79696

Математика в Стародавньому Китаї

Лекция

Математика и математический анализ

Періоди розвитку математики в Китаї Древнє математичне Десятікніжье Математика Китаю Висновок Список літератури Введення Математика в Китаї розвивалася з глибокої давнини і досягла свого найбільшого розвитку до XIV ст. Наша увага буде приділена математики стародавнього Китаю в період з II ст. Історія математики стародавнього Китаю розглядається в роботі у вигляді декількох глав кожна з яких є по суті незалежної один від одного про найбільш характерні проблеми математики стародавнього...

Украинкский

2015-02-14

245.75 KB

4 чел.

Математика в Стародавньому Китаї 

Викладач 

М.В. Холопова 

Виконавець 

Студент 516 групи 

А.А. Хозяінова 

Сиктивкар 2007

Зміст 

Введення 

Періоди розвитку математики в Китаї 

Древнє математичне «Десятікніжье» 

Математика Китаю 

Висновок 

Список літератури

Введення 

Математика в Китаї розвивалася з глибокої давнини і досягла свого найбільшого розвитку до XIV ст. н.е. Далі в Китай проникає західна математика, принесена в основному європейськими місіонерами, і це вже інша епоха в історії науки Китаю.

Наша увага буде приділена математики стародавнього Китаю в період з II ст. до н.е. по VII ст. н.е. 

Історія математики стародавнього Китаю розглядається в роботі у вигляді декількох глав, кожна з яких є, по суті, незалежної один від одного про найбільш характерні проблеми математики стародавнього Китаю. 

Проблеми ці «початкові», властиві розвитку математики з найдавніших часів, вони стосуються розвитку поняття числа, фігури і її площі, тіла і його обсягу, формування найпростіших теоретико-числових понять середнього арифметичного, загального найбільшого дільника, найменшого загального кратного, історія теореми Піфагора і т.д. 

Наявність у китайських математиків високо розробленої техніки обчислення та інтересу до спільних алгебраїчним методам виявляється в ряді китайських текстів, що належать стародавнім і середньовічним авторам. 

Ці тексти різко діляться на дві групи: 

До першої групи належить збірка «Десяти класичних трактатів з математики» («Десятікніжье»). У цьому творі, що поклала початок прогресу математики в Китаї аж до XIV ст., Описуються, зокрема, способи добування квадратного і кубічного коренів з цілих чисел. 

До другої групи належать пізніші твори, вони індивідуальні: це книги Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Лі Е, Ян Хуея та ін 

Інтерес до історії китайської науки значно зріс в даний час не тільки в самому Китаї. Історія китайської математики стала предметом пильної уваги цілого ряду дослідників.

Періоди розвитку математики в Китаї 

Періодизація є складним питанням, яке жваво дискутується вченими в самих різних аспектах: і щодо всесвітньої математики і науки взагалі, і щодо китайської математики. Кожна із запропонованих трактувань дає певну характеристику. 

Якісне представлення про загальний розвиток математики дає періодизація, запропонована академіком А. Н. Колмогоровим. Згідно з його періодизації, виділяються чотири етапи: 

  1.  накопичення математичних знань і створення практичної математики; 
  2.  період елементарної математики, або математики постійних величин; 
  3.  створення математики змінних величин; 
  4.  період сучасної математики. 

Китайська математика цілком укладається в другий період розвитку, період математики постійних величин. Відзначаються тому окремі найбільш яскраві відкриття китайських вчених: 

- Метод чисельного рішення рівнянь n-ступеня (метод Руффини - Горнера); 

- Теоретико-числові завдання на системи порівнянь першого ступеня з одним невідомим (порівняння Гаусса); 

- Метод рішення систем лінійних рівнянь (метод Гаусса); 

- Обчислення числа π (пі). 

При детальному викладі історії китайської математики зазвичай пропонуються більш спеціальна періодизація, із залученням традиційної китайської хронології. Згідно Лі Яню, історія китайської математики ділиться на п'ять періодів: 

Перший період - «глибока старовина» (шан гу) обіймає період з часу легендарного Хуанді до початку Хеньской династії - 2700 - 100 до н.е.; 

Другий - «старовину» (чжун гу) - ділиться з 100 р. до н.е. до 600 р. н.е., включаючи династії Хань і Суй; 

Третій період - «пізня старовину» (цзинь гу) - 600 - 1367 рр.. н.е. Це династії Тан, Сун і Юань; 

«Новий час» (цзинь ши) - 1368 - 1750 рр.. н. е.. - Четвертий період, що охоплює династії Мін і Цін до її середини; 

І останній період - «новітній» (цзуй цзинь ши) - тягнеться з 1750 р. аж до «звільнення» в 1949 р. 

Розглянемо розвиток математики в Китаї в рамках умовної періодизації, запропонованої Лі янем. 

Перший період - звичайний початковий етап розвитку науки у всякій стародавньої цивілізації. Це епоха накопичення знань у зв'язку із запитами господарства і появи перших спеціальних текстів, інструкцій-розв'язник. 

Сима Цянь (II ст. До н.е.) китайський Геродот, почав свій історичний працю з міфічного Хуанді, який нібито правил з 2698 по 2598 рр.. до н.е. Його міністр Лі Шоу ввів «дев'ять чисел», повідомляє Сима Цянь у своїх «Історичних записках». 

До таких вікопомних часів відносять вживання циркуля гуй і косинця цзюй. Ці інструменти символізують порядок (гуй-цзюй). 

В епоху Інь (18-12 ст. До н.е.) користувалися календарем. 

У середині першого тисячоліття (час початку плавки заліза) в Китаї сталися істотні зміни у всіх сферах життя. До епохи Конфуція (VI ст. До н.е.) математика оформляється в самостійну науку, яка в давнину називалася «Мистецтва обчислення» (суань шу) і підлягала вивченню благородною людиною (цзюньжень). 

Розвиток математики в цей «золотий вік» зовсім не досліджено, не збереглося жодного спеціального тексту. Однак ці тексти безсумнівно послужили основою для складання більш пізніх «Математичного трактату про Чжоу-бі» і класичної «Математики в дев'яти книгах». 

Про математики даного періоду, періоду її становлення, можна судити за окремими фрагментами із зазначених вище двох спеціальних творів, а також на підставі нематематичних літератури. 

До такої літератури належить «Книга змін» (VIII - VII ст. До н.е.), в основу якої покладено 64 гексаграмма. Судячи з цієї книги, математики займалися питаннями комбінаторики. Вони були знайомі з двійковою і трійкової системами числення. Також сюди можна віднести трактати Чжуан-цзи і Мо-цзи. З першим ім'ям пов'язаний розвиток діалектики в древньому Китаї, з другим - логіки, оптики, динаміки, а також ряд визначень і аксіом геометрії. 

Другий період пов'язаний з Хеньской династією, час правління якої ділиться на дві половини: першу - ранньою, або Західні (202 р. до н.е. - 9 ст. Н.е.), і другу - Пізню, або Східну (25 - 220 рр.. н. е..). І після Хеньской імперії Троецарствие ... 

У цей період відбувається поділ наук на ортодоксальні і не ортодоксальні. З наук астрономія, математика, наприклад, вважалися офіційними науками. А от, наприклад, та частина медицини яка спиралася на натурфілософські ідеї, вважалася ортодоксальної, а інша, яка грунтувалася на магії, - неортодоксальної. 

Від другого періоду в історії математики збереглося багато імен, пов'язаних з математикою. Багато хто з них займалися проблемою числа π. 

З 192 г починається епоха Троєцарствія. До цього часу були написані майже всі трактати математичного «Десятікніжья», але сам збірник був складений на початку третього періоду. 

Третій період, період розквіту математики в Китаї, прикрашений іменами великих вчених: Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Шень Ко, Го Шоу-цзин, Лі Е, Ян Хуея та інші, - створили своїм своєрідну китайську алгебраїчну школу. 

Четвертий період - період занепаду класичної математики і розвитку, «народних методів». Спостерігається широке поширення посібників з правилами обчислень на китайських рахунках, римовані риторичні правила. З'являються перші західні місіонери, і зніми перші переклади «Начал» Евкліда та ін західної літератури. 

У п'ятий період робота математиків проходить у двох напрямках: теоретичне обгрунтування прийнятих раніше без доказів західних методів і обробка і розвиток старих, традиційних проблем. 

Древнє математичне «Десятікніжье» 

Збірка «Суань цзин ши шу» або просто «Десятікніжье» був складений в VI столітті Чжень Луаном прокоментовано Лі Чунь-феном в VII ст. 

Тексти, що входять в «Десятікніжье», були написані протягом III - VI ст. н.е. Вони різні, проте мають і деякими загальними властивостями. Всі тексти, по суті безіменні, хоча деякі заголовки трактатів містять імена авторів. 

Питання, представлені в трактатах «Десятікніжья», найбільше є арифметико-алгебраїчними, а не геометричними. Також розглянуті деякі питання календаря і навіть музичної гами. 

  1.  Класична «Математика в дев'яти книгах». 

«Математика в дев'яти книгах» (Цзю чжан Суань шу) - центральне твір математичного «Десятікніжья». Найбільше за обсягом і саме змістовне, воно є одним з чудових пам'яток стародавнього Китаю часу династії Ранньою Хань (206 р. до н.е. - 7 р.н.е.), що правила в одній з великих і наймогутніших імперій стародавнього світу. 

Математичний матеріал: правила дії дробами, алгоритм Евкліда, пропорції і прогресії, правила вилучення коренів, обчислення різних площ і обсягів, теорему Піфагора і застосування подібності прямокутних трикутників, формули для піфагорових чисел, питання практичної геометрії, рішення системи лінійних рівнянь і т.д. 

Твір складається з дев'яти досить самостійних книг: 

книга I «Вимірювання полів»; 

книга II «Співвідношення між різними видами зернових культур»; 

книга III «Розподіл по щаблях»; 

книга IV «Шао-гуан» (метод вилучення квадратних кубічних коренів); 

книга V «Оцінка робіт»; 

книга VI «Пропорційний розподіл»; 

книга VII «Надлишок-недолік»; 

книга VIII «Правило фен-чен»; 

книга IX «Співвідношення між катетами і гіпотенузою в прямокутному трикутнику». 

«Математика в дев'яти книгах» є першим власне математичним твором з ряду класичних в стародавньому Китаї. 

  1.  Твір Лю Хуея з практичної геометрії. 

Лю Хуей, математик III ст. н.е., відомий як основний коментатор «Математики в дев'яти книгах». Він позначив метод рішення - чжун-ча, тобто «Двухсловний різниця» в самостійному трактаті - «Математичний трактат про морський острові». Цей трактат містить дев'ять завдань. Вони, мабуть, зіграли велику роль в науці. 

  1.  Метрологічний трактат Сунь-цзи. 

Історики встановили, що цей твір не належить знаменитому древнекитайскому полководцю V ст. до н.е. Сунь-цзи. Композиція: три книги-цзюнь містить 64 завдання. 

  1.  Математичний трактат Чжан Цю-цзянь. 

Цей трактат написано приблизно через 200 років після написання «Метрологічний трактат Сунь-цзи». Математичний трактат Чжан Цю-цзянь - другий за розміром текст у «Десятікніжьі» після «Математики в дев'яти книгах». Він складається з трьох книг: першої, середньої, останньою. Всього в них 92 завдання. 

  1.  Практичне керівництво для чиновників п'яти відомств. 

Невеликий анонімний «Математичний трактат п'яти відомств» відноситься приблизно до IV в. 

  1.  Арифметичне посібник Сяхоу Яна. 

Текст належить до середини VI ст. Трактат складається з трьох книг, він вирізняється особливим прагненням до полегшення виробництва операцій на рахунковому приладі. Всього 73 завдання, причому в першій книзі немає завдань. 

  1.  Два трактату Чжень Луан. 

Чжень Луань жив у VI столітті н.е., був астрономом під час династії Північна Чжоу (557-583) і брав участь в стані календаря Тяньхе. Він вивчив буддизм і написав «Трактат про веселе шляху» в трьох свитках. Чжень Луена - укладач і коментатор математичного «Десятікніжья», автор одного з трактатів цієї збірки: «Мистецтво рахунку в П'ятикнижжя». 

  1.  Трактат Ван Сяо-туна про рівняння третього ступеня. 

Весь трактат в цілому присвячений чітко одній проблемі - чисельному рішення рівнянь третього ступеня, а також біквадратних рівнянь. Він складається з трьох груп завдань. Ван Сяо-тун вживав спеціальну термінологію, можливо належить йому або загальновживану в його час. 

  1.  Трактат про гномона. 

«Математичний трактат про Чжоу-бі» - найбільш ранній текст зі збережених з історії китайської математики. Він складається з двох сувоїв: верхнього й нижнього. 

Таким чином, протягом п'яти століть були складені і оброблені всі десять трактатів математичного «Десятікніжья».

Математика Китаю 

Техніка обчислень. 

Мало відома техніка обчислень стародавнього Китаю, яку іноді зовсім не згадують, хоча істотно доповнює загальну картину розвитку математики в давнину. 

Китайська техніка рахунку була заснована на десяткової нумерації, але користувалися позиційним принципом. У стародавньому Китаї велику роль грала лічильна дошка з здійсненої на ній позиційною системою числення. 

Китайські джерела істотно доповнюють загальну картину розвитку обчислювальних методів в давнину. Вони дозволяють більш повно з'ясувати різні питання, наприклад: 

- Система числення; 

- Арифметика цілих чисел; 

- Десяткові дроби; 

Поняття числа. Арифметичні та теоретико-числові проблеми. 

Тут розглядається алгебраїчний шлях переходу від цілих чисел до чисел раціональним. Той історичний процес, який відбувався в стародавньому Китаї при освоєнні поняття числа, носив досить загальний характер і мав місце у всіх стародавніх цивілізаціях: 

- Звичайні дроби; 

- Пропорції і прогресії; 

- Проблема розподілу із залишком. 

Алгебра. Рішення рівнянь. 

Алгебраїчні методи характерні для китайської математики. Досягнення китайських алгебраїстів - найбільш відома частина історії математики в Китаї, відома, проте не повною мірою. Зауважимо, що давня алгебра викладалася словесно, без символіки: 

- Лінійні системи; 

- Рішення рівнянь вищих ступенів чисельним методом; 

Геометрія. Застосування методів алгебри до геометричних завданням. 

Тут розглядалися методи, якими користувалися при вирішенні різних завдань прикладного характеру. Існує обгрунтований погляд на китайську математику як на обчислювальну, для якої характерні алгебраїчні методи: 

- Вимірювання площ і об'ємів; 

- Теорема Піфагора; 

- Вимірювання кола і кулі; 

- Визначення відстаней до недоступних предметів.

Висновок 

На підставі усього вищевикладеного можна зробити висновок про те, що розвиток математики в стародавньому Китаї з II ст. до н.е. по VII ст.н.е. дало сильний поштовх для подальшого її вдосконалення і застосування розроблених методів у майбутньому. 

Зародження групового десяткового рахунку і мультиплікативного принципу фіксування чисел ще в епоху Інь, винахід надалі лічильної дошки для проведення на ній обчислень призвело до появи позиційної системи числення разом з десятковими дробами. 

У створенні числень звичайних і десяткових дробів надалі проявилися два різних напрямки в розвитку математики. Перший напрямок - аналітичне - пов'язано з десятковими дробами, метрологічне походження яких в давньокитайській математики знаходить пояснення у процедурі поділу, а також вилучення коренів. Друге алгебраїчне - пов'язано зі звичайними дробами та теоретико-числовими проблемами. 

Були добре відомі середнє арифметичне двох або кількох чисел, властивості арифметичної і геометричної прогресії, вчення про парних і непарних, а також про числові «іншої природи». Арифметика залишків, тереми Піфагора, кінцеві числові послідовності з першими і другими різницями, магічні квадрати з їх трансформаціями і т.д. - Все це свідчить про величезну практиці у вирішенні теоретико-числових задач. 

Що стосується загальної моделі стародавньої математики, то слід відзначити її «лінійність» як основу багатьох методів.

Список літератури 

  1.  Березкіна Е.І. Математика стародавнього Китаю / «Наука», М, 1980 г (с.48-50); 
  2.  Математичний енциклопедичний словник / «Велика Російська Енциклопедія», М, 1995 г (с. 16 - 17); 
  3.  Стройк Д.Я Короткий нарис історії математики / видання третє / «Наука», М, 1978 р. 

  1.  Розвиток математики в Стародавньому Китаї 

Наявність у китайських математиків високоразработанной техніки обчислень і інтересу до алгебраїчних методів виявляє вже «Математика в дев'яти книгах» складена за більш раннім джерел у 2-1 ст. до н.е. У цьому творі, що поклала початок прогресу математики в Китаї аж до 14 століття, описуються, зокрема, способи добування квадратних і кубічних коренів з цілих чисел. Велике число завдань вирішується так, що їх можна зрозуміти тільки як приклади, що служили для роз'яснення чітко прийнятої схеми виключення невідомих у системах лінійних рівнянь. У зв'язку з календарними розрахунками в Китаї виник інтерес до завдань такого типу: при розподілі числа 3 залишок є 2, при розподілі на 5 залишок є 3, а при діленні на 7 залишок є 2, яке про число? Сунь-цзи (3в.) і більш повно Цзінь Цзюшао (13в.) дають викладене на прикладах опис регулярного алгоритму для вирішення таких завдань. Прикладом високого розвитку обчислювальних методів в геометрії може служити результат Цзу Чунжі (2-я половина 5 століття), який, обчислюючи площі деяких вписаних у коло та описаних багатокутників, показав, що відношення π довжини кола до діаметра лежить в межах 

3,1415926 <π <3,1415927

Як правило, втім, в задачах обчислювальної геометрії користувалися наближеним значенням π, рівним 3. Примітно, що поряд з цим було сформульовано так званий принцип Кавальєрі, застосований до порівняння обсягу кулі діаметра d з об'ємом тіла, укладеного між поверхнями двох врізанних в куб d 3 циліндра зі взаємно перпендикулярними осями. Раніше обсяг цього тіла, рівний (2 / 3) d, визначив Архімед, висновок, якого не зберігся. Питання про можливі зв'язки між математикою Стародавнього Китаю і Древньої Греції, а також Вавилона залишається відкритим. 

Особливо чудові роботи китайців за чисельним рішенням рівнянь. Геометричні задачі, що призводять до рівнянь третього ступеня, вперше зустрічаються у астронома і математика Ван Сяотунь (7в). Виклад методів вирішення рівнянь четвертого і вищих ступенів було дано в роботах математиків 13-14 століття Цзінь Цзюшао, Лі Е, Ян Хуея і Чжу Шицзи. 

З царювання династії Хань (II ст. До н. Е.. - I ст. Н. Е..) Древні знання стали відновлювати і розвивати. У II ст. до н. е.. опубліковані найдавніші з дійшли до нас творів - математико-астрономічний «Трактат про вимірювальному жердині» і фундаментальну працю «Математика в дев'яти книгах». «Математика в дев'яти книгах» - давньокитайське математичний твір. Являє собою слабо узгоджену компіляцію більш ранніх праць різних авторів, написаних в X-II століттях до н. е.. Остаточно відредагована фінансовим чиновником Чжан Цаном (помер в 150 до н. Е..). У ній зібрані 246 завдань, викладених у традиційному східному дусі, тобто рецептурно: формулюється завдання, повідомляється готову відповідь і (дуже коротко і не завжди) вказується спосіб вирішення. 

Цифри позначалися спеціальними ієрогліфами, які з'явилися в II тисячолітті до н. е.., і знамено їх остаточно встановилося до III в. до н. е.. Ці ієрогліфи застосовуються і в даний час. Для запису великих чисел в стародавньому Китаї використовувалися 4 різні системи: 

Система 

亿 / 亿 (Yì) 

 (Zhào) 

 (Jīng) 

 (Gāi) 

 (Zǐ) 

 (Ráng) 

Принцип 

1 

10 травня 

10 Червень 

10 липня 

10 серпня 

10 вересня 

10 жовтня 

Кожне наступне число більше попереднього в 10 разів 

2 

10 серпня 

10 грудня 

16 жовтня 

20 жовтня 

24 жовтня 

28 жовтня 

Кожне наступне число більше попереднього в 10000 разів 

3 

10 серпня 

16 жовтня 

24 жовтня 

10 32 

10 40 

10 48 

Кожне наступне число більше попереднього в 10 8 разів 

4 

10 серпня 

16 жовтня 

10 32 

10 64 

10128 

10256 

Кожне наступне число є квадратом попереднього 

Перша система є, мабуть, найбільш стародавнім. Зараз повсюдно використовується друга система, але більшість людей не знають символів, великих 兆. 

Китайський спосіб запису чисел спочатку був мультиплікативним. Наприклад, запис числа 1946, використовуючи замість ієрогліфів римські цифри, можна умовно представити як 1М9С4Х6. Однак на практиці розрахунки виконувалися на лічильної дошці суаньпань, де запис чисел була іншою - позиційної, як в Індії, і, на відміну від вавилонян, десяткової - Китайська семікосточковая різновид абака (Рахівниця). З'явилася в VI столітті нашої ери. Сучасний тип цього рахункового приладу був створений пізніше, мабуть в XII столітті. Суаньпань являє собою прямокутну раму, в якій паралельно один одному протягнуті дроту або мотузки числом від дев'яти і більше. Перпендикулярно цьому напрямку суаньпань перегороджений на дві нерівні частини. У великому відділенні на кожній дроті нанизано по п'ять кульок (кісточок), у меншому - по два. Дроти відповідають десятковим розрядам. Суаньпань виготовлялися всіляких розмірів, аж до самих мініатюрних - в колекції Перельмана був привезений з Китаю примірник в 17 мм довжини і 8 мм ширини. 

Китайці розробили витончену техніку роботи на лічильної дошці. Їхні методи дозволяли швидко робити над числами всі 4 арифметичні операції, а також отримувати квадратні і кубічні корені. 

Китайська лічильна дошка по своїй конструкції аналогічна російським рахунками. Нуль спочатку позначався порожнім місцем, спеціальний ієрогліф з'явився близько XII століття н. е.. Для запам'ятовування таблиці множення існувала спеціальна пісня, яку учні заучували напам'ять. 

Приклади завдань 

  1.  Дика качка від південного моря до північного летить 7 днів. Дикий гусак від північного моря до південного летить 9 днів. Тепер дика качка і дикий гусак вилітають одночасно. Через скільки днів вони зустрінуться? 
  2.  Є 5 горобців і 6 ластівок. Їх зважили на вагах, і вага всіх горобців більше ваги всіх ластівок. Якщо поміняти місцями одну ластівку і одного горобця, то вага буде однаковим. Загальна вага всіх ластівок та горобців: 1 цзинь. Питається, скільки важать ластівка і горобець. 
  3.  У клітці сидять фазани та кролики, всього 35 голів і 94 ноги. Дізнатися число фазанів і число кроликів. 

  1.  Розвиток математики в різних районах Стародавнього Китаю 

Когурьо. Про теоретичних роботах з математики Когурьо нічого не відомо. Але когуресци, безсумнівно, були знайомі з основними математичними законами, відкритими до того часу в Китаї, і вміли застосовувати їх на практиці. Були відомі Циркуль і кутомір, використовувані в будівництві та землемірному Справі, і китайські способи побудови з їх допомогою кола і квадрата, обчислення довжини гіпотенузи прямокутного трикутника. У математичному каноні про чжоу-би, т. е. «Про жердині сонячних годин» («Чжоу-бі суаньцзін») дається приблизне значення числа пі. Всі ці знання застосовувалися у вимірі площ, сипучих тіл і рідин, часу, а головне - в будівництві. Вивчення похоронних камер в курганах, залишків храмів і пагод виявляє безсумнівну вміння когуресцев обчислювати площу і об'єм споруди, користуватися найпростішими вимірювальними інструментами. Основний лінійної мірою був ханьский фут (чи), а при закладці фундаментів широко застосовувалося співвідношення 3:4:5, засноване на знанні теореми Піфагора. Застосування цього китайського правила можна було спостерігати ще на пам'ятниках Лола. Ряд збережених у Пхеньяна фундаментів палаців і павільйонів мають восьмикутну форму і складені, як і стелі в похоронних камерах колодязного типу, за способом двох накладених один на одного квадратів. 

Пекче. В V-VI ст. в Китаї прославилися математики Цзу Чун і його син Цзу Хен. і будівництво Цзу Чун обчислив відношення довжини кола до її діаметру (число пі), яке отримало наближення 3,1415927 ... У Європі до цього прийшли лише в 1573 р. Значення даного обчислення було високо оцінений математиками Далекого Сходу. В Японії число пі отримало найменування «числа цзу». Цзу здійснив детальне дослідження та коментар китайської «Математики в дев'яти книгах» (Цзючжан суаньму »), розробку китайського календаря. Обміри руїн палаців і храмів Пекче показують, що в будівництві широко застосовувався принцип масштабності, пропорційності. Так, при обмірі будов гірської фортеці в оксо ширина нижньої частини квадрата платформи склала 40 футів (тобто чи держав Східна Вей і Коре), а верхній квадратної платформи - 36 футів, таким чином, дерев'яна надбудова займає 3 / 5 нижньої платформи, тобто 24 фути. Відстань між стовпами теж становить 8 футів. Верхня частина платформи як би ділиться на 20 частин. При виготовленні цієї платформи в основу було покладено її нижня частина, і надалі будівельники керувалися простий пропорційністю. Улюбленою формою при будівництві платформ був квадрат або прямокутник, одна зі сторін якого була вдвічі більша за іншу. Цей будівельний прийом йде корінням в ханьську архітектуру. Для виконання відповідальних будівельних робіт був створений при дворі інженерний відділ, в який входили майстри зі зведення храмів, каменотеси-гранувальники, майстри з виготовлення черепиці, декоратори. Будівельники Пекче славилися своєю майстерністю, вони допомагали Сілла зводити 9-поверхову пагоду монастиря Хваненса, в 577, 588 рр.. вони їздили в Японію з аналогічною метою. У себе в країні вони споруджували складні палацові ансамблі. 

Сілла. Математика в стародавній Сілла перебувала на досить високому ступені розвитку. В країні були відомі наибо-Леї великі китайські твори з математики. Найдавніша китайська і корейська математика грунтувалася на вже згадуваному «Чжоу бі сунь цзин». Ця праця в основному астрономічний, але має і математичне значення: у ньому наведено теорема Піфагора », тобто закон взаємини сторін прямо-Вугільного трикутника, який виражений в книзі поруч чисел: 3. Пояснюється, як обчислити висоту сонця по довжині тіні від вертикально встановленого жердини за допомогою «методу Чжо-уби» (гномона). У книзі наводиться відношення довжини кола до її діаметру як 3:1. Праця грунтується на «Математики в 9 розділах», В епохи Сунь-Тан в Китаї було написано «Посібник із користування рахунковими паличками» («Сунь цзу суаньцзін»). За цією системою цифри зображувалися комбінацією горизонтальних і вертикальних паличок зліва направо.: Причому вертикальний ряд використовувався для позначення одиниць, сотень, десятків тисяч і т. д., а горизонтальний - для позначення десятків, тисяч, сотень тисяч і т. д. Червоні палички вживалися для позначення позитивних, а чорні - негативних чисел. Іноді в першому випадку зображували трикутник, а в останньому - циліндр. Нуль позначався знаком «О». Сліди застосування математики ми знаходимо всюди: в будівництві пагод, храмів, поховальних камер, гребель, у складанні карт, при астрономічних обчисленнях. Але математика допускалася лише як частина державного вжитку. У самому Китаї тільки при династіях Суй і Тан вона стала вважатися обов'язковим предметом при здачі державних іспитів. 

Висновок 

Перші дійшли до нас китайські писемні пам'ятки відносяться до епохи Шан (XVIII-XII ст. До н. Е..). І вже на гадальних кістках XIV ст. до н. е.., знайдених в Хенань, збереглися позначення цифр. Але справжній розквіт науки почався після того, як в XII в. до н. е.. Китай був завойований кочівниками Чжоу. У ці роки виникають і досягають дивовижних висот китайська математика й астрономія. З'явилися перші точні календарі та підручники математики. На жаль, «винищення книг» імператором Цинь Ши Хуаном (Ши Хуанді) не дозволило раннім книгам дійти до нас, проте вони, швидше за все, лягли в основу подальших праць. 

Список використаної літератури 

  1.  Березкіна Е.І. Старокитайська математика. М., 1987 
  2.  Кобзєв А. І. Вчення про символи і числах в китайської класичної філософії. М., 1994. 
  3.  Рибніков К. А. Історія математики. М., 1994. 

МАТЕМАТИКА

Этапы развития китайской математики

По древним преданиям, основам счета китайцев научил мифический первопредок Фуси. Его часто изображают держащим в руках угольник (цзюй). На изображениях рядом с ним находится его жена Нюйва, держащая в руке циркуль (гуй). Как показывают надписи на гадательных костях, уже в эпоху Шан циркуль использовался для вычерчивания круга, а угольник - прямых углов, в частности, углов квадрата. Со временем круг и квадрат стали символами принципов ян и инь. То же самое можно сказать о циркуле и угольнике.

Мифический первопредок Фуси, держащий угольник, и его жена Нюйва, держащая циркуль.

В древнем китайском обществе с самых ранних периодов его существования имелась необходимость производить астрономические вычисления, измерять площади полей, объемы зерна, емкости сосудов и проч. Это вызывало интенсивное развитие математики (суань), которая носила в значительной степени практический характер в традиционном Китае вплоть до его знакомства посредством иезуитов с европейской математикой в начале 17 в.

В эпоху раннего Чжоу искусство счета уже входило в программу обучения школьников. В эпоху “Борющихся царств” создается сочинение “Чжоу би суань цзин” (“Канон расчета чжоуского гномона”), в котором были даны элементарные математические знания, пригодные для астрономических расчетов.

Доказательство теоремы Пифагора в “Чжоу би суань цзин”.

В пещерах Дуньхуана в провинции Ганьсу были найдены датируемые 1 в. до н.э. бамбуковые дощечки со списками примеров умножения всех чисел от 1 до 9. Числа в них были записаны иероглифами. Запись примеров умножения не списком, а в виде таблицы, в которой перемножаемые числа расположены в двух координатах, появляются в Китае после 8 в.

Первая чисто математическая книга появляется в эпоху раннего Хань - “Искусство счета в девяти разделах” (“Цзю чжан суань шу”). В этой книге было собрано и систематизировано математическое наследие предшествующих периодов. Она состоит из 246 задач, для которых дается числовой ответ и процедура решения. Эта книга сыграла важную роль в развитии математики в Китае. Все китайские математики ссылаются на нее, пишут свои комментарии, добавляя объяснения и доказательства, переписывая процедуры и предлагая новые формулы. Наиболее важный из сохранившихся комментариев приписывается математику Лю Хуэю, жившему в 3 в. Он содержит самый богатый набор доказательств в пределах данной традиции.

В ханьскую эпоху математика достигает относительного расцвета и выделяется в самостоятельную дисциплину. В имперском Китае социальная роль математики определялась бюрократической правительственной системой. В официальной математике ставились задачи, которые должны были решать должностные лица. Ремесленники, применявшие в своей работе некоторые математические знания, и чиновники-математики были совершенно разделенными группами.

В 3-4 вв. математик Сунь-цзы представил правила работы со счетной доской, изложил способ решения в целых числах неопределенных уравнений 1-й степени. В его сочинении “Классическая арифметика Сунь-цзы” (“Сунь-цзы суань цзин”) приводятся сведения о геометрической прогрессии. Там имеется задача о ткачихе, которая удваивает продукцию предыдущего дня и производит 5 мер ткани каждые пять дней. Спрашивается, сколько ткани производится в первый и последующий дни?

К 5-6 в. относится творчество Цзу Чунчжи и его сына Цзу Гэнчжи, которые вычислили число “пи” с точностью до седьмого знака. Цзу Чунчжи открыл способ вычисления объема шара. Одна из примененных им теорем через тысячу лет была доказана итальянским математиком Бонавентурой Кавальери (1598-1647) и получила название “принципа Кавальери”.

Цзу Чунчжи (449-501)

В 7 в. математик Ван Сяотун разработал методы решений кубических уравнений и сформулировал правило определения объемов тел сложной формы путем разбиения их на призмы и пирамиды.

“Канон расчета чжоуского гномона”, “Искусство счета в девяти разделах” и некоторые из книг, написанные впоследствии, были собраны в сборник и прокомментированы в 7 в. группой математиков под руководством Ли Чуньфэна. Этот сборник служил руководством для должностных лиц, обучаемых в тогдашнем недавно установленном ведомстве математики. Хотя некоторое количество чиновников таким образом официально было обучено математике, никаких крупных достижений не появляется в Китае вплоть до 11 в., когда в 1084 г. указанный сборник был отредактирован и издан под названием “Десять канонов по математике” (“Суань цзин ши шу”).

Определение диаметра и окружности круглой стены города с помощью отдаленных наблюдений (“Шушу цзю чжан”, 1247 г.).

Последующие два с половиной столетия знаменуются крупными достижениям китайской традиционной математики. В этот период работают такие известные китайские ученые, как отшельник Ли Е (12-13 вв.), чиновники Цинь Цзюшао (13 в.) и Ян Хуэй (13 в.), странствующий учитель Чжу Шицзе (13-14 вв.). Ими были исследованы методы решений систем уравнений высших степеней, приемы построения прогрессий, магических квадратов, треугольника Паскаля и др. После этого периода в Китае не было написано ни одной важной работы по традиционной математике.

Китайцы не создали геометрии, подобной греческой, в которой использовались аксиомы, теоремы и доказательства. Моисты в 4 в. до н.э. уделяли некое внимание системе геометрических определений, но это не оказало особого влияния на развитие китайской математики. Евклидова геометрия, видимо, проникла в Китай при династии Юань, но не пустила там глубоких корней до появления иезуитов.

Абак - устройство вычисления, широко используемое в Китае с древнейших времен и до наших дней.

Китайская геометрия была в достаточной степени алгебраична, и это привело к тому, что математики Китая первыми стали выражать геометрические формы алгебраическими уравнениями. Правда, в начале они не использовали специальных алгебраических символов, а довольствовались иероглифической записью.

Матричная форма записи алгебраических уравнений. Знаки “0” обозначают ноль, а перечеркнутые знаки - отрицательные числа. Страница из книги по алгебре Чу Шицзе “Драгоценное зеркало четырех элементов”, изданной в 1303 г.

Когда иезуиты в конце 16 в. прибыли в Китай, они нашли людей, живо интересовавшихся наукой, но не знающих традиционных китайских достижений в математике. Ставя целью проповедь религиозных идей, иезуиты быстро осознали, что данное предприятие будет осуществлено успешнее на фоне передачи китайцам достижений европейской науки. Началась эра переводов на китайский язык западных научных работ. В 1607 г. иезуитами и китайцами были переведены шесть первых книг “Элементов” Евклида. Изучение западных работ стимулировало китайских ученых к восстановлению собственной математической традиции, которая была синтезирована с западной математикой. В начале 17 в. математика Китая прекращает самостоятельное развитие.

История математики в Индии

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск 

Данная статья — часть обзора История математики. 

Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр (которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни), заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Содержание

 [убрать] 

  1.  1 Древнейший период 
  2.  2 Нумерация 
  3.  3 Математики средневековой Индии 
  4.  4 Примечания 
  5.  5 Литература 

[править] Древнейший период

Розвиток індійської математики розпочався, ймовірно, досить давно, але документального підтвердження його початкового періоду немає. Серед найбільш давніх із збережених індійських текстів, що містять математичні відомості, можна виділити серію релігійно-філософських книг Шульба-сутри (доповнення до Ведам). Найстаріші редакції даних книг відносяться до VI ст. до н.е., позніше (приблизно до III ст. до н.е.) вони постійно доповнювалися. Уже в цих древніх манускриптах містяться багаті математичні відомості, за своїм рівнем не уступаючим вавилонським[1]:

  1. Дії с дробами 
  2.  Добування корня («карани» на санскрите)
  3. Раціональні наближення для корнів 
  4. Розв’язування невизначених рівнянь 
  5. Сумування арифметичної і геометричної прогресій 
  6.  Теорема Піфагора 
  7. Точні і наближені методи для знахождення площі трикутника, паралелограма и трапеції, об’єму циліндра, призми, зрізаної піраміди.

Класична задача комбінаторики: «скільки є способів вибору m елементів з N можливих» згадується в сутрах приблизно з IV ст. до н.е.[2] Індийські математики, мабуть, першими відкрили біноміальні коефіцієнти та їх связок з біномом Ньютона[2]. У II ст. до н. індійці знали, що сума усіх біномиальних коефіцієнтів степеня n дорівнює .

Нумерация

Від цих індійських значків походять сучасні цифри (I ст. н.е.)

Індійська нумерація (спосіб запису чисел) першопочатково був вишуканим. В санскриті були засоби для найменування чисел до [3]. Для цифр спочатку використовувалися сіро-фінікійська система, а з VI ст. до н.е.написані «брахми», з окремими знаками для цифр 1-9. Дещо видозмінившись, ці символи стали сучасними цифрами, які називають арабськими, а араби – індійськими.

Первые дошедшие до нас «сиддханты» (научные сочинения) относятся уже к IV—V векам н. э., и в них заметно сильное древнегреческое влияние. Отдельные математические термины — просто кальки с греческого. Предполагается, что часть этих трудов была написаны греками-эмигрантами, бежавшими из Александрии и Афин от антиязыческих погромов в Римской империи. Например, известный александрийский астроном Паулос написал «Пулиса-сиддханта».

Около 500 г. н. э. неизвестные нам индийские учёные в Индии изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как у вавилонян.

В VII веке сведения об этом замечательном изобретении дошли до христианского епископа Сирии Севера Себохта, который писал[4]:

Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков.

Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков). Действия с дробями ничем не отличались от современных.

Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. Возможно, аналогичная история произошла со словом «синус». Для контроля вычислений применялось сравнение по модулю 9.

[править] Математики средневековой Индии

Ариабхата

К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Предположительно, эта идея пришла из Китая. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты неизменно отвергали. Брахмагупта, как и Ариабхата, систематически применял непрерывные дроби, теория которых отсутствовала у греков.

Особенно далеко индийцы продвинулись в алгебре и в численных методах. Их алгебраическая символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами). Геометрия по каким-то причинам вызывала у индийцев слабый интерес — доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.

Ряд открытий был сделан в области решения неопределённых уравнений в натуральных числах. Вершиной стало решение в общем виде уравнения . В 1769 г. индийский метод переоткрыл Лагранж.

Бхаскара

В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся на арабский. Десятичная система проникает в страны ислама, а через них, со временем — и в Европу.

В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии (Махмуд Газневи). Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономо-математического трактата «Сиддханта-широмани». Бхаскара дал решение уравнения Пелля и ряда других диофантовых уравнений, продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию.

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа .

[править] Примечания

  1.   Володарский А. И., 1975, с. 290-297
  2.  1 2 Amulya Kumar Bag. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
  3.   Володарский А. И., 1975, с. 289
  4.   История математики, 1970, с. 18

[править] Литература

  1.  Бахмусткая Э. Я. Степенные ряды для sinθ и cosθ в работах индийских математиков XV—XVII вв. Историко-математические исследования, 13, 1960, с. 325—334.
  2.  Бобынин В. В. Древнеиндусская математика и отношение к ней древней Греции. Изв. Казанского физ.-мат. об-ва. (2), 22, 1916.
  3.  Ващенко-Захарченко М. Е. Исторический очерк математической литературы индусов. Киев, 1882.
  4.  Володарский А. И. Математика в древней Индии. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 282-298.
  5.  Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. М.: Наука, 1977.
  6.  Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  7.  Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
  8.  История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  9.  Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
  10. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
  11. Шридхара. Патиганита. Перевод О. Ф. Волковой и А. И. Володарского. Статья примечания А. И. Володарского.— ФМСВ, 1966, вып. 1(4), 141—246.
  12.  Datta В., Singh A. N. Histогу оf Hindu mathematics, V. 1—2. Bombay, 1963.
  13.  An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
  14.  Index of Ancient Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004.
  15.  Indian Mathematics: Redressing the balance, Student Projects in the History of Mathematics. Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002.
  16.  Mathematics Related E-books 
  17.  Online course material for InSIGHT, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.

Индия

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари (см. таблицу обозначений чисел). В индийской системе число 6789 записывалось бы . Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.

Напомним, что позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии. За много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне с шестидесятеричной системой. Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход, по крайней мере отчасти, произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположения свидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон. Однако происхождение индийского символа для нуля окутано тайной, так как первое достоверное свидетельство его появления в Индии датируется лишь концом 9 в. Как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем (но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя).

Америка

Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Самыми важными элементами в системе счисления майя были использование позиционного принципа и символа нуля. Если отвлечься от того, что принятая у индейцев майя система счисления была не шестидесятеричной, а двадцатеричной и вместо 10 использовала вспомогательное основание 5, то в остальном принципы были аналогичны тем, которые ранее были в ходу у жителей Древнего Вавилона. В схеме майя точка означала единицу, а повторяющиеся точки – числа до четырех; пятерку обозначала горизонтальная черта, а две и три горизонтальные черты обозначали, соответственно, числа десять и пятнадцать. Для обозначения числа двадцать майя воспользовались позиционным принципом, используя точку, помещенную над символом нуля. (Последний имел вид Америка

Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Самыми важными элементами в системе счисления майя были использование позиционного принципа и символа нуля. Если отвлечься от того, что принятая у индейцев майя система счисления была не шестидесятеричной, а двадцатеричной и вместо 10 использовала вспомогательное основание 5, то в остальном принципы были аналогичны тем, которые ранее были в ходу у жителей Древнего Вавилона. В схеме майя точка означала единицу, а повторяющиеся точки – числа до четырех; пятерку обозначала горизонтальная черта, а две и три горизонтальные черты обозначали, соответственно, числа десять и пятнадцать. Для обозначения числа двадцать майя воспользовались позиционным принципом, используя точку, помещенную над символом нуля. (Последний имел вид

Історія математики в Індії



План:

Введення

  1. 1 Найдавніший період
  2. 2 Нумерація
  3. 3 Математики середньовічної Індії

Примітки
Література


Введення

Дана стаття - частина огляду Історія математики. 

Наукові досягнення індійської математики широкі і різноманітні. Вже в стародавні часи вчені Індії на своєму, багато в чому оригінальному шляху розвитку досягли високого рівня математичних знань. У I тисячолітті н. е.. індійські вчені підняли античну математику на нову, більш високу ступінь. Вони винайшли звичну нам десяткову позиційну систему запису чисел, запропонували символи для 10 цифр (які, з деякими змінами, використовуються повсюдно в наші дні), заклали основи десяткової арифметики, комбінаторики, різноманітних чисельних методів, в тому числі тригонометричних розрахунків.


1. Найдавніший період

Розвиток індійської математики почалося, ймовірно, досить давно, але документальні відомості про початковий її періоді практично відсутні. Серед найбільш древніх зі збережених індійських текстів, що містять математичні відомості, виділяється серія релігійно-філософських книг Шульба-сутри (доповнення до Вед). Ці сутри описують побудову жертовних вівтарів. Найстаріші редакції цих книг відносяться до VI століття до н. е.., пізніше (приблизно до III століття до н. е..) вони постійно доповнювалися. Вже в цих стародавніх манускриптах містяться багаті математичні відомості, за своїм рівнем не поступаються вавілонським [1] :

  1. Дії з дробами
  2. Витяг коренів ("карані" на санскриті)
  3. Раціональні наближення для коренів
  4. Рішення невизначених рівнянь
  5. Підсумовування арифметичної та геометричної прогресій
  6. Теорема Піфагора
  7. Точні і наближені методи для знаходження площі трикутника, паралелограма і трапеції, обсягу циліндра, призми, усіченої призми.

Класична задача комбінаторики : "скільки є способів витягти m елементів з N можливих" згадується в сутрах, починаючи приблизно з IV століття до н. е.. [2] Індійські математики, мабуть, першими відкрили Біноміальні коефіцієнти та їх зв'язок з біном Ньютона [2]. У II столітті до н. е.. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює 2 n .


2. Нумерація

Від цих індійських значків відбулися сучасні цифри (накреслення I століття н. Е..)

Індійська нумерація (спосіб запису чисел) спочатку була вишуканою. В санскриті були кошти для іменування чисел до 10 53 [3]. Для цифр спочатку використовувалася сиро-фінікійська система, а з VI століття до н. е.. - Написання "брахмі", з окремими знаками для цифр 1-9. Кілька видозмінившись, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими, а самі араби - індійськими. 

Перші дійшли до нас "сіддханти" (наукові твори) відносяться вже до IV-V століть н. е.., і в них помітно сильне давньогрецьке вплив. Окремі математичні терміни - просто кальки з грецької. Передбачається, що частина цих праць була написані греками-емігрантами, що бігли з Олександрії і Афін від анти-язичницьких погромів. Наприклад, відомий олександрійський астроном Паулос написав "Пуліса-сіддханта".

Близько 500 р. н. е.. невідомі нам індійські вчені в Індії винайшли десяткову позиційну систему запису чисел. У новій системі виконання арифметичних дій виявилося незмірно простіше, ніж у старих, з незграбними буквеними кодами, як у греків, або шестидесятеричной, як у вавилонян.

У VII столітті відомості про цю чудову винахід дійшли до християнського єпископа Сирії Півночі Себохта, який писав [4] :

Я не стану торкатися науки індійців ... їх системи числення, яка перевершує всі описи. Я хочу лише сказати, що рахунок проводиться за допомогою дев'яти знаків.

Дуже скоро потрібно введення нового числа - нуля. Учені розходяться в думках, звідки до Індії прийшла ця ідея - від греків, з Китаю або індійці винайшли цей важливий символ самостійно. Перший код нуля виявлений у запису від 876 р. н. е.., він має вигляд звичного нам кружечка.

Дроби в Індії записувалися вертикально, як робимо і ми, тільки замість риси дробу їх укладали в рамку (так само, як в Китаї і в пізніх греків). Дії з дробами нічим не відрізнялися від сучасних.

Індійці використовували рахункові дошки, пристосовані до позиційної записи. Вони розробили повні алгоритми всіх арифметичних операцій, включаючи вилучення квадратних і кубічних коренів. Сам наш термін "корінь" з'явився через те, що індійське слово "мула" мало два значення: основу і корінь (рослини); арабські перекладачі помилково вибрали друге значення, і в такому вигляді воно потрапило в латинські переклади. Можливо, аналогічна історія трапилася зі словом " синус ". Для контролю обчислень застосовувалося порівняння за модулем 9.


3. Математики середньовічної Індії

Аріабхата 

До V-VI століть належать праці Аріабхата, видатного індійського математика і астронома. У його праці "Аріабхата" зустрічається безліч рішень обчислювальних задач. У VII столітті працював інший відомий індійський математик і астроном, Брахмагупта. Починаючи з Брахмагупти, індійські математики вільно поводяться з негативними числами, трактуючи їх як борг. Імовірно, ця ідея прийшла з Китаю. При вирішенні рівнянь, проте, негативні результати незмінно відкидали. Брахмагупта, як і Аріабхата, систематично застосовував безперервні дробу, теорія яких була відсутня у греків.

Особливо далеко індійці просунулися в алгебрі і в чисельних методах. Їх алгебраїчна символіка багатшими, ніж у Діофанта, хоча кілька громіздка (засмічена словами). Геометрія з якихось причин викликала у індійців слабкий інтерес - докази теорем складалися з креслення і слова "дивися". Формули для площ і обсягів, а також тригонометрію вони, швидше за все, успадкували від греків.

Ряд відкриттів було зроблено в області рішення невизначених рівнянь в натуральних числах. Вершиною стало рішення в загальному вигляді рівняння a x 2 + b = y 2 . В 1769 р. індійський метод перевідкрив Лагранж.

Бхаскара 

У VII-VIII століттях індійські математичні праці переводяться на арабську. Десяткова система проникає в країни ісламу, а через них, з часом - і в Європу.

В XI столітті відбувається захоплення і розорення мусульманами Північної Індії ( Махмуд Газневі). Культурні центри переносяться до Південної Індії. Наукове життя на тривалий період згасає. Із значних фігур цього періоду можна виділити Бхаскара, автора астрономо-математичного трактату "Сіддханта-шіромані". Бхаскара дав рішення рівняння Пелля і ряду інших діофантових рівнянь, просунув теорію неперервних дробів і сферичну тригонометрію.

XVI століття був відзначений великими відкриттями в теорії розкладання в ряди, перевідкриття в Європі 100-200 років тому. У тому числі - ряди для синуса, косинуса і арксинуса. Приводом до їх відкриття послужило, очевидно, бажання знайти більш точне значення числа .


Примітки

  1. Володарський А. І., 1975, с. 290-297
  2.  1 2 Amulya Kumar Bag. Binomial theorem in ancient India. - www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005aef_68.pdf Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
  3. Володарський А. І., 1975, с. 289
  4. Історія математики, 1970, с. 18

Література

  1.  Бахмусткая Е. Я. Степеневі ряди для sinθ і cosθ в роботах індійських математиків XV-XVII вв. Історико-математичні дослідження, 13, 1960, с. 325-334.
  2.  Бобинін В. В. Древнеіндусская математика і ставлення до неї давньої Греції. Изв. Казанського фіз.-мат. т-ва. (2), 22, 1916.
  3.  Ващенко-Захарченко М. Є. Історичний нарис математичної літератури індусів. Київ, 1882.
  4.  Володарський А. І. Математика в стародавній Індії. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1975. - № 20. - С. 282-298.
  5.  Володарський А. І. Нариси історії середньовічної індійської математики. М.: Наука, 1977.
  6.  Глейзер Г. І. Історія математики в школі - ilib.mccme.ru / djvu / istoria / school.htm - М .: Просвещение, 1964. - 376 с.
  7.  Депман І. Я. Історія арифметики. Посібник для вчителів - ilib.mccme.ru / djvu / istoria / depman.htm - Вид. друге. - М .: Просвещение, 1965. - 416 с.
  8. Історія математики - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm / За редакцією А. П. Юшкевича, в трьох томах - М .: Наука, 1970. - Т. I.
  9.  Рибніков К. А. Історія математики. М., 1994.
  10. Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
  11. Шрідхара. Патіганіта. Переклад О. Ф. Волкової і А. І. Володарського. Стаття примітки А. І. Володарського .- ФМСВ, 1966, вип. 1 (4), 141-246.
  12.  Datta В., Singh AN Histогу оf Hindu mathematics, V. 1-2. Bombay, 1963.
  13.  An overview of Indian mathematics - www-gap.dcs.st-and.ac.uk / ~ history / HistTopics / Indian_mathematics.html, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
  14.  Index of Ancient Indian mathematics - www-groups.dcs.st-and.ac.uk / ~ history / Indexes / Indians.html, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004.
  15.  Indian Mathematics: Redressing the balance - www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce, Student Projects in the History of Mathematics - www-history.mcs.st-and.ac.uk/Projects . Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002.
  16.  Mathematics Related E-books - mathsolympiad.googlepages.com / ebooks
  17.  Online course material for InSIGHT - cs.annauniv.edu / insight / insight / maths / history / index.htm, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.

Історія математики

Країни і епохи

Стародавній Єгипет Вавилон Стародавній Китай Стародавня Греція Індія Країни ісламу Імперія інків Росія

Тематичні
розділи

Алгебра Аналітична геометрія Геометрія Диференціальні геометрія і топологія Комбінаторика Криптографія Лінійна алгебра Логарифми Математичний аналіз Неевклидова геометрія Теорія ймовірностей Теорія множин Топологія Функціональний аналіз

Окремі поняття

Нескінченно малі Речові числа Ірраціональні числа Комплексні числа Математичні позначення Безперервні дробу Негативні числа Опції


http://znaimo.com.ua


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3800. Парогенератори 1.07 MB
  Парогенератори Одне з основних завдань експлуатації АЕС є максимальне зниження рівня радіаційного опромінення і гарантування безпечної роботи персоналу. Цього досягають, використовуючи двоконтурну схему АЕС. Елементом, який розділяє контури, є парог...
3801. Реорганизация, банкротство и ликвидация предприятий 226 KB
  Введение Система банкротств, которая начинает действовать в России, вызывает резкую реакцию у различных общественных институтов, партий и движений, которые пытаются ускорить или приостановить процедуру банкротства у предприятий, ссылаясь, как правил...
3802. Автомобильная служба Российской федерации 353.5 KB
  Структура автомобильной службы в ВС РФ, её задачи. Автомобильная служба Вооруженных Сил имеет четко выраженную структуру и возглавляется Главным Автобронетанковым Управлением Министерства Обороны (ГАБТУ МО). Автомобильная служба является самостоятел...
3804. Боевые графические документы 559.16 KB
  Боевые графические документы Введение Карта это основное средство ориентирования. Топографическая карта была и остается надежным путеводителем по незнакомой местности. С помощью карты можно быстро и точно определить свое местоположение, указать обна...
3805. Республика Боливия 227 KB
  Республика Боливия (Republica de Bolivia) это окруженная сушей страна в Южной Америке с площадью 424,164 квадратных миль (1,098,581 квадратных километров). Страна стала окруженной сушей с тех пор, как потеряла свое тихоокеанское побережье, которое от...
3806. Атестація робочого міста 206.5 KB
  Атестація робочого міста 1. Охорона праці на підприємстві. В умовах сучасного виробництва окремі приватні заходи щодо поліпшення умов праці, для попередження травматизации є неефективними. Тому їх здійснюють комплексно, створюючи в загальній системі...
3807. Анализ опасных и вредных факторов, воздействующих на программиста при разработке системы 158 KB
  Безопасность жизнедеятельности. Вопросы безопасной жизнедеятельности человека необходимо решать на всех стадиях жизненного цикла, будь то разработка, внедрение в жизнь или эксплуатация программы. Обеспечение безопасной жизнедеятельности челове...
3808. Движение центра масс МКА под действием различных возмущающих ускорений 432 KB
  Введение В данной работе проводится исследование движения центра масс МКА под действием различных возмущающих ускорений (от нецентральности гравитационного поля Земли, сопротивления атмосферы, притяжения Солнца и Луны, из-за давления солнечных лучей...