79648

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Научная статья

Физика

Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния НДС шара деформируемого непотенциальными силами. Традиционные методы вариационные граничных интегральных уравнений анализа НДС линейного изотропного упругого тела учитывают объемные силы в их потенциальном варианте.

Русский

2015-02-13

379.5 KB

1 чел.

УДК 518.5.

РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩАЯ ТЕХНОЛОГИЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕМНЫХ СИЛАХ

Пеньков В.Б, Саталкина Л.В., Кузьменко Н.В.

Россия, Липецк, Липецкий ГТУ

Разработан и реализован алгоритмически метод решения задач теории упругости с объемными силами из класса непрерывных. Выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) шара, деформируемого непотенциальными силами.  

The method for solving problems of the theory of elasticity with body forces from the class of continuous is developed and algorithmic implemented. The analysis of the stress-strain state of the ball, deformable nonpotential forces is performed.

Традиционные методы (вариационные, граничных интегральных уравнений) анализа НДС линейного изотропного упругого тела  учитывают объемные силы в их потенциальном варианте. Однако, опыт решения задач, в которых объемные силы не являются потенциальными, или нелинейных задач, в которых эффект наличия объемных сил появляется как результат применения метода Пуанкаре, требует расширения до задач с объемными, непрерывными на замкнутом многообразии.  

Разработка эффективного алгоритма решения таких задач является темой актуальной, позволяет экономить вычислительные ресурсы по ряду аспектов: 1) использование общего решения Папковича-Нейбера [1] построено для случая потенциальных объемных сил. Постановка задач с непотенциальными силами наталкивается на необходимость аппроксимации таковых потенциальными, что в общем случае некорректно, но в частных случаях допустимо, хотя и порождает погрешность. Предлагаемый подход позволяет объемные силы приблизить с любой степенью точности вектором многочленов и оценить соответствующее ему НДС; 2) эффективен прием декомпозиции НДС тела на состояния, обусловленные объемными силами и скорректированными граничными условиями. Это сокращает трудоемкие операции примерно вчетверо.

Выход из положения, в котором НДС обусловлено непотенциальными объемными силами, находится на пути использования обратного метода, а именно: каждая компонента вектора перемещений может быть задана мономом ;  - порядок монома. Очевидно, что варьирование  позволяет составить базис многочленов, аппроксимирующий любой регулярный вектор перемещений . Каждому такому вектору в соответствии с формулами Коши

                                                   (1)

отвечает единственный тензор деформации, описываемый многочленами порядка .

Обобщенный закон Гука

                                                 (2)

восстанавливает тензор напряжений такого же порядка;  – константы Ламе. Уравнения равновесия

                                                         (3)

позволяют выписать выражения для вызывающих это состояние объемных сил

,

описываемых многочленами порядка . Для каждого фиксированного  центральным является вопрос: содержится ли базис векторов  среди всех вариантов, генерируемых по указанной схеме?

Строгое доказательство положительного ответа пока не найдено, но практическое исследование на линейную зависимость/независимость для конкретных случаев , проведенное методом ортогонализации, показало присутствие базиса во множествах генерируемых вариантов.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любую ограниченную на замкнутом многообразии функцию (как следствие, векторную функцию) можно представить в виде многочлена, сконструированного из элементов базиса. Процедура конструирования не отличается  от разложения произвольного элемента гильбертова пространства по его ортонормированному базису.

Для примера рассмотрим случай  (варианты с иными ненулевыми компонентами вектора  обеспечиваются круговой подстановкой индексов). Этому перемещению соответствуют тензоры деформаций и напряжений

 .

Предъявленное НДС порождено массовыми силами  

.

В частности, при ,  линейно-независимыми наборами являются

Как следствие, полиномиальный базис объемных сил представляет собой

.

Процедура разложения состояния  по предварительно ортонормированному базису дает набор коэффициентов Фурье (приведены ненулевые коэффициенты): Линейная комбинация базисных внутренних состояний с этими коэффициентами приводит к НДС, обусловленному указанным вектором  (ниже обозначено ):

 

 

.

Рассмотрим задачу о равновесии шара единичного радиуса, по границе свободного от внешних воздействий, но нагруженного объемными силами . Внутреннее НДС, обусловленное , вызывает на поверхности отклик в виде поверхностного усилия , где  - единичный вектор внешней нормали к границе тела. Учет этого состояния в постановке задачи декомпозирует ее и приводит к первой основной задаче при отсутствии массовых сил, в которой на границе определено поверхностное усилие  . После ее решения (например, методом граничных состояний [2]) оба поля суммируются, что дает состояние, соответствующее исходной задаче. Иллюстрации решения приведены в серии рисунков (рис. 1).

      

                            а)                                   б)                                         в)

    

                                                    г)                                          д)

Рис. 1. Распределения напряжений в осевом сечении: а) радиальное; б) сдвиговое; в) окружное; г) осевое; д) линии уровня наибольших касательных напряжений (изохромы)

Литература

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т.11, вып. 2. С.94-100.

Пеньков Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор. Липецкий ГТУ, профессор. vbpenkov@mail.ru, 8-920-240-36-19.

Саталкина Любовь Владимировна, к.ф.м.н. Липецкий ГТУ, доцент.

satalkina_lyubov@mail.ru 8-904-219-02-08.

Кузьменко Никита Васильевич


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10330. Общая психологическая характеристика деятельности. Методы формирования, обогащения и коррекции опыта поведения и деятельности личности 47 KB
  Общая психологическая характеристика деятельности. Методы формирования обогащения и коррекции опыта поведения и деятельности личности. Психология игры структура функции. Технология организации различных видов практической деятельности учеников игровая деятельнос...
10331. Психология общения. Педагогическое общение: структура, виды, функции, средства общения. Стили общения. Технология управления педагогическим общением 46 KB
  Психология общения. Педагогическое общение: структура виды функции средства общения. Стили общения. Технология управления педагогическим общением. Методы стимулирования общения поведения и деятельности школьников. Общение О. сложный многоплановый процесс устано...
10332. Взаимоотношения личности и группы как психолого-педагогическая проблема в отечественной и зарубежной теории и практике 51 KB
  Взаимоотношения личности и группы как психологопедагогическая проблема в отечественной и зарубежной теории и практике. Детский коллектив д.к. как объект и субъект воспитательного процесса психологическая структура коллектива педагогические условия его становления....
10333. Философские, психологические и педагогические проблемы духовного развития личности, ее мировоззрения, формирование личностного смысла научных и этических знаний 36.5 KB
  Философские психологические и педагогические проблемы духовного развития личности ее мировоззрения формирование личностного смысла научных и этических знаний. Ступени духовного роста человека. Духовное развитие личности ребенка в учебновоспитательном процессе в
10334. Нравственное воспитание как фундамент системы воспитательной работы. Задачи, содержание, методы нравственного воспитания в современных условиях 37 KB
  Нравственное воспитание как фундамент системы воспитательной работы. Задачи содержание методы нравственного воспитания в современных условиях. Моральные чувства их характеристика. Нравственное воспитание формирование системы моральнонравственных норм установ
10335. Трудовое воспитание, задачи, содержание и методы. Ушинский, Макаренко о роли труда в развитии личности. Профессиональное самоопределение 64.5 KB
  Трудовое воспитание задачи содержание и методы. Ушинский Макаренко о роли труда в развитии личности. Профессиональное самоопределение. Отечественные и зарубежные теории профессионального самоопределения Д. Сьюпер Э. Гинзберг Е.А. Климов И.С. Кон. Проф. ориентация и эк...
10336. Физическое воспитание. Понятие о здоровом образе жизни. Задачи, содержание, методы и формы ФВ в современной школе 36.5 KB
  Физическое воспитание. Понятие о здоровом образе жизни. Задачи содержание методы и формы ФВ в современной школе. Учет индивидуальнотипологических особенностей субъектов образовательного процесса в экологически неблагополучных регионах. Здоровьесберегающие технолог...
10337. Эмоционально-волевая сфера личности. Задачи, содержание и методы эстетического воспитания учащихся в современной школе 52 KB
  Эмоциональноволевая сфера личности. Задачи содержание и методы эстетического воспитания учащихся в современной школе. Воспитание эстетических чувств вкусов понятий идеалов; формирование умений навыков воплощения прекрасного в жизнь. Эмоциональные процессы пси
10338. Воспитательная система: сущность, структура, функции, динамика. Взаимодействие дидактической и воспитательной подсистем школы 42 KB
  Воспитательная система: сущность структура функции динамика. Взаимодействие дидактической и воспитательной подсистем школы. Отечественные и зарубежные воспитательные системы В.А. Караковский А.А. Захаренко Р. Штайнер М. Монтессори. Проектирование психологически ко