76428

Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Изменение регулируемой величины при произвольном внешнем воздействии представляет собой решение уравнения 3.22 первое слагаемое вынужденная составляющая имеющая тот же характер что и правая часть уравнения 3. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения 3.21 с правой частью: Второе слагаемое свободная переходная составляющая которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения 3.

Русский

2015-01-30

93.58 KB

2 чел.

Условия устойчивости линейных систем автоматического управления.

Покажем, как на основе изложенного выше определения устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического управления, записанное для регулируемой выходной величины  при наличии управляющего воздействия  имеет вид

где  — постоянные коэффициенты,  — оператор дифференцирования.

Изменение регулируемой величины  при произвольном внешнем воздействии  представляет собой решение уравнения (3.21):

В (3.22) первое слагаемое  — вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения (3.21). Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.21) с правой частью:

Второе слагаемое  свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (3.21) без правой части:

Обычно в теории автоматического управления интересуются устойчивостью вынужденной составляющей переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса  Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины , а отклонением или вариацией — свободная составляющая. 

Возмущениями, по А. М. Ляпунову, являются начальные значения которые возникли в момент, под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, т. е. начальные значения. Дифференциальными уравнениями возмущенного движения первого приближения в данном случае будут уравнения (3.24).

В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпунову система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при свободная составляющая будет стремиться к нулю, т. е.  Чтобы найти эту составляющую, необходимо решить дифференциальное уравнение (3.24):

Решение уравнения (3.25) находят как  дифференцируя это выражение раз и подставляя в (3.25), после сокращения на общий множитель получаем

Полученное алгебраическое уравнение (3.26) называют характеристическим уравнением. Его корни  будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть уравнения (3.26) совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении (3.21), поэтому характеристическое уравнение получают обычно, приравнивая к нулю дифференциальный оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении (3.21), т. е.

Рис. 3.4

Следует заметить, однако, что в характеристическом уравнении (3.27),  означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число.

Решение характеристического уравнения степени содержит корней. Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно сопряженными, мнимыми попарно сопряженными, нулевыми. В общем случае

На рис. 3.4 показаны возможные положения корней в комплексной плоскости корней s при

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.

Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они в комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями — правыми корнями.

Условие устойчивости линейной системы формулируется следующим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения (3.27) были левыми.

Указанное условие устойчивости легко пояснить, рассматривая решение однородного уравнения (3.25), которое при отсутствии кратных корней имеет вид

где  — корни характеристического уравнения (3.27); С — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Заметим, что корни характеристического уравнения  зависят только от вида левой части дифференциального уравнения (3.21) линейной системы. Постоянные интегрирования С; зависят и от вида правой ее части, поэтому быстота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения (3.21). Однако, поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (3 21) и определяется только характеристическим уравнением (3.27).

При составлении (3.21) предполагалось, что внешние возмущающие воздействия отсутствуют. Если записать дифференциальные уравнения движения системы относительно возмущающего воздействия, то в этом случае левая часть (3.21) остается без изменения, а правая будет иметь другой вид. Так как характер переходного процесса в линейной системе определяют только по виду левой части дифференциального уравнения (3.21), то для определения качественной картины переходных процессов практически безразлично, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.

Вещественным корням характеристического уравнения  в (3.29) соответствуют слагаемые, представляющие собой экспоненты 

Очевидно, что отрицательным (левым) корням соответствуют затухающие экспоненты (рис. 3.5, а), положительным (правым) корням — возрастающие экспоненты (рис. 3.5, б) и при нулевых корнях слагаемые представляют собой прямые, параллельные оси времени (рис. 3.5, в).

Комплексные кории характеристического уравнения всегда бывают попарно сопряженными: Слагаемые, определяемые этими корнями в (3.29), могут быть при использовании известной формулы Эйлера представлены в виде где А, и  — новые постоянные.

В этом случае при получаются затухающие колебания (рис. 3.5, г), при — расходящие колебания (рис. 3.5, д) и при — незатухающие колебания (рис. 3.5, е). Для устойчивости и в этом случае необходимо выполнение условия. В самом общем случае среди корней характеристического уравнения (3.27) могут быть кратные корни. Если имеется кратных корней  то в (3.29) появятся слагаемые вида

Если корень имеет отрицательную вещественную часть то множитель будет с течением времени убывать. Множитель в скобках неограниченно растет, поэтому мы имеем неопределенность. Однако известно, что быстрее стремится к нулю, чем выражение поэтому при эта группа слагаемых с течением времени также стремится к нулю.

Рис. 3.5

Таким образом, видно, что в самом общем случае для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3.27) были левыми.

Вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степеней. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически малопригодны. Общие выражения для корней уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива система или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные. С математической точки зрения все критерии

устойчивости эквивалентны, однако целесообразный выбор того или иного критерия устойчивости при решении конкретных задач позволяет провести исследование устойчивости наиболее простым путем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83184. Франчайзинг товарный и производственный 36 KB
  Итак что же скрывает в себе это слово Под франчайзингом понимается ведение бизнеса под арендованным товарным знаком. Одна из первых успешных франчайзинговых систем была применена компанией Generl Motors. На сегодняшний день можно выделить три основных вида франчайзинга.
83186. Economics in our life 14.92 KB
  Much time was spent by people on the study of economics. This is a very ancient science. It existed even before emergence of electricity, cars and means of communications. But economics as the academic discipline is rather new.
83187. The problems of young people 15.64 KB
  All people have problems. Some people have a lot of problems, others have one or two. And no matter how old you are, you will still face difficulties in your life. We can solve some problems but some problems are very hard to solve.There are a lot of teenagers in our country.
83188. Війни виграють не генерали, війни виграють шкільні учителі 38 KB
  Мені здається, що сьогодні вчити і виховувати дітей складніше, ніж колись. Життя стало непередбачуванішим, з’явилося багато нової інформації, техніки, змінилося ставлення до деяких моральних цінностей. Я впевнена, що професія вчителя – одна з найважливіших у нашому суспільстві.
83189. Стратегический менеджмент как сфера профессиональной деятельности 38.25 KB
  Процесс разработки стратегий включает: 1 определение корпоративной миссии; 2 конкретизацию видения корпорации и постановку целей; 3 формулировку и реализацию стратегии направленной на их достижение. Вместе с тем разработка стратегии на практике процесс творческий.
83190. Славянофильство и западничество: куда идти России? 33.5 KB
  К предыстории относится период с десятых до середины тридцатых годов девятнадцатого столетия. В начале тридцатых годов большинство будущих славянофилов исключая Хомякова были приверженцами философии Шеллинга и их позиция была скорее западнической чем славянофильской.
83191. ИНТЕРНЕТ-ЭКОНОМИКА РОССИИ 40.22 KB
  Как последствие эффективность финансовой работы в современной экономике впрямую находится в зависимости от интенсивности переустройства информации а апофеозом эволюции информационно-коммуникационных технологий стало возникновение Интернета в общем и Интернет-экономики eeconomy в частности.
83192. ВЕНСКАЯ КОНВЕНЦИЯ О ПРАВЕ МЕЖДУНАРОДНЫХ ДОГОВОРОВ 35.5 KB
  Конвенция применяется к договорам заключаемым между государствами в письменной форме. Лицо представляющее государство в целях принятия текста договора либо в целях выражения согласия на обязательность договора должно иметь соответствующие полномочия либо в силу занимаемой должности считаться представляющим свое государство без предъявления полномочий. К последним относятся: главы государств главы правительств министры иностранных дел; главы дипломатических представительств применительно к договорам с государствами в которых они...