77386

Функции нескольких переменных

Реферат

Математика и математический анализ

Непрерывность функции. Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве. Частная производная сложной функции.

Русский

2015-02-02

689.5 KB

2 чел.

PAGE  15

ФНП

Функции нескольких переменных

Оглавление.

1. Основные понятия.

2. Непрерывность функции.

3. Полное приращение и полные дифференциалы.

4. Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве.

5. Частная производная сложной функции.

6. Производная по направлению. Градиент.

7. Полная производная.

8. Производные высших порядков.

9. Экстремумы функции нескольких переменных.

10. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

12. Производные неявной функции.

13. Частные производные неявной функции.

1. Основные понятия.

Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

называется открытым кругом радиуса   с центром в точке  . Любой открытый круг радиуса  с центром в точке  называется окрестностью или   - окрестностью  этой точки.

Точка  называется внутренней точкой множества  если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Точка  – граничная точка множества  если в любой ее окрестности найдутся точки принадлежащие и не принадлежащие  . Совокупность граничных точек называется границей множества. - изолированная точка множества , если в некоторой ее окрестности нет других точек множества  кроме ее самой.

Множество  называется замкнутым, если содержит все граничные точки.

Множество  называется связным, если  любые две точки множества  можно соединить непрерывной кривой лежащей в .

Область – открытое связное множество.

Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутри круга конечного радиуса, в противном случае оно неограниченное. Односвязное множество – если любую замкнутую прямую, лежащую в  , можно непрерывной деформацией стянуть в точку не покидая множества .

Рассмотрим множество  пар чисел   . При этом имеются ввиду упорядоченные пары. Если в силу некоторого закона каждой паре  приведено в соответствие число , то говорят, что этим определена на множестве  функция  от двух переменных  и .

Функцию  от двух переменных изображают в трехмерном пространстве в виде геометрического места точек, проекции которых принадлежат множеству .

Например, таким геометрическим местом для функции

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса  с центром в нулевой точке.

Также можно определить функцию трех переменных, областью определения которой служит некоторое множество упорядоченных троек чисел  .

Аналогично можно рассматривать множество  упорядоченных систем  из  чисел и т.д. В случае  в нашем распоряжении уже нет реального  - мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем. Но математики придумали такое пространство и оно им благополучно служит.

Основные сведения мы будем излагать для функции двух переменных. При этом полученные результаты легко распространить на случай большего числа переменных.

2. Непрерывность функции

Полное приращение функции двух переменных  в точке  определяется выражением:

а ее частные приращения в той же точке выражениями

где  принадлежат области определения функции.

Число  называется пределом функции  при  стремящимся к , если для любого  существует такое  , что при всех , расстояние которых до точки  меньше  , т.е.

выполняется неравенство

Функция    называется  непрерывной  в точке   если

Дадим приращение аргументу    . Это приращение   вызовет приращение функции, обусловленное приращением :

И аналогично для приращения аргумента  :

Соответственно вводятся в рассмотрение частные производные:

Или                                        

При этом частная производная от  по  берется в предположении, что . Аналогично и для частной производной по  .

Например, найдем частные производные от  . Имеем:

      

3. Полное приращение и полные дифференциалы.

Если полное приращение функции можно записать в виде , где  , то линейная часть этого уравнения  -    называется полным дифференциалом.

Действительно, предположим что функция    имеет непрерывные частные производные в окрестности точки  . Дадим приращение независимым переменным  ,  . Тогда функция получит приращение

Это приращение представим в следующем виде:

То есть мы добавили и вычли выражение   -  от этого равенство не изменится. Но теперь первые два слагаемых представляют собой приращение функции при приращении аргумента :

Согласно теореме Лагранжа о среднем, ее можно представить в виде

Вторые два слагаемых также представляют собой приращение функции, но уже при приращении аргумента :

Это приращение также можно представить в виде

Таким образом, общее приращение функции можно представить в виде

Или

Следовательно, полный дифференциал (линейная часть приращения функции) будет иметь вид

.

4. Свойства функции непрерывной на замкнутом множестве

Функция  имеет наибольшее значение на множестве    в точке   если  

Аналогично, функция  имеет наименьшее значение на    в точке   если  

Если функция  непрерывна на   то

5. Частная производная сложной функции

Пусть имеется функция  , причем   и . Требуется найти частные производные   и  .

Приращение функции  представим в виде:

С другой стороны приращение функции  при приращении  представим в виде

Следовательно

Или окончательно

Аналогично и для переменной :

Пример 1. Дана функция , где   . Найти ее частные производные.

Имеем      .  

Найдем                  и

Подставим, получим

И аналогично

6. Производная по направлению. Градиент.

Если функция  дифференцируема в точке , то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора , выражаемая формулой

где  - углы, которые вектор  составляет с осями координат   .

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в данном направлении.

Частные производные по координатам являются частным случаем производной по направлению.

Вектор

называется градиентом функции  в точке  .

Единичный вектор  направлен в сторону градиента. Направляющие косинусы градиента определяются по формулам

Градиент показывает направление максимального изменения функции.

В каждой точке пространства градиент перпендикулярен поверхности уровня.

7. Полная производная

Пусть дана функция   , зависящая от трех переменных, причем  и  . То есть в конечном итоге функция зависит от одной переменной . Найдем производную от функции по этой переменной . Причем, так как переменная одна, то производная будет не частной, а обычной, или, в противовес, полной производной. Следовательно, знак дифференциала будет не , а  .

    или      

Пример 2. Найти полную производную функции ,  причем  .

Находим:

,   

а также     .

Кроме того            .  

Отсюда

.

8. Производные высших порядков.

Дана функция   . Пусть эта функция имеет непрерывные частные производные  и  . В этом случае эти производные сами являются функциями и могут иметь производные. То есть производные от производных. Это будут уже производные второго порядка. При этом возможны следующие виды производных второго порядка.

В случае двух переменных вторая и четвертая производные равны между собой, хотя в общем случае это не всегда верно.

Например, для функции   найти частные производные второго порядка.

Находим первые производные.

Находим вторые производные

Действительно, мы видим, что смешанные производные равны друг другу    и  результат не зависит от порядка дифференцирования.

Теорема.

Дана функция   непрерывная в окрестности . Ее производные  ,   ,  ,    также непрерывны в .

Доказать:   .

Доказательство: Дадим приращения    . Введем функции

и    

.

При этом вспомогательные функции получат приращения

Из этих выражений следует, что  .

С другой стороны, согласно теореме Лагранжа о среднем, приращение функций представим в виде:

Так как равны левые части, то должны быть равными и правые

Откуда

Так как          ,   то   .

Аналогичным образом можно доказать, что    .

9. Экстремумы функции нескольких переменных.

Максимумом (минимумом) функции   в точке   называется такое ее значение , которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке   и отличных от нее.

 

Необходимое условие экстремума.

В точках экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных частные производные ее равны нулю. Если  - точка экстремума дифференцируемой функции , то

Из этой системы уравнений находятся так называемые стационарные точки. Эта система эквивалентна одному уравнению

Достаточные условия экстремума.

Пусть  - стационарная точка.

1) если

то  - максимум функции .

2) если

то  - минимум функции .

Эти условия эквивалентны следующим: пусть

и

тогда:

1) если , то функция  имеет экстремум в точке : максимум при  (или ), минимум при  (или );

2) если  то экстремума в точке  нет.

 

Пример 3.

Исследовать функцию:   на экстремумы.

Находим стационарные точки

          

Точка получилась одна:  .

Находим вторые производные:

Находим  :

Следовательно, стационарная точка   -  точка минимума.

10. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа

Если разыскивается экстремум функции многих переменных, которые связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме. При решении задачи можно пользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции  при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

где  - неопределенный постоянный множитель, и ищут ее экстремум. Необходимое условие экстремума выражается системой трех уравнений с тремя неизвестными :

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений  при условии, что   и   связаны уравнением

Функция  имеет условный максимум, если  , и условный минимум, если .

11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в данной точке  (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через указанную точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Координаты вектора нормали  к поверхности   в точке  пропорциональны значениям соответствующих частных производных функции  в этой точке:

,      ,    ,

где

, , .

Координаты вектора   входят в уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

а также в уравнение нормали к данной поверхности в той же точке

.

12. Производные неявной функции.

Уравнение вида   задает неявную функцию в окрестности точки  . В самой точке     .

Будем считать что функция   имеет непрерывные частные производные   в  окрестности точки  , т.е.   ,  и к тому же  .  

Дадим приращения независимым переменным    и   . Для новых точек также должно быть справедливым исходное уравнение, т.е.  . Приращение функции будет иметь вид

Аналогично предыдущему, приращение функции представим в виде

Это приращение функции действительно равно нулю, т.к.   и   . Разделим получившееся уравнение на :

Или

Отсюда

И, при   ,  последняя формула примет вид:

Пример. Дано уравнение эллипса   . Найти производную  .  

Согласно вышеприведенной формуле,

13. Частные производные неявной функции

Дана функция в неявном виде  . В принципе ее можно разрешить относительно  , т.е. получить уравнение вида  . Необходимо получить выражение для частных производных  .

По определению    и   .

Пример. Дано   .  Найти   

Перепишем исходное уравнение в виде     .

При этом

   .

FVB


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67536. Амплитудное и фазовое управление двухфазным асинхронным двигателем с полым ротором. Следящий электропривод переменного тока с сельсинами 229 KB
  Одна из фаз называется обмоткой возбуждения а другая – обмоткой управления. Если на обмотки возбуждения и управления подать напряжения сдвинутые по фазе на угол π 2 например то получается магнитное поле вращающееся с синхронной частотой ω1. При уменьшении напряжения управления магнитное...
67537. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ СИЛОВОГО КАНАЛА ЭЛЕКТРОПРИВОДА 300.5 KB
  На рис. 13.3 показана тележка, на которую действует сжатая пружина с силой F = cx, где с – коэффициент жесткости пружины; x – величина ее деформации. Сила направлена вправо независимо от направления движения – влево или вправо. Действие пружины обусловлено ее потенциальной энергией упругой деформации.
67538. Функции передаточного устройства. Характеристики агрегата «двигатель-редуктор». Выбор мощности двигателя по типовому движению 213 KB
  Третьей функцией передаточного устройства является изменение скорости вращения и момента для согласования характеристик двигателя и исполнительного механизма. Масса объем мощность потерь и стоимость электродвигателя определяются его моментом М2 а мощность на валу дается формулой P2 = M2 ω.
67539. Электропривод с упругими связями. Уравнения трехмассовой системы и колебания в двухмассовой системе. Люфт в механической передаче. Удары и выход из контакта. Механическая передача с упругими связями 247.5 KB
  Рассмотрим упругий стержень, к концам которого приложены моменты М1, М2 (см. рис. 15.1). Концы имеют углы поворота α1 и α2, коэффициент жесткости стержня с12 . Если не учитывать момент инерции стержня, то из условия равновесия моментов получаем равенства...
67540. Установившиеся и переходные процессы в электроприводах. Система уравнений динамики двигателя постоянного тока независимого возбуждения 72.5 KB
  Система уравнений динамики двигателя постоянного тока независимого возбуждения Переходные процессы в электрических приводах. Примеры установившихся процессов для тока На рис.1 приведены примеры установившихся процессов для электрического тока постоянный ток переменный синусоидальный...
67541. Электромеханический и электромагнитный переходные процессы в двигателе постоянного тока независимого возбуждения. Электромеханический переходной процесс 140.5 KB
  Через время Тэм экспонента уменьшается в е = 2,71828 раз. За время 2Тэм она уменьшится в е2 раз. Через время 3Тэм экспонента уменьшается приближенно в 20 раз, тогда считают, что переходной процесс заканчивается (остается 5 % от первоначального значения экспоненты).
67542. Совместное протекание электромагнитного и электромеханического переходных процессов в двигателе постоянного тока независимого возбуждения 163 KB
  Апериодический и колебательный процессы Совместное протекание электромагнитного и электромеханического переходных процессов в двигателе постоянного тока независимого возбуждения. Допустим что в двигателе постоянного тока независимого возбуждения uв = const; Ф = const но индуктивность якоря...
67543. Метод последовательных интервалов. Включение обмотки возбуждения. Пуск двигателя постоянного тока последовательного возбуждения и трехфазного асинхронного двигателя. Метод последовательных интервалов 143 KB
  Для решения нелинейных дифференциальных уравнений на ЭВМ в настоящее время применяются эффективные численные методы. Включение обмотки возбуждения Рассмотрим переходный процесс при включения обмотки возбуждения двигателя постоянного тока на постоянное напряжение.
67544. Качания ротора синхронного двигателя. Уравнения электромагнита постоянного тока. Качания ротора синхронного двигателя 339.5 KB
  Качания ротора синхронного двигателя. При работе синхронной электрической машины подключенной к сети бесконечной мощности возможны качания ротора. При отклонении продольной оси ротора-индуктора от оси МДС возникает момент который стремится вернуть ротор в нейтральное положение.