79648

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Научная статья

Физика

Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния НДС шара деформируемого непотенциальными силами. Традиционные методы вариационные граничных интегральных уравнений анализа НДС линейного изотропного упругого тела учитывают объемные силы в их потенциальном варианте.

Русский

2015-02-13

379.5 KB

1 чел.

УДК 518.5.

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Кузьменко Н.В.

Россия, Липецк, Липецкий ГТУ

Разработан и реализован алгоритмически метод решения задач теории упругости с объемными силами из класса непрерывных. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) шара, деформируемого непотенциальными силами.  

The method for solving problems of the theory of elasticity with body forces from the class of continuous is developed and algorithmic implemented. The analysis of the stress-strain state of the ball, deformable nonpotential forces is performed.

Традиционные методы (вариационные, граничных интегральных уравнений) анализа НДС линейного изотропного упругого тела  учитывают объемные силы в их потенциальном варианте. Однако, опыт решения задач, в которых объемные силы не являются потенциальными, или нелинейных задач, в которых эффект наличия объемных сил появляется как результат применения метода Пуанкаре, требует расширения до задач с объемными, непрерывными на замкнутом многообразии.  

Разработка эффективного алгоритма решения таких задач является темой актуальной, позволяет экономить вычислительные ресурсы по ряду аспектов: 1) использование общего решения Папковича-Нейбера [1] построено для случая потенциальных объемных сил. Постановка задач с непотенциальными силами наталкивается на необходимость аппроксимации таковых потенциальными, что в общем случае некорректно, но в частных случаях допустимо, хотя и порождает погрешность. Предлагаемый подход позволяет объемные силы приблизить с любой степенью точности вектором многочленов и оценить соответствующее ему НДС; 2) эффективен прием декомпозиции НДС тела на состояния, обусловленные объемными силами и скорректированными граничными условиями. Это сокращает трудоемкие операции примерно вчетверо.

Выход из положения, в котором НДС обусловлено непотенциальными объемными силами, находится на пути использования обратного метода, а именно: каждая компонента вектора перемещений может быть задана мономом ;  - порядок монома. Очевидно, что варьирование  позволяет составить базис многочленов, аппроксимирующий любой регулярный вектор перемещений . Каждому такому вектору в соответствии с формулами Коши

                                                   (1)

отвечает единственный тензор деформации, описываемый многочленами порядка .

Обобщенный закон Гука

                                                 (2)

восстанавливает тензор напряжений такого же порядка;  – константы Ламе. Уравнения равновесия

                                                         (3)

позволяют выписать выражения для вызывающих это состояние объемных сил

,

описываемых многочленами порядка . Для каждого фиксированного  центральным является вопрос: содержится ли базис векторов  среди всех вариантов, генерируемых по указанной схеме?

Строгое доказательство положительного ответа пока не найдено, но практическое исследование на линейную зависимость/независимость для конкретных случаев , проведенное методом ортогонализации, показало присутствие базиса во множествах генерируемых вариантов.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любую ограниченную на замкнутом многообразии функцию (как следствие, векторную функцию) можно представить в виде многочлена, сконструированного из элементов базиса. Процедура конструирования не отличается  от разложения произвольного элемента гильбертова пространства по его ортонормированному базису.

Для примера рассмотрим случай  (варианты с иными ненулевыми компонентами вектора  обеспечиваются круговой подстановкой индексов). Этому перемещению соответствуют тензоры деформаций и напряжений

 .

Предъявленное НДС порождено массовыми силами  

.

В частности, при ,  линейно-независимыми наборами являются

Как следствие, полиномиальный базис объемных сил представляет собой

.

Процедура разложения состояния  по предварительно ортонормированному базису дает набор коэффициентов Фурье (приведены ненулевые коэффициенты): Линейная комбинация базисных внутренних состояний с этими коэффициентами приводит к НДС, обусловленному указанным вектором  (ниже обозначено ):

 

 

.

Рассмотрим задачу о равновесии шара единичного радиуса, по границе свободного от внешних воздействий, но нагруженного объемными силами . Внутреннее НДС, обусловленное , вызывает на поверхности отклик в виде поверхностного усилия , где  - единичный вектор внешней нормали к границе тела. Учет этого состояния в постановке задачи декомпозирует ее и приводит к первой основной задаче при отсутствии массовых сил, в которой на границе определено поверхностное усилие  . После ее решения (например, методом граничных состояний [2]) оба поля суммируются, что дает состояние, соответствующее исходной задаче. Иллюстрации решения приведены в серии рисунков (рис. 1).

      

                            а)                                   б)                                         в)

    

                                                    г)                                          д)

Рис. 1. Распределения напряжений в осевом сечении: а) радиальное; б) сдвиговое; в) окружное; г) осевое; д) линии уровня наибольших касательных напряжений (изохромы)

Литература

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11, вып. 2. С.94-100.

Пеньков Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор. Липецкий ГТУ, профессор. vbpenkov@mail.ru, 8-920-240-36-19.

Саталкина Любовь Владимировна, к.ф.м.н. Липецкий ГТУ, доцент.

satalkina_lyubov@mail.ru 8-904-219-02-08.

Кузьменко Никита Васильевич


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85342. Предмет і завдання спеціальної психології 37.66 KB
  Психологія людини з обмеженими можливостями розглядається в межах окремої галузі психологічної науки що вивчає закономірності психічного розвитку й особливості психічної діяльності дітей і дорослих із психічними й фізичними недоліками спеціальної психології. Спеціальна психологія це галузь психологічної науки яка вивчає своєрідність психічного розвитку осіб з психофізичними порушеннями...
85343. Методи дослідження психологічних особливостей людей з різними психофізичними порушеннями у спеціальній психології 39.99 KB
  Діагностика аномального розвитку дитини спрямована на визначення ступеня виразності психічної інтелектуальної емоційної мовної недостатності й на якісну оцінку структури дефекту з виділенням основного психопатологічного синдрому на встановлення звязків його з іншими клінічними проявами віком соматичним і неврологічним станом дитини. За допомогою бесіди можна виявити коло знань дитини про навколишню дійсність а також особливості її орієнтування в просторі часі явищах природи й громадському житті. У процесі бесіди психолог довідується...
85344. Загальна характеристика інвалідів (людей з обмеженими можливостями) як соціальної групи 40 KB
  У нашій країні якість життя інвалідів як правило нижче решти населення що обумовлено наступним: недостатністю в нашому суспільстві гуманізму і милосердя по відношенню до людей з особливими потребами; нерозвиненістю і непристосованістю соціальної інфраструктури міст і сільських населених пунктів з урахуванням задоволення основних потреб інвалідів; низьким рівнем матеріального забезпечення і соціального обслуговування їх недостатньою гнучкістю; низькою якістю чи відсутністю технічних засобів і пристосувань необхідних для...
85345. Девіантна поведінка. Причини виникнення девіантної поведінки 37.16 KB
  Причини виникнення девіантної поведінки. У соціології девіантної поведінки виділяються кілька напрямків що пояснюють причини виникнення такої поведінки. Мертон причиною поведінки що відхиляється вважає неузгодженість між цілями висунутими суспільством і засобами яке воно пропонує для їхнього досягнення. Особливої гостроти ця проблема набула сьогодні в нашій країні де всі сфери суспільного життя перетерплюють серйозні зміни відбувається девальвація колишніх норм поведінки.
85346. Наукові підходи до проблеми психології людини з обмеженими можливостями 41.76 KB
  Одними із осно вних понять в даній теорії в межах проблеми інвалідності є почуття неповноцінності компенсація комплекс неповноцінності. Він вважав що майже всі люди мають за мету подолання почуття неповноцінності однак це почуття у деяких людей може бути надмірним та пере рости у комплекс неповноцінності. Відомий психоаналітик вважав що комплекс неповноцінності у психоаналізі майже не вживається. Комплекс неповноцінності має глибоко еротичні корені.
85347. Методи корекції в системі психологічної допомоги людям з обмеженими можливостями 41.72 KB
  Одним із способів допомогти здоровим людям краще зрозуміти проблеми дітей з вадами здоровя навчитися надавати їм допомогу є програма Дитина дитині . Завданням цієї програми є навчити дітей шкільного віку та їх вчителів методам збереження свого здоровя й взаємодії з іншими дітьми особливо з тими хто має проблеми зі здоровям. Метою даної програми є допомогти дітям навчитися розрізняти різні види інвалідності і їх прояви; розуміти що незважаючи на те що людина у якої є фізичні вади може не справлятися з якоюсь роботою вона у той же...
85348. Загальні психолого-педагогічні аспекти реабілітації людини з обмеженими можливостями 35.77 KB
  Основними завданнями таких проектів психологореабілітаційного напрямку є відновлення та розвиток інтелектуальних функцій людини її емоційного стану навичок психічної саморегуляції комунікативної культури. Специфічними методами що використовуються у проектах для інвалідів є психологічні тренінги аутотренінг комунікативний тренінг тренінг креативності психотерапія ігротерапія бібліотерапія арттерапія та інше; соціальнокультурним який передбачає активізацію та розвиток творчохудожнього потенціалу дітей і дорослих засвоєння...
85349. Особливості розвитку людини з порушеннями інтелекту і психічними захворюваннями 42.36 KB
  Олігофренія одна з груп розумової відсталості різна за етіологією і патогенезом хворобливих змін обєднаних загальним клінічним проявом недорозвинення головного мозку. Олігофренія характеризується природженим або придбаним в ранньому дитинстві до 3 років загальним психічним недорозвиненням. У більшості з них спостерігалися недорозвинення мови й емоційновольова нестійкість. У структурі інтелектуального дефекту цієї групи дітей переважали недорозвинення зоровопросторових функцій труднощі встановлення послідовних умовиводів у розповідях...
85350. Депривація і особливості розвитку особистості дітей і підлітків із відхиленнями розвитку 38.99 KB
  Якщо подивитися на дітей з відхиленнями в дитинстві то емоційноособистісне спілкування з матірю не стає визначальним у розвитку дитини. Особливість психологічного статусу дитини з невеликими відхиленнями в розвитку це те що на ранньому етапі не залягали передумови становлення його психіки. Якщо не займатися з такою дитиною спеціальним розвитком і навчанням то зміни в емоційновольовій сфері дитини не відбудеться. Стрес повязаний з етапами шкільного життя з підвищенням вимог до дитини викликає певне психологічне напруження що часто...