79648

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Научная статья

Физика

Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния НДС шара деформируемого непотенциальными силами. Традиционные методы вариационные граничных интегральных уравнений анализа НДС линейного изотропного упругого тела учитывают объемные силы в их потенциальном варианте.

Русский

2015-02-13

379.5 KB

1 чел.

УДК 518.5.

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Кузьменко Н.В.

Россия, Липецк, Липецкий ГТУ

Разработан и реализован алгоритмически метод решения задач теории упругости с объемными силами из класса непрерывных. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) шара, деформируемого непотенциальными силами.  

The method for solving problems of the theory of elasticity with body forces from the class of continuous is developed and algorithmic implemented. The analysis of the stress-strain state of the ball, deformable nonpotential forces is performed.

Традиционные методы (вариационные, граничных интегральных уравнений) анализа НДС линейного изотропного упругого тела  учитывают объемные силы в их потенциальном варианте. Однако, опыт решения задач, в которых объемные силы не являются потенциальными, или нелинейных задач, в которых эффект наличия объемных сил появляется как результат применения метода Пуанкаре, требует расширения до задач с объемными, непрерывными на замкнутом многообразии.  

Разработка эффективного алгоритма решения таких задач является темой актуальной, позволяет экономить вычислительные ресурсы по ряду аспектов: 1) использование общего решения Папковича-Нейбера [1] построено для случая потенциальных объемных сил. Постановка задач с непотенциальными силами наталкивается на необходимость аппроксимации таковых потенциальными, что в общем случае некорректно, но в частных случаях допустимо, хотя и порождает погрешность. Предлагаемый подход позволяет объемные силы приблизить с любой степенью точности вектором многочленов и оценить соответствующее ему НДС; 2) эффективен прием декомпозиции НДС тела на состояния, обусловленные объемными силами и скорректированными граничными условиями. Это сокращает трудоемкие операции примерно вчетверо.

Выход из положения, в котором НДС обусловлено непотенциальными объемными силами, находится на пути использования обратного метода, а именно: каждая компонента вектора перемещений может быть задана мономом ;  - порядок монома. Очевидно, что варьирование  позволяет составить базис многочленов, аппроксимирующий любой регулярный вектор перемещений . Каждому такому вектору в соответствии с формулами Коши

                                                   (1)

отвечает единственный тензор деформации, описываемый многочленами порядка .

Обобщенный закон Гука

                                                 (2)

восстанавливает тензор напряжений такого же порядка;  – константы Ламе. Уравнения равновесия

                                                         (3)

позволяют выписать выражения для вызывающих это состояние объемных сил

,

описываемых многочленами порядка . Для каждого фиксированного  центральным является вопрос: содержится ли базис векторов  среди всех вариантов, генерируемых по указанной схеме?

Строгое доказательство положительного ответа пока не найдено, но практическое исследование на линейную зависимость/независимость для конкретных случаев , проведенное методом ортогонализации, показало присутствие базиса во множествах генерируемых вариантов.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любую ограниченную на замкнутом многообразии функцию (как следствие, векторную функцию) можно представить в виде многочлена, сконструированного из элементов базиса. Процедура конструирования не отличается  от разложения произвольного элемента гильбертова пространства по его ортонормированному базису.

Для примера рассмотрим случай  (варианты с иными ненулевыми компонентами вектора  обеспечиваются круговой подстановкой индексов). Этому перемещению соответствуют тензоры деформаций и напряжений

 .

Предъявленное НДС порождено массовыми силами  

.

В частности, при ,  линейно-независимыми наборами являются

Как следствие, полиномиальный базис объемных сил представляет собой

.

Процедура разложения состояния  по предварительно ортонормированному базису дает набор коэффициентов Фурье (приведены ненулевые коэффициенты): Линейная комбинация базисных внутренних состояний с этими коэффициентами приводит к НДС, обусловленному указанным вектором  (ниже обозначено ):

 

 

.

Рассмотрим задачу о равновесии шара единичного радиуса, по границе свободного от внешних воздействий, но нагруженного объемными силами . Внутреннее НДС, обусловленное , вызывает на поверхности отклик в виде поверхностного усилия , где  - единичный вектор внешней нормали к границе тела. Учет этого состояния в постановке задачи декомпозирует ее и приводит к первой основной задаче при отсутствии массовых сил, в которой на границе определено поверхностное усилие  . После ее решения (например, методом граничных состояний [2]) оба поля суммируются, что дает состояние, соответствующее исходной задаче. Иллюстрации решения приведены в серии рисунков (рис. 1).

      

                            а)                                   б)                                         в)

    

                                                    г)                                          д)

Рис. 1. Распределения напряжений в осевом сечении: а) радиальное; б) сдвиговое; в) окружное; г) осевое; д) линии уровня наибольших касательных напряжений (изохромы)

Литература

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11, вып. 2. С.94-100.

Пеньков Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор. Липецкий ГТУ, профессор. vbpenkov@mail.ru, 8-920-240-36-19.

Саталкина Любовь Владимировна, к.ф.м.н. Липецкий ГТУ, доцент.

satalkina_lyubov@mail.ru 8-904-219-02-08.

Кузьменко Никита Васильевич


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32650. Контроль и регулирование хода выполнения проекта 37 KB
  Контроль и регулирование хода выполнения проекта. Контроль Основной целью контроля проекта является обеспечение выполнения плановых показателей и повышение общей эффективности функций планирования и контроля проекта. Содержание контроля проекта состоит в определении результатов деятельности на основе оценки и документирования фактических показателей выполнения работ и сравнения их с плановыми показателями. Система контроля проекта представляет собой часть общей системы управления проектом между элементами подсистемами которой имеются...
32651. Коммуникационная система управления проектом 26 KB
  Коммуникации Управление коммуникациями проекта управление взаимодействием информационными связями управленческая функция направленная на обеспечение своевременного сбора генерации распределения и сохранения необходимой проектной информации. Управление коммуникациями обеспечивает поддержку системы связи взаимодействий между участниками проекта передачу управленческой и отчетной информации направленной на обеспечение достижения целей проекта. Каждый участник проекта должен быть подготовлен к взаимодействию в рамках проекта в...
32652. Этапы закрытия проекта 30 KB
  Этапы закрытия проекта. Этапы закрытия Фаза завершения работ по проекту включает следующие этапы: ввод проекта в действие; достижение проектом заданных результатов; прекращение финансирования проекта; работы по закрытию проекта и внесению изменений не предусмотренных первоначальным замыслом; участие в эксплуатации объектов проекта. На практике завершающую фазу объединяют с фазой ликвидации проекта которая предусматривает вывод объектов проекта из эксплуатации ремонт модернизацию реконструкцию объекта проекта. Ввод проекта в действие...
32653. Анализ эффективности реализации и управления проектом 40 KB
  Анализ эффективности реализации проекта Реализация любого проекта направлена на достижение заранее заданных и четко сформулированных целей и связанных с ними конкретных результатов. В свою очередь планируемый результат является объектом целеполагания проекта. Цели и соответственно результаты проекта могут быть экономическими например получение прибыли снижение себестоимости продукции достижение определенного уровня эффективности работ повышение конкурентоспособности продукции социальноэкономическими создание новых рабочих мест рост...
32654. Место и роль управления проектами в современной теории управления. Сущность проектного и процессного подходов 35 KB
  Роль управления проектами в современном мире. Эти средства активно применяются не только для управления федеральными проектами и программами но и для осуществления управленческих функций внутри правительственного аппарата. В России же где организационная система и методы управления гораздо слабее чем на Западе эффект от внедрения УП окажется еще более значительным.
32655. Основные признаки, понятия и характеристики проекта 30 KB
  Основные признаки понятия и характеристики проекта. Но цели проекта ограничены во времени. При успешном завершении проекта целевая установка данная руководителю проекта заказчиком отпадает. Признак изменения Этот признак является наиболее важной характеристикой проекта так как осуществление проекта всегда несет изменения вещественной системы или предметной области в которой реализуется проект.
32656. Особенности управления программами и портфелями проектов 40.5 KB
  Особенности управления программами и портфелями проектов. При определенных условиях множество взаимосвязанных проектов объединяются в программу. Программа может быть сформулирована в терминах проектов и представлена как совокупность проектов объединенных общей целью выделенными ресурсами временем на ее выполнение технологией организацией и др. В дальнейшем мы будем рассматривать программы как совокупность проектов.
32657. Классификация проектов и программ 28 KB
  в которых осуществляется проект: социальные проекты экономические проекты организационные проекты технические проекты смешанные проекты. Сложные проекты включающие подпроекты и элементы различных типов проектов. Вид проекта: По характеру предметной области проекта: учебнообразовательные проекты; проекты исследования и развития; инновационные проекты.; инвестиционные проекты.
32658. Понятие о декомпозиции работ по проекту. Критерии выбора эффективной декомпозиции работ 46 KB
  Понятие о декомпозиции работ по проекту. Критерии выбора эффективной декомпозиции работ. Структура разбиения декомпозиции работ WBS Work Brekdown Structure иерархическая структура последовательной декомпозиции проекта на подпроекты пакеты работ различного уровня пакеты детальных работ. СРР является базовым средством для создания системы управления проектом так как позволяет решать проблемы организации работ распределения ответственности оценки стоимости создания системы отчетности эффективно поддерживать процедуры сбора...