79694

Історична панорама розвитку математики

Лекция

Математика и математический анализ

Паралельно розвивалися уявлення про число Число́ одне з найголовніших понять математики яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось. Математика найдавніших цивілізацій Найдавніші відомості про використання математики господарські задачі в Стародавньому Єгипті Старода́вній Єги́пет одна з найдавніших держав на Землі і колиска цивілізації Середземноморя. Папірус Рінда Московський папірус Шкіряний сувій єгипетської математики та Вавилонії Вавило́нія давня держава в південній частині Месопотамії територія...

Украинкский

2015-02-14

82.22 KB

1 чел.

Лекція 4

Тема Історична панорама розвитку математики

  1.  Математика у первісному суспільстві.
  2.  Математика найдавнішніх цивілізацій (Єгипет, Вавилон, Китай, Індія).
  3.  Математика в Античній Греції
  4.  Математика в Арабській цивілізації
  5.  Математика Християнського середньовіччя та епохи Відродження.

6. Математика XVII-XX ст.

1. Математика у первісному суспільстві

Уже в найперших писемних знахідках зустрічаються знаки, що свідчать про математичні знання та вимірювання часу на основі спостереження за небесними світилами. Доісторичні артефакти, виявлені в Африці (А́фрика — другий за площею і населенням материк у світі, після Євразії. З площею понад 30 300 000 км², враховуючи прилеглі острови — він займає 5,9% площі земної поверхні і 20,3% площі суходолу. А його населення — понад 922 млн[1] (на 2005), складає понад 12% населення світу) та Франції (Фра́нція, офіційна назва Францу́зька Респу́бліка (фр. La France, République Française) — держава на заході Європи, республіка, що межує на північному сході з Бельгією, Люксембургом і Німеччиною, на сході з Німеччиною, Швейцарією й Італією, південному-заході з Іспанією й Андоррою, на півдні омивається Середземним морем, на заході — Атлантичним океаном. Площа (разом з Корсикою) — 543 965 км².), вказують на здійснення перших спроб квантифікації часу. Існує припущення, що відліком часу займалися жінки, які реєстрували місячні цикли або фази місяця. Паралельно розвивалися уявлення про число (Число́ — одне з найголовніших понять математики, яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось. У давнину у слов'янських мовах, слово "число" означало "знак", "символ", "поняття", "ідея"[Джерело?]. Під словом "числити" розуміли в ті часи "значити", "думати", а також "записувати щось за допомогою знаків", "робити певні дії зі знаками"): вірогідно, спостерігаючи за групами (стадами) тварин, люди почали розрізняти поняття "один", "два" та "багато". Саме такі кількісні уявлення донині збереглися у зулусів, африканських пігмеїв та ще ряду племен - австралійських, бразильських тощо. Пізніше числа об'єднувалися у групи, утворюючи більші одиниці лічби; зазвичай використовували пальці однієї чи обох рук, або ж рук і ніг, що давало лічбу з основою 5, 10 або 20. Записи велись позначенням одиниць, зарубками, камінцями тощо.

2. Математика найдавніших цивілізацій

Найдавніші відомості про використання математики — господарські задачі в Стародавньому Єгипті (Старода́вній Єги́пет — одна з найдавніших держав на Землі і колиска цивілізації Середземномор'я. Країна-стрічка, займала територію в нижній течії річки Ніл в північно-східній Африці. Єгипетська нація складалася з 40 невеликих держав. У другій половині 4-го тис. д.н.е. ці держави утворили два царства: на півночі – Нижній Єгипет, на півдні – Верхній Єгипет. На цих теріторіях почалася так звана династична єпоха (До 343 років. д. н. е. Правило близько 30 династій).) (Папірус Рінда, Московський папірус, Шкіряний сувій єгипетської математики) та Вавилонії (Вавило́нія — давня держава в південній частині Месопотамії (територія сучасного Іраку), що виникла на початку 2 тис. до н. е і остаточно втратила незалежність в 539 до н. е. Отримала назву від головного міста Вавилона.) (Математичні тексти Суз). Вона використовувалась для календарних обрахунків, розподілу врожаю, організації суспільних робіт, збирання податків.

Єгиптяни були першим народом, котрий винайшов писемність. Єгипетські жерці розробили надзвичайно точний для свого часу сонячний календар. Спочатку діяв календар, який складався з 360 днів. Коли жерці уточнили тривалість року, було вигадано міф про те, що боги подарували народу Єгипту декілька днів, які були оголошені святковими. У пізньому періоді навіть виник проект введення високосних років, але він не здійснився. Саме в Єгипті розділили добу на 24 години.

Розробляється десяткова система рахунку. Єгиптяни оперували простими дробами з чисельником 1, уміли обчислювати довжину кола і площу круга.

При храмах діяли закриті навчальні заклади — «будинки життя». Школи писарів (а ці посади, як правило, передавалися спадкоємцю) створювалися при дворі фараона, при храмах і великих державних установах. Основні предмети — читання, письмо і лічба.

Одне з найвідоміших повчань свідчить: «Зверни ж серце твоє до книг… немає нічого вищого за книгу».

Математичний папірус Ріндадавньоєгипетський навчальний посібник з арифметики і геометрії періоду Середнього царства, переписане прибл. 1650 до н. е. переписувачем Ахмесом на сувій папірусу довжиною 5,25 метрів і шириною 33 см.

Папірус було знайдено у 1858 році. У 1870 папірус розшифровано, перекладено і видано. Нині більшість рукопису перебуває у Британському музеї, у Лондоні, решта — в Нью-Йорку.

Папірус Рінда містить умови і розв'язки 84 задач і є найповнішим єгипетським задачником, що дійшли донині. Московський математичний папірус, що знаходиться у Державному музеї образотворчих мистецтв імені О. С. Пушкіна, поступається папірусу Рінда за повнотою (він з 25 завдань), але, мабуть, перевершує віком. Встановлено, що справжній оригінал, від якого був переписаний папірус Рінда, віднесено до другої половині ХІХ століття до н. е.; ім'я його автора невідомо. Окремі дослідники припускають, що він міг бути складений виходячи з іще древнішого тексту III тисячоліття до н. е.

У вступній частині папірусу Рінда пояснюється, що він присвячений «здійсненого і обґрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їх сутності, пізнання їх таємниць». Усі завдання є у тому чи іншому ступені практичного характеру і можуть бути застосовані у будівництві, розмежуванні земельних наділів та інших сферах життя і виробництва. Переважно це завдання на знаходження площ трикутника, чотирикутника і кола, різноманітні дії з цілими числами і аліквотними дробами (Аліквотний дріб (рос. аликвотная (аликватная) дробь, англ. aliquot (unit) fraction, нім. aliquot Bruchzahl) — звичайний дріб, в чисельнику якого стоїть одиниця. В маркшейдерській справі, геодезії часто застосовується для характеристики відносної похибки або результату: 1/100, 1/200, 1/500 тощо), пропорційний поділ, знаходження відношень.

Разом з тим, у папірусі є низка свідчень те, що математика в Древньому Єгипті переросла виключно практичну стадію. Так, єгипетські математики вміли брати корінь й підносити до степеня, були знайомі з арифметичною та геометричною прогресією (одне з завдань папірусу Рінда зводиться до пошуку суми членів геометричної прогресії). Безліч завдань, зводяться до вирішення рівнянь (зокрема квадратних) із однією невідомою, вживають спеціальний ієрогліф «купа» (аналог латинського x, традиційно уживаного у сучасній алгебрі) для позначення невідомого.

Проте папірус свідчить і про вади єгипетської математики. Наприклад, площа довільного чотирикутника у них обчислюється перемноженням півсум довжин двох пар протилежних сторін, тоді як рівність має місце лише у прямокутнику. Єгипетські математики користувалися лише аліквотними дробами (виду 1/n, де n — натуральне число) і дробом 2/3.

У московському папірусі в задачі №14 правильно Папірус Рінда, як і Московський математичний папірус, показує, що стародавні єгиптяни доволі точно визначали наближення числа π ≈ 3,16 ((16/9)²), тоді як у всьому Давньому Близькому Сході воно вважалося рівним трьом.обчислюється об’єм зрізаної піраміди з квадратною основою, а в задачі №10 наявний самий ранній приклад визначення площі кривої поверхні: обчислюється бічна поверхня корзини-півциліндра, висота якої дорівнює діаметру.

Дія ділення була самою «важкою» для єгиптян. При множенні використовувався спосіб поступового подвоєння одного співмножників та додавання підходящих часткових добутків. Наприклад, 12×12=144                    1                 12

                                                                2                24

                                                                4               48

                                                                8               96

                                                                                 144

12×14=168

Матеріали, що знаходяться в папірусах, дають підстави стверджувати, що за 20 ст. до нашої ери в Єгипті почали формуватися елементи як науки. Але техніка обчислень була примітивною, а методи розв’язання задач не були різноманітними.

Математика Стародавнього Вавилону.

Математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной, хотя неизвестно, каким образом были получены эти рецепты. Их математическая  система была позиционной, но шестидесятеричной Они не использовали нуль. Допускались более общие, хотя и не все, дроби. Они умели извлекать квадратные корни Они умели решать линейные системы. Они умели работать с пифагоровыми тройками. Они решали кубические уравнения с помощью таблиц. Они изучали измерения, связанные с окружностями. Их геометрия была не всегда правильной.

В области математики вавилонская наука достигла сравнительно высокого развития; здесь вавилонская наука может быть сравнена только с греческой. В вавилонской математике уже осуществлен тот принцип, что одна и та же цифра имеет различную числовую значимость в зависимости от места, занимаемого ею в числовом комплексе. Вавилонская числовая система явилась предтечей арабской. Разница заключалась в том, что в Вавилонии вместо десятичной системы была шести десятиричная. Она продолжает жить и в наше время как наследие Вавилона. Это доказывается делением часа на 60 минут, минуты на 60 секунд и делением окружности на 360 градусов.

Изучение вавилонской математики показывает, что вавилонские писцы знали знаменитую пифагорову теорему и другие теоремы планиметрии и стереометрии. Вавилонские математики положили начало и алгебре. Установлено, что они умели извлекать не только квадратные, но и кубические корни.

Очень возможно, однако, что если в Вавилоне мы имеем такое приближенное исчисление, то это не доказывает, что вавилонские математики не знали более точного значения, а просто для практических целей им не надо было более точного измерения.

Вавилонская математика

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеровклинописное письмо, счётная методика и т. п.[1]

Вавилонская табличка с вычислением

= 1.41421296...

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т.д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.

Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была.

Вавилонские 60-ричные цифры

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:

4,2,10; 46,52

Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц, отдельно для умножения на 1-20, 30…50. Деление m/n они заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n у них были специальные таблицы. Другие таблицы помогали возводить в степень, извлекать корни и даже находить показатель степени n, если дано число вида 2n (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту)[2]. Без многопудовой библиотеки таблиц никакие расчёты в Вавилоне были невозможны.

Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего по формуле метода Ньютона[3]:

an + 1 = (an + N / an) / 2

В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают π = 3; позже встречается приближение 25/8 = 3,125. Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, т.е. π2R2 / 3. Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте:. 

Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.

Джерела

  1.  Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)

Литература

  1.  Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. 1959, 456 с.
  2.  Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.
  3.  Депман И. Я. История арифметики. (1965) 
  4.  История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  5.  Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
  6.  Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
  7.  Рыбников К.А. История математики. М., 1994.
  8.  Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
  9.  Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. World Scientific, 2005.
  10.  Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. World Scientific, 2007.
  11.  O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics, MacTutor History of Mathematics, (December 2000).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40101. Разработка системы защиты выбранного объекта 98.5 KB
  Объект представляет собой локальную сеть с выделенным сервером и 4 рабочих станции. Сеть находится в одном адресном пространстве с корпоративной сетью другого учреждения в дальнейшем СЕТЬ построенной по принципу internet. Кроме того имеется подключение к сети интернет через модемное соединение и через локальную сеть. Подключение к internet через локальную сеть происходит через проксисервер расположенный в СЕТИ.
40102. Математическая модель маятника на каретке 1.46 MB
  В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем t угол отклонения маятника и xt положение каретки. Для записи уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода 1.1 получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка 1. Дифференциальные уравнения в форме Коши Для записи системы дифференциальных уравнений в форме...
40103. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА 13.61 MB
  Построение компьютерной модели с целью имитации движений, а также применение методов теории управления упрощается, если исходные уравнения привести к форме Коши. Для этого разрешим исходные уравнения относительно старших производных. Заметим, что старшие производные входят в уравнение линейно, что позволяет представить уравнения в матричной форме
40104. Синтез алгоритмов управления нестабильным объектом 449.5 KB
  Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи: 1 – составить нелинейную математическую модель объекта и провести анализ методом компьютерного моделирования; 2 – провести анализ устойчивости управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели; 3 – синтезировать регулятор состояния методом размещения собственных значений [2]; 4 – синтезировать наблюдатель состояний и динамический регулятор; 5 – оценить размеры области притяжения положения равновесия нелинейной системы с непрерывным регулятором; 6 – построить...
40105. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод 178 KB
  ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.
40106. Задача максимизации прибыли при заданных ценах на продукцию и ресурсы. Анализ оптимальных решений с помощью множителей Лагранжа 34.5 KB
  Требуется решить задачу максимизации прибыли при заданных P0 и p: mx P0fx – p x 1 x  0 2 Исследование задачи будем проводить с помощью функции Лагранжа: – балансовое соотношение В оптимальном плане x для любых используемых ресурсов отношение цены к предельной эффективности постоянно. Для этих же ресурсов показали что соотношение предельных эффективностей равно соотношению цен. Наибольшая отдача будет от тех ресурсов которые имеют самую большую предельную эффективность в текущей точке.
40107. Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий 167.5 KB
  Пусть игра определена матрицей и ценой игры V. – оптимальная стратегия 1 игрока х является первой координатой некоторой седловой точки фции выигрыша Мх у. СЛЕДСТВИЕ: Если для смешанных стратегий и числа V одновременно выполняются 1 и 2 то будут оптимальными стратегиями игроков а V– цена игры. Докво: умножим 1 на y и просуммируем: умножим 2 на x и просуммируем: Получаем Тогда по следствию Т о седловой точке точка – седловая и –...
40108. Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования 119.5 KB
  Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Парная игра с нулевой суммой задается формально матрицей игры – матрицей А = {ij} элементы которой определяют выигрыш первого игрока и проигрыш второго если первый игрок выберет iю стратегию а второй jю стратегию. Пара i0j0 называется седловой точкой матрицы решением игры если выполняются условия: mx по столбцу I игрок min по строке II игрок Значение функции выигрыша в седловой точке называется ценой игры. Тогда выигрыш первого игрока при условии что он выбирает...
40109. Методы штрафных функций и методы центров в выпуклом программировании 90 KB
  Методы штрафных функций и методы центров в выпуклом программировании Метод штрафных функций Постановка задачи Даны непрерывно дифференцируемые целевая функция fx = fx1 xn и функции ограничений gjx = 0 j = 1 m; gjx 0 j = m1 p определяющие множество допустимых решений D. Требуется найти локальный минимум целевой функции на множестве D т. Стратегия поиска Идея метода заключается в сведении задачи на условный минимум к решению последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции: Fx Ck =...