79648

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Научная статья

Физика

Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния НДС шара деформируемого непотенциальными силами. Традиционные методы вариационные граничных интегральных уравнений анализа НДС линейного изотропного упругого тела учитывают объемные силы в их потенциальном варианте.

Русский

2015-02-13

379.5 KB

1 чел.

УДК 518.5.

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Кузьменко Н.В.

Россия, Липецк, Липецкий ГТУ

Разработан и реализован алгоритмически метод решения задач теории упругости с объемными силами из класса непрерывных. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) шара, деформируемого непотенциальными силами.  

The method for solving problems of the theory of elasticity with body forces from the class of continuous is developed and algorithmic implemented. The analysis of the stress-strain state of the ball, deformable nonpotential forces is performed.

Традиционные методы (вариационные, граничных интегральных уравнений) анализа НДС линейного изотропного упругого тела  учитывают объемные силы в их потенциальном варианте. Однако, опыт решения задач, в которых объемные силы не являются потенциальными, или нелинейных задач, в которых эффект наличия объемных сил появляется как результат применения метода Пуанкаре, требует расширения до задач с объемными, непрерывными на замкнутом многообразии.  

Разработка эффективного алгоритма решения таких задач является темой актуальной, позволяет экономить вычислительные ресурсы по ряду аспектов: 1) использование общего решения Папковича-Нейбера [1] построено для случая потенциальных объемных сил. Постановка задач с непотенциальными силами наталкивается на необходимость аппроксимации таковых потенциальными, что в общем случае некорректно, но в частных случаях допустимо, хотя и порождает погрешность. Предлагаемый подход позволяет объемные силы приблизить с любой степенью точности вектором многочленов и оценить соответствующее ему НДС; 2) эффективен прием декомпозиции НДС тела на состояния, обусловленные объемными силами и скорректированными граничными условиями. Это сокращает трудоемкие операции примерно вчетверо.

Выход из положения, в котором НДС обусловлено непотенциальными объемными силами, находится на пути использования обратного метода, а именно: каждая компонента вектора перемещений может быть задана мономом ;  - порядок монома. Очевидно, что варьирование  позволяет составить базис многочленов, аппроксимирующий любой регулярный вектор перемещений . Каждому такому вектору в соответствии с формулами Коши

                                                   (1)

отвечает единственный тензор деформации, описываемый многочленами порядка .

Обобщенный закон Гука

                                                 (2)

восстанавливает тензор напряжений такого же порядка;  – константы Ламе. Уравнения равновесия

                                                         (3)

позволяют выписать выражения для вызывающих это состояние объемных сил

,

описываемых многочленами порядка . Для каждого фиксированного  центральным является вопрос: содержится ли базис векторов  среди всех вариантов, генерируемых по указанной схеме?

Строгое доказательство положительного ответа пока не найдено, но практическое исследование на линейную зависимость/независимость для конкретных случаев , проведенное методом ортогонализации, показало присутствие базиса во множествах генерируемых вариантов.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любую ограниченную на замкнутом многообразии функцию (как следствие, векторную функцию) можно представить в виде многочлена, сконструированного из элементов базиса. Процедура конструирования не отличается  от разложения произвольного элемента гильбертова пространства по его ортонормированному базису.

Для примера рассмотрим случай  (варианты с иными ненулевыми компонентами вектора  обеспечиваются круговой подстановкой индексов). Этому перемещению соответствуют тензоры деформаций и напряжений

 .

Предъявленное НДС порождено массовыми силами  

.

В частности, при ,  линейно-независимыми наборами являются

Как следствие, полиномиальный базис объемных сил представляет собой

.

Процедура разложения состояния  по предварительно ортонормированному базису дает набор коэффициентов Фурье (приведены ненулевые коэффициенты): Линейная комбинация базисных внутренних состояний с этими коэффициентами приводит к НДС, обусловленному указанным вектором  (ниже обозначено ):

 

 

.

Рассмотрим задачу о равновесии шара единичного радиуса, по границе свободного от внешних воздействий, но нагруженного объемными силами . Внутреннее НДС, обусловленное , вызывает на поверхности отклик в виде поверхностного усилия , где  - единичный вектор внешней нормали к границе тела. Учет этого состояния в постановке задачи декомпозирует ее и приводит к первой основной задаче при отсутствии массовых сил, в которой на границе определено поверхностное усилие  . После ее решения (например, методом граничных состояний [2]) оба поля суммируются, что дает состояние, соответствующее исходной задаче. Иллюстрации решения приведены в серии рисунков (рис. 1).

      

                            а)                                   б)                                         в)

    

                                                    г)                                          д)

Рис. 1. Распределения напряжений в осевом сечении: а) радиальное; б) сдвиговое; в) окружное; г) осевое; д) линии уровня наибольших касательных напряжений (изохромы)

Литература

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11, вып. 2. С.94-100.

Пеньков Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор. Липецкий ГТУ, профессор. vbpenkov@mail.ru, 8-920-240-36-19.

Саталкина Любовь Владимировна, к.ф.м.н. Липецкий ГТУ, доцент.

satalkina_lyubov@mail.ru 8-904-219-02-08.

Кузьменко Никита Васильевич


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41508. Технология работы станции с местными вагонами 120 KB
  Планирование и организация подачи и уборки вагонов на грузовой пункт. По характеру грузовых операций различают 4 вида местных вагонов: прибывшие в груженом состоянии под выгрузку; прибывшие в порожнем состоянии под погрузку; прибывшие гружеными выгруженными загруженные вновь со сдвоенными операциями; сборные вагоны и вагоны с контейнерами проходящие грузосортировку. С ними выполняются те же операции что и с транзитными вагонами с переработкой но кроме того с местными вагонами производятся: подача к грузовым пунктам...
41509. График движения поездов 174.5 KB
  Он представляет собой графическое изображение следования поездов на масштабной сетке на которой движение поездов изображаются прямыми наклонными линиями линиями хода поездов. Графики движения поездов различают: в зависимости от соотношения скоростей движения разных поездов по одному и тому же перегону параллельные и непараллельные. В параллельных графиках поезда имеют одинаковую скорость и линии их хода на данном перегоне параллельны а в непараллельных графиках линии хода поездов с разными скоростями; по числу...
41510. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ВАГОНОВ 33 KB
  При уходе подвижного состава на перегон ДСП обязан используя все имеющиеся в его распоряжении средства сообщить об этом машинистам поездов находящимся на перегоне ДПИ дежурным путевых постов соседней станции переездов и другим работникам чтобы задержать встречные поезда и принять меры к остановке ушедших вагонов. При закреплении составов поездов: на главные и к о путях руководство и контроль за закреплением осуществляет ДСП в отдельных маневровых районах – ДСЦ; ДСП может разрешить отцепку локомотива только после убеждения в...
41511. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ СТАНЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЦЕНТРОВ 49.5 KB
  Назначение и размещение СТЦ и ИЦ. Операции выполняемые в СТЦ и ИЦ. Оборудование СТЦ. Назначение и размещение СТЦ и ИЦ.
41512. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ РАБОТЫ 100 KB
  Качественные показатели использования вагонов и локомотивов. Подача вагонов по стыковым пунктам дорог где n – число стыковых пунктов; . – число вагонов переданных за сутки в сумме чётного и нечётного направлений. По каждому стыковому пункту выделяют общий приём Uпр состоящий из суммы приёма гружённых и порожних а также общую сдачу складывающуюся из сдачи гружёных и порожних вагонов .
41513. Психологія особистості керівника 311 KB
  Феномен керівника в історії розвитку суспільства Мотиваційна сфера особистості керівника Труднощі вимоги та обмеження у роботі керівників Якості і риси керівника Проблема статі в управлінні Ортобіоз особистості керівника Регресивний розвиток керівника та управлінська деформація 1.Феномен керівника в історії розвитку суспільства Давні історичні політичні та соціальні вчення Єгипту Китаю Греції Риму та інших країн відображали не лише основні риси ранніх типів суспільства а й певні характерологічні особливості правителів...
41514. ПСИХОЛОГІЧНІ ЧИННИКИ ОЦІНЮВАННЯ УПРАВЛІНСЬКИХ КАДРІВ 110.5 KB
  Роль оцінювання працівників у процесі управління Соціальнопсихологічні завдання оцінювання Оцінювання за головними параметрами діяльності класифікація характеристика елементів класифікації Установки і форми поведінки керівників під час оцінювання підлеглих Характеристика сучасного менеджера управлінця 1. Роль оцінювання працівників у процесі управління Оцінювання працівників є складовою процесу управління. Головна мета оцінювання: 1.
41515. УПРАВЛІНСЬКЕ КОНСУЛЬТУВАННЯ І БІЗНЕС 79 KB
  Специфіка найму і роботи штатних та зовнішніх управлінських консультантів Головні стилі роботи консультанта. Особливості діяльності консультантів. Специфіка найму і роботи штатних та швшнініх управлінських консультантів У розвинених країнах широко використовується особливий вид діяльності управлінське консультування. Зауважимо що жодна значна перебудова у фірмах Заходу не обходилась без запрошення консультантів.
41516. Соціальні та психологічні аспекти керівництва 147 KB
  Соціальні та психологічні аспекти керівництва Кадри управління. Кадри управління. Кадри управління є складовою частиною управління ця частина системи має: відповідну кваліфікацію. Зокрема керівників залежно від профілю колективів котрі вони очолюють прийнято поділяти на лінійних та функціональних а від рівня і місця в загальній системі управління господарством на керівників відповідних ланок управління вищої середньої низової ланок.