79697

Основні етапи розвитку математики

Лекция

Математика и математический анализ

Основні етапи розвитку математики. Основні етапи становлення сучасної математики. Основні етапи розвитку математики. Історію математики не можна розглядати у відриві від історії розвитку філософії і науки в цілому бо усі ці три інтелектуальні пізнання тісно повязані між собою і роблять вплив один на одного як за часів Стародавнього світу так і в Новий час.

Украинкский

2015-02-14

70.41 KB

17 чел.

Лекція 1

План.

  1.   Основні етапи розвитку математики.
  2.   Періодизація А.М. Колмогорова та О.Д. Александрова, їх порівняння.
  3.   Історичні етапи розвитку української математичної термінології та її сучасні проблеми.
  4.   Основні етапи становлення сучасної математики.

 

1. Основні етапи розвитку математики. Історію математики не можна розглядати у відриві від історії розвитку філософії і науки в цілому, бо усі ці три інтелектуальні пізнання тісно пов'язані між собою і роблять вплив один на одного, як за часів Стародавнього світу, так і в Новий час. В силу сказаного для повноти викладу ми іноді звертатимемося до історії філософії і науки.

При історичному розгляді розвитку математики необхідно як можна значною мірою відволіктися від сучасного розуміння математики, і спробувати подивитися на розвиток математики у відповідний період її розвитку очима математика того часу. Це часто важко зробити. 

По-перше, для цього необхідно ламати ті, що склалися в результаті шкільного виховання і університетської освіти традиційні погляди не лише на історію розвитку математики, але також і на її зміст.

По-друге, історія будь-якої науки, у тому числі і математики, обросла багатьма легендами, міфами, які сьогодні багатьма сприймаються за ту дійсність, яка існувала в описуваний істориками час.

По-третє, сучасні математична мова і символіка принципово відрізняються від математичної мови і його символіки, які існували в описуваний історичний період. Сам переклад з більше ранньої математичної мови на сучасну математичну мову містить в собі можливість викривлення первинного математичного змісту.

Спотворення виникають, зокрема, в результаті пропонування досліджуваними авторами певних думок, які і не могли виникнути в їх свідомості, а поняттям зміст, якого у них не могло принципово існувати. Як приклад можна привести багаті змістом широко відомі книги з історії математики, такі, як Ван дер Вардена (1), О. Нейгебауэра (1), «Історія математики»(1), на яких ми нижче посилатимемося. Згадані вище проблеми схожі з проблемами, з якими стикається перекладач літературних творів з однієї мови на іншу.

Прикладом таких проблем можуть послужити проблеми, що виникають при перекладі Ф. Рабле із старофранцузского мови на сучасну французьку мову.

Содержание и смысл математических понятий менялись с течением временем. Поэтому то, что мы сегодня понимаем под тем или иным математическим термином или понятием, очень часто не соответствует тому, что понимал под этим понятием математик, живший за несколько веков до нашего времени. Вполне возможно, что существует определенная связь между этими двумя пониманиями, которая часто основана на некоторой аналогии, но гораздо чаще эта связь является плодом желания историка «построить мост» между двумя историческими периодами. В качестве примера можно привести Птолемея, которому приписывается открытие тригонометрии, потому что он использовал некие понятия, которые после многовекового развития привели к современным тригонометрическим функциям. Тригонометрические функции являются математическими понятиями, которые в современном понимании появились только в XVIII веке.

Оскільки історія математика розвивалася на фоні загального історичного розвитку науки, то цю історію можна аналогічно розділити на три періоди. Ці історичні періоди визначаються інтелектуальними революціями, які відбувалися на початку цих періодів і які змінювали цілі і методологію математичних досліджень у рамках методології усієї науки.

І перод. Перший період розвитку математики почався з моменту виникнення математики як наукової дисципліни в результаті першої інтелектуальної революції в VII - VI ст. до н.е. в древній Греції і тривав до початку XVII століття. Цей період, завдовжки більше двох тисяч років, можна умовно назвати грецьким, бо греки створили математику, і вплив грецької математичної методології впродовж першого періоду був вирішальним.

Ту галузь знань, яка існувала до математики і яка займалася кількісним розв’язанням практичних завдань, називатимемо прематематикою. У літературі іноді використовують у вказаному сенсі термін «передматематика». Оскільки в терміні «передматематика» закладена коннотація, неначе з появою математики передматематика зникає, вливається в математику(з чим ми, в загальному випадку, не згодні), то ми вважаємо за краще використати термін «прематематика».

Греки совершили уникальный интеллектуальный подвиг в процессе первой интеллектуальной революции, создав одновременно интеллектуальную тройку: философию, математику и физику. Интеллектуальные составляющие этой тройки оказали решающее интеллектуальное влияние на развитие человеческой цивилизации в разные последующие исторические отрезки. Так в греческий период развития решающую роль в развитии европейской цивилизации сыграла греческая философия, которая стала одной из основ, из которой выросла христианская цивилизация и, по существу, значительная часть духовной сути европейской цивилизации. Это утверждение нисколько не умаляет роль математики и физики в интеллектуальной жизни человечества, но все же в тот исторический период только греческая философия оказала принципиальное историческое влияние на все дальнейшее развитие человечества, ибо только она выжила после исчезновения греческой цивилизации. Это выживание связано с тем, что только греческая философия «вышла» за стены греческих школ и академий и оказала большое влияние на возникновение и развитие христианской теологии. Результатом этого вживания греческой философии в христианскую теологию и было воскрешение к жизни уже мертвых к тому времени математики и физики.

Поэтому в греческий период саму математику можно было скорее рассматривать как составную часть всей греческой интеллектуальной культуры, которая включала в себя также греческое искусство, греческую философию, физику, различные виды интеллектуального спорта и т.п. В этом качестве математика служила образцом интеллектуальной красоты и гармонии. Греческая математика не имела никакой связи с решением практических задач, т.е. с прематематикой, которая у греков называлась логистикой и которая развивалась сама по себе, ведомая потребностями экономического и технологического развития этой цивилизации.

С исчезновением греческой цивилизации греческая культура, в том числе и математика, сохранилась, в основном, в книгах. С помощью книг, посвященных различным аспектам греческой культуры, в средние века с ней ознакомились и другие народы: индийцы, арабы, европейцы. Несмотря на ряд блестящих находок (например, десятичная позиционная система представления чисел), все же основное достижение индийцев и арабов в математике было то, что они сохранили и передали греческую математику в книгах европейцам. Европейцы не только ознакомились и усвоили математические знания, накопленные другими народами, но и овладели, в отличие от индийцев и арабов, дедуктивным методом проведения математических доказательств.

ІІ період. Интеллектуальное и технологическое развитие западноевропейцев к началу XVII века достигло такого уровня, что интеллектуальные рамки греческой физики и математики стали для них узкими, и они были вынуждены выйти далеко за них. В XVII веке в интеллектуальной жизни Европы произошла вторая интеллектуальная революция, которая началась с философии, а затем захватила физику и математику и которая ознаменовала конец первого, греческого исторического периода развития математики и начало нового, европейского, периода развития математики. Этот период продолжался три с половиной столетия и закончился во второй трети ХХ века.

Интеллектуальная революция XVII века «переработала» греческую интеллектуальную троицу в европейскую интеллектуальную троицу, состоящую из европейской философии, европейской математики и европейской физики. Однако эта революция по-другому расставила ударения в этой тройке. Решающую роль в этот период стала играть, прежде всего, европейская физика, которая послужила основой для технологического развития Европы, а затем и всего мира. Европейская физика была первой из этой троицы, которая «вышла» за стены университетов и академий и оказала решающее влияние на развитие всех отраслей промышленности, транспорта и связи. Европейская философия и европейская математика отошли, в определенном смысле, на второй план: европейская философия осталась жить за стенами монастырей, университетов и академий; европейская математика только благодаря физике начала выходить за стены учебных заведений во второй половине XIX столетия.

Вторая интеллектуальная революция, прежде всего, изменила цели науки и вместе с ней и цели математики. Если греческая наука ставила своей целью объяснить естественные явления, то европейская наука поставила своей целью описание этих явлений. Языком этого описания и служила математика. Иначе говоря, если греческая математика была, по своей сути, видом интеллектуального искусства, то европейская теоретическая математика стала прикладной наукой, которая стала служить сначала языком теоретической физики (естествознания), а затем и языком политической экономии и других конкретных теоретических наук. Математика, которая до того времени основное внимание уделяла только внутренним математическим задачам, вдруг обратилась к изучению внешних, не связанных с самой математикой, задач. Другими словами, математика изменила направление своих исследований и повернулась лицом к внешнему миру.

У зв'язку з тим, що ця революція привела до появи двох фізик, які принципово відрізнялися один від одного: європейської теоретичної фізики і експериментальної фізики, - то виникли і дві математики: європейська теоретична математика і європейська прагматична математика. Теоретична математика, як ми тільки що сказали, служила мовою теоретичної фізики, а прагматична математика розробляла методи для обробки результатів вимірів (спостережень), винаходила методи для знаходження універсальних фізичних постійних, а також здійснювала обчислення на підставі математичних формул. Кожна з цих двох математик принципово відрізнялися від грецької математики, як мовою, так і методологією математичних досліджень. Але ці математики також відрізнялися один від одного.

Математичний аналіз, який втілював собою нову теоретичну математику, базувався на абсолютно новій філософії, створеній європейцями, на філософії Декарта. Прагматична математика, як частина європейської прагматичної науки, мала своєю основою емпіричну європейську філософію, що йде від Ф. Бэкона.

Появление и бурное развитие обеих европейских математик не прекратило развитие греческой математики, а только отодвинуло ее несколько в сторону, сделало занятия этой математикой менее модными. В подтверждение этому можно сказать, что на протяжении всего второго периода многие математики занимались решением математических задач, которые являлись характерными для греческой математики. Здесь были получен ряд блестящих результатов, которые можно отнести к выдающимся произведениям интеллектуального искусства.

Уже в первой трети XIX века европейская теоретическая математика стала испытывать серию внутренних кризисов, которые были связаны с различными аспектами оснований математики. Если первые кризисы удалось математике счастливо пережить, то в конце второго периода, т.е. в первой трети ХХ века, возникли такие глубокие кризисы, связанные с методологическими внутренними проблемами обоснования математики, которые привели к определенному методологическому расколу на несколько различных течений. Если в начале второго периода, в XVII веке, европейская теоретическая математика являлась языком теоретической науки (физики), то к началу ХХ века обнаружилась недостаточность языка и методологии существующей европейской математики для дальнейшего развития европейской теоретической науки, которая к этому времени расширилась и включала в себя политическую экономию. Более того, сама теоретическая математика разделилась на две части: на прикладную теоретическую математику и на чистую математику. Если прикладная математика являлась языком теоретической науки, то чистая математика представляла собой, по своей сути, род интеллектуального искусства.

Європейська прагматична математика, яка з'явилася на світ одночасно з європейською теоретичною математикою, бурхливо розвивалася увесь другий історичний період, обслуговуючи у кінці цього періоду не лише експериментальну фізику і інші експериментальні науки, але, головним чином інженерні розрахунки.

Таким чином, прагматична математика вийшла за стіни університетів і академій, тоді як теоретична математика залишилася усередині цих стін.

ІІІ період.  Третий период развития математики начался во второй трети ХХ века и продолжается до сих пор. Вторая треть ХХ века характеризуется революционными изменениями почти во всех областях человеческой деятельности и жизни. В жизни человеческой цивилизации в целом произошли такие крупные события, которых она не только не знала, но и не предполагала. Всемирный экономический кризис, Вторая мировая война, закончившаяся атомной бомбардировкой, распад колониальных империй, холодная война, атомное оружие и связанный с ним ядерный шантаж, холодная война, выход на мировую арену новых принципиальных игроков и т.д. и т.п. Произошел ряд революций в промышленных технологиях, что позволило обогатить и облегчить повседневную жизнь человека с помощью новых технических средств, создав при этом и средства быстрого уничтожения человечества. Человечество существенно раздвинуло границы своего потребления не только в старых направлениях, но и добавило значительное число новых направлений.

Соціальні, політичні і промислові зміни в житті людської цивілізації зажадали нової організації в економічній і соціальній сферах її управління. Ці події і зміни не могли обійти стороною науку. Вони і сам розвиток науки викликали революційні зміни і в цілях і методології наукових досліджень.

Новая интеллектуальная революция поставила во главу научного развития проблемы управления различными сложными системами, как промышленными, так и социально-экономическими. Специфика возникших проблем заставила человеческий интеллект искать решение задач, которые возникли при управлении сложными системами различной природы. Одной из характерных черт этой деятельности является прогнозирование последствий принятия управляющих решений. Как выяснилось, решение прогнозных задач в большинстве случаев базируется на использовании математических моделей. В этом случае мы видим изменение целей математики: если ранее целью использования математических моделей было описание физических явлений, то теперь целью математического моделирования стала прогнозирование последствий принятия тех или иных решений.

Математичне моделювання характеризується тим, що процес його проведення часто вимагає виконання великих кількостей обчислення. Проведення такої кількості обчислень стало можливим тільки завдяки появі і використанню комп'ютерів. Рішення математичних завдань за допомогою комп'ютерів зажадало засобів «перекладу» цих завдань з математичної мови на мову комп'ютерів. Так з'явилося програмування і разом з ним і новий тип математики - комп'ютерна математика.

Изменение целей математического моделирования потребовало и изменения методологии математики, а в какой-то мере и сути существовавшей до сих пор математики. Другими словами, возникла новая математика, отличная как от греческой математики, так и от европейской математики. Эту математику будем условно называть мировой математикой. Сразу отметим, что как европейская математика, так и греческая математика продолжали существовать, но с точки зрения широкой общественности они отошли на второй план. Если греческая математика была, как часть греческой философии, обращена к духовности, к интеллекту человека, европейская математика, как язык европейской физики, была обращена к технологии, то мировая математика, как средство для обоснования решений, обращена к управлению, т.е. к самому человеческому обществу.

На ці три математики можна подивитися і з іншого боку. Якщо грецька математика була звернена до людини, європейська математика - до природи, то світова математика - до усієї людської цивілізації в цілому.

Людська цивілізація могла, в загальному випадку, обійтися без грецької математики, про що свідчить розвиток людства в середні віки. Але вже виникнення і розвиток європейської математики зробили значний вплив на людську цивілізацію, давши можливість здійснити технологічний прогрес людства, ставши тим самим необхідною частиною цього прогресу. Виникнення і розвиток світової науки і комп'ютерної математики дозволило і дозволяє людству уникнути ряду соціальних, економічних і технічних катастроф, ставши необхідними складниками економічного і соціального прогресу людського суспільства.

Кожен з виділених вище за три періоди розвитку математики, таким чином, характеризується різними глобальними цілями проведення математичних досліджень, принциповими відмінностями в методології, а також появою нових математичних засобів і зміною математичної мови. Ці відмінності свідчать про те, що в результаті кожної з інтелектуальних революцій виникають нові типи математики.

Таким чином, будь-який історичний нарис розвитку математичної методології, разом з історичними фактами, повинен містити опис відмінних і характерних рис кожного з типів математики окремо.

Для того чтобы описать различия между различными типами математики, необходим специфический язык, который бы позволил сравнить между собой эти типы математической методологии, выделив их общие черты. Этот язык не может быть математическим языком, ибо в этом случае он будет принадлежать к одному из типов математик и поэтому не может служить для сравнения между разными типами. По своему назначению этот язык должен принадлежать области знаний, которая лежит вне математики и описывает свойства, присущие науке. Такой областью знаний является теория познания, которая является одним из разделов философии.

2. Періодизація А. М. Колмогорова та О. Д. Александрова, їх порівняння. Академік А. Н. Колмогоров виділяє чотири періоди розвитку математики [Колмогоров. Математика в ее историческом развитии]: зародження математики, елементарної математики, математики змінних величин, сучасної математики.

І період (до VІ-V ст. до н.е., тобто до того часу, коли математика стає самостійною наукою, яка має власний предмет та методи). Характерним для цього періоду є накопичення фактичного матеріалу з математики в межах науки взагалі. 

ІІ період (VІ-V ст. до н.е. до ХVІ ст. нашої ери). В період розвитку елементарної математики  з арифметики поступово виростає теорія чисел. Створюється алгебра як буквене числення. А створена древніми греками система викладу елементарної геометрії - геометрії Евкліда - на два тисячоліття вперед зробилася зразком дедуктивної побудови математичної теорії.

ІІІ період (ХVІІ ст. – середина ХІХ ст.). У XVII столітті запити природознавства і техніки привели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. Із використанням змінних величин в аналітичній геометрії і створення диференціального і інтегрального числення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введене Ньютоном і Лейбніцом поняття нескінченно малої величини, створення основ аналізу нескінченне малих величин(математичного аналізу).

На перший план висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основних понять математичного аналізу : межі, похідній, диференціалу, інтегралу.

До цього періоду відносяться і поява геніальної ідеї Р. Декарта про метод координат. Створюється аналітична геометрія, яка дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри і аналізу. З іншого боку метод координат відкрив можливість геометричної інтерпретації фактів алгебри і аналітичних.

Подальший розвиток математики привів на початку ХIX століття до постановки завдання вивчення можливих типів кількісних стосунків і просторових форм з досить загальної точки зору.

Зв'язок математики і природознавства набуває усе більш складні форми. Виникають нові теорії і виникають вони не лише в результаті запитів природознавства і техніки, але і в результаті внутрішньої потреби математики. Чудовим прикладом такої теорії є уявна геометрія М. І. Лобачевського.

ІV період (з середини ХІХ ст. – до наших днів). Розвиток математики з середини XIX до наших днів дозволяє віднести її до періоду сучасної математики. Розвиток самої математики, математизація різних галузей науки, проникнення математичних методів у багато сфер практичної діяльності, прогрес обчислювальної техніки привели до появи нових математичних дисциплін, наприклад, дослідження операцій, теорія ігор, математична економіка тощо.

Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. Т. 3. М., 1964. С. 329-335.

А.Д. Александров  связывающих причины возникновения математики в Древней Греции преимущественно со "внутренней эволюцией математической науки".

Основные этапы развития математики: взгляды на периодизацию А.Н.Колмогорова и А.Д.Александрова. Формирование первичных математических понятий: числа и системы счисления, геометрические фигуры. Алгоритмический характер математики Древнего Египта и Вавилона. Влияние египетской и вавилонской математики.

Основная литература: [1]-[2], [25], [20, т.1, ч.1, гл.1-3], [9, гл.1-3], [44, I, лекции 1-2], [45, гл.1,2].

Александров А.Д Проблемы науки и позиция ученого.  – Л, 1988.

А.Д. Александров последовательно проводит "внутриматематическую концепцию" возникновения дедуктивной математики:

"...Наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретические способы вывода новых результатов и первые математические доказательства. В конечном итоге это привело к качественному скачку: сложилась чистая математика с ее дедуктивным методом" [22].

Возникновение дедуктивного метода выглядит с этой точки зрения как необходимое следствие процесса саморазвития математики, как ординарное проявление философского закона перехода количественных изменений в качественные. А.Д. Александров, когда писал указанные строки, был прекрасно осведомлен о позиции А.Н. Колмогорова по проблеме генезиса теоретической математики, так что исторически правильнее здесь было бы говорить о противостоянии александровской позиции концепции А.Н. Колмогорова, а не наоборот. Кто же прав в этом заочном "споре" двух ведущих среди российских математиков второй половины XX в. методологов науки?

Схема объяснения А.Д. Александрова выглядит более привлекательной для чистого математика, который нечасто задумывается над тем, сколь необычной является выбранная им сфера профессиональной деятельности. В самом деле, особенностью данной схемы является увязывание формы изложения математики с ее содержанием. В качестве следствия мы получаем освящение принятого ныне способа преподавания математики на все будущие времена. Концепция А.Н.  Колмогорова, связывающая дедуктивную форму математического знания с внешними по отношению к науке условиями, более открыта педагогическим новациям, так как предполагает возможность критического отношения к породившим дедуктивную форму социально-историческим условиям [23]. Выбор в пользу "внутренней" или "внешней" схемы объяснения зарождения теоретической математики может быть сделан только на основе соотнесения каждой из них с реальной историей развития мировой математики.

Обладая, как отмечалось выше, несомненной привлекательностью и простотой, схема А.Д. Александрова предъявляет в то же время довольно жесткие требования к эмпирической истории математики. В соответствии с ней дедуктивный метод должен был возникнуть всюду, где объем математических сведений превысил некоторую "критическую массу". В частности, это должно было произойти в Китае и Индии, где, в отличие от Египта и Вавилона, математическая традиция не прерывалась и объем накопленных знаний в средние века сопоставим с древнегреческой математикой V-IV вв. до н.э. - времени возникновения аксиоматического способа построения знания. Тем не менее математика в этих странах так и не стала дедуктивной наукой. Идея логического построения теории на основе немногих выставленных вперед общих положений - чисто греческого происхождения.

Как видим, схема А.Д. Александрова согласуется с реальной историей не лучшим образом. Можно, впрочем, попытаться усовершенствовать ее, сделав акцент не на накоплении фактов как таковом, а на процессе осознания их взаимосвязи, который, вообще говоря, не обязан автоматически сопровождать количественный рост знания. Но в таком случае немедленно встает новый вопрос: почему греки, заимствовав в VI в. до н.э. математические знания у других народов, менее чем за три столетия полностью перестроили математику на принципах дедуктивного вывода, в то время как более древним цивилизациям не хватило для этого и нескольких тысячелетий?

3. Історичні етапи розвитку української математичної термінології та її сучасні проблеми. 

1. Зародження процесу термінотворення і його «золота доба» Сучасна українська термінологічна лексикографія бере початок з середини XIX ст. [3] Уже в 1848 р. у Львові відбувся Собор руських (українських) учених, на якому обговорювалося питання про українську наукову термінологію. Відомий український лексикограф і етнограф М. Левченко одним з перших поставив питання про створення української наукової термінології на народній основі. Велике значення для поширення української мови в Галичині й підросійській Україні мало спільне заснування наддніпрянцями і наддністрянцями Товариства імені Шевченка (1873) у Львові.

Cистематична і цілеспрямована праця над вироблянням української наукової термінології почалася після перетворення Товариства імені Шевченка у Наукове товариство імені Шевченка (НТШ) у своєрідну національну академію наук у Львові (1892) і створення Українського наукового товариства (УНТ) у Києві (1907).

Визначний природознавець, педагог і філолог І. Верхратський одним із перших почав працювати над створенням української наукової природничої термінології.

Процес українського математичного термінотворення започатковано наприкінці XIX ст. Омелян Дейницький і Теофіл Іскрицький у 1873 р. переклали з німецької мови на українську шкільний підручник Фр. Мочника з арифметики, а Євген Савицький у 1877 р. переклав, також з німецької мови, підручник Фр. Мочника з арифметики й алгебри для вищих класів середніх шкіл. Ряд оригінальних українських підручників створив П. Огоновський.

Перша в історії фахова стаття з математики, опублікована українською мовою (в перекладі з польської П. Огоновського) «Про симетричні вираження вартостей функцій mod m», належить Володимирові Левицькому (згодом професору). Ця стаття вийшла в «Записках Наукового товариства їм. Шевченка (НТШ)», т. 4, 1894.

На загальних зборах НТШ у травні 1893 р. було утворено Математично-природописно-лікарську секцію (головою було обрано Івана Верхратського). До складу тієї секції входило троє математиків. У VII томі «Записок НТШ» (1895) В. Левицький після статті «Еліптичні функції модулові» подав «Додатки до термінології математичної», які містили 69 термінів, поданих у вигляді українсько-німецького словничка [3].

Перші українські математичні терміни було створено на взірець тогочасних німецьких і польських термінів, а також прийнятих у цих мовах назв грецького і латинського походження. В ролі українських математичних термінів (відповідників здебільшого до німецьких) часто виступали місцеві західноукраїнські слова та деякі слова зі старої української (руської) мови.

Варто зазначити, що серед термінологів НТШ сформувалися два підходи: творення наукових термінів на українській народній основі й запроваджування в українську мову інтернаціональної, переважно латинської термінології.

У 1897 р. за пропозицією Михайла Грушевського видається окремий «Збірник» Математично-природописно-лікарської секції НТШ. Редакторами його стали І. Верхратський і В. Левицький.

У 1902 р. В. Левицький, якого академік Михайло Кравчук назвав основоположником математичної культури нашого народу, видав математичний словник. У 1910 р. у Львові Йосип Танчаковський видав словник «Руско-польска термінологія зі збіркою інших слів до шкільної і приватної науки, зладжена на підставі шкільних підручників».

Процес математичного термінотворення активізувався в 1917 р. особливо після утворення Української Народної Республіки. Зокрема, в 1917 р. Українське товариство шкільної освіти розробило програму з арифметики і математичної термінології. У Києві при Департаменті професійної освіти в 1918 р. було створено технічно-термінологічну комісію. До її складу входила й секція з виробляння української математичної термінології, головою якої було обрано Михайла Кравчука, а секретарем Федора Калиновича. Спеціальну термінологічну комісію було створено в 1918 р. при київському Науковому товаристві. При Міністерстві освіти у 1918 р. було створено правописну комісію (І. Огієнко, А. Кримський, Є. Тимченко). «Найголовніші правила українського правопису» Міністерство освіти затвердило 24 травня 1918 р [3].

У 1919 р. було створено Правописно-термінологічну комісію при Українській академії наук. Тоді ж у Львові при Математично-природописно-лікарській секції НТШ організовано (на пропозицію Київської термінологічної комісії) Термінологічну комісію на чолі з В. Левицьким.

У 1921 р., після об'єднання Українського наукового товариства з Академією наук, було створено Інститут української наукової мови (ІУНМ) ВУАН (перша назва Інститут наукової мови), який мав математичну секцію.

В 20-і рр. тісно співпрацювали Всеукраїнська академія наук (ВУАН) і НТШ. Теоретичні засади й основні напрями термінотворення, вироблені в ІУНМ, в основному збігалися з принципами НТШ, а в дечому були логічним продовженням їх. Так, за спільною редакцією київської і львівської комісій у 1926 р. вийшли 2-а і 3-я частини «Математичного словника». Цю співпрацю можна розглядати як початок творення соборної національної української математичної термінології. Спроба створити національну математичну термінологію на винятково українському мовному фунті дала змогу значною мірою усталити й уніфікувати математичну термінологію на західноукраїнських землях й у Великій Україні, хоч до остаточного усталення спільної української термінології було ще дуже далеко.

Варто зазначити, що від 1918 до 1933 р. вийшли друком 10 словників з математики і механіки, 9 з фізики, 4 з хімії, а загалом до 1933 р. було видано 83 термінологічні словники з різних ділянок знань. За цей короткий час набула розквіту лексикографічна робота. Співробітники ІУНМ зібрали 2 млн карток слів української мови. В ці роки (період «українізації») на основі народної мови по суті було створено національну математичну термінологію.

Представниками пуристичної школи в термінології були О. Синявський, М. Судима, М. Наконечний, О. Курило. Процес українського термінотворення в той час відбувався не лише в радянській Україні, він продовжувався, долаючи заборони, і на західноукраїнських землях. Так, зокрема, в 1923 р. у Львові на II Загальному з'їзді українських інженерів і техніків Микола Чайковський виступив з рефератом «Завдання української наукової й технічної термінології», а в 1924 р. він опублікував «Систематичний словник української математичної термінології».

Особливо великий внесок у створення й уніфікацію української математичної термінології належить уже згадуваним математикам М. Кравчукові та М. Чайковському. Вони перші почали викладати математику українською мовою у Київському й Кам'янець-Подільському університетах.

У творення математичної термінології значний внесок зробили співробітники Інституту української наукової мови та Фізико-математичного відділу Академії. Зокрема співробітник Інституту української наукової мови ВУАН Ф. Калинович у 1925 р. видав «Словник математичної термінології. Проект, ч. 1. Термінологія чистої математики», а В. Дубровський «Російсько-український технічний словник» (1925 і 1926). Термінологічна комісія Одеської науково-дослідчої кафедри математики видала «Російсько-український словничок математичної термінології та фразеології. Алгебра».

Хоч українська математична термінологія творилася на різних українських етнічних територіях, що належали до різних держав, при вироблянні її виявилася єдність учених усіх українських земель. До початку 30-х рр. XX ст. було створено науково обгрунтовану українську національну математичну термінологію, що відповідала світовому рівню і мала потенційні можливості для дальшого розвитку.

Варто сказати, що всі словники ІУНМ мали підзаголовок «Проект». Передбачалося широке обговорення їх і доопрацювання. На жаль, більша частина напрацьованого тоді матеріалу не пройшла апробації у фаховому мовленні. Зрозуміло, що критика цих словників виконувала відповідне політичне замовлення: кожний словник «має бути відповідний до загальної мовної політики радянської влади».

Нормальний природний процес творення української математичної термінології було перервано на початку 1930-х рр., після припинення процесу так званої українізації. У зв'язку з процесом вигаданої більшовицьким режимом СВУ (1930) багатьох українських термінологів і працівників ІУНМ було звинувачено в націоналізмі, вісьмох заарештовано й фізично знищено (серед них керівник ІУНМ Григорій Холодний, якого звинуватили в «термінологічному саботажі», співробітники Г. Голоскевич, В. Дубровський, М. Кривенюк, та ін.). Математика і термінолога М. Чайковського було заарештовано і звинувачено за сфабрикованими справами СВУ та УВО (1933). Мовознавець Наум Каганович (вихованець Харківського Інституту народної освіти) започаткував на початку 1930-х рр. гостру кампанію проти українського мовознавства 1920-х рр. [3]

2. Етапи розвитку. У зв'язку з русифікаторським курсом в УСРР у 1931 р. ліквідовано Інститут української наукової мови і ряд мовознавчих інституцій Історико-філологічного відділу УАН. На їхній базі в 1931 р. було засновано в Києві Інститут мовознавства ВУАН (з 1945 р. ім. О. Потебні). Одним з головних завдань новоствореного Інституту було викривання «націоналістичного шкідництва» в АН. Йому було передано й видання термінологічних матеріалів. Свою наукову роботу під проводом уже згадуваного Наума Кагановича (1931 1937) Інститут мовознавства ВУАН почав неперебірливою критикою наукових праць репресованих попередніх керівників і укладених співробітниками ІУНМ словників. Зокрема, радянське офіційне мовознавство засудило і визнало шкідливими для розвитку української науки «українізаційні» тенденції, які нібито були за своєю суттю націоналістичні й реакційні, відштовхували від російської термінології. Національну українську наукову термінологію почали класифікувати як «хуторянську».

Після знищення четвертого тому академічного загального «Російсько-українського словника» (як і заборони раніше виданих томів), а також вилучення термінологічних словників ІУНМ в українській термінології утворилася порожнеча. Щоб заповнити її, в 1934-1935 рр. було видано два математичні шкільні словники. У 1934 р. Інститут мовознавства ВУАН видав спеціальний «Математичний термінологічний бюлетень» (Дріпов Д., Сабалдир П. «Проти націоналізму в математичній термінології»), [2] у якому замість нібито вигаданих націоналістами і петлюрівцями українських термінів утверджувались у директивному порядку терміни «інтернаціонального походження» і спільні з російськими. У науковій і навчальній математичній літературі майже всі українські національні математичні терміни остаточно було замінено на прийняті в російській термінології «інтернаціональні терміни» або кальки з російських. У 1937 р. Інститут мовознавства АН УРСР видав загальний «Російсько-український словник», в якому в українській частині було багато слів, живцем узятих з російської мови. Цим було започатковано стрімкий процес зросійщування української наукової мови. В ділянці освіти почалася деукраїнізація шкіл і вищих навчальних закладів. У великих містах школи ставали двомовними, а згодом — одномовними російськими.

Для перегляду роботи «на мовному фронті» 25 квітня 1933 р. при Наркомосі було створено Комісію під головуванням А. Хвилі. В 1933 р. було здійснено перехід на новий правопис, якого прилюдно не обговорювали. Правопис іншомовних слів замінено на російський. Там, де українські терміни мали по дві форми, перевагу надано формі, ближчій до російської мови. Цілком усунено літеру ґ, що змінило написання багатьох наукових термінів, зокрема математичних. Після ліквідації Інституту української наукової мови в 1931 р. та репресування у 1937 р. М. Кравчука процес українського термінотворення, зокрема математичного, припинився зовсім. Робота зі створення української математичної й природничої термінології класифікувалася як «петлюрівщина» і «націоналістичний ухил». Після виходу термінологічних бюлетенів результати багаторічної наукової та пошукової праці українських лексикографів було перекреслено, а словники ІУНМ сховано в спецвідділи бібліотек. Провідних українських термінологів було знищено. Після виходу «Математичного термінологічного бюлетеня» [2] (було виправлено, деукраїнізовано, зросійщено, зінтернаціоналізовано більшість термінів) справжня українська математична термінологія стала недоступною для користувачів.

Процес вільного від політичного втручання українського наукового термінотворення в 1930-і рр. тривав в основному лише за кордоном в Українському Вільному університеті та в Українському Високому педагогічному інституті у Празі й Українській господарській академії в Подебрадах. Наукові видання УГА значно збагатили українську науково-технічну літературу і розвинули українську наукову мову в природничих науках. Зокрема, УГА видала математичний словник. Проблеми української наукової термінології обговорювалися на І (1926) і II (1932) Українських наукових з'їздах у Празі. На ці з'їзди було запрошено і вчених з радянської України, однак, на жаль, Українська академія вирішила не брати в них участі.

З великими труднощами продовжувався процес українського математичного термінотворення у Львові. Польський уряд ще менше, ніж австро-угорський, сприяв розвитку української освіти. Міністерство освіти Польщі після 1932 р. перестало видавати підручники українською мовою. У відповідь на орієнтацію галицьких укладачів математичних словників на термінологію, вживану в Радянській Україні, польські урядові кола роблять спроби наблизити галицьку (в основному шкільну математичну термінологію) до польської. Це дуже посилило термінологічні розбіжності і призвело до руйнування вже наміченої загальноукраїнської математичної термінології і більш-менш усталених раніше спільних для всіх українських земель термінологічних норм. Українську наукову термінологію на основі принципів ІУНМ і НТШ розробляла й діаспора в Америці УТЦА (Український термінологічний центр в Америці); НДТУК (Науково-дослідче товариство української термінології) та в низка інших наукових інституцій. Зокрема, Український науковий інститут Гарвардського університету в 1979 р. проводив сесію, присвячену історії української термінології. В Канаді в 1990 р. видано «Українсько-англійський словник комп'ютерної термінології і англо-українські аудіо-візуальні терміни» (укладачі: П. Фединський, Т. Городиська, Т. Кінен, Р. Робін).

Варто зазначити, що від 1918 до 1933 р. вийшли друком 10 словників з математики і механіки, 9 з фізики, 4 з хімії, а загалом до 1933 р. було видано 83 термінологічні словники з різних ділянок знань. За цей короткий час набула розквіту лексикографічна робота. Співробітники ІУНМ зібрали 2 млн карток слів української мови. В ці роки (період «українізації») на основі народної мови по суті було створено національну математичну термінологію.

Представниками пуристичної школи в термінології були О. Синявський, М. Судима, М. Наконечний, О. Курило. Процес українського термінотворення в той час відбувався не лише в радянській Україні, він продовжувався, долаючи заборони, і на західноукраїнських землях. Так, зокрема, в 1923 р. у Львові на II Загальному з'їзді українських інженерів і техніків Микола Чайковський виступив з рефератом «Завдання української наукової й технічної термінології», а в 1924 р. він опублікував «Систематичний словник української математичної термінології».

Особливо великий внесок у створення й уніфікацію української математичної термінології належить уже згадуваним математикам М. Кравчукові та М. Чайковському. Вони перші почали викладати математику українською мовою у Київському й Кам'янець-Подільському університетах.

У творення математичної термінології значний внесок зробили співробітники Інституту української наукової мови та Фізико-математичного відділу Академії. Зокрема співробітник Інституту української наукової мови ВУАН Ф. Калинович у 1925 р. видав «Словник математичної термінології. Проект, ч. 1. Термінологія чистої математики», а В. Дубровський «Російсько-український технічний словник» (1925 і 1926). Термінологічна комісія Одеської науково-дослідчої кафедри математики видала «Російсько-український словничок математичної термінології та фразеології. Алгебра».

Хоч українська математична термінологія творилася на різних українських етнічних територіях, що належали до різних держав, при вироблянні її виявилася єдність учених усіх українських земель. До початку 30-х рр. XX ст. було створено науково обгрунтовану українську національну математичну термінологію, що відповідала світовому рівню і мала потенційні можливості для дальшого розвитку.

Варто сказати, що всі словники ІУНМ мали підзаголовок «Проект». Передбачалося широке обговорення їх і доопрацювання. На жаль, більша частина напрацьованого тоді матеріалу не пройшла апробації у фаховому мовленні. Зрозуміло, що критика цих словників виконувала відповідне політичне замовлення: кожний словник « . має бути відповідний до загальної мовної політики радянської влади».

Нормальний природний процес творення української математичної термінології було перервано на початку 1930-х рр., після припинення процесу так званої українізації. У зв'язку з процесом вигаданої більшовицьким режимом СВУ (1930) багатьох українських термінологів і працівників ІУНМ було звинувачено в націоналізмі, вісьмох заарештовано й фізично знищено (серед них керівник ІУНМ Григорій Холодний, якого звинуватили в «термінологічному саботажі», співробітники Г. Голоскевич, В. Дубровський, М. Кривенюк, та ін.). Математика і термінолога М. Чайковського було заарештовано і звинувачено за сфабрикованими справами СВУ та УВО (1933). Мовознавець Наум Каганович (вихованець Харківського Інституту народної освіти) започаткував на початку 1930-х рр. гостру кампанію проти українського мовознавства 1920-х рр. [3]

3. Відтворення термінотворення і сучасні проблеми. На сучасному етапі творення української математичної термінології намітилися два принципово різні підходи. Перший із них (інтернаціоналізаторський) полягає в тому, щоб вживати терміни так, як вони усталились в основних розвинених мовах (переважно англійській), але при цьому найчастіше маємо традиційне калькування з російських термінів на український лад. У багатьох сучасних розділах математики та інформатики англійська, російська й українська термінологія формується несинхронно. Є випадки, коли справжній смисл того чи іншого терміна, що з'явився в англомовній науковій літературі, набуває істинного російського відповідника з запізненням на кілька років. Недостатня увага до розробляння тлумачних словників призводить до того, що багато російських термінів є просто транслітерацією відповідних англійських.

Другий (українізаторський) підхід має іншу крайність: кожний термін замінюють українським, не рахуючись з усталеними науковими традиціями. Іде реставрація давно забутих діалектизмів і штучних ново-витворів [4,c. 50].

У багатьох випадках потрібно зважати й на те, що чимало сучасних чужомовних термінів уже здобули право громадянства у нашій мові і зовсім немає потреби вилучати їх.

Зрозуміло, що кількість термінів-інтернаціоналізмів і далі зростатиме. Збільшення їх кількості в національних терміносистемах відображає тенденції міжнародного кооперування. Сьогодні не можна стати на позицію тотальної націоналізації математичних термінів, характерної для періоду 1917-1932 рр. Потрібно передбачити узгодженість національної і міжнародної термінології, не допускаючи суцільної денаціоналізації.

Зрозуміло, що не можна абсолютизувати досягнення українського математичного термінотворення періоду «золотої доби 1920-1930 рр.», адже всі словники ІУНМ мали підзаголовок «Проект».

Так, ми могли б, наприклад, замість терміна «перпендикуляр» використовувати «сторчак» або «простопад», замість «модель» «зразок». Проте дуже сумнівно, щоб ці терміни прижилися в національній термінології. Що іще важливо: ці терміни дуже поширені нині в багатьох європейських мовах. Очевидно, що подібна самоізоляція навряд чи піде нам на користь. Але є випадки хорошої вмотивованості суто українських забутих термінів. У такому разі доцільно подавати їх як синоніми до вже традиційних термінів.

Представники «консервативного підходу» виступають за збереження української наукової термінології, зокрема математичної, в такому вигляді, якого вона набула за радянського часу. Очевидно, що такий підхід не дасть змоги сформувати сучасну національну математичну терміносистему.

Головне правило, якого треба дотримуватися, опрацьовуючи термінологію, полягає в тому, що будь-який термін треба узгоджувати з основними законами української мови.

Зрозуміло, що математична термінологія не може бути творінням однієї людини або одного інституту. Вона не може бути й мовою одного регіону України чи мовою діаспори. Як відзначив М. Чайковський, вона має постати на всіх землях України та в діаспорі у велике термінологічне об'єднання.

Українська математична термінологія зможе ефективно обслуговувати всі ділянки науки і техніки лише тоді, коли її належним чином буде стандартизовано.

У терміносистемі сучасної математики терміни з власними іменами (ВІ) утворюють доволі значну групу близько 10 %. Як показує аналіз, дуже поширені словосполуки з ВІ в дисциплінах класичної математики: в алгебрі, геометрії та в математичному аналізі, а в теорії ймовірностей термінів з ВІ найбільше: їх зареєстровано близько 30 %. Часто до складу складних наукових термінів входить по кілька ВІ вчених різних національностей. Наприклад: умови Ойлера д'Аламбера Коші Рімана.

У зв'язку з широким використанням ВІ в наукових терміносистемах виникає проблема транскрибування прізвищ учених українською мовою.

Історично склалося так, що іншомовні прізвища вимагалося транскрибувати українською мовою, виходячи з російського написання їх, а це не відповідало самій природі української мови. За роки радянської влади правопис власних імен і прізвищ в українській мові зазнав нищівних руйнувань і спотворень.

Українська науково-технічна (зокрема й математична) термінологія повинна формуватися з урахуванням принаймні ось таких трьох основних чинників:

1)досвіду найпоширеніших мов розвинених країн світу, найперше — мов, які виробили ту чи іншу терміносистему;

2)позитивної практики термінологічних шкіл колишнього Радянського Союзу;

3)досвіду українського термінотворення в регіонах України та української діаспори [1, c. 107].

Хоч як це парадоксально, але українська математична термінологія опинилась у вигіднішій ситуації порівняно з іншими мовами, оскільки є можливість враховувати досвід інших національних термінологій і уникати їхніх помилок.

Перед фахівцями й мовознавцями стоїть завдання укладати різні двомовні термінологічні словники з математики, інформатики, кібернетики, обчислювальної техніки та інших ділянок науки. Необхідно підготувати і видати математичну енциклопедію. При цьому доцільно насамперед укласти і видати сучасні російсько-українські термінологічні словники, оскільки брак їх гальмує застосування української мови у сфері освіти, науки і техніки.

Термінологічні математичні словники повинні: 

1) віддзеркалювати сучасний стан розвитку математики та її застосувань;

2) закріпити вживання українських термінів (а не кальок з російських) у навчальній і науковій літературі;

3) уніфікувати математичну термінологію і впорядкувати вживання математичних термінів стосовно певних ділянок знань [1, c. 109].

Висновки 

1. Творення українських математичних термінів почалося ще з к. ХІХ ст. Важливе значення мало заснування Товариства імені Шевченка у Львові 1873 р., яке пізніше отримало статус наукового, а також Українського наукового товариства у Києві 1907 р. У 1921 р. останнє об’єдналося із Всеукраїнською академією наук (ВУАН), утворивши Інститут української наукової мови (ІУНМ). Національну математичну термінологію було створено по суті у роки українізації, причому вона відповідала світовому рівню і мала потенціал для подальшого розвитку, тим більше була саме соборною українською.

2. Природній розвиток було призупинено на початку 30-х рр., після розгортання гострої кампанії проти українського мовознавства взагалі і національної термінології зокрема. В той час власне українські терміни замінювалися на інтернаціоналізми, прийняті в російській термінології, а той просто кальки з російських. З 1937 р. процес українського математичного термінотворення припинився зовсім і продовжувався лише за кордоном і частково в Західній Україні. Короткочасне відродження характерне для хрущовської відлиги, після якої знов занепад, загальмування, зросійщування і припинення розвитку. Всі вищезазначені обставини не дозволили сформувати справжню українську математичну термінологію для використання її в незалежній Україні.

3. В наш час формування української математичної термінології відбувається трьома шляхами: інтернаціоналізаторським, українізаторським та консервативним. Перший передбачає, що терміни мають вживатися так, як вони усталилися в інших розвинених мовах; другий прагне замінити всі терміни українськими відповідниками, третій виступає за збереження радянського варіанту. Правильний шлях формування – урахування і поєднання усіх цих трьох принципів без входження в країності, врахування досвіду інших національних терміносистем та уникнення їхніх помилок і недоліків.

CПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 

1. Дюканова Н. М. Можливості та шляхи відродження української термінології / Н. М. Дюканова // Проблеми освіти: Наук.-метод. зб. / редкол.: В. Г. Кремень. – К.: Наук.-метод. центр вищої освіти, 2005. – Вип. 48. – С. 105 – 110

2. Математичнй термінологічний бюлетень. Виправлення до математичного словника. – Чч. 1, 2, 3. Дріпов Д., Сабалдир П. Проти націоналізму в математичній термінології. ВУАН, Інститут мовознавства. – №2. – К., 1934. – 81 с.

3. Наконечна Г. Українська науково-технічна термінологія. Історія і сьогодення – Львів: Кальварія, 1999. – 110 с.

4. Селігей П. О. Сучасне термінотворення: синдроми та симтоми / П. О. Селігей // Мовознавство : Науково-теоретичний журнал. – 2007. – N 3. – С. 48 – 61

5. Хведорів М. М. Московсько-українська термінологія елементарної математики. – Кам’янець-Подільський, 1979. – 116 с.

4. Основні етапи становлення сучасної математики. У кінці XVII і в XVIII столітті усі зростаючі запити практики і інших наук спонукали учених максимально розширювати область і методи досліджень математики. Поняття нескінченності, руху і функціональної залежності висуваються на перше місце, стають основою нових методів математики.

У XIX столітті починається новий період в розвитку математики - сучасний. Накопичений в XVII і XVIII вв. величезний матеріал привів до необхідності поглибленого логічного аналізу і об'єднання його з нових точок зору. Зв'язок математики з природознавством придбаває тепер складніші форми. Нові теорії виникають не лише в результаті запитів природознавства або техніки, а також з внутрішніх потреб самої математики.

Теория групп ведет свое начало с рассмотрения Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены результаты Руффини и Абелем, завершившиеся несколько позднее тем, что французский математик Э.Галуа при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине XIX в. английский математик А. Кэлли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский математик С.Ли разработал теорию непрерывных групп.

Посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними і теорія потенціалу. У цьому напрямі працюють більшість великих аналітиків початку і середини XIX століття : К. Гаус, Ж. Фур'є, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, М. В. Остроградский.

Диференціальна геометрія поверхонь створюється Гаусом і Петерсоном. Для вироблення нових поглядів на предмет геометрії основне значення мало створення Лобачевским неэвклидовой геометрії. Побудувавши неевклідовому тригонометрію і аналітичну геометрію, він дав усе необхідне для встановлення спільності і повноти системи аксіом цієї нової геометрії. Розвивалося довгий час і проектна геометрія, пов'язана з істотною зміною старих поглядів на простір. Плюккер будує геометрію, розглядаючи в якості основних елементів прямі, Грассман створює аффинную метричну геометрію n- мірного простору.

Вже у внутрішній геометрії гауса поверхонь диференціальна геометрія звільняється від нерозривного зв'язку з геометрією Евкліда.

Ф. Клейн підпорядковує усю різноманітність побудованих до цього часу «геометрії» просторів різного числа вимірів ідеї вивчення інваріантів тієї або іншої групи перетворень. У 1879-1884 г.г. публікуються роботи Кантора по загальній теорії нескінченних великих кількостей. Тільки після цього могли бути сформульовані сучасні загальні уявлення про предмет математики, будову математичних теорій.

Во второй половине XIX в. начинается интенсивная разработка вопросов истории математики. Чрезвычайное развитие получают в конце XIX в. и в XX в. все разделы математики, начиная с самого старого из них – теории чисел. Немецкие и русский математик Е.И.Золотарев закладывают основы современной алгебраической теории чисел. В 1873 г. Ш.Эрмит доказывает трансцендентность числа ℮, а в 1882 г. Ф. Линдеман – числа π. В России по теории чисел блестяще развивают А.Н. Коркин, Г.Ф. Вороной, И.М. Виноградов и А.А. Марков. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. Подробно исследуются возможности сведения решений уравнений высших степеней к решению уравнений возможно более простого вида. Основными отделами, привлекающими значительные научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трехмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах итальянского математика Е.Бельтрами, французского математика Г.Дарбу. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований создано работами математиков Т.Леви-Чевита, Э.Картана, Г.Вейля. Французкие математики глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, теорию конформных отображений – русские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин. В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль математики – теория функций действительного переменного.

Найбільшу увагу в області теорії звичайних диференціальних рівнянь привертають тепер питання якісного дослідження їх рішень. Усі ці дослідження отримали широкий розвиток в Росії. Якісна теорія диференціальних рівнянь послужила для Пумнкаре відправним пунктом для продовження лише ледве намічених Риманом досліджень по топології різноманіть.

Теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними ще у кінці XIX ст. отримує істотно новий вид.

Аналітична теорія відступає дещо на задній план, оскільки виявляється, що при рішенні крайових завдань вона не гарантує «коректності».

Значним доповненням до методів теорії диференціальних рівнянь при вивченні природи і рішенні технічних завдань являються методи теорії вірогідності.

У кінці XIX ст. і в XX ст. велика увага приділяється методам чисельної інтеграції диференціальних рівнянь.

Таким образом, разработанные в первой половине XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам перестроить математический анализ, алгебру, учение о числе и отчасти геометрию в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.

Подальший розвиток математики, аж до кінця 19-го - почала 20-го віків мало в основному прагматичний характер, коли математика застосовувалася як ефективний засіб для вирішення фізичних, астрономічних і інших прикладних завдань. В той же час ніколи не знімалося питання про «законні» засоби побудови математичних понять і доказів. Зважаючи на відсутність самого поняття математичної логіки, головним інструментом доказів була інтуїція. Інтуїціонізм, як певний напрям в математиці, виник на початку 20-го століття, в основному завдяки працям Л. Брауера і А. Гейтинга. У його основі лежить номіналістична тенденція обмежити математику тільки такими поняттями, яким можна надати «реальний сенс».

До числа основних досягнень 20-го століття в області підстав математики слід віднести:

Вироблення поняття формальної мови і формальної системи(числення) і породжуваної нею теорії.

Створення математичної логіки у вигляді несуперечливої семантично повної формальної системи.

Створення аксіоматизованих формальних теорій арифметики, теорії великих кількостей, систем алгебри і інших важливих розділів математики.

Формальне уточнення понять алгоритму і обчислюваної функції.

Арифметизація і занурення у формальну теорію таких важливих понять метаматематики, як доказовість, несуперечність та ін., що дозволило вирішувати багато метаматематичних проблем математичними засобами.

Перераховані досягнення зажадали усвідомлення і уточнення багатьох важливих математичних і метаматематичних понять таких, як мову, синтаксис і семантика математичних теорій та ін. Усе це дозволило поглянути на проблему підстав математики з нових позицій в порівнянні з передуючими часом.

Потреби розвитку самої математики, «математизація» різних галузей науки, проникнення математичних методів у багато сфер практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки приводять до переміщення основних зусиль математиків усередині розділів математики, що склалися, і до появи цілого ряду нових математичних дисциплін.

На основі завдань теорії систем, що управляють, комбінаторного аналізу, графів теорії, теорії кодування виникла дискретна, або кінцева математика.

Питання про найкраще(у тому або іншому сенсі) управління фізичними або механічними системами, що описуються диференціальними рівняннями, привели до створення математичної теорії оптимального управління, близькі питання про управління об'єктами в конфліктних ситуаціях — до виникнення і розвитку теорії диференціальних ігор.

Дослідження в області загальних проблем управління і пов'язаних з ними областях математики в з'єднанні з прогресом обчислювальної техніки дають.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50355. Теоретичні основи акустичних методів 345.5 KB
  Вивчення процесу розповсюдження пружних хвиль в гірських породах. Фізичні властивості гірських порід в тому числі і акустичні досить часто вимірюють непрямими способами причому неелектричні акустичні параметри швидкість поширення та амплітуди пружних коливань зазвичай перетворюють в електричні і їх визначення проводять за допомогою різних електричних схем.
50356. ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ В СИСТЕМАХ ОСВІТЛЕННЯ 133 KB
  Значну економію електроенергії можна отримати при управлінні освітленням. Входячи в темне приміщення, людина завжди вмикає освітлення, а виходячи з нього, не завжди вимикає. Встановлення датчиків присутності забезпечить вимкнення освітлення при відсутності в приміщенні людей.
50357. Анализ и изучение отношения детей в возрасте 6-7 лет к моральным нормам в структуре готовности к школе 252.81 KB
  Рассмотреть особенности отношения к моральным нормам у детей старшего дошкольного возрасте в структуре готовности к школе. Провести исследование и анализ отношения детей в возрасте 6-7 лет к моральным нормам. Провести исследование и анализ готовности к школе детей старшего дошкольного возраста.
50359. Разработка проекта развития порта 241.95 KB
  Проектный анализ предполагает осуществление технико-экономического анализа, анализа экономической динамики и финансово-хозяйственной деятельности. Это позволит нам выяснить степень деловой активности предприятия, его платежеспособность и ликвидность. А также эффективность деятельности предприятия, то есть рентабельность.
50362. Основные конфликтологические теории. (К. Маркс, Р. Дарендорф, Л. Козер) 15.7 KB
  Ральф Дарендорф в своей «теории конфликта» исходил из того, что в каждом обществе существуют осевые линии социальных конфликтов. Конфликт, по его мнению, рождается из того, что одна группа или один класс сопротивляются «давлению» или господству противоположной им социальной силы.
50363. Изучение теории погрешностей и кинематики материальной точки 2.22 MB
  Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом; Масштабы вдоль осей следует выбирать так чтобы основная часть графика имела наклон близкий к и лежала в средней части между осями; Если на графике необязательно иметь начало координат начало и конец разметки по осям должны соответствовать минимальным и максимальным значениям аргумента и функции; Десятичные множители удобнее отнести к единице измерения тогда деления на Ося будут помечены цифрами 123 и т. На график наносятся все полученные в измерениях точки выносные...