76420

Минимально фазовые и не минимально фазовые звенья

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Если в передаточной функции произвести замену то получаем называемое частотной характеристикой звена частотный коэффициент передачи звена. Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Если хотя бы один из корней звена расположен справа то такое звено не минимально фазовое звено.

Русский

2015-01-30

21.74 KB

1 чел.

Минимально фазовые и не минимально фазовые звенья

Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления)  можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений  (нули) и  (полюса).

Если в передаточной функции произвести замену , то получаем , называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).

Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

Комплексная плоскость корней и :

Отсюда:

1. Корень  расположен в правой полуплоскости, то есть ReSe0 .

2. Корень  расположен в левой полуплоскости, то есть  ReSk0 .

3. Углы наклона векторов  и  таковы, что ke, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.

Минимально фазовые звенья:

1.  Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

2.  Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);

3.  Идеальное дифференцирующее звено;

4.  Реальное дифференцирующее звено;

5.  Идеальное интегральное звено;

6.  Идеальное формирующее звено;

7.  Звенья второго порядка:

     Апериодическое;

     Колебательное;

     Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

1.  Звено чистого запаздывания;

2.  Квазипериодическое звено;

3.  Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции : ;

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ; ;

Фазовая частотная характеристика ФЧХ звена: ;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика  .

Весовая функция .

Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

Реальное усилительное звено

(АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того (выполнили деление). Если подставить  в , то получим , откуда после преобразований:

Имеем окружность радиусом , сдвинутую на  вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:

Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид:

Фазово-частотная характеристика: , причем , .

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

Для ее построения выполним исследования.

а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

б) Зона высокой частоты. В.Ч.

Наклон характеристики в области высоких частот .

Определим погрешность в точке  = 1/T.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в  раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа:  .

Весовая функция реального усилительного звена: .

По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).

Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена

Идеальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: 

Ниже представлены графики этих зависимостей:

Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

Примеры дифференцирующих звеньев:

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!

Реальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид:

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:

с передаточной функцией .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена:ВЧХ и МЧХ:

Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Переходная характеристика:

Весовая функция: .

Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

Интегрирующее звено

Данному звену соответствует интегральное уравнение  и передаточная функция .

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:

Форсирующее звено

Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

Квазиинерционное звено

Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями и . В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ: .

Соответственно ВЧХ и МЧХ: , .

АЧХ: (такая же, как у инерционного звена).

ФЧХ: , причем , а . Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.

Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

,  - получили уравнение окружности. А так как  и , то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:

Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.

Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

АЧХ:  - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.

Звенья второго порядка. Передаточные функции

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией .

В зависимости от величины коэффициентов  это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем: ; ; . Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:  и передаточную функцию:

где постоянные времени .

Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20107. Статические и астатические САУ 31 KB
  Статические системы состоят из статических звеньев которые имеют зависимость Xвых = f Хвх Рассмотрим простейшую астатическую САР Степень открытия заслонки зависит от Q но поплавок при заданном значении уровня занимает одно и то же положение равного заданному. Особенности равновесие системы со астатическим регулированием имеет место при единственном значении РВ равной заданному. Различают системы статические и астатические по отношению к управляющему и возмущающему воздействиям.
20108. Математические модели САУ. Основные формы записи линеаризированных уравнений в автоматики 56.5 KB
  Для систем с распределёнными параметрами уравнение имеет вид уравнения в частных производных. Уравнение статики описывает поведение системы в установившемся режиме. Урие связи между вх и вых велми искомое урие то есть дифуравнение. В общем случае на динамическое звено кроме входной велны на выходную велну могут оказывать влияние возмущающие воздействия Пусть динамическое звено имеет статическую характеристику вида1 и описывается дифференциальным уравнением первого порядка.
20109. Временные характеристики линейных звеньев 49 KB
  Переходная функция и функция веса. Динамические свва звеньев можно определить по их переходным функциям и функциям веса. Переходная функция ht такой переходной процесс который возникает на выходе динамического звена при подаче на вход звена единичного ступенчатого скачка. Весовая функция Rt представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию поданную на вход.
20110. Передаточные функции динамических звеньев. Частотные передаточные функции и частотные характеристики 33 KB
  Их получают при рассмотрении вынужденного движения системы или звена когда на вход подаётся гармоническое воздействие вида : x1 = Aвхsin wt 1 Рассмотрим динамическое звено : При подаче на его вход сигнала 1 если звено линейное на выходе получается сигнал вида : y = Авыхsinwt j 2 j cдвиг фазы Для удобства принимают символическую форму записи sin or cos через ряд : sin wt = ejwt поэтому: sinwt j = еjwt ...
20111. Позиционные, интегрирующие и дифференцирующие типовые динамические звенья их частотные характеристики 45.5 KB
  Типовое динамическое звено описываемое уравнением не выше второго порядка так как реальные звенья составляются на основании законов выражаемых уравнениями не выше второго порядка.1 Безинерционное идеальное звено звено которое в установившемся режиме и в переходном режиме описывается уравнением y = kx На практике идеальным звеном принимают то звено у которого постоянная времени значительно меньше постоянной времени последующих звеньев 1.2 Апериодическое звено первого порядка звено которое...
20112. Структурные схемы систем автоматического управления 903 KB
  Структурной схемой называется схема отражающая взаимодействие динамических звеньев в процессе работы системы. Может содержать: 1 элемент с 1 входом и 1 выходом 1 элемент 2 входа и 1 выход узел сумматор сравнивающее устройство Последовательное соединение динамических звеньев Общая передаточная функция равна произведению составляющих функций динамических звеньев Параллельное соединение Встречнопараллельное соединение общая передаточная функция если обратная связь отрицательна если обратная связь положительна Если в...
20113. Качество переходных процессов. Частотные показатели качества САР 44 KB
  При этом используют АЧХ замкнутой системы Фjw АЧХ разомкнутой системы Wjw ВЧХвещественночастотная характеристика замкнутой системы Uw.22π Wm 2Использование ВЧХ замкнутой системы для оценки качества. Для устойчивых автоматических систем ВЧХ связана с переходной функцией ht следующей зависимостью: Используя это соотношение можно косвенно оценить границы переходного процесса по амплитуде и длительности. Для того чтобы косвенно судить о качестве рассмотрим свойства ВЧХ и свойства и свойства соответствующих им переходных...
20114. Синтез последовательных корректирующих звеньев 130.5 KB
  Рассмотрим основные виды обр. Жесткая отрицательная обр. связь осуществляется за счет охвата некоторого элемента сисмы обр. связью с передаточной функцией усилительного звена то есть в цепи обр.
20115. Шлифовальные станки. Их классификация 7.26 MB
  Шлифовальные станки. В зависимости от вида обработки шлифовые станки подразделяются на: станки общего назначения; специализированные станки. Круглошлифовальные станкию.