77385

Определенный интеграл

Реферат

Математика и математический анализ

Понятие определенного интеграла. Основные свойства определенных интегралов. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Русский

2015-02-02

850.5 KB

16 чел.

PAGE  15

ОпрИнт

Определенный интеграл

Оглавление.

1. Понятие определенного интеграла.

2. Основные свойства определенных интегралов.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4.  Интегрирование подстановкой.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

6. Несобственные интегралы.

7. Вычисление  площадей плоских фигур.

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

9. Вычисление объём тела по площади поперечного сечения.

10. Вычисление объем тела вращения.

11. Приближенное вычисление определенного интеграла

1. Понятие определенного интеграла

Пусть дана функция , определенная на отрезке . Этот отрезок разобьем на  элементарных отрезков, шириной , где   - номер отрезка. В каждом из этих элементарных отрезков выберем произвольную точку . Значение функции в этой точке   умножим на длину отрезка , получим произведение  , равное площади выделенного прямоугольника (см. рисунок).

Далее составим сумму всех таких произведений (сумму всех таких прямоугольников):

Эта сумма называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Определенным интегралом от функции  на отрезке  называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначается символом  (читается: определенный интеграл от  до );   называется подынтегральной функцией,  - переменной интегрирования,  - нижним,  - верхним пределом интегрирования.

Следовательно, по определению

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми  ,    и осью  .

Теорема (существования определенного интеграла).

Если функция   непрерывна на  , то для нее существует определенный интеграл, т.е. существует предел интегральной суммы, составленный для функции   на  ,  и этот предел не зависит от способа разбиения  на элементарные части и от выбора в них точек , при условии, что   и наибольший  .

Отметим, что определенный интеграл  -  это число, в то время как неопределенный интеграл  -  это функция.

2. Основные свойства определенных интегралов

1.  .

2.   -  интеграл от конечного числа алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.

3.   -  определенный интеграл равен нулю при равенстве верхнего и нижнего пределов.

Замечание.  До сих пор мы предполагали, что    и  . Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда    и   (см. рисунок).

4.   -  при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.

5.   -постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6.   если    -  неравенство можно почленно интегрировать.

7.   -  модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Этот пункт отражает известную теорему: Модуль суммы меньше или равен суммы модулей.

\Теорема о среднем.  Если функция  интегрируема на отрезке  и для всех  выполняется неравенство  , то

3. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа  -  интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции  на отрезке , надо найти ее первообразную функцию  и взять разность  значений этой первообразной на концах отрезка .

Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный  -  это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование

Например, вычислить интеграл   .  Имеем

Или, вычислить интеграл  .  Имеем

4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция    непрерывно дифференцируема на , ,  и  непрерывна на    -  образе отрезка  при помощи функции .

Доказательство. Пусть   и    -  первообразные функции соответственно   и . Тогда справедливо тождество

где   - некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1.  Найти интеграл  .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал  :  . В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где   и    -  непрерывно дифференцируемые на  функции.

Доказательство. Произведение  имеет на   непрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например,  найти интеграл  .

Обозначим    и  .  Тогда  . Поэтому

Или, окончательно

.

Если  -  четная функция , то

Пример 2.  Найти интеграл  .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену  . В результате пределы интегрирования изменятся:    и  .  В результате получим:

Далее, если  -  нечетная функция , то

.

Если  - периодическая функция периода   - , то

.

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример 3.  Вычислить  интеграл  .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример 4. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией  .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция   характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени  , то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от  до  будет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример 5. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией  .

Решение. Имеем:

6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале  задана функция  такая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале , где , но неограниченна в окрестности точки . Тогда ее интеграл на , или, что то же самое, на  не может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от  на отрезке  и записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл    сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от  с единственной особенностью в точке , если выполняется следующее условие: если  конечная точка, то функция  интегрируема на  при любом   удовлетворяющим неравенствам  , и, кроме того, не ограничена в точке . Если же , то про функцию  предполагается лишь, что она интегрируема на  при любом конечном  .

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как

Например,  найти .  

Имеем  .

При   это выражение имеет предел  . Значит .

Или,   найти  .

Имеем   .            Этот интеграл расходится.

Пример 6.  Найти площадь бесконечной полосы    (верзьера Аньези).

.

Далее, имеем         .

Отсюда         .

Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:

.

Пример 7.      Найти .  

Данный интеграл  -  несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как

                                                  

7. Вычисление  площадей плоских фигур

а) Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции).

Зададим на отрезке  ( и  - конечные числа) неотрицательную, непрерывную функцию , график которой изображен на рисунке.

Произведем разбиение отрезка   на   - частей точками

Выберем на каждом из полученных частичных отрезков  () по произвольной точке . Определим значения функции  в этих точках и составим сумму

которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников, как показано на рисунке.

Предел, к которому стремится интегральная сумма, когда  называется определенным интегралом от функции  на отрезке

Если функция  отрицательна внутри отрезка , то интеграл по абсолютному значению равен площади, покрываемой графиком, но имеет отрицательное значение (см. рис.).

Пусть теперь   меняет знак на интервале , как показано на рисунке.

В этом случае определенный интеграл будет подсчитываться как

Например, найти площадь фигуры, ограниченной линией    в пределах интервала  ,  где  ,    (см. рисунок).  Имеем.

Это число   равно разности площадей

и

                 

б)  Параметрическое задание функции.

Пусть кривая , ограничивающая исследуемую фигуру, задана параметрически:   .  В этом случае дифференциал    будет равен:  . И, следовательно, площадь фигуры будет определяться следующим выражением:

где    .

Например, надо найти площадь эллипса. Уравнение эллипса в параметрическом виде записывается как

Действительно:   

Отсюда

Тогда четвертая часть площади эллипса (в первом квадранте) будет рассчитываться как

Отсюда площадь эллипса равна .

в) Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах) дается формулой

Действительно, согласно рисунку, площадь элементарного сектора представляет собой площадь треугольника, равную половине произведения основания на высоту

Отсюда вытекает основная формула.

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой     -   Кардиоида

Отсюда площадь кардиоиды равна .

8. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Длинна кривой линии – это предел длины вписанной в нее ломанной, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Если этот предел существует, то кривая называется спрямляемой.

Теорема. Пусть дана непрерывная, дифференцируемая на  функция . Следовательно, ее  производная тоже непрерывна, причем . Тогда длина дуги графика функции определяется выражением

Доказательство. Согласно рисунку, . Отсюда длина элементарной дуги будет равна  . Длина всей дуги будет равна

Пример 9. Найти длину окружности.

Имеем , отсюда следует, что . Найдем производную . Следовательно, длина окружности будет равна

Кривая задана параметрически.

В этом случае  . Тогда . Следовательно

И, соответственно

Пример 10.  

Найти длину дуги   

 Имеем  ,  .   

 Длина дуги будет равна

Кривая задана в полярных координатах, что представляет собой частный случай параметрического задания кривой, где параметром выступает угол .

В этом случае:      ,  .

Далее  , .

Подынтегральное выражение будет равно:

Таким образом, длина дуги в полярных координатах будет определяться выражением


Пример 11.  Вычислить длину кардиоиды .

Имеем . Тогда

9. Вычисление объёма тела по площади поперечного сечения.

Пусть нам дано тело, известные площади поперечного сечения  которого расположены перпендикулярно оси , как показано на рисунке.

Тогда элементарный объем этого тела будет равен

Соответственно полный объем этого тела будет выражаться формулой

                 

Например, найти объем конуса, высоты  и радиуса основания . Согласно рисунку запишем

Следовательно, площадь произвольного сечения будет равна

Тогда объем конуса будет равен

10. Вычисление объем тела вращения.

Формула для объема получается из предыдущей, где  .

Пример 12.  Найти объем эллипсоида с осями  , , .

Имеем уравнение эллипсоида  . Для какой-то произвольной точки  запишем

То есть в произвольном сечении  мы получили эллипс с полуосями

Площадь эллипса равна

 

Следовательно, объем эллипсоида будет равен

11. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке  функции  и при этом первообразная нам неизвестна.

Простейший способ приближенного вычисления интеграла вытекает из его определения

Эта формула называется квадратурной формулой прямоугольников, поскольку площадь фигуры под графиком функции мы разбиваем на элементарные прямоугольники.

Можно площадь фигуры разбивать не на прямоугольники, а на трапеции, образованные секущими. В этом случае приближенное значение интеграла будет рассчитываться как

PAGE  

VB                               


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28056. Закономерности, принципы и факторы размещения производительных сил 14.4 KB
  Наряду с закономерностями размещения производительных сил большое значение имеют и принципы размещения конкретные проявления пространственного распределения производства в определенный период экономического развития страны. Закономерности размещения производительных сил В условиях становления и развития рыночных отношений проявляются определенные закономерности в размещении производительных сил. Закономерности размещения производительных сил представляют наиболее общие отношения между производителъными силами и...
28057. Инвентаризация природных ресурсов: кадастры природных ресурсов, их назначение и виды 5.24 KB
  Единого кадастра природных ресурсов не существует. Она представлены по видам природных ресурсов и образуют определенную экономикоправовую структуру.его задачи: текущая и перспективная оценка состояния водных обьектов с целью планирования использования водных ресурсов на основе материалов водного кадастра определяется целевое использование вод проводится паспортизация водных объектов вводятся ограничительные меры по водопользованию с целью охраны водоисточников.
28058. Красные книги. Целевое назначение. Содержание. Порядок ведения 15.8 KB
  Категории видов занесенных в красные книги. Первая организационная задача охраны редких и находящихся под угрозой исчезновения видов их инвентаризация и учет как в глобальном масштабе так и в отдельных странах. Без этого нельзя приступать ни к теоретической разработке проблемы ни к практическим рекомендациям по спасению отдельных видов. Задача не простая и ещё 30 35 лет назад предпринимались первые попытки составить сначала региональные а затем мировые сводки редких и исчезающих видов зверей и птиц.
28059. Международное сотрудничество в области охраны окружающей среды и рационального природопользования 16.98 KB
  Проблема международного сотрудничества в области использования природы и ее охраны имеет сложный социальнополитический характер является ареной столкновения между государствами преследующими свои экономические геополитические интересы. Государства в силу принципов международного права призваны в отношении международного природного ресурса соблюдать и не ущемлять интересы других государств. В соответствии с Уставом ООН и принципами международного права государства имеют суверенное право разрабатывать свои собственные...
28060. Международный опыт создания ООПТ 6.53 KB
  К настоящему времени в Список участков всемирного наследия включены отдельные заповедные территории России Девственные леса Коми территории ПечороИлычского заповедника и национального парка Югыд Ва Вулканы Камчатки территории Кроноикого заповедника федерального заказника Южно Камчатский и областных природных парков ЮжноКамчатский Налычево и Быстринский Озеро Байкал территории трёх заповедников Баргузинского Байкальского и БайкалоЛенского национальных парков Прибайкальский Забайкальский...
28061. ООПТ назначение и классификация 19.79 KB
  Особо охраняемые природные территории ООПТ участки земли водной поверхности и воздушного пространства над ними где располагаются природные комплексы и объекты которые имеют особое природоохранное научное культурное эстетическое рекреационное и оздоровительное значение которые изъяты решениями органов государственной власти полностью или частично из хозяйственного использования и для которых установлен режим особой охраны[1]. Особо охраняемые природные территории относятся к объектам общенационального достояния. Государственные...
28062. Основные принципы, правила и методы охраны окружающей среды 7.44 KB
  основные принципы правила и методы охраны окружающей среды. Под охраной окружающей среды понимают совокупность международных государственных и региональных правовых актов инструкций и стандартов доводящих общие юридические требования до каждого конкретного загрязнителя и обеспечивающих его заинтересованность в выполнении этих требований конкретных природоохранных мероприятий по претворению в жизнь этих требований. Охрана окружающей природной среды складывается из: правовой охраны формулирующей научные экологические...
28063. Охрана и рационально использование лугов и пастбищ 4.83 KB
  На лугах и пастбищах произрастает около 60 видов растений основными из которых являются злаковые и сложноцветные до 3 всей растительной массы. видов растений человек использует всего 25 тыс. видов а в хозяйственных целях употребляется лишь 250. В лекарственных целях применяется 1500 видов и ежегодная их заготовка составляет 20 тыс.
28064. Охрана и рациональное использование земель. Меры по охране земель 10.93 KB
  Человечеству необходимо улучшать охрану природы усилить работу по сохранности сельскохозяйственных угодий борьбу с эрозией почв повысить темпы работ по рекультивации земель обеспечить их защиту от селей оползней обвалов засоления заболачивания подтопления и иссушения. Как немыслима жизнь без воздуха и воды так немыслима она и без почвы на которой произрастают растения и обитает большинство животных. Под влиянием человеческой деятельности на нашей планете ускоряется развитие неблагоприятных...