76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

17 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81057. Африка в современных МО 46.87 KB
  Перестав быть ареной конфронтации Востока и Запада этот регион утратил свое стратегическое значение в системе внешнеполитических координат ведущих держав а опыт их политического и экономического сотрудничества с африканскими странами подвергся критической переоценке. В этой связи к началу 90х годов как в Африке так и за ее пределами стали распространяться крайне пессимистические настроения в отношении не только отдаленных но и ближайших перспектив региона. Источником афропессимизма стало прежде всего бедственное экономическое положение...
81058. Международные отношения как область науки. Основная проблема международных отношений как отрасли знания: объект, предмет 35.21 KB
  Основными понятиями теории МО являются: МО совокупность экономических политических правовых идеологических дипломатических военных культурных и других связей и взаимоотношений между субъектами действующими на мировой арене. В целом Мо это совокупность интеграционных связей между различными национальными сообществами и государствами формирующими единое мировое пространство. В МО включается внутренняя и внешняя политика Мировая политика Объект система связей в международных отношениях Предмет изучение систем связей.
81059. Понятие системы международных отношений: структура системы, элементы, связи между элементами 40.47 KB
  система международных отношений это совокупность составляющих ее элементов между которыми существуют устойчивые связи зависимости отношения . Главными объектами международных отношений являются прежде всего суверенные национальные государства. Различные комбинации участников МО варианты их коммуникации позволяют формировать различные типы международных систем МС.
81060. Типы международных систем. Функционирование и трансформация международных систем 39.5 KB
  выделяют исторические типы: вестфальская система МО 1648 г. идея баланса сил венская система 1814 г. идея единого управляющего центра идея Европейского концерта версальсковашингтонская система после 1 мировой войны и по ее результатам переход к биполярной системе и увеличение акторов ЯлтинскоПостдамсткая посде 2 мировой войны биполярная система легла в основу биполярного мира: противостояние ВостокЗапад С распадом СССР историческая типология заканчивается. Современная система большинством исследователей называется...
81061. Субъекты и акторы международных отношений. Цели, средства, стратегии в международных отношениях 38.16 KB
  Участники: Мировое сообщество активные участники национально-государственные объединения Остальное сообщество негосударственные наднациональные организации общественные организации и личное участие.= организации создается государствами или другими участниками международных отношений и подразделяются на несколько типов: межправительственные создаются государствами ЕС неправительственные организации формируются независимыми от государств группами для решения задач с которыми государство не справляется самостоятельно; с...
81062. Взаимоотношение и анализ понятий внутренняя политика, внешняя политика, мировая политика. Закономерности международных отношений 36.74 KB
  В МО включается внутренняя и внешняя политика. Внутренняя политика испытывает двоякое давление системы международных отношений и внутренних тенденций социальноэкономического развития а также зависит от этапа исторического развития и задач государства на данном этапе. Мировая политика процесс и результат выработки принятия и реализации решений затрагивающих жизнь мирового сообщества.
81063. Методы и техники исследований международных отношений (методы исследования ситуации, сравнительный, экспликация, эксперимент, прогностические методы, построение сценариев, системный метод и модели анализа) 44.94 KB
  Методы анализа ситуации Анализ ситуации предполагает использование суммы методов и процедур междисциплинарного характера применяемых для накопления и первичной систематизации эмпирического материала данных. Главный недостаток данного метода сбора данных большая роль субъективных факторов связанных с активностью субъекта его идеологическими предпочтениями несовершенством...