78375

Лінійні підпростори

Лекция

Математика и математический анализ

Познайомити з поняттям лінійної оболонки; познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів; навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору. Лінійні оболонки. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Украинкский

2017-02-21

492.5 KB

1 чел.

Лекції 8,9.

Тема.Лінійні підпростори.

Мета вивчання:

  • познайомити з поняттям лінійної оболонки;
  • познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів;
  • навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору.

План.

  1. Лінійні оболонки.
  2. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору.
  3. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Література.[3], стор.201-206.

Зміст лекції.

1.НехайL - деякий лінійний простір над полемP. Всяка його підмножина, що є, у свою чергу, простором над тим самим полемPназиваєтьсяпідпростором простору L.

НехайL -n-вимірний простір над полемP. Виділимо в ньому довільну систему векторів: . Якщо з поляP вибрати довільний набір чисел , то, як відомо, вираз виду  називаєтьсялінійною комбінацією векторів а числа  - коефіцієнтами цієї лінійної комбінації. Для орієнтованого набору векторів  і орієнтованого набору чисел ізP  можна побудувати єдиний вектор, що є лінійною комбінацією зазначених векторів з зазначеними коефіцієнтами лінійної комбінації.

Дозволимо тепер числам  приймати які завгодно значення, тоді одержимо нескінчену множину векторів виду . Така сукупність векторів називаєтьсялінійною оболонкою векторів, аболінійною оболонкою, натягнутою на систему векторів. Лінійну оболонку системи векторівпозначають: .

Теорема.Лінійна оболонка довільної системи векторів будь-якого лінійного простору L над полем P є його підпростором.

# Очевидно, що лінійна оболонка векторів  є многочленом, замкненим як щодо додавання, так і множення на число з поляP. При цьому аксіоми I, ІІ, ІІІ з означення лінійного простору виконується. Якщо лінійна оболонкаLзамкнена, то  , . Якщо =0, то 0. Якщо  , то  =. В такому випадку лінійна оболонкаL є лінійним простором і підмножиною просторуL, значить це - підпростір просторуL. Якщо ми зіставимо  і  , то виявиться, що .

Розглянемо лінійну оболонку L( ). Може виявитися, що вектор  лінійно виражається через інші, значить  можна записати як лінійну комбінацію інших векторів: . Аналогічно, може виявитися, що - лінійна комбінація, тоді одержимо, що . Таким чином, число векторів може бути зменшене за рахунок тих, що є лінійними комбінаціями інших і можна прийти до лінійної оболонки, що визначена або одним ненульовим вектором, або лінійно незалежною системою, що складається з більш ніж одного вектора.

Приклад 1. Описати лінійну оболонку системи векторів арифметичного простору , якщо вектори, що визначають цю оболонку мають вигляд:

Розв’язування.

Лінійна оболонка, що натягнута на дану систему векторів має вигляд:

, де  - числа, що «пробігають» усю множинуR.

.

Отже, лінійна оболонка векторів, що натягнута на дану систему векторів є нескінченна множина векторів .

Приклад 2. Описати лінійну оболонку системи многочленів:

ƒ,

ƒ,

ƒ

над полем R.

Розв’язування. Лінійна оболонка, що натягнута на цю систему векторів є сукупність векторів виду: = . Це - сукупність многочленів степеня не вище 2 із включенням нуль - многочлена.

У будь-якому лінійному просторі міститься нескінченна множина інших лінійних просторів, що є лінійними оболонками, натягнутими на систему векторів цього лінійного простору. Виняток складає лише один лінійний простір {}. У ньому довільна лінійна оболонка збігається із самим простором.

2.Вище давалося означення лінійного підпростору даного лінійного простору. ЯкщоL - лінійний простір над полемP іL1 є його підмножиною, то для того, щоб переконатися в тому, щоL є підпростором просторуL, необхідно переконається в тому, що :

, , і . Відзначимо, що це є і достатньою умовою, таким чином, аксіоми I, II, III виконуються для усіх векторів ізL, зокрема, для тих, що належать лінійному підпростору . Аксіоми I і I також виконуються (це випливає з замкнутості  щодо додавання і множення на число).

Приклади лінійних підпросторів.

  1. {} іL підпросториL.

2. Будь-яка лінійна оболонка системи векторів даного лінійного простору є його підпростором.

3. Розглядаючи СЛОР зn невідомими таку, що  ми одержали нескінченну сукупністьn-вимірних векторів, замкнутих щодо операцій додавання і множення на число. Ця сукупність усіх розв’язків утворює лінійний простір. Ф.С.Р., що є його підпростором складається з тих і тільки тих векторів, які лінійно незалежні і за допомогою яких визначається будь-який розв’язок. Розмір цього простору розв’язків дорівнює(n-r).

За допомогою підпростору даного лінійного простору можна побудувати нескінчену множину інших його підпросторів. Якщо  і  - підпростори просторуL, то:

  1. Перетинанням  і  ( ) називається сукупність тих, і тільки тих векторів ізL, що належать одночасно як , так і .
  2. Сумоюдвох підпросторів просторуL () називається сукупність тих і тільки тих векторів, що можуть бути подані у вигляді: , де , .

3.Нехай розглядається множина усіх квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами над полемR. Вона має розмірn .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсясиметричною, якщо   .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсякососиметричною, якщо   , якщо , то , тобто всі елементи головної діагоналі кососиметричної матриці рівні 0.

Нехай  і  - симетричні матриціn-го порядку, тоді  і   - симетричні матриці, тобто ця підмножина замкнута щодо додавання і множення на число.

Підмножина множини усіх симетричних матрицьn-го порядку з дійсними елементами є підпростором простору матрицьn-го порядку  з дійсними елементами. Аналогічно, якщо  і  - кососиметричні матриці, то їх сума і добуток на число є кососиметричними матрицями. Тобто сукупність усіх кососиметричних матриць з дійсними елементами є підпростором простору квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами.

Позначимо  - підпростір симетричних матрицьn-го порядку,  - підпростір кососиметричних матрицьn-го порядку. З'ясуємо розмірність кожного з цих підпросторів.

Розглянемо підпростір :

 ,    ,  ,

.

Можна показати, що . Аналогічно можна показати, що .

Візьмемо матрицю . Покажемо, що її можна подати у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць: .

Покажемо, що вони визначаються однозначно. Виконаємо додавання матриць і зіставимо результати:

Тобто будь-яка матриця третього порядку може бути подана у вигляді суми двох матриць:

=

Якщо розглянути будь-яку матрицю простору , то її можна подати (однозначно) у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць, тобто  така сума називаєтьсяпрямою і позначається: . При цьому, , ,

Нехай  і , було визначено ,  - як сукупність векторів , де , .

Доведемо, щокожна із побудованих таким чином множин, у свою чергу, є лінійним простором - підпростором простору L.

# , . Переконаємося в тому, що кожна з цих побудованих підмножин лінійного просторуL містить і суму будь-яких своїх елементів і добуток будь-якого елемента на будь-яке число з поляP(у даному випадкуR).

  1. Доведемо для першого випадку.

Нехай  і  - два довільні вектори з , тоді , .

, , ,  і , але  - лінійний підпростір просторуL, отже усяка лінійна комбінація векторів належить , тобто .

Аналогічно,  і , тому що  - підпростір просторуL(замкнений щодо додавання і множення), то  , таким чином .

  1. Доведемо, що  - підпростір простору .

Розглянемо вектори  і , кожний із який із яких належить . За означенням суми: , де , , , де , .

Розглянемо довільну лінійну комбінацію:  (де  та довільні числа) =(, значить і , аналогічно з ) =

+ Отже, уся сума належить .

Теорема.Якщо  і  - підпростори лінійного простору , то

.

# Нехай . Іншими словами базис  складається з  векторів, базис  - із  векторів. Виділимо довільний базис перетинання . Нехай - базис. Кількість цих векторів () відмінна від кількості . Доповнимо вектори  векторами , тоді  і вся ця сукупність дасть базис . Аналогічно, поповнимо вектори  векторами  так, щоб - базис . Таким чином,

m + (k+m+p) = (k+m) + (m+p).

Якщо покажемо, що , то теорему буде доведено.

Розглянемо систему, що складається з  векторів:

.(1)

Кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів

.(2)

Аналогічно, кожний вектор  подамо у виді лінійної комбінації векторів

. (3)

Таким чином, (2) є базисом , значить кожний вектор  може бути поданий у виді лінійної комбінації векторів системи (1), аналогічно, система векторів (3) - базис  кожний вектор  подамо у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1), а тому кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Отже, кожний вектор  і , а тому і кожний вектор  може бути поданий у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Покажемо, що вектори системи (1) є лінійно незалежними, цим доведемо що система (1) є базисною для суми . Побудуємо лінійну комбінацію, дорівняємо її до θ і з'ясуємо коли це можливо.

(4)

позначимо , тоді з рівності (4) випливає, що . З одержаної рівності випливає, що  (тобто з одного боку, , а з іншого ) звідси , тому цей вектор однозначно поданий у вигляді лінійної комбінації векторів базису цієї системи, тобто . Таким чином,  поданий двома способами. З одного боку - це лінійна комбінація векторів  з іншого боку - векторів . Зіставляючи ці результати, дійдемо висновку, що

або

.

Таким чином, система векторів (3) - базисна в , та одержана рівність можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти останньої лінійної комбінації рівні нулю, зокрема, . Тоді рівність (4) набуває вигляду:

.

Лінійна комбінація, що стоїть в лівій частині є базис . Система (2) - базисна в . Отже, ця рівність можлива тоді, коли . Таким чином, рівність (4) можлива тоді, коли рівні 0 усі коефіцієнти лінійної комбінації.

Висновок. Система векторів  лінійно незалежна і будь-який вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, отже

,

але тому що

,

то ми маємо:

.

Зауваження. У випадку, якщо сума  є прямою, перетинання цих просторів  складається з одного елемента {θ}. У цьому випадку  і аналітичний вираз доведеної теореми набуває вигляду:

.

Приклад. Нехай - вимірний простір геометричних векторів,  і  - його підпростори (тобто площини), тоді

а) Нехай ці площини перетинаються по прямій, тобто , тоді очевидно, що , тобто .

Нехай ці площини збігаються, тоді розмір перетинання дорівнює 2,

.

Приклад. Побудувати базис суми лінійних підпросторів, натягнутих на системи векторів:

і

.

. Побудуємо базис суми цих двох лінійних оболонок.

(базисних векторів - 2, нехай - )

(базисних векторів - 2, нехай )

. Базисом може бути система  або

або .

Користуючись рівністю:

можемо знайти розмір перетинання: , тобто базис складається з одного вектора. Знайдемо його перетинання: . Воно складається з тих і тільки тих векторів, кожний із який належить як одній, так і другій лінійній оболонці. При виборі векторів  кожний вектор, що належить  має вигляд: , а при виборі векторів  кожний вектор  має вигляд: , тобто

Ця система має нескінчену множину розв’язків. Нехай  - головні невідомі, тоді

Надаючи  будь-яке, не рівне 0 значення, одержимо .

Той вектор, який належить перетинанню, має вигляд:

або

Відповідь. Базис перетинання складається з вектора .

Питання для самостійної роботи.

Виконання розрахунково-графічної роботи на тему: “Лінійні простори”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77745. КРЕАТИВНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СОВРЕМЕННОГО МЕНЕДЖЕРА 72.5 KB
  Образование: определяет уровень развития способностей корректирует и формирует индивидуальность специалиста. Креативное образование образование ориентированное на развитие творческих способностей человека на закрепление в его профессиональном сознании установки на инновации включающее анализ проблем и вариантов деятельности. Это образование мотивирующее самостоятельное осмысление действительности самопознание индивидуальности превращения знаний в потенциал мышления и саморазвития.
77746. ПРОГРАММА И ПЛAH ИССЛЕДОВАНИЯ 37 KB
  Она должна содержать: обоснование предмета исследования важность и актуальность проблемы общее содержание исследуемой проблемы роль ее относительно других проблем необходимые условия для успешного решения проблемы финансирование кадровое обеспечение организационные условия временные ограничения и пр. Программа как правило состоит из следующих разделов: Цель проведения исследований Содержание проблемы ее актуальность и важность Парадигма и рабочая гипотеза решения проблемы в процессе исследования Обеспечение исследования...
77747. ФОРМЫ И ФАКТОРЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ 65.5 KB
  Организация исследования определяет дифференциацию и интеграцию деятельности исследователей или исследовательских групп. В ней находят свое отражение распределение и комбинация ресурсов по времени видам работ кадрам проблемам Формы организации исследования Увеличение нагрузки персонала дополнительными обязанностями исследовательской работы. Такие исследования возможны если: у персонала управления есть резервы времени; его исследовательский потенциал достаточно высок.
77748. ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ РОЛЬ В НАУЧНОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА 49.5 KB
  Исследования как бы проникают в повседневную практику. Исследования это задача только научных работников. Исследования позволяют увидеть: где находятся резервы; что мешает развитию; чего надо опасаться; что надо поддерживать и т.
77749. МЕНЕДЖЕР ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ТИПА 31.5 KB
  Проблемное видение мира способность распознавать проблемы там где для других все ясно. Экспрезентность способность делать верные и удачные заключения при дефиците информации. Способность к имитации функций различных членов коллектива. Инновационность и безынерционность мышления способность выйти за границы формального привычного проверенного традиционного.
77750. РОЛЬ МЕТОДОЛОГИИ В ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 64 KB
  Методология это логическая организация деятельности человека состоящая в определении цели и предмета исследования подходов и ориентиров в его проведении выборе средств и методов определяющих наилучший результат. Цель исследования заключается в поиске наиболее эффективных вариантов построения системы управления и организации ее функционирования и развития. На практике проведение исследования преследует разные цели например: мониторинг качества управления формирование атмосферы творчества и инноваций в...
77751. ПРАКТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДИАЛЕКТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ УПРАВЛЕНИЯ 31.5 KB
  Подходы к исследованию: Механистический подход признающий только причинноследственные связи явлений; Метафизический подход который отдает приоритет связям движения но движения в виде превращения одного движения в другое с последующим возвращением к исходному; Организмический подход акцентирующий те связи которые действуют в живых организмах это главным образом связи функциональные; Диалектический подход основанный на связях рождаемых противоречием. Аспектный подход. Многоаспектный подход.
77752. ОБЩЕНАУЧНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 81.5 KB
  Но успех исследования в значительной мере зависит от того каким образом по каким критериям мы выбираем методы для проведения конкретного исследования и в какой комбинации мы используем эти методы. Всю совокупность методов исследования можно разделить на две группы: Эмпирические методы построены на осмыслении практической деятельности сути и особенностей событий и ситуаций. Методы наблюдений исследования с минимальным вмешательством в исследуемые события и ситуации.
77753. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД В ИСУ 36.5 KB
  Система управления совокупность звеньев и связей между ними осуществляющих управление. Звенья системы управления выделяются: по специфике объему и масштабу полномочий трудоемкости работы равномерности распределения нагрузки квалификационным требованиям к персоналу информационному обеспечению возможностям территориального размещения сотрудников. Звенья составляющие систему управления отличаются главным образом комбинацией функций и полномочий управления. Звенья системы управления...