7985

Элементы электрической цепи

Контрольная

Физика

Элементы электрической цепи Активными элементами являются источники электрической энергии. Они подразделяются на источники напряжения - условное обозначение на рисунке. Пассивные элементы - элементы, которые не являются источниками электри...

Русский

2013-01-31

259 KB

229 чел.

Элементы электрической цепи

Активными элементами являются источники электрической энергии. Они подразделяются на источники напряжения – условное обозначение на рисунке.

Пассивные элементы – элементы, которые не являются источниками электрической энергии. Они делятся на диссипативные и реактивные.

Диссипативные элементы – элементы, осуществляющие диссипацию (dissipatiоn – рассеивание) электрической энергии. Элементы с такими свойствами осуществляют преобразование электрической энергии в тепловую. Такими элементами являются резисторы. Они характеризуются электрическим сопротивлением, которое измеряется в омах (Ом). Их условное обозначение показано на рис. 1.2.

Реактивные элементы – элементы, способные накапливать электрическую энергию и отдавать ее либо источнику, от которого эта энергия была получена, либо передавать другому элементу. В любом случае этот элемент не превращает электрическую энергию в тепловую. Такими элементами являются катушка индуктивности и конденсатор. На рис. 1.3 показано условное обозначение этих реактивных элементов.

Электрической цепью называется такое соединение электрических элементов, при котором под воздействием источника электрической энергии в элементах протекает электрический ток.

Узел – точка соединения трех и более элементов.

Ветвь – участок цепи, содержащий хотя бы один элемент и находящийся между двумя ближайшими узлами.

Контур – замкнутая часть электрической цепи.

Перемычка – это электрический проводник с нулевым сопротивлением, подсоединенный своими концами к различным двум точкам схемы.

Классификация электрической цепи осуществляется по следующим признакам:

– наличие или отсутствие в цепи источника электрической энергии;

– наличие или отсутствие в цепи диссипативных элементов;

– в зависимости от характера вольтамперных характеристик электрических элементов; 

– в зависимости от количества выводов электрической цепи.

Пассивной цепью называется цепь, не содержащая источника электрической энергии. В такой цепи присутствуют только диссипативные и реактивные элементы.

Активной цепью называется цепь, содержащая хотя бы один источник электрической энергии. К активным цепям относятся цепи, содержащие и усилительные элементы – транзисторы и электронные лампы, т. к. в их схемы замещения входят источники электрической энергии.

Все пассивные и активные цепи, в свою очередь, подразделяются на реактивные и диссипативные.

Реактивной цепью называется цепь, содержащая только реактивные элементы. В таких цепях нет диссипативных элементов, а реактивные элементы считают идеальными.

Диссипативной цепью называется цепь, содержащая хотя бы один диссипативный элемент. Это может быть резистор или реальный реактивный элемент. Очевидно, что в действительности все цепи диссипативные. Однако часто диссипативные составляющие в реактивных элементах очень малы и ими можно пренебрегать. Тем не менее, необходимо каждый раз это оценивать и оговаривать.

Наконец, все названные типы цепей в зависимости от вида вольтамперных характеристик элементов подразделяются на линейные и нелинейные.

Линейной электрической цепью называется цепь, содержащая только элементы с линейной вольтамперной характеристикой.

Нелинейной электрической цепью называется цепь, содержащая хотя бы один элемент с нелинейной вольтамперной характеристикой.

ВИДЫ СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Последовательное соединение – такое соединение элементов, при котором в них протекает один и тот же ток. На рис. 1.10 только два резистора соединены последовательно, это резисторы R3 и R4.

Параллельное соединение – такое соединение элементов, к которым прикладывается одно и то же напряжение. На рис. 1.10 только два резистора соединены параллельно, это резисторы R8 и R9.

Соединение звездой – такое соединение, когда из узла выходит три и более ветви с элементами. Звезда может состоять из трех и более лучей, содержащих элементы. На рис. 1.10 соединение звездой образуют такие, например, элементы: R5–R6–R7, R1–R2–R5 и т. д.

Рис. 1.10. Схема типовых видов соединения элементов

Соединение треугольником – такое соединение, при котором три ветви образуют замкнутый контур. Например, на схеме рис. 1.10 треугольником соединены резисторы R6R7R8.

Эквивалентные преобразования подразумевают замену двух и более элементов цепи одним таким элементом, при котором электрические режимы всех оставшихся других элементов не изменяются, т. е. токи и напряжения на этих элементах остаются прежними.

Последовательно соединенные резисторы можно заменить одним резистором, сопротивление которого равно сумме сопротивлений этих резисторов. Так, для схемы, изображенной на рис. 1.11, а имеем:

Рис. 1.11. Эквивалентные преобразования при последовательном (а)                   и при параллельном (б) соединении элементов

Если последовательно соединены n различных резисторов, то их эквивалентное сопротивление равно:

.

В частном случае, если n последовательно соединенных резисторов имеют одно и то же значение сопротивления R, то их эквивалентное сопротивление в n раз больше этой величины сопротивления и равно:

Rэкв = nR.

Очевидно, что величина эквивалентного сопротивления больше наибольшего из последовательно соединённых резисторов.

Параллельно соединенные резисторы можно заменить одним резистором, проводимость которого равна сумме проводимостей каждого из резисторов.

Под проводимостью резистора понимается величина, обратная сопротивлению резистора и обозначается через Y:

.

Для схемы, приведенной на рис. 1.11, б имеем:.

Выражаем проводимости через сопротивления:

.

Решая это выражение относительно Rэкв находим:

.

Для n параллельно соединенных резисторов имеем выражения:

; .

Отметим несколько особенностей для параллельно соединенных резисторов. Как видно, при параллельном соединении резисторов эквивалентная проводимость больше проводимости резистора, имеющего наибольшее значение проводимости среди всех резисторов. Очевидно, что этот резистор имеет наименьшую величину сопротивления из всех резисторов. Следовательно, эквивалентное сопротивление параллельно соединенных резисторов меньше наименьшего сопротивления из всех резисторов. Это позволяет сделать вывод, что параллельное подключение резистора к какой–либо цепи уменьшает общее (эквивалентное) сопротивление этой цепи.

Если параллельно соединены n резисторов с одинаковым сопротивлением R, то их эквивалентное сопротивление равно:

;  

Значит, эквивалентное сопротивление такой цепи в n раз меньше каждого из резисторов.

Соединение звездой и треугольником. Отдельные схемы не возможно эквивалентно преобразовать и найти их полное сопротивление относительно входных выводов, если не осуществить переход от соединения электрических элементов звездой к соединению их треугольником или на оборот. При замене звезды (рис. 1.12, а) на эквивалентный треугольник (рис. 1.12, б) сопротивления треугольника связаны с сопротивлениями звезды следующими соотношениями:

При замене треугольника на эквивалентную звезду сопротивление звезды выражается через сопротивление треугольника следующими соотношениями:

; ;  .

На рис. 1.13 показана последовательность эквивалентного преобразования цепи для определения эквивалентного сопротивления всей цепи относительно точек а–б. Обычно преобразование начинается с объединения последовательно или параллельно соединенных элементов. В исходной схеме (рис. 1.13, а) таких соединений нет. В этом случае необходимо выполнить преобразование звезды в треугольник или треугольника в звезду. В исходной схеме звезду из резисторов R2R5R3 заменяем треугольником (рис. 1.13, б) из резисторов R1,3, R2,5, R3,2, величины которых находятся из выше приведенных формул. Теперь видно, что резисторы R4 и R2,5, а также резисторы R6 и R3,2 соединены между собой параллельно и объединяются соответственно в резисторы R'4, R'6 (рис. 1.13, в). Затем объединяются последовательно соединенные резисторы R'4 и R'6 с параллельно с ними соединенным резистором R1,3. Их эквивалентом является резистор R'2 (рис. 1.13, г). Суммируя R1 и R'2, находим Rэкв для всей цепи (рис. 1.13, д).

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Закон Ома – падение напряжения на элементе равно произведению величины сопротивления этого элемента на величину тока, протекающего через него.

Первый закон Кирхгофа – сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла.

Второй закон Кирхгофа – в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений источников электрической энергии равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура. При обходе контура в произвольно выбранном направлении значения напряжений берутся с плюсом, если направление обхода контура и направления напряжений совпадают и берутся с минусом, если этого совпадения нет.

РАСЧЕТ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод применяется для не очень сложных пассивных электрических цепей, такие цепи встречаются довольно часто, и поэтому этот метод находит широкое применение. Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, как это показано на рис. 1.13, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения в соответствии с п. 1.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

Рассмотрим этот метод на примере (рис. 1.15). В исходной схеме расставляем условно–положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах. Нетрудно согласиться, что под действием источника E с указанной полярностью направление токов и напряжений такое, какое показано стрелками. Для удобства дальнейшего пояснения метода, обозначим на схеме узлы а и б. При обычном расчете это можно не делать.

Далее осуществляем последовательно эквивалентное преобразование схемы. Вначале объединяем параллельно соединенные элементы, и находим (рис. 1.15, б):

Затем, объединяя все последовательно соединенные элементы, завершаем эквивалентное преобразование схемы (рис. 1.15, в):

В последней схеме (рис. 1.15, в) находим ток I1:

Теперь возвращаемся к предыдущей схеме (рис. 1.15, б). Видим, что найдCенный ток I1 протекает через R1, R2,3, R4 и создает на них падение напряжения. Найдем эти напряжения:

.Возвращаясь к исходной схеме (рис. 1.15, а), видим, что найденное напряжение Uаб прикладывается к элементам R2 и R3.

Значит, можем записать, что U2 = U3 = Uа,б

Токи в этих элементах находят из совершенно очевидных соотношений:

Итак, схема рассчитана.

расчет с помощью законов кирхгофа

Этот метод наиболее универсален и применяется для расчета любых цепей. при расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов кирхгофа. так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. число ветвей принято обозначать через n. часть этих уравнений записываются по первому закону кирхгофа, а часть – по второму закону кирхгофа. все полученные уравнения должны быть независимыми. это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. при составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров. рассмотрим эти понятия.

независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. если число узлов обозначим через к, то число независимых узлов равно (к–1). на схеме (рис. 1.16) из двух узлов только один независим.

независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. в противном случае такой контур называется зависимым.

если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно [n – (к–1)].

в схеме (рис. 1.16) всего три контура, но только два независимых контура, а третий – зависим. выделять независимые контура можно произвольно, т. е. в качестве независимых контуров можно выбрать при первом расчете одни, а при втором расчете (повторном) – другие, которые раньше были зависимыми. результаты расчета будут одинаковыми.

если по первому закону кирхгофа составить уравнения для (к–1) независимых узлов, а по второму закону кирхгофа составить уравнения для [n – (к–1)] независимых контуров, то общее число уравнений будет равно:

(K–1) + [n – (K–1)] = n.

Это означает, что для расчёта имеется необходимое число уравнений.

Последовательность расчёта:

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Выбираем независимые узлы и независимые контура.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К–1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К–1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

Рассмотрим последовательность расчета на примере схемы, приведенной на рис. 1.16. Учитывая направление источника E, расставляем условно–положительные направления токов и напряжений. В схеме три ветви, поэтому нам необходимо составить три уравнения. В схеме два узла, следовательно, из них только один независимый. В качестве независимого узла выберем узел 1. Для него запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

I1 = I2 + I3.

Далее необходимо составить два уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме всего три контура, но независимых только два. В качестве независимых контуров выберем контур из элементов ER1R2 и контур из элементов R2R3. Обходя эти два контура по направлению движения часовой стрелки, записываем следующие два уравнения:

E = I1,R1 + I2R2 ,

0 = – I2R2 + I3R3 .

Решаем полученные три уравнения и определяем токи в ветвях. Затем через найденные токи по закону Ома определяем падения напряжений на всех элементах цепи.

расчет методом контурных токов

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;

общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда  число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К–1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К–1)].

2. Выбирается [n – (К–1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно  показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах  определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n – (К–1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов Iк1 и Iк2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи Iк1 и Iк2. Затем определяем токи в ветвях:

I1 = Iк1 , I3 = Iк2 , I2 = Iк1Iк2 .

РАСЧЕТ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ

Метод применяется для расчета цепей, содержащих несколько (два и более) источников электрической энергии. Подчеркнем, что этот метод применим для расчета только линейных цепей. Метод основывается на том положении, что в каждой ветви цепи ток равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником. Следовательно, необходимо определить токи, создаваемые каждым источником в отдельности, а затем их просуммировать с учетом направлений.

Последовательность расчета:

1. В электрической цепи оставляют только один источник ЭДС. Вместо исключенного источника ЭДС ставится или резистор, величина которого равна величине внутреннего сопротивления источника ЭДС, или перемычка, если внутреннее сопротивление источника равно нулю.

2. Определяются токи во всех ветвях, создаваемые этим источником ЭДС.

3. Оставляется в цепи следующий источник ЭДС, а с остальными поступают аналогично тому, как сказано в п. 1.

4. Определяются токи в цепи, создаваемые вторым источником ЭДС.

5. Аналогично поступают с оставшимися источниками.

6. Истинные токи в ветвях цепи определяются как алгебраическая сумма токов в этих ветвях, созданных каждым из источников.

Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 1.18, методом наложения. Будем считать, что внутренние сопротивления источников ЭДС равны нулю.

В начале оставляем источник E1, а источник E2 убирается и в место него ставится перемычка (рис. 1.18, б). В полученной схеме находим токи методом эквивалентного преобразования:

Затем оставляем только источник E2, а вместо E1 ставится перемычка (рис. 1.18, в). В полученной схеме определяем токи в ветвях также методом эквивалентного преобразования:

Находим действительные токи в исходной схеме (рис. 1.18, а) алгебраическим суммированием найденных токов.

Ток I1 равен разности тока I11 и тока I12:

I1 = I11I12.

Ток I2 равен сумме токов I21 и I22, т. к. они совпадают по направлению:

I2 = I21 + I22.

Ток I3 равен разности тока I32 и тока I31:

I3 = I32I31.

расчет методом эквивалентного источника напряжения

Этот метод расчета иногда называют методом эквивалентного генератора. Он применяется в тех случаях, когда необходимо определить ток только в одной ветви схемы. Токи в остальных ветвях не представляют интереса. Так, при эксплуатации какого–либо устройства нас интересует часто, какой ток (мощность) будет в нагрузке и (или) какой ток (мощность) будет на входе этого устройства. Известно, что при уменьшении требований к количеству определяемых величин упрощается и сам расчет.

Расчет методом эквивалентного источника напряжения основывается на теореме об эквивалентном источнике напряжения:

" Ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения. ЭДС этого источника должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление источника должно равняться входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов подключения ветви при разомкнутой ветви".

Опуская доказательство теоремы (желающим ознакомиться с доказательством рекомендуем [1, стр.95]), рассмотрим последовательность расчета на основании этой теоремы. Исходная схема представлена на рис. 1.19, а.

Здесь выделена только интересующая часть схемы – ветвь а–б, а остальная часть представлена активным двухполюсником А с клеммами а–б. Отсоединяем интересующую нас ветвь а–б (рис. 1.19, б) и, осуществляя расчет оставшейся цепи (двухполюсник А), находим напряжение Uаб на клеммах а–б. Затем в этой же оставшейся схеме (двухполюсник А) (рис. 1.19, б) убираем источники ЭДС, заменяя их на резисторы, сопротивления которых равны внутренним сопротивлениям этих источников или перемычками, если источники идеальны и  определяем сопротивление цепи относительно клемм а–б, которое обозначаем через R0. Величина R0 определяется методом эквивалентного преобразования. Затем эта часть схемы (двухполюсник А) (рис. 1.19, б) заменяется последовательно соединенными источником ЭДС с нулевым внутренним сопротивлением и ЭДС, равной найденному Uа,б , и резистором с сопротивлением, равным R0, а к клеммам а–б подключается интересующая ветвь (рис. 1.19, в). Ток в интересующей цепи определяется из очевидного соотношения:

.

Последовательность расчета:

1. Отсоединить от схемы интересующую ветвь, клеммы подсоединения которой обозначить через а–б.

2. Рассчитать оставшуюся часть цепи и определить напряжение на клеммах а–б (Uаб).

3. В оставшейся части цепи заменить источники ЭДС перемычкой или резистором, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС.

4. Определить сопротивление этой цепи относительно клемм а–б, которое обозначим R0.

5. Оставшуюся часть цепи заменить последовательно соединёнными источником ЭДС с напряжением Uаб и резистором с сопротивлением R0. Эту цепь подсоединить к клеммам а–б.

6. К клеммам а–б подсоединить интересующую ветвь и определить ток, протекающий через нее.

Определим ток в ветви а–б схемы (рис. 1.20, а) методом эквивалентного источника напряжения.

Отключаем ветвь а–б (рис. 1.20, б) и находим напряжение на клеммах а–б:

.

Далее исключаем у оставшейся схемы источник E, заменяя его перемычкой, считая, что его внутреннее сопротивление равно нулю (рис. 1.20, в) и определяем сопротивление цепи относительно клемм а–б:

.

Теперь составляем схему (рис. 1.20, г) и находим ток в ветви а–б:

.

На этом расчет закончен.

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РАСЧЁТА

В соответствии с законом сохранения энергии очевидно следующее утверждение для электрической цепи: "В электрической цепи, содержащей несколько источников электрической энергии и несколько диссипативных элементов, суммарная мощность, выделяемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, рассеиваемой (потребляемой) диссипативными элементами". Это положение называется условием баланса мощностей. 

В общем случае условие баланса мощностей можно представить следующим соотношением:

.    (1.7)

или

,     (1.8)

где n – число источников ЭДС, к – число диссипативных элементов.

Точность расчета оценивается с помощью относительной погрешности в процентах по формуле:

,    (1.9)

где Pист – суммарная мощность всех источников цепи, PR – суммарная мощность, потребляемая всеми диссипативными элементами.

применение функции комплексного переменного для представления синусоидальных токов и напряжений. векторная диаграмма, комплексное сопротивление, треугольник сопротивления

При расчете электрической  цепи используются гармонические функции sin – ой или cos–ой формы. Так переменное напряжение в sin–ой форме может иметь вид:

 (2.1)

Переменный ток в cos–ой форме имеет вид:

(2.2)

где Um, Im– амплитуды напряжения и тока, U, I – начальные (при t = 0) фазы напряжения и тока, – круговая частота.

Несмотря на относительную простоту этих функций, аналитические операции над ними и графическое представление на одном графике несколько таких функций вызывает определенные сложности.

От этих сложностей свободен метод комплексных амплитуд, предложенный американскими инженерами А. Е. Кеннели и П. Ч. Штейнметцом в 1893–1894 гг.

Он основан на том, что показательная функция от комплексного аргумента j обладает периодичностью. На основе формулы Эйлера имеем:

.

Введем понятие комплексного напряжения:

 (2.3)

Видно, что мнимая часть комплексного выражения полностью совпадает с переменным напряжением в sin–ой форме (2.1). Сразу отметим, что если бы переменное напряжение было представлено в cos–ой форме, то оно совпало бы с вещественной частью комплексного напряжения.

Введем понятие комплексного тока:

 (2.4)

Здесь вещественная часть комплексного выражения совпадает с переменным током в cos–ой форме (2.2). Если бы в (2.2) была sin–ая форма, то она совпала бы с мнимой частью комплексного тока.

Было предложено периодический сигнал представлять в комплексной форме (2.3), (2.4). Так как вещественная часть комплексного сигнала имеет cos–ый характер, то целесообразно исходные сигналы записывать в cos–ой форме (в принципе cos–ая и sin–ая функции отличаются только фазой).

Возникает мысль, что тогда в процессе анализа необходимо все время подчеркивать, что в комплексном токе или напряжении учитывается только вещественная составляющая. Однако, в процессе анализа этого делать нет необходимости, а делается это только в конце анализа в результатах расчета.

Итак, в методе комплексных амплитуд исходное переменное напряжение в начале записывается в cos–ой форме:

.

Затем это напряжение представляется в комплексной форме:

(2.5)

В такой форме записываются напряжения и токи цепи, выполняется анализ, получается результат в комплексной форме, вещественная часть которого и будет действительным результатом.

Запишем комплексное напряжение и комплексный ток:

,

Здесь  и  называются комплексными амплитудами напряжения и тока и обозначаются:

;

(2.6)

Комплексные амплитуды напряжения и тока – это значение комплексных напряжения и тока при t = 0.

Всякая комплексная величина может быть представлена вектором на комплексной плоскости. Если аргумент комплексной величины зависит от времени, например (2.5), то на комплексной плоскости эта величина должна представляться вектором, вращающимся против часовой стрелки (положительное направление вращения) с частотой ω. Реально отобразить это на комплексной плоскости не возможно. Поэтому такая комплексная величина  на комплексной  плоскости  представляется в  виде вектора  при

t = 0. На рис. 2.1 показаны вектора напряжения и тока в комплексной форме на комплексной плоскости.

Комплексная плоскость, на которой представлены вектора комплексных напряжений и токов называется векторной диаграммой.

Законы Кирхгофа для комплексных токов имеют такую же трактовку, как и для цепей постоянного тока. В цепях переменного тока помимо резисторов большую роль играют реактивные элементы – конденсаторы и катушки индуктивности. Они так же формируют сопротивление цепи. При использовании комплексных напряжений и токов вводится понятие комплексного сопротивления, которое обозначается . Закон Ома в комплексной форме имеет вид:

(2.7)

Как всякая комплексная величина, комплексное сопротивление cостоит из вещественной и мнимой частей:

 (2.8)

Вещественная часть R комплексного сопротивления цепи переменного тока включает резистивные (диссипативные) составляющие цепи. Мнимая часть X комплексного сопротивления переменного тока включает реактивные составляющие цепи. Поэтому она называется чаще реактивной  составляющей комплексного сопротивления. Если вещественная часть комплексного сопротивления всегда положительная, то реактивная часть может быть положительной (X>0) или отрицательной (X<0).

Комплексное сопротивление иногда удобно представлять в тригонометрической и показательной формах:

 (2.9)

где;  .

Комплексное сопротивление может быть представлено на комплексной плоскости (рис. 2.2) в виде отрезка, проведенного под углом Z к вещественной оси.

Проекции комплексного сопротивления на оси комплексной плоскости, соединенные в виде треугольника, создают треугольник сопротивлений. Из треугольника сопротивления можно получить выражения для модуля и фазы сопротивления (2.9), а так же косинусоидальную и синусоидальную составляющие в тригонометрической  форме представления комплексного сопротивления.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Добротностью называется отношение амплитуды реактивной мощности цепи к величине средней мощности.

Затуханием называется величина, обратная добротности, и обозначается через d.

Резистивным двухполюсником называется двухполюсник, содержащий только резистивные элементы. Простейшим примером такого двухполюсника является резистор

Емкостной двухполюсник представляет собой конденсатор, к которому приложено напряжение.

Индуктивный двухполюсник представляет собой катушку индуктивности, к которой приложено напряжение.

Идеальный индуктивный двухполюсник характеризуется отсутствием явления диссипации, т. е. в нем не происходит рассеивание мощности.

Мгновенная мощность идеального индуктивного двухполюсника определяется по формулепри :

Последовательное соединение конденсаторов

 (2.72)

Если конденсаторы C1 и C2 равны, т. е. C1 = C2, то

Параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение катушек индуктивности

Параллельное соединение катушек индуктивности

Одиночным колебательным контуром называется электрическая цепь, содержащая элементы C, R, L, соединенные определенным образом, в которой протекает переменный ток.

Добротность одиночного колебательного контура

( 3.23)

Значит, амплитуда реактивной мощности в Q раз больше величины средней мощности. Это полезная информация для выбора параметров реактивных элементов при известной мощности нагрузки.

Амплитудно-частотной характеристикой называется зависимость модуля комплексного выражения тока контура от частоты входного сигнала.

Фазо-частотной характеристикой  (ФЧХ) называется зависимость от частоты величины угла фазового сдвига тока относительно приложенного напряжения и обозначается ().

Полосой пропускания называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение тока контура меньше значения тока на резонансной частоте в заданное число раз.

Как правило, за исключением особой аппаратуры, требуется, чтобы на границе полосы пропускания ток контура был меньше тока на резонансной частоте  враз.


Рис. 1.15. Пример расчета цепи методом эквивалентного преобразования

Рис. 1.17. Пример расчета методом контурных токов

Рис. 1.19. Расчет методом источника эквивалентного напряжения

Рис. 1.18. Пример расчета методом наложения

Рис. 1.20. Пример расчета методом эквивалентного источника напряжения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36546. Алгоритмы обработки одномерных массивов.Сортировка.Сравнить 2 метода 30 KB
  Первый шаг сортировки методом пузырька 1Сравниваем первый и второй элементы массива. 2Сравниваем второй и третий элементы массива. 3Cравниваем предпоследний N1 и последний N элементы массива. Повторяем вышеуказанные действия для части массива начиная с 1 позиции до N1 шаг 2.
36547. Приближенные вычисления. Метод бисекций, метод ньютона 26 KB
  Метод бисекций метод ньютона. Метод Ньютона Часто на практике приходиться решать уравнения. В данной лекции мы рассмотрим метод Ньютона который называют ещё методом касательных или методом линеаризации. Задача заключается в том чтобы найти и уточнить этот корень методом касательных Ньютона.
36548. Приближенные вычисления.Метод секущих, метод простых итераций 25 KB
  Метод секущих метод простых итераций. Метод секущих Часто на практике приходиться решать уравнения. В данном конспекте мы опишем метод секущих который является модификацией метода Ньютона. Формула для вычисления корня методом секущих имеет вид: xn1 = xn xnxn1fxnfxn1 fxn.
36549. Устройство контроллера управления лифтом 237 KB
  Объект управления – лифт. Отсчет времени осуществляется программно. Предусмотреть блок ПЗУ на БИС К573РФ2 объемом 2 кбайта. Разместить схему в адресном пространстве процессора начиная с адреса 0000h
36552. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ 18.5 MB
  Команды главного меню: Команда File позволяет создавать файлы помещать их в окно редактирования и проводить с ними различные операции. Эта команда открывает подменю из десяти опций: Опция New производит открытие нового окна редактирования и нового файла с именем NONAME цифра цифра . Команда Edit позволяет проводить различные операции с редактируемыми текстами. Команда Search осуществляет поиск любой необходимой последовательности символов в редактируемых текстах.
36553. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МЕНЕДЖМЕНТЕ (часть 2) 8.75 MB
  Для включения и выключения линеек служит команда Вид Линейка или кнопка над линейкой прокрутки. Кроме того в строке заголовка каждого диалогового запроса присутствует кнопка при нажатии которой появляется справочная система только по командам из данного диалогового запроса. Сохранить документ можно несколькими способами: а командами на ленте: Файл Сохранить сохраняет документ в уже существующем файле с именем указанным в заголовке окна документа и расширением . Команда Параметры анимации находится в группе Шрифт на вкладке Главная.
36554. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МЕНЕДЖМЕНТЕ (часть 1) 7.35 MB
  Работа с меню. Ярлыки и значки можно перемещать мышью по рабочему столу и упорядочивать правый щелчок по рабочему столу вкладка Вид и щелчок по команде Упорядочить значки автоматически контекстнозависимого меню. Также в этом меню можно выбрать размеры значков и ярлыков а также выровнять их по сетке. Чтобы настроить рабочий стол в Windows необходимо щелкнуть в свободной части рабочего стола правой кнопкой мыши и выбрать из контекстного меню команду Персонализация.