77384

Неопределённый интеграл

Реферат

Математика и математический анализ

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

Русский

2015-02-02

656.5 KB

2 чел.

PAGE  18

НеоИнт

Неопределённый интеграл.

Оглавление.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

4. Метод интегрирования подстановкой.

5. Интегралы группы четырёх.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование рациональных дробей.

8. Интегрирование тригонометрических выражений.

9. Интегрирование иррациональных выражений.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции находили ее производную.

В то же время многочисленные задачи науки и техники приводят к обратной задаче: для данной функции    найти такую функцию  ,  производная которой равнялась бы заданной функции  , т.е.

Функция  называется первообразной функцией для функции  на интервале , если  дифференцируема на интервале  и .

Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке , но в точках  и  надо рассматривать односторонние производные.

Теорема. Если  первообразная для функции  на , то  - также первообразная, где   - любое постоянное число.

Доказательство. Имеем .

Определение. Произвольная первообразная для  на  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом

Знак называется интегралом,   - подынтегральное выражение,  - подынтегральная функция.

Таким образом, если   одна из первообразных для , то

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции . Она противоположна операции дифференцирования.

Найти  ,  если .  ;  ;   и т.д.  В общем случае  .                    Или

  . Или     

Функция    имеет бесчисленное множество первообразных.

2. Свойства неопределённых интегралов.

1.

2.

3.

4.

    Доказательство.  

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

1.                 

2.   

3. ;           

4.

5.

6.       

7.             

Знание следующих интегралов облегчит решение многих задач.

8.        

      

9.                

10.                      

Отметим, что операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям. Операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т.е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозицией элементарных функций.

Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях.

 -  интеграл Пуассона.

 -  интегралы  Френеля.

 -  интегральный логарифм.

 -  интегральный косинус.

 -  интегральный синус.

4. Метод интегрирования подстановкой

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)

Например.

 Пример . .

Такого табличного интеграла нет. Сделаем замену  -  . Отсюда

Перейдем от дифференциала   к  дифференциалу  ,  для чего возьмем дифференциал от левой и правой частей формулы замены. Получим

.

Подставим в исходный интеграл:

И далее

Так как           

Но  ,  поэтому

 Пример .           

                         

Пример 3.  

Пример 4.

Пример 5. 

5. Интегралы группы четырёх.

                

1) Разложим знаменатель, квадратный трехчлен:

 

  1.  Введем новую переменную
  2.  Тогда знаменатель будет иметь вид:

     

Рассмотрим вначале случай, когда  . При этом  . Следовательно

Или, возвращаясь к старым переменным

Преобразовывая, получим:

Теперь рассмотрим случай, когда   . Квадратный трехчлен  представим в виде:

Следовательно

Опять возвращаясь к старым переменным, получим

Преобразовывая, найдем:

Рассмотрим теперь второй интеграл.

Или

Рассмотрим теперь третий интеграл. Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную  ,   запишем:

Полученное выражение представим в виде двух интегралов

В дифференциал первого интеграла внесем множитель  

Возьмем интегралы

Вернемся к старым переменным

Рассмотрим теперь последний интеграл  . Аналогично, Используя разложение квадратного трехчлена, и, заменяя переменную  ,   запишем

Полученное выражение также представим в виде двух интегралов

В первом интеграле под знак дифференциала введем , взяв второй интеграл и возвращаясь в нем к переменной  , получим

Взяв первый интеграл, получим окончательно

6. Интегрирование по частям.

Известно, что дифференциал от произведения    равен:

Проинтегрируем полученное равенство

Интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции:

Меняя местами слагаемые, получим:

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример.  Вычислить  интеграл  .

Решение.   Положим  ;  .

Тогда

7. Интегрирование рациональных дробей.

Дробью называется выражение вида:

Дробь    - правильная, если .  Дробь  - не правильная, если .

Для того, чтобы проинтегрировать дробь надо разложить ее на простейшие дроби.

Простейшие дроби:

1.  

2.      

3.      

4.     

Интеграл от первой дроби  -  табличный интеграл:

1.  

Интеграл от второй дроби  -  также табличный:

2.  

3.  Интеграл от третьей дроби  см. интеграл группы четырёх.

4.  Интеграл от четвертой дроби также см. интеграл группы четырёх.

Рассмотрим теперь дробь более общего вида.

Теорема.  Пусть      - правильная дробь, причем . Тогда эту дробь можно представить в виде:

Доказательство

Далее, выберем величину   равной: .   Тогда получим, что

И если  , то

То есть   является корнем многочлена . В этом случае многочлен   можно представить в виде:

и, следовательно, далее запишем:

  что и тр. док.

Следствие. Используя эту логику и дальше, можно записать:

Теорема.

Пусть   - правильная дробь, причем . Тогда можно записать:

Следствие.

Таким образом,  дроби общего вида сводятся к простейшим дробям.

8. Интегрирование тригонометрических выражений.

Для нахождения интегралов вида  ,  где   -  рациональная функция, используют универсальную тригонометрическую подстановку   .

Тогда    

.

То есть подынтегральная функция приобретает вид:

Например, возьмем интеграл  . Для этого введем новую переменную  . Тогда, как было показано выше    и  . Подставим эти значения в искомый интеграл:

Пример 6.  Взять интеграл  .

Введем аналогичную замену переменных:

Частные случаи.  

1. Интегралы вида

 .

При этом делаем замену   .  Тогда

2.  Интегралы вида           ,

где  и    натуральные числа.

Данные интегралы находятся с помощью тригонометрических формул  ,  , ,  если   и    – четные.

Если хотя бы одно из чисел   и   -  нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная:

При этом, если интеграл имеет вид   ,      

то замена переменных:  .

Если интеграл имеет вид        

то замена переменных:   .

Пример 7.  Взять интеграл  . Замена переменных  . Тогда

.

Наш интеграл примет вид:

Пример 8.  Взять интеграл  .

Преобразуем подынтегральное выражение:

Косинус внесем под знак дифференциала, подынтегральную функцию преобразуем к следующему виду:

Возведем в куб подынтегральную функцию:

Сделаем замену переменных   и проинтегрируем:

Вернемся к старой переменной:

Пример 9.  Взять интеграл  .

Преобразуем подынтегральное выражение:

Возведем в куб:

Используем правило: интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Сделаем преобразования под интегралами.

Возьмем уже "готовые" интегралы, а остальные преобразуем дальше

Сделаем дальнейшие преобразования

Взяв все интегралы, получим:

Перегруппировывая, получим:

Пример 10.  Взять интеграл   .

Преобразуем подынтегральное выражение

В первом интеграле учтем, что  

Во втором интеграле учтем, что

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

Учтем еще раз, что  

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

Далее

Окончательно

.

Используя известное тригонометрическое тождество

можно упростить взятие некоторых интегралов.

Например :   

9. Интегрирование иррациональных выражений.

1.   Интегралы  вида

Пусть   – общий знаменатель .  

Тогда эффективна замена переменных:

2.   Интегралы вида 

Пусть   – общий знаменатель .  

Тогда эффективна замена    .

Пример 11.  Взять интеграл         

Сделаем замены:

В результате чего интеграл преобразуется к виду

Подынтегральное выражение разложим на простейшие дроби

Найдем выражение для коэффициентов  , для чего правую часть полученного выражения приведем к общему знаменателю:

Дроби равны, знаменатели равны, значит должны быть равны и числители

Сгруппируем правую часть по степеням  :

Полученное уравнение эквивалентно системе уравнений

Решая эту систему, получим:

Следовательно:

Интегрируя, получим:

Возвращаясь к старым переменным, получим:

Преобразовывая, получим окончательно:

Пример 12.  Взять интеграл  .

Сделаем замену:  .  

Выразим    через  :

Найдем дифференциал  :

 

В результате чего наш интеграл примет вид:

Выполним преобразования:

Подынтегральное выражение представим в виде суммы элементарных дробей:

Аналогично предыдущему примеру, запишем выражение для определения коэффициентов  

Возведем в квадрат скобки:

Перемножим скобки 

Приведем подобные члены  

Перегруппируем по степеням    

Для определения коэффициентов    получили систему

Упростим третье уравнение

Преобразуем полученную систему

Решая ее, получим выражения для коэффициентов  

Подставим найденные значения коэффициентов   в наше уравнение

Проинтегрировав, получим:

Возвращаемся к "старой"  переменной  

Упростим получившееся выражение

.

Интегрирование рациональных функций, т.е интегрирование выражений вида:

В зависимости от конкретного вида выражения, существуют разные способы интегрирования.

1. Выделение полного квадрата     

2. Тригонометрические замены.

FVB


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29375. Основные функции сканера 34 KB
  Лексический анализ программ один из основных этапов фаз трансляции программ выделение в исходной программе элементарных единиц языка таких как идентификаторы константы ключевые слова символы операций разделители и др. Лексический анализ завершается преобразованием выделенных единиц языка в некоторую унифицированную форму обычно числовую.Часть транслятора которая выполняет лексический анализ называется сканером лексический анализатор. Лексический анализатор сканер должен распознать идентификаторы константы ключевые слова...
29376. Принципы работы сканера 95.5 KB
  Синтаксис целых констант представляется: целое ::=цифра знак цифра целое цифра знак ::= Для представления грамматики состояния целых констант диаграмма имеет вид:Вершины соответствуют состояниям автомата и определяются нетерминальными символами. Построим диаграмму состояний для автомата который распознает лексемы трех типов: целые константы десятичные константы идентификаторы идентр ::=буква идентр буква идентр цифра десятичная константа: дес.число цифра смеше число цифра смеше число ::= целое целое ::=цифра знак цифра целое цифра...
29377. Нисходящий грамматический разбор с возвратами 83 KB
  Суть данного метода можно представить в виде следующей последовательности шагов выполнение которых повторяется в процессе чтения входной цепи символов. Если активная вершина помечена а T то сравнить его с очередным символом входной цепочки. Сравниваемые символы совпали тогда сделать активной вершиной дерева лист правее а и перейти к следующим символам входной цепочки. Символы не совпали то выполним возврат к предыдущему уровню дерева разбора и соответствующему символу входной цепочки.
29378. Грамматический разбор методом операторного предшествования 68.5 KB
  Метод операторного предшествованияДанный метод относится к классу восходящих методов синтаксического анализа.Дерево разбора:Идея метода: входная цепочка символов просматривается слева направо пока не будет найдено подвыражение имеющее более высокий уровень предшествования чем соседние операторы. Для реализации метода необходимо установить отношение предшествования между всеми парами операторов грамматики.
29379. Основные функции и построение семантического анализатора программ 43 KB
  При работе семантических программ широко используется набор данных с организацией в виде стека. Операнды переписываются в выходную строку а операторы заносятся в стек. В зависимости от приоритета операторов при записи в стек оператор может вытолкнуть из стека другой оператор который последовательно записывается в выходную строку. Работа со стеком организуется так:1.
29380. Семантическое дерево как форма представления программ в языковых процессорах САПР 38 KB
  Семантическое дерево 2 польская запись 3 список тетрад. Семантическое дерево СД модифицированное дерево грамматического разбора из которого исключили вершины соответствующие нетерминальным символам.Пример: E→ET TT→TM MM→E a b cabcДерево разбора:При построении СД скобки не требуются т.
29381. Польская запись как форма представления программ в языковых процессорах САПР 24 KB
  операнды следуют в том же порядке что и в исходной записи.Пример: 1 ab инфиксная форма записи; ab польская запись постфиксная.2 abc инфиксная форма записи abc польская запись.Формально построение польской записи описывается следующим грамматическим правилом: операнд ::= константа идентификатор операнд операнд оператор оператор ::= Если должны быть учтены операторы с одним операндом то грамматическое правило должно быть расширено с учётом введения таких операторов добавляется бинарный и унарный оператор.
29382. Качества полноценного навыка чтения и пути их формирования 44 KB
  Качества полноценного навыка чтения и пути их формирования Овладение учащимися полноценным навыком чтения является важнейшим условием успешного обучения в школе по всем предметам. Навык чтения это автоматизированное умение по озвучиванию печатного текста предполагающее осознание идеи воспринимаемого произведения и выработку собственного отношения к читаемому. В методике наряду с термином навык чтения употребляется термин техника чтения. Техника чтения обозначает все три компонента процесса чтения: восприятие произнесение понимание.
29383. Этапы работы над литературным произведением в начальных классах 61 KB
  Этапы работы над литературным произведением в начальных классах Основываясь на литературоведческих закономерностях построения художественного произведения на психологии восприятия художественного произведения младшими школьниками а так же на собственно методических положениях о чтении художественного произведения в начальных классах современная методика чтения выделяет следующие этапы работы над художественным текстом: подготовка к восприятию художественного произведения первичное восприятие проверка первичного восприятия анализ...