80192

Методы анализа линейных цепей

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Все электрические цепи состоящие из сопротивлений емкостей индуктивностей и соединительных проводов линейны. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения nго порядка с постоянными коэффициентами. Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи системы.

Русский

2015-02-16

136 KB

3 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT8

Лекция «Методы анализа линейных цепей»

Линейные цепи состоят из пассивных и активных элементов, параметры которых не зависят от протекающих в них токов и приложенных к ним напряжений. Все электрические цепи, состоящие из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и соединительных проводов, линейны.

Cвязь между входным UВХ(t) = UВХ и выходным UВЫХ(t) = UВЫХ сигналами устанавливают с помощью дифференциального уравнения

Если цепь (далее часто четырехполюсник) линейна, то все коэффициенты

а0, a1,..., an  и  b0, b1,..., bm — постоянные вещественные числа.

Если UВХ(t) задан, то правая часть уравнения , которую условно обозначим через iВХ(t), является известной функцией. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи (системы).

К линейным цепям (системам) применим принцип суперпозиции: выходной сигнал линейной цепи на суммарное воздействие нескольких входных источников равен алгебраической сумме откликов на воздействие (входной сигнал) каждого источника в отдельности.

где В — линейный оператор, характеризующий вид воздействия линейной цепи на входной сигнал.

Линейным системам свойственна еще и однородность (гомогенность), т. е. отклик системы на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз.

При анализе процессов в электрических цепях необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Отклик выражают в значениях напряжений u(t) и токов i(t) в разные моменты времени. При анализе воздействия сигналов на сложные по структуре цепи применяют следующие методы анализа:

  •  классический;
  •  частотный (спектральный);
  •  операторный;
  •  метод интеграла наложения.

Классический метод основан на составлении и решении дифференциальных уравнений и наиболее удобен для анализа прохождения импульсных сигналов через линейные цепи. Метод прост, нагляден, хорошо отражает физическую суть процессов. Очень сложен при анализе процессов и цепей выше третьего порядка. В этом случае удобнее применять спектральный и операторный методы или метод интеграла наложения.

Частотный (спектральный) метод. Оперирует с помощью параметра К(ω)- частотный коэффициент передачи.

В комплексном виде

Частотный коэффициент передачи (или просто коэффициент передачи)

Модуль коэффициента передачи К(ω) = |К(ω)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент φ(ω)фазочастотной характеристикой (ФЧХ). 

Полоса пропускания (рабочая полоса) — области частот, где модуль коэффициента передачи К(ω) становится не менее 1/(2)0,5  своего максимального значения. На границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи по мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза.

Ширина полосы пропускания 

∆ω = ωВ - ωН.

Для циклической частоты

Если на вход линейной цепи подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида UВХ(t) = еjωt, то сигнал на ее выходе запишется как UВЫХ(t) = К(ω) еjωt . Подставляя эти выражения в (1), после несложных преобразований запишем К(ω) в форме дифференциального уравнения

Т.е. если коэффициенты постоянные то К(ω) представляет собой дробно-рациональную функцию переменной jω. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения. С помощью частотного коэффициента передачи К(ω) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(ω) действует  непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения UBX(t). Применив прямое преобразование Фурье

определим спектральную плотность входного сигнала SВХ(ω). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейного четырехполюсника

Проведя обратное преобразование Фурье

 

от спектральной плотности, получим выходной сигнал

Операторный метод  основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р, который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим некоторый комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t), определенный при t≥0 и равный нулю в момент времени t =0.  Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р, выраженная интегралом 

 

u(t) называют оригиналом, а функцию U(p) его изображением

Для примера определим изображение функции включения σ(t)=1(t)

Учитывая

Получим

Преобразование Лапласа обладает линейными свойствами, т.е.

Обратное преобразование Лапласа

где а1 — вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей дифференциального уравнения (1), получим

Передаточной функцией (операторным коэффициентом передачи) линейной цепи называется .

Где через Q(p) обозначают сомножитель перед UВЫХ(р) называя собственным оператором системы, а сомножитель перед UВХ(р) — через R(p) и называют оператором воздействия.

Передаточная функция К(р) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи К(ω) с мнимой осную на всю область комплексных частот р=α+jω.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию электрической цепи на заданное входное воздействие UВХ(t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала UВХ(t) -> UВХ(р);

• найти изображение выходного сигнала UВЫХ(р) = K(p)* UВХ(р);

• вычислить выходной сигнал UВЫХ(р)  -> UВЫХ(t).

Метод интеграла наложения. Cвойства линейных четырехполюсников часто проще оценить видом их отклика на воздействие ряда элементарных сигналов. В качестве элементарных сигналов используются

  •  прямоугольные импульсы, длительностью ∆, в пределе стремящиеся к дельта-функции δ(t);
  •  ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения σ(t) через равные промежутки времени ∆. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени ∆.

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования единичной функции является дельта-функция

Импульсная характеристики линейной цепи h(t) - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию δ(t).

Переходная характеристика g(t) - отклик линейной цепи на единичную функцию σ(t).  Пример

Характеристики линейной цепи.

а — различные виды импульсных; б — переходная

Если входной и выходной сигналы линейной цепи имеют одинаковую размерность, то импульсная характеристика, как и дельта-функция времени, имеет размерность частоты.

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Положим, что требуется определить выходной сигнал UВЫХ(t). Известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал UВХ(t). Заменим приближенно кривую входного сигнала UВХ(t)ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность ∆τ. Если выбрать длительность ∆τ бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта- функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (UВХ(0) ∆τ) первого импульса, т. е. UВХ(0) ∆τ h(t) Откликом цепи на второй импульс является произведение UВХ(∆τ) ∆τ h(t- ∆τ) , где UВХ(∆τ) ∆ τ — площадь этого импульса, а величина h(t- ∆τ) — импульсная характеристика цепи, соответствующая моменту времени t = ∆τ. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = n ∆τ (n — число условно сформированных импульсов,  

приходящихся на интервал времени O...t) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой 

Если длительность импульсов ∆τ, отражающих входной сигнал, последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени ∆τ превращается в dτ, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной τ= k ∆τ

В более общей форме

В теории электрических цепей часто применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45953. Теория и технология термической обработки стали: виды, применение 13.64 KB
  Основными видами термической обработки являются: отжиг закалка и отпуск. Отжиг бывает полный неполный диффузионый рекристаллизационный и нормализа Закалка. Закалкавид термической обработки заключающийся в нагреве изделий с контролируемой скоростью1000С час до температуры АС330500С выше линии окончания фазовых переходов GS диаграммы железо углерод выдержке при этойтемпературе для выравнивания температуры по сечению и осуществления фазовых переходов Fe3C Feα Feγ и быстром охлаждении в воде или масле. Закалка бывает обычная...
45954. Пластмассы: состав, структура, классификация, свойства, применение 13.75 KB
  Полиэтилен со степенью полимеризации 20 предет собой жидкость обладающая смазывающими сввами. Полиэтилен со степенью полимеризации 2000 предет собой твердый пластичныйупругий металл испмый для изгния пленок. К не полярным относятся: полиэтилен второпласты орг. Полиэтилен.
45955. Каучук и резина: строение, состав, свойства, методы получения, применение 14.01 KB
  Особенно важным и спецким сввом каучука явлся его эластть упругость – способть каучука восстанавливать свою первоначую форму после прекращения действия сил вызвавших деформацию. Резинами наз высоко молекулярный матл редко сетчатые стрры которые получают в резте вулканизации каучука с наполнителями. В состав входят: связующие в виде каучука естеств. сера в колве 13 которая служит для смешивания каучука наполнители в виде порошковой сожи материала ткани или другие волокнакапронмягчители – парафин стеориновая кислота...
45956. Химико-термическая обработка стали: виды, технология, оборудование, свойства, применение 187.39 KB
  ХТО –- процесс насыщения поверхности детали различными легирующими элементами с целью изменения состава структуры и свойств поверхностного слоя детали. Поверхность детали может насыщаться следующими элементами: углерод азотом хромом кремний алюминий бром. Цель: получить на поверхности детали высокую тв. достаточной вязкости и пластичности сердцевины деталикулачки эксцентрики.
45957. Упругая и пластическая деформация металлов и сплавов: сущность и механизм осуществления. Наклёп и рекристаллизация. Горячая и холодная обработка давлением 101.14 KB
  Упругая и пластическая деформация металлов и сплавов: сущность и механизм осуществления. Деформация -– это измние формы и размеров тела дефция может вызываться воздействием внешних сил а также др. К дефциям относятся такие явления как сдвиг сжатие растяжение изгиб и кручение. Упругая дефция – это дефция которая исчезает после снятия нагрузки.
45958. Новые металлические материалы: композиционные материалы, металлические стекла, металлы с памятью формы- свойства, состав, применение 182.71 KB
  Новые металлические материалы: композиционные материалы металлические стекла металлы с памятью формы свойства состав применение. К новым Ме материалам относят: 1 сплавы с эффектом памяти формы 2 ситаллы 3 комп ситаллы которые имеютозиционные материалы 4 порошковые материалы. Композиционные материалы состоят из основы матрицы и упрочнителя. В качестве матрицы используются Ме материалы нержавейка Х18Н8Туглеродные материалы карбонкерамические материалы.
45959. Стекло и керамика: состав, свойства, технология изготовления деталей, применение в машиностроении 13.86 KB
  Стекло и керамика: состав свойства технология изготовления деталей применение в машиностроении. По сост делятся: на силикаты SiO2 алюмосиликатные l2O3SiO2 и бромосиликатные B2O3SiO2. Технология изготовления стеклянных изделий состоит из следующих операций: варка стекла в многотонных печах ванного типа прокатка листового стекла прессование выдувание спекание из стеклянного порошка литье под давлением и центробежное литье. В состав керамики могут входить глины шамит песок полевой шпат и тд.
45960. Производства чугуна: исходные материалы, устройство доменной печи, технология плавки чугуна, продукты доменной плавки 72.17 KB
  РУДЫ ФЛЮСЫ И ТОПЛИВО Железные руды – основной исходный материал для выплавки чугуна. Железные руды в отличие от медных и многих других относительно богаты. Наиболее богатые руды содержат 60 железа и больше наиболее бедные 3040. По типу рудного минерала руды бывают следующих основных видов.
45961. Способы изготовления отливок. Изготовление отливок в песчаных формах. Ручная, машинная и вакуумная формовка 15.44 KB
  Основными способами изготовления отливок является литье в песчаные формы по выплавляемым моделям в оболочковые формы в кокиль под давлением и центробежное. Указанными способами можно изготовлять отливки в разовые формы литье в песчаные формы по выплавляемым моделям и в оболочковые формы и в металлические формы литье в кокиль под давлением и центробежное. Литейные формы изготовляют как из неметаллических материалов песчаные формы формы изготовляемые по выплавляемым моделям оболочковые формы для одноразового...