76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

17 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41830. Создание и форматирование таблиц. Использование логических и математических функций в табличных вычислениях 178.5 KB
  Использование логических функций необходимо, когда для выбора правильного решения нужно проверить выполнение одного или нескольких условий. Наиболее часто используемые функции этой категории
41831. Создание архива данных. Извлечение данных из архива. Атрибуты файла и его объем 27.83 KB
  Атрибуты файла и его объем Цель: изучение принципов архивации файлов функций и режимов работы наиболее распространенных архиваторов приобретение практических навыков работы по созданию архивных файлов и извлечению файлов из архивов. Теоретические сведения к лабораторной работе Архивация упаковка помещение загрузка исходных файлов в архивный файл в сжатом или несжатом виде. Архивация предназначена для создания резервных копий используемых файлов на случай потери или порчи по какимлибо причинам основной копии невнимательность...
41832. Художественные средства. Инструмент rtistic Mediа 217.5 KB
  Примеры рисования инструментом rtistic Medi Художественные средства Инструмент rtistic Medi Художественные средства входит в состав группы инструментов Curve Кривая рис. Инструмент rtistic Medi Художественные средства включает в себя пять отличных друг от друга режимов работы. Инструмент rtistic Medi Художественные средства может работать в следующих режимах: Preset Заготовка заготовка для живописи; Brush Кисть художественная кисть; Spryer Распылитель распылитель; Clligrphic Каллиграфический ...
41833. ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВОЙ СХЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА ПОДЪЁМНО КРАНОВОГО МЕХАНИЗМА 247 KB
  Изучить принцип действия и исследовать работу одной из типовых схем управления электроприводом подъёмно кранового механизма с ДПТ независимого возбуждения. Ознакомиться с электрооборудованием типового шкафа управления. Исследовать работу схемы управления электроприводом подъёмно кранового механизма.
41834. Решение бухгалтерских задач с помощью пакета Excel 286.36 KB
  Решение бухгалтерских задач с помощью пакета Excel Цель работы Познакомиться с работой пакета Excel как инструмента для решения задач бухгалтерского учета. Научиться правильно задавать имена переменным определять ссылки на ячейки использовать функции при вводе формул работать с массивами данных в Excel. Должна быть установлена программа Microsoft Excel.
41835. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ 238.57 KB
  Данная работа посвящена изучению простейших комбинационных логических устройств реализующих логические функции сложения умножения и отрицания. В результате функции отображающие информацию принимают в каждый момент времени только значения 0 или 1. Такие функции называют логическими а сигналы входные и выходные переменные двоичными бинарными. Рассматривая входные сигналы х1 х2 хп в качестве аргументов можно соответствующие выходные сигналы представлять в виде функции уi = fх0 х1 х2 хп с помощью...
41836. Изучение и анализ конструкций сцеплений транспортных автомобилей 78.68 KB
  Контрольные вопросы дайте классификацию сцеплений назначение устройство и принцип работы фрикционного однодискового гидравлического и электромагнитного сцеплений конструктивные особенности различных видов сцеплений их преимущества и недостатки применяемые материалы для изготовления элементов и узлов сцеплений какие приводы используются для управления сцеплением опишите их устройство и дайте им характеристику опишите устройство и работу центробежного сцепления какие существуют способы передачи крутящего момента от маховика двигателя к...
41837. Разработка комплекта конструкторской документации на кодовый замок 763 KB
  Наиболее интересными для обывателя являются, правда, другие замки, устанавливающиеся прямо в дверное полотно. Они имеют огромный плюс – им не нужна замочная скважина, а значит, сторонний наблюдатель просто не будет знать о его присутствии
41838. Система питания дизельных двигателей 177.92 KB
  Николаева Лабораторная работа № 9 Система питания дизельного двигателя Сделал студент группы 2151 Гуськов К.Е Система питания дизельных двигателей Общая информация При работе дизельного двигателя в его цилиндры всасывается наружный воздух который сжимается до высокого давления. Система подачи воздуха Главными особенностями конструкции впускного воздушного тракта рассматриваемого в настоящем Руководстве дизельного двигателя являются использование в нем турбокомпрессора приводимого во вращение потоком отработавших газов и отсутствие...