78375

Лінійні підпростори

Лекция

Математика и математический анализ

Познайомити з поняттям лінійної оболонки; познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів; навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору. Лінійні оболонки. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Украинкский

2017-02-21

492.5 KB

1 чел.

Лекції 8,9.

Тема.Лінійні підпростори.

Мета вивчання:

  • познайомити з поняттям лінійної оболонки;
  • познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів;
  • навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору.

План.

  1. Лінійні оболонки.
  2. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору.
  3. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.

Література.[3], стор.201-206.

Зміст лекції.

1.НехайL - деякий лінійний простір над полемP. Всяка його підмножина, що є, у свою чергу, простором над тим самим полемPназиваєтьсяпідпростором простору L.

НехайL -n-вимірний простір над полемP. Виділимо в ньому довільну систему векторів: . Якщо з поляP вибрати довільний набір чисел , то, як відомо, вираз виду  називаєтьсялінійною комбінацією векторів а числа  - коефіцієнтами цієї лінійної комбінації. Для орієнтованого набору векторів  і орієнтованого набору чисел ізP  можна побудувати єдиний вектор, що є лінійною комбінацією зазначених векторів з зазначеними коефіцієнтами лінійної комбінації.

Дозволимо тепер числам  приймати які завгодно значення, тоді одержимо нескінчену множину векторів виду . Така сукупність векторів називаєтьсялінійною оболонкою векторів, аболінійною оболонкою, натягнутою на систему векторів. Лінійну оболонку системи векторівпозначають: .

Теорема.Лінійна оболонка довільної системи векторів будь-якого лінійного простору L над полем P є його підпростором.

# Очевидно, що лінійна оболонка векторів  є многочленом, замкненим як щодо додавання, так і множення на число з поляP. При цьому аксіоми I, ІІ, ІІІ з означення лінійного простору виконується. Якщо лінійна оболонкаLзамкнена, то  , . Якщо =0, то 0. Якщо  , то  =. В такому випадку лінійна оболонкаL є лінійним простором і підмножиною просторуL, значить це - підпростір просторуL. Якщо ми зіставимо  і  , то виявиться, що .

Розглянемо лінійну оболонку L( ). Може виявитися, що вектор  лінійно виражається через інші, значить  можна записати як лінійну комбінацію інших векторів: . Аналогічно, може виявитися, що - лінійна комбінація, тоді одержимо, що . Таким чином, число векторів може бути зменшене за рахунок тих, що є лінійними комбінаціями інших і можна прийти до лінійної оболонки, що визначена або одним ненульовим вектором, або лінійно незалежною системою, що складається з більш ніж одного вектора.

Приклад 1. Описати лінійну оболонку системи векторів арифметичного простору , якщо вектори, що визначають цю оболонку мають вигляд:

Розв’язування.

Лінійна оболонка, що натягнута на дану систему векторів має вигляд:

, де  - числа, що «пробігають» усю множинуR.

.

Отже, лінійна оболонка векторів, що натягнута на дану систему векторів є нескінченна множина векторів .

Приклад 2. Описати лінійну оболонку системи многочленів:

ƒ,

ƒ,

ƒ

над полем R.

Розв’язування. Лінійна оболонка, що натягнута на цю систему векторів є сукупність векторів виду: = . Це - сукупність многочленів степеня не вище 2 із включенням нуль - многочлена.

У будь-якому лінійному просторі міститься нескінченна множина інших лінійних просторів, що є лінійними оболонками, натягнутими на систему векторів цього лінійного простору. Виняток складає лише один лінійний простір {}. У ньому довільна лінійна оболонка збігається із самим простором.

2.Вище давалося означення лінійного підпростору даного лінійного простору. ЯкщоL - лінійний простір над полемP іL1 є його підмножиною, то для того, щоб переконатися в тому, щоL є підпростором просторуL, необхідно переконається в тому, що :

, , і . Відзначимо, що це є і достатньою умовою, таким чином, аксіоми I, II, III виконуються для усіх векторів ізL, зокрема, для тих, що належать лінійному підпростору . Аксіоми I і I також виконуються (це випливає з замкнутості  щодо додавання і множення на число).

Приклади лінійних підпросторів.

  1. {} іL підпросториL.

2. Будь-яка лінійна оболонка системи векторів даного лінійного простору є його підпростором.

3. Розглядаючи СЛОР зn невідомими таку, що  ми одержали нескінченну сукупністьn-вимірних векторів, замкнутих щодо операцій додавання і множення на число. Ця сукупність усіх розв’язків утворює лінійний простір. Ф.С.Р., що є його підпростором складається з тих і тільки тих векторів, які лінійно незалежні і за допомогою яких визначається будь-який розв’язок. Розмір цього простору розв’язків дорівнює(n-r).

За допомогою підпростору даного лінійного простору можна побудувати нескінчену множину інших його підпросторів. Якщо  і  - підпростори просторуL, то:

  1. Перетинанням  і  ( ) називається сукупність тих, і тільки тих векторів ізL, що належать одночасно як , так і .
  2. Сумоюдвох підпросторів просторуL () називається сукупність тих і тільки тих векторів, що можуть бути подані у вигляді: , де , .

3.Нехай розглядається множина усіх квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами над полемR. Вона має розмірn .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсясиметричною, якщо   .

Квадратна матрицяn-го порядку називаєтьсякососиметричною, якщо   , якщо , то , тобто всі елементи головної діагоналі кососиметричної матриці рівні 0.

Нехай  і  - симетричні матриціn-го порядку, тоді  і   - симетричні матриці, тобто ця підмножина замкнута щодо додавання і множення на число.

Підмножина множини усіх симетричних матрицьn-го порядку з дійсними елементами є підпростором простору матрицьn-го порядку  з дійсними елементами. Аналогічно, якщо  і  - кососиметричні матриці, то їх сума і добуток на число є кососиметричними матрицями. Тобто сукупність усіх кососиметричних матриць з дійсними елементами є підпростором простору квадратних матрицьn-го порядку з дійсними елементами.

Позначимо  - підпростір симетричних матрицьn-го порядку,  - підпростір кососиметричних матрицьn-го порядку. З'ясуємо розмірність кожного з цих підпросторів.

Розглянемо підпростір :

 ,    ,  ,

.

Можна показати, що . Аналогічно можна показати, що .

Візьмемо матрицю . Покажемо, що її можна подати у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць: .

Покажемо, що вони визначаються однозначно. Виконаємо додавання матриць і зіставимо результати:

Тобто будь-яка матриця третього порядку може бути подана у вигляді суми двох матриць:

=

Якщо розглянути будь-яку матрицю простору , то її можна подати (однозначно) у вигляді суми симетричної і кососиметричної матриць, тобто  така сума називаєтьсяпрямою і позначається: . При цьому, , ,

Нехай  і , було визначено ,  - як сукупність векторів , де , .

Доведемо, щокожна із побудованих таким чином множин, у свою чергу, є лінійним простором - підпростором простору L.

# , . Переконаємося в тому, що кожна з цих побудованих підмножин лінійного просторуL містить і суму будь-яких своїх елементів і добуток будь-якого елемента на будь-яке число з поляP(у даному випадкуR).

  1. Доведемо для першого випадку.

Нехай  і  - два довільні вектори з , тоді , .

, , ,  і , але  - лінійний підпростір просторуL, отже усяка лінійна комбінація векторів належить , тобто .

Аналогічно,  і , тому що  - підпростір просторуL(замкнений щодо додавання і множення), то  , таким чином .

  1. Доведемо, що  - підпростір простору .

Розглянемо вектори  і , кожний із який із яких належить . За означенням суми: , де , , , де , .

Розглянемо довільну лінійну комбінацію:  (де  та довільні числа) =(, значить і , аналогічно з ) =

+ Отже, уся сума належить .

Теорема.Якщо  і  - підпростори лінійного простору , то

.

# Нехай . Іншими словами базис  складається з  векторів, базис  - із  векторів. Виділимо довільний базис перетинання . Нехай - базис. Кількість цих векторів () відмінна від кількості . Доповнимо вектори  векторами , тоді  і вся ця сукупність дасть базис . Аналогічно, поповнимо вектори  векторами  так, щоб - базис . Таким чином,

m + (k+m+p) = (k+m) + (m+p).

Якщо покажемо, що , то теорему буде доведено.

Розглянемо систему, що складається з  векторів:

.(1)

Кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів

.(2)

Аналогічно, кожний вектор  подамо у виді лінійної комбінації векторів

. (3)

Таким чином, (2) є базисом , значить кожний вектор  може бути поданий у виді лінійної комбінації векторів системи (1), аналогічно, система векторів (3) - базис  кожний вектор  подамо у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1), а тому кожний вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Отже, кожний вектор  і , а тому і кожний вектор  може бути поданий у вигляді лінійної комбінації векторів системи (1). Покажемо, що вектори системи (1) є лінійно незалежними, цим доведемо що система (1) є базисною для суми . Побудуємо лінійну комбінацію, дорівняємо її до θ і з'ясуємо коли це можливо.

(4)

позначимо , тоді з рівності (4) випливає, що . З одержаної рівності випливає, що  (тобто з одного боку, , а з іншого ) звідси , тому цей вектор однозначно поданий у вигляді лінійної комбінації векторів базису цієї системи, тобто . Таким чином,  поданий двома способами. З одного боку - це лінійна комбінація векторів  з іншого боку - векторів . Зіставляючи ці результати, дійдемо висновку, що

або

.

Таким чином, система векторів (3) - базисна в , та одержана рівність можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти останньої лінійної комбінації рівні нулю, зокрема, . Тоді рівність (4) набуває вигляду:

.

Лінійна комбінація, що стоїть в лівій частині є базис . Система (2) - базисна в . Отже, ця рівність можлива тоді, коли . Таким чином, рівність (4) можлива тоді, коли рівні 0 усі коефіцієнти лінійної комбінації.

Висновок. Система векторів  лінійно незалежна і будь-який вектор  можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів цієї системи, отже

,

але тому що

,

то ми маємо:

.

Зауваження. У випадку, якщо сума  є прямою, перетинання цих просторів  складається з одного елемента {θ}. У цьому випадку  і аналітичний вираз доведеної теореми набуває вигляду:

.

Приклад. Нехай - вимірний простір геометричних векторів,  і  - його підпростори (тобто площини), тоді

а) Нехай ці площини перетинаються по прямій, тобто , тоді очевидно, що , тобто .

Нехай ці площини збігаються, тоді розмір перетинання дорівнює 2,

.

Приклад. Побудувати базис суми лінійних підпросторів, натягнутих на системи векторів:

і

.

. Побудуємо базис суми цих двох лінійних оболонок.

(базисних векторів - 2, нехай - )

(базисних векторів - 2, нехай )

. Базисом може бути система  або

або .

Користуючись рівністю:

можемо знайти розмір перетинання: , тобто базис складається з одного вектора. Знайдемо його перетинання: . Воно складається з тих і тільки тих векторів, кожний із який належить як одній, так і другій лінійній оболонці. При виборі векторів  кожний вектор, що належить  має вигляд: , а при виборі векторів  кожний вектор  має вигляд: , тобто

Ця система має нескінчену множину розв’язків. Нехай  - головні невідомі, тоді

Надаючи  будь-яке, не рівне 0 значення, одержимо .

Той вектор, який належить перетинанню, має вигляд:

або

Відповідь. Базис перетинання складається з вектора .

Питання для самостійної роботи.

Виконання розрахунково-графічної роботи на тему: “Лінійні простори”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17271. Організація оплати праці на підприємстві 29 KB
  Організація оплати праці на підприємстві. Економічні правові та організаційні засади оплати праці працівників які перебувають у трудових відносинах на підставі трудового договору з підприємствами установами та організаціями усіх форм власності та господарювання в
17272. Первинний облік праці та її оплати 26 KB
  Первинний облік праці та її оплати. Під час оформлення на роботу між працівником і підприємством укладають контракт трудовий договір. Зарахування на роботу оформляється €œНаказом розпорядженням про прийняття на роботу€ форма П1. На кожного працівника заводиться ...
17273. Облік розрахунків з оплати праці 39.5 KB
  Облік розрахунків з оплати праці. Облік розрахунків з оплати праці ведуть на рахунку 66 €œ Розрахунки за виплатами працівникам € у розрізі субрахунків 661 €œРозрахунки за заробітною платою€ 662 €œРозрахунки з депонентами€. На кредиті рахунку відображають нараховану пр
17274. Облік виробничих витрат 40 KB
  Облік виробничих витрат Методологічні основи формування в бухгалтерському обліку інформації про витрати підприємств всіх форм власності регламентується ПСБО 16 €œВитрати€. У відповідності до цього стандарту витратами визнається зменшення активів або збільшення зо...
17275. Облік незавершеного виробництва та зведений облік витрат і калькулювання собівартості продукції 25.5 KB
  Облік незавершеного виробництва та зведений облік витрат і калькулювання собівартості продукції До незавершеного виробництва відноситься продукція яка не пройшла всіх стадій обробки передбачених технологічним процесом а також вироби закінчені виробництвом але п
17276. Облік витрат підприємства, які не включаються у собівартість продукції 33 KB
  Облік витрат підприємства які не включаються у собівартість продукції. В процесі операційної діяльності у підприємства виникають витрати які не включаються у собівартість продукції. До них відносяться: адміністративні витрати; витрати на збут; інші операц...
17277. Предмет і об'єкти бухгалтерського обліку 72.5 KB
  Предмет і об'єкти бухгалтерського обліку Бухгалтерський облік як і будьяка інша економічна наука має свої предмет об'єкти суб'єкти і метод. Предмет це те на що спрямована пізнавальна творча та практична діяльність людей. Предмет бухгалтерського обліку в широком...
17278. Базові принципи бухгалтерського обліку 39 KB
  Базові принципи бухгалтерського обліку Слово принцип від лат. рrіпсіріиs основа первоначало вихідне положення будьякої теорії науки що визначає всі наступні положення які випливають з його твердження. На відміну від вихідних положень природничих наук принципи ...
17279. Методичні прийоми (метод) бухгалтерського обліку 41.5 KB
  Методичні прийоми метод бухгалтерського обліку Бухгалтерський облік як і кожна наука має свій метод. Слово метод від гр. methodos дослідження означає спосіб дослідження явищ підхід до вивчення явищ планомірний шлях встановлення істини взагалі прийом спосіб дії. У ...