78375

Лінійні підпростори

Лекция

Математика и математический анализ

Познайомити з поняттям лінійної оболонки; познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів; навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору. Лінійні оболонки. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Украинкский

2017-02-21

492.5 KB

1 чел.

Лекції 8,9.

Тема.Лінійні підпростори.

Мета вивчання:

  • познайомити з поняттям лінійної оболонки;
  • познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів;
  • навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору.

План.

  1. Лінійні оболонки.
  2. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору.
  3. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Література.[3], стор.201-206.

Зміст лекції.

1.НехайL - деякий лінійний простір над полемP. Всяка його підмножина, що є, у свою чергу, простором над тим самим полемPназиваєтьсяпідпростором простору L.

НехайL -n-вимірний простір над полемP. Виділимо в ньому довільну систему векторів: . Якщо з поляP вибрати довільний набір чисел , то, як відомо, вираз виду  називаєтьсялінійною комбінацією векторів а числа  - коефіцієнтами цієї лінійної комбінації. Для орієнтованого набору векторів  і орієнтованого набору чисел ізP  можна побудувати єдиний вектор, що є лінійною комбінацією зазначених векторів з зазначеними коефіцієнтами лінійної комбінації.

Дозволимо тепер числам  приймати які завгодно значення, тоді одержимо нескінчену множину векторів виду . Така сукупність векторів називаєтьсялінійною оболонкою векторів, аболінійною оболонкою, натягнутою на систему векторів. Лінійну оболонку системи векторівпозначають: .

Теорема.Лінійна оболонка довільної системи векторів будь-якого лінійного простору L над полем P є його підпростором.

# Очевидно, що лінійна оболонка векторів  є многочленом, замкненим як щодо додавання, так і множення на число з поляP. При цьому аксіоми I, ІІ, ІІІ з означення лінійного простору виконується. Якщо лінійна оболонкаLзамкнена, то  , . Якщо =0, то 0. Якщо  , то  =. В такому випадку лінійна оболонкаL є лінійним простором і підмножиною просторуL, значить це - підпростір просторуL. Якщо ми зіставимо  і  , то виявиться, що .

Розглянемо лінійну оболонку L( ). Може виявитися, що вектор  лінійно виражається через інші, значить  можна записати як лінійну комбінацію інших векторів: . Аналогічно, може виявитися, що - лінійна комбінація, тоді одержимо, що . Таким чином, число векторів може бути зменшене за рахунок тих, що є лінійними комбінаціями інших і можна прийти до лінійної оболонки, що визначена або одним ненульовим вектором, або лінійно незалежною системою, що складається з більш ніж одного вектора.

Приклад 1. Описати лінійну оболонку системи векторів арифметичного простору , якщо вектори, що визначають цю оболонку мають вигляд:

Розв’язування.

Лінійна оболонка, що натягнута на дану систему векторів має вигляд:

, де  - числа, що «пробігають» усю множинуR.

.

Отже, лінійна оболонка векторів, що натягнута на дану систему векторів є нескінченна множина векторів .

Приклад 2. Описати лінійну оболонку системи многочленів:

ƒ,

ƒ,

ƒ

над полем R.

Розв’язування. Лінійна оболонка, що натягнута на цю систему векторів є сукупність векторів виду: = . Це - сукупність многочленів степеня не вище 2 із включенням нуль - многочлена.

У будь-якому лінійному просторі міститься нескінченна множина інших лінійних просторів, що є лінійними оболонками, натягнутими на систему векторів цього лінійного простору. Виняток складає лише один лінійний простір {}. У ньому довільна лінійна оболонка збігається із самим простором.

2.Вище давалося означення лінійного підпростору даного лінійного простору. ЯкщоL - лінійний простір над полемP іL1 є його підмножиною, то для того, щоб переконатися в тому, щоL є підпростором просторуL, необхідно переконається в тому, що :

, , і . Відзначимо, що це є і достатньою умовою, таким чином, аксіоми I, II, III виконуються для усіх векторів ізL, зокрема, для тих, що належать лінійному підпростору . Аксіоми I і I також виконуються (це випливає з замкнутості  щодо додавання і множення на число).

Приклади лінійних підпросторів.

  1. {} іL підпросториL.

2. Будь-яка лінійна оболонка системи векторів даного лінійного простору є його підпростором.

3. Розглядаючи СЛОР зn невідомими таку, що  ми одержали нескінченну сукупністьn-вимірних векторів, замкнутих щодо операцій додавання і множення на число. Ця сукупність усіх розв’язків утворює лінійний простір. Ф.С.Р., що є його підпростором складається з тих і тільки тих векторів, які лінійно незалежні і за допомогою яких визначається будь-який розв’язок. Розмір цього простору розв’язків дорівнює(n-r).

За допомогою підпростору даного лінійного простору можна побудувати нескінчену множину інших його підпросторів. Якщо  і  - підпростори просторуL, то:

  1. Перетинанням  і  ( ) називається сукупність тих, і тільки тих векторів ізL, що належать одночасно як , так і .
  2. Сумоюдвох підпросторів просторуL () називається сукупність тих і тільки тих векторів, що можуть бути подані у вигляді: , де , .

3.Нехай розглядається множина усіх квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами над полемR. Вона має розмірn .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсясиметричною, якщо   .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсякососиметричною, якщо   , якщо , то , тобто всі елементи головної діагоналі кососиметричної матриці рівні 0.

Нехай  і  - симетричні матриціn-го порядку, тоді  і   - симетричні матриці, тобто ця підмножина замкнута щодо додавання і множення на число.

Підмножина множини усіх симетричних матрицьn-го порядку з дійсними елементами є підпростором простору матрицьn-го порядку  з дійсними елементами. Аналогічно, якщо  і  - кососиметричні матриці, то їх сума і добуток на число є кососиметричними матрицями. Тобто сукупність усіх кососиметричних матриць з дійсними елементами є підпростором простору квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами.

Позначимо  - підпростір симетричних матрицьn-го порядку,  - підпростір кососиметричних матрицьn-го порядку. З'ясуємо розмірність кожного з цих підпросторів.

Розглянемо підпростір :

 ,    ,  ,

.

Можна показати, що . Аналогічно можна показати, що .

Візьмемо матрицю . Покажемо, що її можна подати у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць: .

Покажемо, що вони визначаються однозначно. Виконаємо додавання матриць і зіставимо результати:

Тобто будь-яка матриця третього порядку може бути подана у вигляді суми двох матриць:

=

Якщо розглянути будь-яку матрицю простору , то її можна подати (однозначно) у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць, тобто  така сума називаєтьсяпрямою і позначається: . При цьому, , ,

Нехай  і , було визначено ,  - як сукупність векторів , де , .

Доведемо, щокожна із побудованих таким чином множин, у свою чергу, є лінійним простором - підпростором простору L.

# , . Переконаємося в тому, що кожна з цих побудованих підмножин лінійного просторуL містить і суму будь-яких своїх елементів і добуток будь-якого елемента на будь-яке число з поляP(у даному випадкуR).

  1. Доведемо для першого випадку.

Нехай  і  - два довільні вектори з , тоді , .

, , ,  і , але  - лінійний підпростір просторуL, отже усяка лінійна комбінація векторів належить , тобто .

Аналогічно,  і , тому що  - підпростір просторуL(замкнений щодо додавання і множення), то  , таким чином .

  1. Доведемо, що  - підпростір простору .

Розглянемо вектори  і , кожний із який із яких належить . За означенням суми: , де , , , де , .

Розглянемо довільну лінійну комбінацію:  (де  та довільні числа) =(, значить і , аналогічно з ) =

+ Отже, уся сума належить .

Теорема.Якщо  і  - підпростори лінійного простору , то

.

# Нехай . Іншими словами базис  складається з  векторів, базис  - із  векторів. Виділимо довільний базис перетинання . Нехай - базис. Кількість цих векторів () відмінна від кількості . Доповнимо вектори  векторами , тоді  і вся ця сукупність дасть базис . Аналогічно, поповнимо вектори  векторами  так, щоб - базис . Таким чином,

m + (k+m+p) = (k+m) + (m+p).

Якщо покажемо, що , то теорему буде доведено.

Розглянемо систему, що складається з  векторів:

.(1)

Кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів

.(2)

Аналогічно, кожний вектор  подамо у виді лінійної комбінації векторів

. (3)

Таким чином, (2) є базисом , значить кожний вектор  може бути поданий у виді лінійної комбінації векторів системи (1), аналогічно, система векторів (3) - базис  кожний вектор  подамо у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1), а тому кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Отже, кожний вектор  і , а тому і кожний вектор  може бути поданий у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Покажемо, що вектори системи (1) є лінійно незалежними, цим доведемо що система (1) є базисною для суми . Побудуємо лінійну комбінацію, дорівняємо її до θ і з'ясуємо коли це можливо.

(4)

позначимо , тоді з рівності (4) випливає, що . З одержаної рівності випливає, що  (тобто з одного боку, , а з іншого ) звідси , тому цей вектор однозначно поданий у вигляді лінійної комбінації векторів базису цієї системи, тобто . Таким чином,  поданий двома способами. З одного боку - це лінійна комбінація векторів  з іншого боку - векторів . Зіставляючи ці результати, дійдемо висновку, що

або

.

Таким чином, система векторів (3) - базисна в , та одержана рівність можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти останньої лінійної комбінації рівні нулю, зокрема, . Тоді рівність (4) набуває вигляду:

.

Лінійна комбінація, що стоїть в лівій частині є базис . Система (2) - базисна в . Отже, ця рівність можлива тоді, коли . Таким чином, рівність (4) можлива тоді, коли рівні 0 усі коефіцієнти лінійної комбінації.

Висновок. Система векторів  лінійно незалежна і будь-який вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, отже

,

але тому що

,

то ми маємо:

.

Зауваження. У випадку, якщо сума  є прямою, перетинання цих просторів  складається з одного елемента {θ}. У цьому випадку  і аналітичний вираз доведеної теореми набуває вигляду:

.

Приклад. Нехай - вимірний простір геометричних векторів,  і  - його підпростори (тобто площини), тоді

а) Нехай ці площини перетинаються по прямій, тобто , тоді очевидно, що , тобто .

Нехай ці площини збігаються, тоді розмір перетинання дорівнює 2,

.

Приклад. Побудувати базис суми лінійних підпросторів, натягнутих на системи векторів:

і

.

. Побудуємо базис суми цих двох лінійних оболонок.

(базисних векторів - 2, нехай - )

(базисних векторів - 2, нехай )

. Базисом може бути система  або

або .

Користуючись рівністю:

можемо знайти розмір перетинання: , тобто базис складається з одного вектора. Знайдемо його перетинання: . Воно складається з тих і тільки тих векторів, кожний із який належить як одній, так і другій лінійній оболонці. При виборі векторів  кожний вектор, що належить  має вигляд: , а при виборі векторів  кожний вектор  має вигляд: , тобто

Ця система має нескінчену множину розв’язків. Нехай  - головні невідомі, тоді

Надаючи  будь-яке, не рівне 0 значення, одержимо .

Той вектор, який належить перетинанню, має вигляд:

або

Відповідь. Базис перетинання складається з вектора .

Питання для самостійної роботи.

Виконання розрахунково-графічної роботи на тему: “Лінійні простори”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42850. Розробка бізнес-плану діяльності підприємства 228.87 KB
  Організаційний план, планування показників по праці. Розраховані такі показники: середня тривалість щорічної відпустки, баланс робочого часу одного середньооблікового робітника, планова тривалість робочої зміни, корисний фонд робочого часу одного виробничого робітника на плановий рік, чисельність робітників на нормованих роботах та загальну чисельність працівників
42851. Розрахунок та оптиматизація характеристик системи електрозв’язку 117.29 KB
  1Перетворення аналогового сигналу в сигнал ІКМ5 2.3 Кодування сигналу та розробка коректую чого кодуза варіантом.4 Опис маніпуляції сигналу. В таблиці застосовані наступні позначення: Рс потужність сигналу Вт; Рс Рш.
42852. ДИЗАЙН: ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І СТИЛІ ІНТЕР'ЄРУ. КЛАСИЧНИЙ СТИЛЬ ДИЗАЙНУ В ІНТЕРЄРІ 55.75 KB
  Дизайн виник на початку 20 ст. як реакція на стихійне формування візуальних і функціональних властивостей предметного середовища. Дизайн розробляє зразки її раціональної побудови, відповідні складного функціонуванню сучасного суспільства. Іноді під дизайном розуміють лише одну з його областей - проектування естетичних властивостей промислових виробів. Дизайн, однак, вирішує більш широкі соціально-технічні проблеми - функціонування виробництва, споживання, існування людей в предметній середовищі.
42853. Організація перевезень вантажів у змішаному сполученні 281.5 KB
  Одним з головних факторів, визначаючим ефективність перевізного процесу та умов функціонування обслуговуючим автомобільним транспортом підприємств, є партіонність перевезень. На сьогоднішній день перевезення дрібнопартіонних вантажів займає важливу роль у транспортному процесі. Цей вид перевезень набув популярності серед доставки товарів широкого вжитку (продуктів харчування, промислових товарів та ін.) на короткі відстані (мережа торгових кіосків, магазинів, супермаркетів міста).
42854. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ РАСХОДЫ И ИХ РОЛЬ В РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ СЕКТОРА ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ 895.5 KB
  В любом государстве существуют и решаются проблемы, ради которых и существует государство. В гражданском, демократическом обществе предполагается, что государство призвано осуществлять функции, порученные ему его гражданами. Содержание общественных (государственных и муниципальных) расходов непосредственно связано с функциями федеральных
42856. Интерфейс программирования приложений (АРІ). Серверное программное обеспечение 390.35 KB
  Server от англ. В состав названного пакета входят следующие компоненты: Windows NT Server – сетевая операционная система; System Mngement Server – система администрирования сети; SQL Server – сервер управления базами данных; SN Server – сервер для соединения с хосткомпьютерами; Exchnge Server – сервер системы электронной почты; Internet Informtion Server – сервер для работы с Internet. Windows NT 2000 Server способна обеспечить совместное использование файлов печатающих устройств предоставить услуги по соединению с рабочими...
42857. Веб-браузер. Понятие «Браузерный движок» 1.06 MB
  Так как данная курсовая работа является частью большого информационного проекта мне была дана задача изучить и описать некоторые моменты создания портала которые нужны для обеспечения полноценной работы проекта позволяющего нашим студентам и не только студентам полностью узнать нужную им информацию не отходя от своего персонального компьютера. Данная работа являет собой больше теоретическую основу для создания и полноценной работы нашего портала так как никаких практических...
42858. НОВІ ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ В ОСВІТІ 379.97 KB
  Однією з найважливіших сфер розвитку євроінтеграції є галузь вищої освіти, де вона набула форм болонського процесу. На сьогодні 46 європейських країн, включно з Україною, є його учасниками. Крім того, значна кількість міжнародних організації підтримують ідеї процесу та сприяють його реалізації.