79648

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Научная статья

Физика

Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния НДС шара деформируемого непотенциальными силами. Традиционные методы вариационные граничных интегральных уравнений анализа НДС линейного изотропного упругого тела учитывают объемные силы в их потенциальном варианте.

Русский

2015-02-13

379.5 KB

1 чел.

УДК 518.5.

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Кузьменко Н.В.

Россия, Липецк, Липецкий ГТУ

Разработан и реализован алгоритмически метод решения задач теории упругости с объемными силами из класса непрерывных. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) шара, деформируемого непотенциальными силами.  

The method for solving problems of the theory of elasticity with body forces from the class of continuous is developed and algorithmic implemented. The analysis of the stress-strain state of the ball, deformable nonpotential forces is performed.

Традиционные методы (вариационные, граничных интегральных уравнений) анализа НДС линейного изотропного упругого тела  учитывают объемные силы в их потенциальном варианте. Однако, опыт решения задач, в которых объемные силы не являются потенциальными, или нелинейных задач, в которых эффект наличия объемных сил появляется как результат применения метода Пуанкаре, требует расширения до задач с объемными, непрерывными на замкнутом многообразии.  

Разработка эффективного алгоритма решения таких задач является темой актуальной, позволяет экономить вычислительные ресурсы по ряду аспектов: 1) использование общего решения Папковича-Нейбера [1] построено для случая потенциальных объемных сил. Постановка задач с непотенциальными силами наталкивается на необходимость аппроксимации таковых потенциальными, что в общем случае некорректно, но в частных случаях допустимо, хотя и порождает погрешность. Предлагаемый подход позволяет объемные силы приблизить с любой степенью точности вектором многочленов и оценить соответствующее ему НДС; 2) эффективен прием декомпозиции НДС тела на состояния, обусловленные объемными силами и скорректированными граничными условиями. Это сокращает трудоемкие операции примерно вчетверо.

Выход из положения, в котором НДС обусловлено непотенциальными объемными силами, находится на пути использования обратного метода, а именно: каждая компонента вектора перемещений может быть задана мономом ;  - порядок монома. Очевидно, что варьирование  позволяет составить базис многочленов, аппроксимирующий любой регулярный вектор перемещений . Каждому такому вектору в соответствии с формулами Коши

                                                   (1)

отвечает единственный тензор деформации, описываемый многочленами порядка .

Обобщенный закон Гука

                                                 (2)

восстанавливает тензор напряжений такого же порядка;  – константы Ламе. Уравнения равновесия

                                                         (3)

позволяют выписать выражения для вызывающих это состояние объемных сил

,

описываемых многочленами порядка . Для каждого фиксированного  центральным является вопрос: содержится ли базис векторов  среди всех вариантов, генерируемых по указанной схеме?

Строгое доказательство положительного ответа пока не найдено, но практическое исследование на линейную зависимость/независимость для конкретных случаев , проведенное методом ортогонализации, показало присутствие базиса во множествах генерируемых вариантов.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любую ограниченную на замкнутом многообразии функцию (как следствие, векторную функцию) можно представить в виде многочлена, сконструированного из элементов базиса. Процедура конструирования не отличается  от разложения произвольного элемента гильбертова пространства по его ортонормированному базису.

Для примера рассмотрим случай  (варианты с иными ненулевыми компонентами вектора  обеспечиваются круговой подстановкой индексов). Этому перемещению соответствуют тензоры деформаций и напряжений

 .

Предъявленное НДС порождено массовыми силами  

.

В частности, при ,  линейно-независимыми наборами являются

Как следствие, полиномиальный базис объемных сил представляет собой

.

Процедура разложения состояния  по предварительно ортонормированному базису дает набор коэффициентов Фурье (приведены ненулевые коэффициенты): Линейная комбинация базисных внутренних состояний с этими коэффициентами приводит к НДС, обусловленному указанным вектором  (ниже обозначено ):

 

 

.

Рассмотрим задачу о равновесии шара единичного радиуса, по границе свободного от внешних воздействий, но нагруженного объемными силами . Внутреннее НДС, обусловленное , вызывает на поверхности отклик в виде поверхностного усилия , где  - единичный вектор внешней нормали к границе тела. Учет этого состояния в постановке задачи декомпозирует ее и приводит к первой основной задаче при отсутствии массовых сил, в которой на границе определено поверхностное усилие  . После ее решения (например, методом граничных состояний [2]) оба поля суммируются, что дает состояние, соответствующее исходной задаче. Иллюстрации решения приведены в серии рисунков (рис. 1).

      

                            а)                                   б)                                         в)

    

                                                    г)                                          д)

Рис. 1. Распределения напряжений в осевом сечении: а) радиальное; б) сдвиговое; в) окружное; г) осевое; д) линии уровня наибольших касательных напряжений (изохромы)

Литература

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11, вып. 2. С.94-100.

Пеньков Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор. Липецкий ГТУ, профессор. vbpenkov@mail.ru, 8-920-240-36-19.

Саталкина Любовь Владимировна, к.ф.м.н. Липецкий ГТУ, доцент.

satalkina_lyubov@mail.ru 8-904-219-02-08.

Кузьменко Никита Васильевич


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53195. Фізико-математична гра «Щасливий випадок» 241.5 KB
  Правила: В цьому раунді кожній команді буде задано деяку кількість простих запитань з математики, інформатики, фізики та астрономії за обмежений час (1 хв.) Кожна правильна відповідь оцінюється 1 балом. Приймаються лише перші відповіді команди. Якщо ніхто з учасників команди не знає відповіді на запитання, можна говорити «Пас» або «Далі». Очки при цьому не нараховуються.
53196. Гра – тренінг «Обираємо професію разом» 41.5 KB
  Учитель: одна мудра людина сказала: Щастяце коли хочеться іти на працю а у вечорі йти додому Просто правда Але тільки на перший погляд. проводила тест на визначення профорієнтації за результатами цього тесту ви об’єднались в групи: 1 людина людина; 2 людина – техніка; 3 людина – природа; 4 людиназнакова система; 5 людина мистецтво. Завдання 1: на столі знаходяться речі дивлячись на них ви повинні відповісти на такі запитання: людина – людина: 1. Яка ємкість одноразового стаканчика людина техніка: 1.
53197. Мандрівка в народну гру 66 KB
  Їх із задоволенням грають діти і навіть дорослі не проти пограти. Проте у всіх іграх є одна спільна рисанародна мудрість. Гра найважливіша форма дитячої діяльності. Спостережливість уміння володіти собою як гра.
53198. Від навчання до бізнесу 41.5 KB
  Де знаходиться статуя Свободи Париж столиця якої країни Як називається вежа що похилилася але не падає Які іноземні фірми спортивного одягу ви знаєте Техніка якої країни славиться на весь світ Москва столиця якої країни У якому місті знаходиться Ейфелева вежа Священною твариною якої країни є корова На прапорі якої країни є кленовий листок Де знаходиться піраміда Тутанхамона Як називаються всі кістки людини В який телепередачі по Т.К Інтер учні заробляють гроші своїм розумом Як називається каркас...
53200. Игра «Счастливый случай» 51.5 KB
  Как называется самая глубокая часть океана Существует ли море без берегов Где оно расположено На каком материке ветер дует круглый год только на север Где находится самый длинный коралловый риф Назовите цветные моря. Где они находятся Какое озеро самое глубокое в мире Как называются сухие русла рек в Африке Что такое атолл Назовите самый крупный остров у берегов Африки Назовите пролив между Южной Америкой и Антарктидой. На какой реке находится водопад Виктория Как называется ветер меняющий направление два...
53201. Урок-гра «Пригадаємо цікаві сторінки математики» 120 KB
  Кожен конкурс оцінюється в пять балів. Перший конкурс Назви себе. Виставлення балів за конкурс. Другий конкурс Теоретичний.
53202. Ігровий майданчик на уроках англійської мови у початкових класах 233.5 KB
  На уроках англійської мови найчастіше проводяться мовні ігри фонетичні лексичні граматичні орфографічні алфавітні та комунікативні діалогічні монологічні аудитивні. Фонетичні ігри на уроках англійської мови у початкових класах На початковому етапі вивчення англійської мови велика увага приділяється правильній вимові звуків. Навчальна мета гри полягає в тому щоб діти вимовляли й дізнавалися необхідні звуки не думаючи про цьому спеціально роблячи це автоматично. Тому на уроках доцільно використати наступні фонетичні ігри.
53203. Розвиток обдарованості ігровими методами 477 KB
  Кожній групі даються вислови значення яких учасники мають пояснити: світла голова І група не пером пишуть а розумом ІІ група. Виграє та група яка зуміє краще аргументувати свою позицію. Слід також систематизувати ці аналоги за групами відповідно до певної ознаки.