матеріалів комплектуючих виробів і готової продукції. У виконанні народногосподарських завдань підвищенні ефективності суспільного виробництва і поліпшенні якості продукції стандартизація відіграє суттєву роль адже вона акумулює найновіші досягнення науки...
76206. Период оттепели 83.09 KB
  СССР был воплощением новой общественно-экономической формации. Сталина и политический кризис в СССР Кризис сталинского правительства начался ещё до того как скончался И. Противники объединившиеся против СССР в мощную коалицию были многочисленны и сильны.
76207. Комп’ютерні віруси 45.37 KB
  Актуальність даного реферату полягє в тому що в ньому описано основні ознаки зараження шкідливим програмним забезпеченнм, способи боротьби з вже встановленими вірусами і що найважливіше наведені класифікації вірусів за різними ознаками.
76208. Блез Паскаль 31.15 KB
  Детство Паскаль родился в городе Клер мон Ферран французская провинция Овернь в семье председателя налогового управления Этьена Паскаля и Антуанетты Бегон дочери сенешаля Оверни. По совету своего друга Ле Пайера Этьен Паскаль отказался от своего первоначального плана...
76209. National holidays 66 KB
  Kazakhstan is a large multinational country which is rich with its both old traditions and new ones acquired for the period of Independence. The Republic of Kazakhstan observes international holidays such as New Year, 8 March but it also has holidays specific only for this country such as Unity Day, Capital Day etc.
76210. Біографія Піфагора 21.58 KB
  Повернувшись із подорожі щасливий батько будує церкву Аполлону та оточує молодого Піфагора піклуваннями які могли б сприяти виповненню пророцтва Аполлона. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису.
76211. ТУРИЗМ В ГЕРМАНИИ 2.05 MB
  История туризма в Германии уходит корнями в посещения городов и ландшафтов с целями обучения и отдыха. С конца восемнадцатого века, такие города как Дрезден, Мюнхен, Веймар и Берлин были основными остановками на европейском Гран-туре. В частности, курорты на Северном и Балтийском морях и в долине...