76429

Критерий устойчивости Гурвица

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости сформулированный в 1895 году математиком А. Критерий устойчивости сводится к тому что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей.

Русский

2015-01-30

61.79 KB

17 чел.

Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный

в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую строк и столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а д Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при должны быть больше нуля все определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия: Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента:.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем: условия

Третий (последний) определитель дает условие. Условие при может выполняться только при

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Рис. 6.4.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина и включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разнести углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где — коэффициент усиления и — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где коэффициент передачи двигателя по скорости, а — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению

передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73910. Сучасний монетаризм М. Фрідмен 57.5 KB
  Монетаризм являє собою одну з найвпливовіших шкіл сучасної економічної науки, що належать до некласичного напряму. Він розглядає явища господарського життя крізь призму процесів, що відбуваються у сфері грошового обігу...
73911. Економічна думка країн Давнього Сходу й Передньої Азії. Давньоєгипетські джерела. Закони Ешнунни. Ліпіт Іштара. Хаммурапі 28.5 KB
  До нашої доби дійшли Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара Проречення Іпусера Пророцтво Неферті Повчання Ахтоя сина Дуауфа своєму синові Піопі різні адміністративногосподарські та юридичні документи. Так наприклад Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара XXII ст. Тоді вони працюватимуть задля царя як один загін і не буде серед них бунтарів1. є закони вавилонського царя Хаммурапі.
73912. Економічна думка в Україні в пореформений період 19 століття. М. Бунге, Д. Піхно, С. Вітте, І. Сокальський 22 KB
  Бунге Д. Бунге професор згодом ректор Київського університету у 80ті рр. Бунге вказував на велике значення для розвитку політичної економії правильного визначення її предмета і вважав що складність такого визначення пояснюється позицією ліберальної економічної школи та соціалістів. Бунге критикував соціалістів за те що вони засуджували існуючий порядок і вбачали свій ідеал у новій організації праці у вигаданих формах суспільного устрою3.
73913. Створення К. Марксом і Ф. Енгельсом пролетарської політекономії : початок формування економічного вчення марксизму. Структура та основні проблеми “Капіталу” Пізні наукові праці 42 KB
  Структура та основні проблеми Капіталу Пізні наукові праці . Теоретичні проблеми Капіталу К. Кілька рукописних варіантів Капіталу 1857 1865 Критика політичної економії До критики політичної економії другий та третій попередні варіанти Капіталу у вигляді нарисів та закінчених теоретичних викладок давно були готові до друку однак Маркс намагався надати цьому твору характеру вичерпної логічно закінченої теорії. Однак вихід у світ одночасно всіх томів Капіталу не пощастило забезпечити: праця тривала надалі а...
73914. Маржинальна революція: австрійська школа “граничної корисності” (К. Менгер, Ф. Візер, О. Бьом-Баверек). Принципи економікс А. Маршалла 36.5 KB
  Маржинальна революція : австрійська школа граничної корисност К. Її теоретичними принципами були субєктивний ідеалізм та теорія граничної корисності. Центральне місце в концепціях австрійської школи посідає так звана теорія граничної корисності.Візер розвивав ідеї Менгера у працях Походження й основні закони господарської цінності 1884 Природна цінність 1889 Закон влади 1926 використовуючи принцип граничної корисності для оцінки вартості витрат виробництва.
73915. Релігія та демократія: конгруенція і конфлікт 35 KB
  За Андерсоном демократія може варіюватися проте в своїй основі вона повинна мати такі складові як рівність влада народу участь всіх конкуренція згода і в випадках ліберальної демократії захист прав меншинств та окремих індивідів. Якщо не пояснювати йдеться про політичну економічну соціальну рівність чи рівність можливостей то дана характеристика не може бути надійним покажчиком демократії. Щодо інших індикаторів демократії то вони також на мою думку є досить суперечливими проте за браком місця не будемо їх розглядати. Скажемо...
73916. Економічна глобалізація 54.5 KB
  Ініціали інституціоналізацію про формування системи глобального регулювання яка буде наділеною відповідним обсягом повноважень та легітимністю. Другий шлях глобальне співробітництво за якого розв‘язання глобальних проблем буде виконуватися не шляхом нав‘язування окремими акторами підходів а шляхом конструктивного і втілюваного в життя діалогу всіх зацікавлених сил. Далі буде логічно виведено розмірковування і про інші проекти. Але зрозуміло що таким чином будуть зачіплятися інтереси якоїсь із національних держав світу адже така...
73917. Феномен глобалізації та процеси глобальних політичних змін: основні концепції та методологічні підходи 44 KB
  Блінова частина якої до якої і пишеться коментар має назву Феномен глобалізації та процеси глобальних політичних змін: основні концепції та методологічні підходи. Фактично прочитавши більшість джерел до семінару №2 у мене склалися деякі погляди на розглядувані речі звісно пов‘язані із процесом глобалізації чи то антиглобалізації які вмістити до якогось конкретного джерела виявилося дуже складним. З одного боку наявність численної кількості визначень може йти на користь вивченню глобалізації адже ця численність є прямим фактом...
73918. Кінець світу, який ми знаємо 98 KB
  Вотерса Кінець світу який ми знаємо. Від цього залежить і мислення людей яке радше ґрунтуватиметься на припущенні гетерогенності світу сильної несхожості усіх його частин а не на припущенні про одну світову сім‘ю. Останнє матиме вплив і на дії людей в усіх кінцях світу які ряснітимуть розмаїтістю. Країни обиралися за таким критеріями: Британія як дуже впливовий член ЄС і як одна з передових країн світу; Україна порівняння світової ситуації із справа в нашому суспільстві; США одна з провідних і найвпливовіших країн світу; Індія ...