792

Численное решение задачи Коши

Курсовая

Математика и математический анализ

Приближенное численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Решение осуществлено как с помощью встроенных функций пакета MATHCAD, так и с помощью пользовательских функций.

Русский

2013-01-06

522.5 KB

118 чел.

Министерство образования и науки  Российской Федерации

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»

Пояснительная записка

к курсовой работе  по дисциплине

«Вычислительная математика»

на тему: "Численное решение задачи Коши".

Автор работы:   Аминева Н.

Специальность   «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

 

Группа  09ВА1

Руководитель работы Гудков П.А.

Работа  защищена «__» ____ 2012 г.  Оценка   ______________

Пенза  2012 г.

Аннотация.

В настоящей пояснительной записке приведено приближенное численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а также выяснено, какая из двух задач Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами является жесткой. Решение осуществлено как с помощью встроенных функций пакета MATHCAD, так и с помощью пользовательских функций.

Пояснительная записка содержит  27 страниц, 15 графиков.


Оглавление.

Аннотация. 2

Оглавление. 3

1. Задача № 1 (1.4) 4

1.1. Постановка задачи. 4

1.2. Исходные данные. 4

1.3. Решение поставленной задачи. 4

2. Задача № 2 (2.2) 11

2.1. Постановка задачи. 11

2.2. Исходные данные. 11

2.3. Решение поставленной задачи. 12

3. Задача № 3 (6.2) 18

3.1. Постановка задачи. 18

3.2. Исходные данные. 18

3.3. Решение поставленной задачи. 19

Заключение. 26

Список литературы. 27


1. Задача № 1 (1.4)

  1.  Постановка задачи.

Найти  приближенное решение  задачи Коши для обыкновенного дифференциального

уравнения (ОДУ) 1 порядка

           (1)

и  оценить погрешность решения задачи.

Порядок решения задачи:

1. Задать исходные данные: функцию f правой части, начальное значение .

2. Используя функцию eyler (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B), найти приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD,  найти приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).

4. Найти решение задачи Коши аналитически.

5. Построить таблицы значений приближенных и точного решений. На одном чертеже построить  графики приближенных и точного решений.

6. Оценить погрешность приближенных решений двумя способами:

a) по формуле ; здесьи - значения точного и приближенного решений в узлах сетки , i=1,..N;

b) по правилу Рунге (по правилу двойного пересчета) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).

7. Выяснить, при каком значении шага h=h*  решение, полученное по методуЭйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6а), как решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

УКАЗАНИЕ. В п. 7 рекомендуется провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

  1.  Исходные данные.

N

f(t,y)

t0

T

y0

1.4

0

1

1

  1.  Решение поставленной задачи.
  2.  Задача Коши: y’(t)=,  t0=0, T=1,                                          y0=1.

Исходные данные:

Начальное значение:

Концы отрезка:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

  1.  Функция, реализующая явный метод Эйлера, возвращает вектор решения:
  2.  

Входные параметры: 

f - функция правой части;

y0 - начальное значение; 

t0 - начальная точка отрезка;

h - шаг сетки;

N - число узлов сетки.

  1.  Приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности с помощью встроенной функции rkfixed пакета MATHCAD.

Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй –  приближенное решение в этих узлах.

  1.  Аналитическое решение задачи:

,

,

,

= ,

,

По методу вариации произвольной постоянной заменим постоянную С на функцию C(t) и решим неоднородное уравнение:

Подставляем в исходное уравнение:

=,

,

Решение в MathCad:

  1.  Решения, полученные различными способами:

Метод Эйлера:

Метод Рунге-Кутты:

Точное решение:


Графики приближенных и точного решений:

  1.  Рассчитаем погрешность полученных приближенных решений:

Погрешность метода Эйлера:

Вычисление погрешности по правилу Рунге:

Вычисление приближенных решений с шагом h/2:

Вычисление погрешностей:    

Значение погрешностей:

  1.  Проведём серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

Первая итерация:

Вторая итерация:

Третья итерация:

И т.д.

Девятая итерация:

При значении шага hd=h/1024=0.1/1024=0,0000977   решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь примерно такую же погрешность, как и решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

Погрешность решения по методу Эйлера с шагом hd=0,0000977  :  

Погрешность решения по методу Рунге-Кутты с шагом h=0.1  :

Вывод: явный метод Эйлера - это численный метод 1-го порядка точности. Метод Рунге-Кутты - это метод 4-го порядка точности. Это означает, что при одном и том же значении шага, метод Рунге-Кутты даёт более точное значение.  Поэтому погрешности методов сильно (на несколько порядков) отличаются. В рассмотренном выше примере с помощью метода Рунге-Кутты было получено решение, которое совпадает с решением, полученным аналитическим путём.


  1.  Задача № 2 (2.2)
    1.  Постановка задачи.

Задача Коши для ОДУ  2 порядка

                       ,  

                                                  

описывает  движение груза массы  m, подвешенного к концу пружины. Здесь  x(t) – смещение груза от положения равновесия,  H – константа, характеризующая силу сопротивления среды, k –коэффициент упругости пружины,  f(t) – внешняя сила. Начальные условия: смещение  груза в начальный момент  времени t=0, – скорость груза в  начальный момент времени.  Промоделировать движение груза  на временном отрезке [0,T]  при заданных в индивидуальном  варианте трех наборах  (I, II, III) значений  параметров задачи. Для каждого набора  по найденной таблице (или графику) решения задачи определить максимальное и минимальное значения

функции x(t) и моменты времени, в которые эти значения достигаются.  Предложить свой вариант задания параметров, при которых характер колебаний  груза существенно отличается от рассмотренного ранее.

        ПОРЯДОК   РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ:

1. Заменить исходную задачу эквивалентной  задачей  Коши для системы ОДУ 1 порядка:

                                                   (2)

2. Для каждого варианта выбора параметров решить задачу (2) с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка точности  с шагом  h=0.1.

3. Для каждого варианта выбора параметров построить график найденного решения. Сравнить характер движения  груза и дать интерпретацию полученного движения.

4. Для каждого варианта выбора параметров определить требуемые в задаче характеристики.

УКАЗАНИЕ. В п. 2 использовать встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).

  1.  Исходные данные.

N

H

k

m

f(t)

x0

v0

T

2.2

           

               

I

II

III

1

1

1

1

1

1

0.5

0.5

0.5

tsin(t)

0

tsin(t)

0

0

0

0

-10

-50

20

20

20

  1.  Решение поставленной задачи.

1 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ  и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Найдем максимальное и минимальное значения функции x(t):

Минимальное значение достигается в момент времени 18.4.

Максимальное значение достигается в момент времени 15.3.

Из графика видно, что при данном наборе значений груз совершает незатухающие колебания.

2 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ  и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.

Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.

При данном наборе значений происходит затухание колебаний – груз останавливается.


3 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ  и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.

Максимальное значение  функции достигается в момент времени 3.9.

При данном наборе значений, как и в первом случае, груз совершает незатухающие колебания.

Свой вариант задания параметров:

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ  и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.5.

Максимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.1.

Набор параметров подобран таким образом, что затухающие колебания происходят подобно математическому маятнику - сопротивление среды останавливает со временем движение груза, происходящее по гармоническому закону.

Вывод: дифференциальные уравнения второго порядка - часто используемый  способ описания движения. Численное решение этих дифференциальных уравнений порой единственный способ нахождения закона движения.

  1.  Задача № 3 (6.2)
    1.  Постановка задачи.

Даны две задачи Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами на отрезке

[0, 1]

                            ,

                            ,

где A и B – заданные матрицы,   -  заданные векторы. Выяснить, какая из задач является жесткой.

       ПОРЯДОК   РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ:

1. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера. Используя составленную программу, решить обе задачи с шагом h=0.01. Определить, для какой из задач явный метод неустойчив при данном шаге h.

2. Используя встроенную функцию eigenvals(M) (M – матрица) пакета MATHCAD  для нахождения собственных чисел матриц A и B,  найти коэффициенты жесткости обеих систем. Какая из задач является жесткой?

3. Для жесткой задачи теоретически оценить шаг h*, при котором явный метод Эйлера будет устойчив (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).

4. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера. Используя составленную программу, найти решение жесткой задачи с шагом h=0.01. Построить графики компонент полученного решения.

5. Для жесткой задачи экспериментально подобрать шаг h, при котором графики компонент решения, полученного по явному методу Эйлера, визуально совпадают с графиками компонент решения, полученного по неявному методу с шагом h=0.01. Сравнить найденное значение шага

с шагом h*. Объяснить различие поведения явного и неявного методов Эйлера при решении жесткой задачи.

УКАЗАНИЕ. В п. 4 для решения системы линейных уравнений удобно использовать встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD.

  1.  Исходные данные.

N

A

B

6.2

   -17.359        -0.573

      5.366       -21.351

2

1

  -64.712        -85.344

 -128.964     -170.918

1

0

  1.  Решение поставленной задачи.

Начальные условия:

Концы отрезка:

Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера.

Описанная программа-функция возвращает таблицу решений, первый столбец которой - это значения аргумента в узлах равномерной сетки, а остальные столбцы - соответствующие значения компонент приближенного решения.
Шаг:

Зададим векторы правых частей систем уравнений:

Графики решений для первой системы:

Графики решений для второй системы:

Определим, для какой из задач явный метод неустойчив при шаге h = 0.01. Найдем собственные числа матриц.

Максимальные и минимальные собственные числа матриц А и В:

Условие устойчивости выполняется для матрицы А (usА > h), но не выполняется для матрицы В (usВ < h). Следовательно, явный метод Эйлера неустойчив для решения системы, описанной матрицей В.

Определим, какая из систем является жесткой:

Число жесткости системы gA мало (т. е. собственные числа матрицы А незначительно отличаются друг от друга), поэтому система не жесткая.

Число жесткости системы gB велико (т. е. собственные числа матрицы В значительно отличаются друг от друга), поэтому система жесткая.

Определим, при каком шаге  явный метод Эйлера будет устойчив при решении жесткой системы:

Графики решений для первой и второй компоненты системы B:

Как видно из графиков решений, явный метод Эйлера устойчив с шагом hz = 0.0028 . Условие устойчивости usB>hz (8.496*10-3 >0.0028) выполняется.

Найдем решение жесткой задачи по неявному методу Эйлера.

Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера.

В качестве параметров она принимает матрицу М системы, вектор начальных условий Vo начало to , конец отрезка интегрирования T и число узлов равномерной сетки N:

Для оценки результатов решения будем использовать встроенную функцию для решения жёстких систем stiffr. Для её применения необходима матрица Якоби:

Графики решений для первой и второй компоненты системы:

Найдем такое значение шага H для решения жесткой системы по явному методу Эйлера, что результаты решения будут визуально совпадать с решением, полученным неявным методом Эйлера с шагом h = 0.01:

Вывод: явный метод Эйлера 1-го порядка точности дает приближённое решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами. При решении жестких систем ОДУ, метод может быть неустойчив при достаточно большом шаге вычислений. При уменьшении шага вычислений метод будет устойчив, но это требует дополнительных (на некотором промежутке лишних) вычислений. Устойчивое решение, получаемое при решении жёсткой системы уравнений неявным методом, требует в несколько десятков раз меньше итераций, чем решение, полученное по явному методу Эйлера.


Заключение.

В результате выполнения данной курсовой работы было реализовано решение задачи Коши с использованием пакета MATHCAD.

При решении различных уравнений были изучены встроенные функции пакета MATHCAD, а так же запрограммированы пользовательские функции, позволяющие реализовать иные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а также обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

В ходе работы были определены погрешности решений используемых методов, найдены способы увеличения точности получаемых результатов.

Так же были построены графики, демонстрирующие последовательные приближения к искомым решениям.

Таким образом, задание выполнено в полном объеме.


Список литературы.

1)Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

2) Ю. Ю. Тарасевич. Численные методы на Mathcad’е. Астрахань, 2000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27127. Цели и функции управления, их классификация. Управленческий цикл 14.7 KB
  Управленческий цикл Классификация целей управления: по содержанию например экономические социальные политические идеологические научнотехнические; по уровням управления общегосударственный отраслевой межотраслевой территориальный и локальный. Классификация функций органов управления: основные предметные функции для осуществления которых образован соответствующий орган исполнительной власти государственного управления; обеспечивающие – функции которые необходимы для успешной реализации предметных функций. Для осуществления...
27128. Функции управления. Управленческие циклы 198.5 KB
  Функции управления. Функция управления определенный вид управленческой деятельности который либо осуществляется достаточно регулярно и часто либо данный вид работ выполняется нерегулярно но их результаты имеют существенные последствия для организации. Я ПОДУМАЮ это определение слова функция Функции управления исходя из их роли в управлении предприятием делят на: 1. Классическим делением функций управления на подфункции является их деление по стадиям управленческого цикла.
27129. Ценовая политика 34 KB
  Ценовая политикаэто определение и поддержание на оптимальном уровне цен на товары с учетом их взаимосвязи в рамках ассортимента в условиях конкретного рынка а также своевременное изменение цен по товарам и рынкам для достижения максимально возможного успеха в конкретной рыночной ситуации. Структура ценовой политики: исходное ценообразование на товар ценообразование в рамках товарной номенклатуры изменение цены контроль за уровнем наценок устанавливаемых посредником создание барьеров по удержанию покупателей разработка программ...
27130. Конкурентные преимущества товара и фирмы на рынке 14.51 KB
  Конкурентное преимущество –характеристики свойства марки или товара которые создают для фирмы определенное превосходство над прямыми конкурентами. Эти характеристики могут относиться как к самому товару так и к дополнительнымуслугам формам производства сбыта или продаж специфичным для фирмы или товара. Конкурентное преимущество это те характеристики свойства товара или марки которые создают для фирмы определенное превосходство над своими прямыми конкурентами.
27131. Ситуационное лидерство (ситуационное руководство) 14.5 KB
  Ситуационное лидерство ситуационное руководство это стиль управления людьми предполагающий использование одного из четырех стилей управления в зависимости от ситуации и уровня развития сотрудников по отношению к задаче. Стили лидерства: Директивный стиль или Лидерство путем приказа высокая ориентация на задачу и низкая на людей. Наставнический стиль или Лидерство путем продажи идей совмещение высокой ориентированности на задачу и на людей. Поддерживающий стиль или Лидерство путем участия в организации процесса работы высокая...
27132. Оценка эффективности электронных и квазиэлектронных предприятий. Total Cost Ownership, Balanced Scorecard 36.5 KB
  в среднем можно ожидать около 5 учитывая что привлекать мы будем именно потенциальных покупателей а не случайных людей. Расчет: Колво покупателей = колво посетителей 100 х конверсии = 240.000 покупателей за 6 месяцев. Валовая прибыль = колво покупателей х средний чек = 12.
27133. Структурированная процесс-модель «бизнес-контент-менеджмент» 1.85 MB
  Структурированная процессмодель бизнесконтентменеджмент Одно из главных требований предъявляемых к построению современного электронного бизнесрешения как можно более быстрая трансформация бизнесидеи в конкретное решение которое соответствует запросам пользователя не требует значительных расходов на поддержку функционирует эффективно и с невысокими издержками и имеет стройную организацию. Структурированная процессмодель дает солидную основу для старта проекта Процессмодель концепция бизнес контент менеджмент состоит из...
27135. Электронная коммерция: B2B. Виртуальные торговые площадки 16.68 KB
  Виртуальные торговые площадки B2B англ. Возможности Интернет позволяют совершать покупки продажи в режиме реального времени и благодаря доступности Интернет в торговой деятельности площадки могут участвовать компании из разных точек земного шара. Площадки типа buyerdriven. В качестве примера можно взять автомобильную промышленность где GM Ford и Daimler Chrysler объединились для создания глобальной онлайновой торговой площадки или здравоохранение где Tenant Healthcare объединила усилия с Ventro ранее Chemdex для создания...