76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

15 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69571. OSPF (Open Shortest Path First) 1.86 MB
  Кроме того при разработке протокола были приложены значительные усилия по ускорению обработки топологических изменений в сети и снижению уровня служебного трафика. OSPF позволяет группировать сети такие группы называют областями re. Каждый маршрут в OSPF распространяется с указанием...
69572. VPN соединения типа шлюз-шлюз 1.62 MB
  Задача: связывание удаленных локальных сетей в единую корпоративную сеть с помощью Интернет как глобальной сетевой технологии. Офисная сеть компании подключена к маршрутизатору провайдера услуг Интернет с помощью локальной сети.
69573. Работа с IP-адресами 1.45 MB
  Представим себе что на маршрутизатор поступил пакет: номер сети из этого пакета необходимо сравнить с номером сети из каждой строки таблицы маршрутизации Да в среднем для пакета нужно сделать не 2 миллиона сравнений а лишь миллион это все равно гигантское число...
69574. Основы группового вещания в IPv4 1.18 MB
  Традиционные методы взаимодействия по протоколу IP позволяют отправлять пакеты одному узлу (одноадресная передача) или всем узлам одновременно (широковещательная передача). Многоадресная (групповая) IP-рассылка предоставляет третью возможность...
69575. Правила назначения IP адресов 855 KB
  При этом необходимо придерживаться следующих обязательных правил об исключениях мы поговорим позже: Адреса не должны дублироваться: IP адрес уникальный идентификатор узла или порта маршрутизатора Если узлы и порты маршрутизаторов находятся в одной канальной сети...
69576. Работа ARP протокола 659 KB
  При сканировании сети так же была определена система взаимодействия по протоколу IP узлов находящихся в одной либо разных сетях суть которой состоит в следующем: при взаимодействии между узлами одной IP сети протокол RP используется станцией отправителем для разрешения МАС...
69577. BGP 617.5 KB
  В предыдущих уроках были рассмотрены протоколы динамической маршрутизации, используемые в основном для работы в сетях среднего либо малого размера. И хотя, при описании таких протоколов как OSPF и EIGRP использовалось понятие Автономная система...
69578. Курс Internet Protocol 458 KB
  Способы передачи информации в компьютерных сетях были рассмотрены в курсе Локальные сети при этом для описания использовались первые два уровня модели OSI физический и канальный образующих базовую сетевую технологию БСТ.
69579. OSPF (Часть II) 6.73 MB
  В предыдущем уроке были рассмотрены теоретические основы взаимодействий, происходящих между маршрутизаторами работающими по протоколу OSPF. Таким образом, на данный момент изучен метод построения маршрутных таблиц протоколом OSPF, алгоритм работы протокола при построении графа...