76417

Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Русский

2015-01-30

38.88 KB

24 чел.

3.    Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

 

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

 

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

 

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

 

 

 

 

 


Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие) и y (выходная величина или реакция). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

 

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a0 …anb0bm – постоянные коэффициенты.

 

Пусть момент времени t=0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y(0)=0, y(1)(0)=0 ,…, y(n–1)(0)=0.

 

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

 

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X(p) и Y(p). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

 

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W.

, откуда .

 

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

 

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: mn. У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m>n.

 

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

 

Приведем примеры:

 – реальное звено (m=0, n=1),  – идеальное звено (m=2, n=1).

 

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z1,z2 …zm – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции,  p1,p2 …pn – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p=zi обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p=pi обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

 

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

 

 

 

 Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

 

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

 

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

 

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

y(t)=K·x(t),

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

 

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y(p)=K·X(p). ПФ пропорционального звена W(p)=K не зависит от переменной p. ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р.

 

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

 

Условие статического режима:

x =xст = const

 

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

yст = Kст·xст,

где Кст – статический коэффициент передачи звена (Kст = const).

 

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если известна ПФ звена, то статический коэффициент передачи можно получить путем подстановки p=0.

Kст = W(0).

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26644. Ландша́фт 38.5 KB
  Landschaft вид местности от Land земля и schaft суффикс выражающий взаимосвязь взаимозависимость понятие употребляющееся в разных но связанных между собою значениях в географии ландшафтной экологии живописи ландшафтной архитектуре компьютерной графике и т. История понятия Пример ландшафтной живописи Питер Брейгель. Впервые слово ландшафт прозвучало в IX веке в трудах монахов Фульдского монастыря в Германии. Ландшафт укладывается в рамки административнотерриториального и административного понятия.
26646. Ноосфе́ра 25 KB
  Ноосфера новая высшая стадия эволюции биосферы становление которой связано с развитием человеческого общества оказывающего глубокое воздействие на природные процессы. Ноосфера как наука изучает закономерности возникновения существования и развития человека человеческого общества закономерности взаимоотношения человека с биосферой. В окружающем нас мире ноосфера является той частью биосферы которую занимает человек Возникновение и развитие ноосферы В ноосферном учении Человек предстаёт укоренённым в Природу а искусственное...
26647. Основные законы (особенности, признаки) географической оболочки 74.5 KB
  Например пятна на Солнце увеличивают площадь в течение 914 лет а средний цикл солнечной активности 9 14 : 2 = 112 лет. Внутривековые циклы движение Земли в Солнечной системе влажные и прохладные 3540 лет чередуются с тёплыми и сухими колебания водности озёр ритмы солнечной активности 11 3540 90100 лет. Сверхвековые циклы движение Солнечной системы в Галактике образует галактические ритмы длящиеся миллионы лет. лет.
26648. Будыко Михаил Иванович 42 KB
  ЛАНДШАФТНАЯ ЗОНАЛЬНОСТЬ ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ ЗОНАЛЬНОСТЬ ШИРОТНАЯ ЗОНАЛЬНОСТЬ одна из основных географических закономерностей выражающаяся в последовательной географически обусловленной смене типов природных комплексов ландшафтов геосистем экосистем и компонентов природной среды климат четвертичные отложения коры выветривания почвы растительность животный мир поверхностные и подземные воды по широтному градиенту. Их отношение становится основным фактором возникновения природных зон. Сложный характер циркуляции воздушных масс и...
26649. Геосистема 23.5 KB
  Геосистема безразмерная единица географической структуры геосистема наивысшего ранга географическая оболочка и в этом смысле близка к термину экосистемы но последняя обязательно с акцентом на биоту. Термин геосистема очень близок понятию природного территориального комплекса. Экосистема широкое понятие и в этом смысле близко к понятиям комплекс природный1 геосистема но более биологично по существу поскольку центральной концепцией экосистемы является представление о цепях питания и трофических уровнях.
26650. Функциональное зонирование территории 52 KB
  На решение планов городов оказывают влияние следующие факторы: место города в системе расселения; природноклиматическая характеристика выбранной территории; профиль и величина градообразующей группы предприятий; условия функционального зонирования городской территории; организация транспортных связей между жилыми районами и местами приложения труда; учёт перспективного развития города; требования охраны окружающей среды; условия инженерного оборудования территории; требования экономики строительства; архитектурнохудожественные требования....
26651. Фи́зико-географи́ческое райони́рование 44 KB
  Районирование бывает зональным пояса зоны и подзоны и азональным физикогеографические страны области провинции районы урочища фации отраслевым по рельефу климату почвам и др. Физикогеографическое районирование система территориальных подразделений земной поверхности регионов обладающих внутренним единством и своеобразными чертами природы; процесс их выявления одна из форм синтеза в физической географии. включает изучение соподчинённых природных территориальных комплексов физикогеографических стран зон районов и др....
26652. Целостность географической оболочки 22 KB
  В результате происходят сложные и непрерывные процессы обмена веществ и энергии приводящие к изменению и развитию составных частей и в целом всей географической оболочки. Эта закономерность прослеживается в пределах как всей географической оболочки так и в небольших комплексах и в отдельных компонентах природы. Целостность системы носит настолько всеобщий характер что если в географической оболочке изменится какойлибо один компонент природы то начнут меняться все остальные.