76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

14 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20819. Драматургічні особливості, сценічна історія, популярність в народі та значення п’єси І.Котляревського «Наталка Полтавка» 20.51 KB
  Народність твору полягає не тільки в тому, що він написаний живою народною мовою, а й у тому, який його зміст і чи поданий він з народних традицій, чи відображає погляди, настрої і прагнення народу.
20820. РОЛЬ МОРАЛЬНО-ЕСТЕТИЧНИХ ІДЕАЛІВ В ВИХОВАННІ НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕЛІТИ 72 KB
  Василь Пачовський писав: “Всі великі державні нації мають ідеї свого національного посланництва, які виростають з почуття самоповаги провідної верстви. Суть цієї ідеї – як каже В.Липинський – лежить в тому
20821. Организация бухгалтерского и налогового учета основных средств на ООО «Агро-Сибирь» 113.32 KB
  Отличительной особенностью основных средств является их многократное использование в процессе производства, сохранение первоначального внешнего вида (формы) в течение длительного периода. Под воздействием производственного процесса и внешней среды они снашиваются постепенно и переносят свою первоначальную стоимость
20822. Відповідальність за розголошення лікарської таємниці 210.5 KB
  Проаналізувати лікарську таємницю як елемент системи професійної таємниці; здійснити загальну характеристику інституту лікарської таємниці як об’єкта правового регулювання; визначити суб’єктів збереження лікарської таємниці та здійснити їх класифікацію; визначити в яких випадках відповідно до законодавства України може бути розголошена лікарська таємниця...
20823. Процессуальное право 38.51 KB
  Административный процесс — это порядок осуществления государственно-управленческой деятельности по реализации норм административного права. В более узком, специальном смысле административный процесс — это деятельность государственных органов по рассмотрению дел об административных правонарушениях. В данной главе речь пойдет именно об этом аспекте административного процесса.
20825. Вдосконалення протипожежного захисту головного виробничого корпусу ТзОВ Гайсинський молокозавод Вінницькій області 1.06 MB
  Кількість пожеж суттєво збільшується. Основними їх винуватцями стають обігрівачі, найчастіше саморобні, низької якості, що не мають сертифікату відповідності. Масове одночасне використання електроприладів, може призвести до значних електричних перенавантажень, а відповідно до масових пошкоджень електричних мереж. Нерідко пожежі виникають через несправність камінів та печей.
20826. Исследование формирования товарной политики предприятия 950 KB
  Улучшение качественных характеристик товара основывается на соответствии их запросам потребителей, повышении уровня конкурентоспособности, учете периода жизненного цикла на рынке, использовании достижений научно-технического прогресса и т.п. При этом совершенствуются сами полезные качества продукта, материальный вид товара...
20827. Сравнительная экспертиза качества сыра твердого сычужного «Голландского», реализуемого в магазине «Монетка» 686.5 KB
  Популярность сыров объясняется приятными вкусовыми особенностями, высокой биологической и пищевой ценностью, удачным сочетанием незаменимых аминокислот, высоким содержанием кальция и широкой гаммой микроэлементов, легкой усвояемостью молочного жира.