76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

16 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57953. Подорож героїв казки Г.К. Андерсена «Снігова Королева» по країні Синтаксис 221 KB
  Але перш ніж розпочати наш урок пропонуємо вам визначити капітана кожної команди експерта який буде слідкувати за роботою кожного учня в групі а також визначитися із назвою команди клас розподілений на 3 команди.
57954. Англія. Бінарний урок всесвітньої історії – англійської мови 180.5 KB
  Мета: Всесвітня історія ознайомити учнів з особливостями розвитку капіталістичних відносин в Англії особливостями Реформації в Англії та основними напрямками зовнішньої політики в 16 ст. Після уроку учні зможуть: Називати час правління Єлизавети...
57955. Антарктида 80 KB
  Мета навчальна: закріпити та узагальнити знання і вміння учнів з теми: «Антарктида»; поглибити їх знання за допомогою цікавих фактів про вивчений об’єкт, вдосконалювати вміння та навички роботи з картою, формувати нестандартне мислення...
57956. Антарктида і Антарктика. Загальні відомості. Відкриття та сучасні наукові дослідження 248 KB
  Сформувати поняття «Антарктика»; сприяти формуванню в учнів знань про географічне положення; поглибити і систематизувати знання про відкриття та сучасні дослідження Антарктиди в рамках міжнародного співробітництва; продовжити формування навичок встановлювати закономірності поширення природних умов
57957. Антарктида. Своєрідність географічного положення. Відкриття материка. Льодовиковий покрив 33 KB
  Мета уроку: дати поняття Антарктика и Антарктида льодовий материк планети; вивчити загальні відомості про материк: своєрідність ГП материка його розміри; розглянути відкриття Антарктиди та сучасні наукові дослідження материка...
57958. встралия – самый маленький материк Земли 60.5 KB
  Перед началом соревнования вам ребята надо потренироваться повторить изученный материал о природе Австралии. На протяжении трех уроков вы составляли вопросы об особенностях природы Австралии теперь у вас есть возможность задать их своим одноклассникам и выслушать ответы. Какой остров расположен к северу от Австралии Правила игры: В течение изучения материка ученики составляют вопросы по параграфам. По плану ФГП ученики сравнивают физикогеографическое положение Австралии с ФГП...
57959. ГЕОГРАФІЧНОГО ПОЛОЖЕННЯ. ІСТОРІЯ ВІДКРИТТЯ І ДОСЛІДЖЕННЯ. ГЕОЛОГІЧНА БУДОВА. ФОРМИ РЕЛЬЄФУ ТА КОРИСНІ КОПАЛИНИ АВСТРАЛІЇ 108 KB
  Мета: сформувати в учнів загальне уявлення про своєрідність та особливості природи Австралії; продовжити формування навичок учнів складати характеристику географічного положення материка за планом відшукувати закономірності розташування форм рельєфу та корисних копалин...
57960. Передня Азія в давнину 54.5 KB
  Мета: повторити, закріпити, узагальнити знання учнів з історії Передньої Азії: географічне положення, утворення, розквіт та загибель імперій, культуру та релігійні уявлення. Продовжувати формування навичок узагальнювати, порівнювати, аналізувати історичний матеріал.
57961. Основы объектно-ориентированного программирования. Первое знакомство со средой Visual Studio. Создание консольного приложения с помощью языка Visual Basic. Net 367 KB
  Цель: Сформировать у учащихся представление о среде программирования Visul Studio; Освоить основные приемы создания и запуска на выполнение консольного приложения его редактирования и сохранения; Получить практические навыки работы в среде программирования...