76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

16 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83531. Дипломатичні привілеї та імунітети 34.74 KB
  Дипломатичні привілеї деякі особливі права пільги та переваги які надаються дипломатичним представництвам та їх персоналу. дипломатичні імунітети і привілеї поділені на імунітети і привілеї дипломатичного представництва та особисті імунітети і привілеї членів дипломатичного персоналу та їхніх родин. До другої категорії відносяться: особиста недоторканість недоторканість особистої резиденцій повний імунітет від кримінальної юрисдикції держави перебування а також від цивільної і адміністративної юрисдикції у відношенні виконавчих дій...
83532. Поняття та джерела консульського права. Встановлення консульських відносин 33.53 KB
  Встановлення консульських відносин. Консульське право сукупність міжнародноправових норм що регламентують правове положення та порядок діяльності консульських установ. Важливу роль у консульських відносинах відіграють двосторонні консульські конвенції у яких крім врегулювання загальних питань закріплюються особливості здійснення консульських відносин між конкретними державами. Загальні засада діяльності консульських установ також визначаються актами національного законодавства зокрема Консульським статутом України затвердженим Указом...
83533. Класи консульських установ. Функції консульських установ 36.75 KB
  Функції консульських установ. передбачає наступні класи консульських установ: генеральні консульства консульства; віцеконсульства; консульські агентства. Голови цих консульських установ йменуються відповідно генеральний консул консул віцеконсул і консульський агент.
83534. Початок і закінчення консульських місій 35.4 KB
  Голові консульської установи надається консульський патент державою що представляється. До виконання своїх обов\'язків голова консульської установи може приступити лише після отримання дозволу держави перебування який має назву екзекватура. Початком консульської місії голови консульської установи вважається момент видачі йому екзекватури інших консульських посадових осіб повідомлення країни перебування про їх прибуття з зазначенням імені прізвища посади рангу тощо. Консульська місія припиняється на наступних підставах: відкликання...
83535. Персонал консульської установи. Консульський корпус 33.02 KB
  На відміну від дипломатичних представництву склад консульських установ входять не три а дві категорії членів персоналу консульські посадові особи та співробітники консульської установи. До категорії консульських посадових осіб входять всі особи на яких покладено виконання консульських функції. Сукупність іноземних консульських представників у межах консульського округу в якому вони виконують свої функції називається консульським корпусом. У вузькому сенсі консульський корпус складається з глав консульських установ.
83536. Консульські імунітети та привілеї 34.97 KB
  В консульському праві як і в дипломатичному розрізняють дві категорії привілеїв та імунітетів: а привілеї та імунітети консульських установ; 6 привілеї та імунітети штатних консульських посадових осіб та інших працівників консульських установ. Найсуттєвішими в першій категорії є: недоторканність консульських приміщень; звільнення консульських приміщень від податків; недоторканність консульського архіву та документів; свобода зносин; безперешкодні зносини і контакти з громадянами держави що представляється. Другу категорію консульських...
83537. Право спеціальних місій 37.02 KB
  Функції спеціальної місії визначаються за взаємною згодою між державою що посилає і приймаючою державою. Для направлення або прийняття спеціальної місії не є необхідною наявність дипломатичних або консульських відносин між державами. За деякими виключеннями держава що посилає може на свій розсуд призначити членів спеціальної місії повідомивши попередньо приймаючій державі всю необхідну інформацію про чисельність і шал спеціальної місії і зокрема повідомивши про прізвища і посади осіб яких вона має намір призначити.
83538. Дипломатичне право міжнародних організацій 36.09 KB
  Як показує практика багатостороння дипломатія відбувається головним чином в рамках міжнародних організацій при яких держави засновують свої постійні представництва які користуються такими ж привілеями та імунітетами що і члени делегацій державчленів організації. Вона охоплює чотири сфери діяльності держав в їх відносинах з міжнародними організаціями і в рамках міжнародних конференцій а саме постійні представництва держав при міжнародних організаціях місії постійних спостерігачів при міжнародних організаціях делегації держав в органах і...
83539. Кодифікація міжнародного морського права. Види морських просторів 36.24 KB
  Міжнародне морське право являє собою систему міжнародноправових принципів і норм що визначають правовий режим морських просторів і регулюють відносини між державами та іншими суб\'єктами міжнародного права з приводу їх діяльності з дослідження та використання просторів Світового океану та його ресурсів. Міжнародне морське право відноситься до однієї з найбільш старих галузей міжнародного права і спочатку склалося у формі звичаєвих норм. Кодифікація морського права була проведена в XX ст.