76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

20 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79452. Специфика коммуникативных процессов в социально-культурной сфере 26.96 KB
  Коммуникация лат. Коммуникация это общение передача информации в процессе деятельности. Социальная коммуникация обмен информацией между людьми посредством общей для них знаковой системы речь язык жестов. Философская трактовка: социальная коммуникация это движение смыслов во времени и пространстве.
79453. Современные концепции досуга и возможности их реализации в культурной жизни общества 24.54 KB
  Существует множество концепций рассматривающих досуг в современном обществе. В то время как феномен досуга продолжает претерпевать изменения крупнейшие теоретики разработали много определений и концепций которые содержат целый ряд закономерностей. Определения досуга распадаются на 4 основных группы Досуг как созерцание связанное с высоким уровнем культуры и интеллекта; это состояние ума и души в этой концепции досуг обычно рассматривается с точки зрения эффективности с какой человек делает чтолибо.
79454. Социально-педагогические условия эффективной организации семейного досуга 27.78 KB
  Жизнь семьи характеризуется материальными и духовными процессами. Естественно чем выше культура общества тем выше культура семьи. Режим внутри семьи в квартире занимаемой семьей находится в почти полной власти родителей. Каждый родитель вырабатывает такое устройство семенного быта которое наиболее соответствует особенностям его семьи.
79455. Социально-культурная деятельность в эпоху Петра I 27.52 KB
  В XVIII веке самостоятельное значение в русской культуре начинают обретать наука и искусство образование и техническое творчество философия и богословская мысль образование и техническое творчество т. А потому реформаторская деятельность правительства первой четверти XVIII в. Интерес к театру пробудившиеся при Петре в разных слоях городского населения приведет во второй четверти XVIII века к созданию театральных организаций как в столицах так и в провинции.
79456. Нормативно-правовое, экономическое и организационное обеспечение деятельности общественных объединений 25.96 KB
  Виды деятельности ОО направлены на создание и развитие: социальных целей благотворительных культурных образовательных научных управленческих охрана здоровья развитие физической кры и спорта удовлетворения духовных и иных нематериальных потребностей граждан. Основные направления деятельности ОО: представление интересов и защиты прав детей. самодеятельности о.
79457. Роль социально-культурной деятельности в процессе формирования культуры личности 30.96 KB
  По существу возникло новое направление высшей школы обусловленное нынешней социальнокультурной ситуацией и органично объединившее социальную педагогику и культурологию. Условно его можно было бы определить как специальное образование в сфере социальнокультурной экологии человека. При этом нельзя не учитывать что у каждой Современная социальнокультурная ситуация характеризуется значительным усложнением структуры и содержания взаимоотношений людей когда остро встает вопрос о последовательном освоении культурного потенциала и активном...
79458. Профессиональная этика менеджера социально-культурной деятельности 26.58 KB
  Менеджер это особая профессия специалист по управлению добивающийся результатов путем организации работы других людей. Менеджер это новая современная специальность со своими статусными ролевыми функциональными мотивационностимулирующими ценностноориентирующими характеристиками. Итак менеджер организации по своему статусу представляет сегодня прежде всего профессионального управляющего.
79459. Сохранение и дальнейшее развития национально-культурных традиций в деятельности учреждений социально-культурной сферы 28.41 KB
  Принимая от своего наставника то вечное содержание его личности которое когдато было положено в основу традиции ее родоначальником учитель растворяет это содержание в своей личности и передает ученику уже не совсем то что воспринял. Ясно что за многие сотни лет может накопиться такая масса этих небольших изменений что от первоначального содержания традиции почти ничего не остается. В 60е годы в отечественной науке наблюдалось смешивание понятия традиции с понятиями ритуала обычая и традиции. Исходя из того что традиции суть...
79460. СКД в жизни современного общества: проблемы, тенденции развития 28.59 KB
  Основные сферы деятельности государства в области культуры охрана памятников народное творчество художественные промыслы художественная литература кинематография и т. Первое направление этой активности связано с созданием ценностей культуры осуществляемым как профессиональными специалистами учеными конструкторами писателями художниками композиторами актерами музыкантами архитекторами дизайнерами модельерами ювелирами и т. Второе направление отражающее многогранный процесс освоения ценностей культуры практически объединяет...