76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

20 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50824. Проектирование салона швейного предприятия сервиса 156 KB
  Рассчитать численность работающих и площадь салона.Согласно варианту задания дать краткую характеристику приемного салона по зонам.1 Исходные данные для проектирования салона Таблица 4.
50825. Имитационное моделирование. Разработка модели системы массового обслуживания в Arene 807.5 KB
  Практическая часть Исходные данные для рассмотренного в практической части примера: В салон по сборке компьютеров со среднем временем в 15 минут приходит 1 клиент что определяется по экспоненциальному закону чтобы выбрать компьютер ПК. Выбор ПК осуществляется в течении 1520 минут. Отдел по сборке системного блока осуществляет единичный заказ в течение 4050 минут в то время как отдел по подбору соответствующих монитора и периферийных устройств делает свой единичный заказ в течение 540 минут. Определить необходимое минимальное...
50826. Исследование влияния параметров настройки регулятора на качество процесса регулирования 38.5 KB
  Динамические свойства систем автоматического регулирования Требования предъявляемые к поведению стабилизирующих систем автоматического регулирования САР в динамике зависят от их назначения характера воздействий конкретных условий и т. Достаточным условием следует считать качество процесса регулирования которое оценивается видом переходных процессов и ошибками на установившихся режимах.14 рассмотрены показатели качества процесса регулирования: время регулирования tp перерегулирование σ статическая ошибка Δxs=δ остаточное отклонение...
50827. Взаимодействие PHP и MySQL. Механизмы сессий 144 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными функциями PHP применяемыми для работы с MySQLсервером изучить и применить на практике механизмы сессий Основные понятия MySQL СУБД MySQL одна из множества баз данных поддерживаемых в PHP. Система MySQL распространяется бесплатно и обладает достаточной мощностью для решения реальных задач. Система MySQL представляет собой сервер к которому могут подключаться пользователи удаленных компьютеров.
50830. Создание web-сайта средствами Flash 154 KB
  Научитесь управлять проигрыванием фильма останавливать и возобновлять его переходить на другие кадры загружать wеbстраницы другие фильмы и графические изображения выполнив последовательно пять заданий согласно инструкциям ниже. вы уже создали публикацию фильма. Управление проигрыванием фильма Пользуясь языком ctionScript можно останавливать фильм снова его запускать а также переходить к заданному кадру. Операторы перехода используются для повторного просмотра или для того чтобы пропустить часть фильма или клипа.
50831. Создание одного однотабличного отчета (для 1-ой таблицы) с помощью мастера и редактирование его в режиме конструктора 154 KB
  Создание одного однотабличного отчета для 1ой таблицы с помощью мастера и редактирование его в режиме конструктора. Создание одного отчета по запросу для 1го запроса с помощью мастера и редактирование его в режиме конструктора. Создание одного многотабличного отчета по двум таблицам связанным связью одинкомногим с группировкой по полям главной таблицы. Создание отчета с помощью мастера и редактирование его в режиме конструктора.
50832. Создание однотабличной ленточной формы для таблиц, которые не являются подчиненными в связях 717.5 KB
  Создание однотабличной ленточной формы для таблиц которые не являются подчиненными в связях т. Создание однотабличной формы в один столбец для подчиненных таблиц т. Создание одной многотабличной формы в табличном виде с помощью мастера. Многотабличные формы создавать по двум таблицам связанным связью одинкомногим.