80192

Методы анализа линейных цепей

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Все электрические цепи состоящие из сопротивлений емкостей индуктивностей и соединительных проводов линейны. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения nго порядка с постоянными коэффициентами. Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи системы.

Русский

2015-02-16

136 KB

6 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT8

Лекция «Методы анализа линейных цепей»

Линейные цепи состоят из пассивных и активных элементов, параметры которых не зависят от протекающих в них токов и приложенных к ним напряжений. Все электрические цепи, состоящие из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и соединительных проводов, линейны.

Cвязь между входным UВХ(t) = UВХ и выходным UВЫХ(t) = UВЫХ сигналами устанавливают с помощью дифференциального уравнения

Если цепь (далее часто четырехполюсник) линейна, то все коэффициенты

а0, a1,..., an  и  b0, b1,..., bm — постоянные вещественные числа.

Если UВХ(t) задан, то правая часть уравнения , которую условно обозначим через iВХ(t), является известной функцией. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи (системы).

К линейным цепям (системам) применим принцип суперпозиции: выходной сигнал линейной цепи на суммарное воздействие нескольких входных источников равен алгебраической сумме откликов на воздействие (входной сигнал) каждого источника в отдельности.

где В — линейный оператор, характеризующий вид воздействия линейной цепи на входной сигнал.

Линейным системам свойственна еще и однородность (гомогенность), т. е. отклик системы на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз.

При анализе процессов в электрических цепях необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Отклик выражают в значениях напряжений u(t) и токов i(t) в разные моменты времени. При анализе воздействия сигналов на сложные по структуре цепи применяют следующие методы анализа:

  •  классический;
  •  частотный (спектральный);
  •  операторный;
  •  метод интеграла наложения.

Классический метод основан на составлении и решении дифференциальных уравнений и наиболее удобен для анализа прохождения импульсных сигналов через линейные цепи. Метод прост, нагляден, хорошо отражает физическую суть процессов. Очень сложен при анализе процессов и цепей выше третьего порядка. В этом случае удобнее применять спектральный и операторный методы или метод интеграла наложения.

Частотный (спектральный) метод. Оперирует с помощью параметра К(ω)- частотный коэффициент передачи.

В комплексном виде

Частотный коэффициент передачи (или просто коэффициент передачи)

Модуль коэффициента передачи К(ω) = |К(ω)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент φ(ω)фазочастотной характеристикой (ФЧХ). 

Полоса пропускания (рабочая полоса) — области частот, где модуль коэффициента передачи К(ω) становится не менее 1/(2)0,5  своего максимального значения. На границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи по мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза.

Ширина полосы пропускания 

∆ω = ωВ - ωН.

Для циклической частоты

Если на вход линейной цепи подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида UВХ(t) = еjωt, то сигнал на ее выходе запишется как UВЫХ(t) = К(ω) еjωt . Подставляя эти выражения в (1), после несложных преобразований запишем К(ω) в форме дифференциального уравнения

Т.е. если коэффициенты постоянные то К(ω) представляет собой дробно-рациональную функцию переменной jω. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения. С помощью частотного коэффициента передачи К(ω) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(ω) действует  непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения UBX(t). Применив прямое преобразование Фурье

определим спектральную плотность входного сигнала SВХ(ω). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейного четырехполюсника

Проведя обратное преобразование Фурье

 

от спектральной плотности, получим выходной сигнал

Операторный метод  основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р, который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим некоторый комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t), определенный при t≥0 и равный нулю в момент времени t =0.  Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р, выраженная интегралом 

 

u(t) называют оригиналом, а функцию U(p) его изображением

Для примера определим изображение функции включения σ(t)=1(t)

Учитывая

Получим

Преобразование Лапласа обладает линейными свойствами, т.е.

Обратное преобразование Лапласа

где а1 — вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей дифференциального уравнения (1), получим

Передаточной функцией (операторным коэффициентом передачи) линейной цепи называется .

Где через Q(p) обозначают сомножитель перед UВЫХ(р) называя собственным оператором системы, а сомножитель перед UВХ(р) — через R(p) и называют оператором воздействия.

Передаточная функция К(р) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи К(ω) с мнимой осную на всю область комплексных частот р=α+jω.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию электрической цепи на заданное входное воздействие UВХ(t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала UВХ(t) -> UВХ(р);

• найти изображение выходного сигнала UВЫХ(р) = K(p)* UВХ(р);

• вычислить выходной сигнал UВЫХ(р)  -> UВЫХ(t).

Метод интеграла наложения. Cвойства линейных четырехполюсников часто проще оценить видом их отклика на воздействие ряда элементарных сигналов. В качестве элементарных сигналов используются

  •  прямоугольные импульсы, длительностью ∆, в пределе стремящиеся к дельта-функции δ(t);
  •  ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения σ(t) через равные промежутки времени ∆. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени ∆.

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования единичной функции является дельта-функция

Импульсная характеристики линейной цепи h(t) - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию δ(t).

Переходная характеристика g(t) - отклик линейной цепи на единичную функцию σ(t).  Пример

Характеристики линейной цепи.

а — различные виды импульсных; б — переходная

Если входной и выходной сигналы линейной цепи имеют одинаковую размерность, то импульсная характеристика, как и дельта-функция времени, имеет размерность частоты.

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Положим, что требуется определить выходной сигнал UВЫХ(t). Известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал UВХ(t). Заменим приближенно кривую входного сигнала UВХ(t)ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность ∆τ. Если выбрать длительность ∆τ бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта- функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (UВХ(0) ∆τ) первого импульса, т. е. UВХ(0) ∆τ h(t) Откликом цепи на второй импульс является произведение UВХ(∆τ) ∆τ h(t- ∆τ) , где UВХ(∆τ) ∆ τ — площадь этого импульса, а величина h(t- ∆τ) — импульсная характеристика цепи, соответствующая моменту времени t = ∆τ. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = n ∆τ (n — число условно сформированных импульсов,  

приходящихся на интервал времени O...t) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой 

Если длительность импульсов ∆τ, отражающих входной сигнал, последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени ∆τ превращается в dτ, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной τ= k ∆τ

В более общей форме

В теории электрических цепей часто применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45139. Институты и механизмы власти в период правления Николая первого 20.51 KB
  Второе отделение было образовано с целью приведения в порядок российского законодательства систематизации законов Российской империи. со времени Уложения а затем из этого огромного собрания законодательного материала составил систематический свод действующих в стране законов. Такой способ работы был указан самим императором не желавшим сочинения новых законов. Отпечатали два издания: Полное Собрание Законов Российской Империи и Свод Законов Российской Империи.
45140. Реформы государственного управления при Александре II 6.43 KB
  Реформа муниципального управления при Александре II Земская реформа После крестьянского Положения в ряду административных реформ одно из важнейших мест занимает без всякого сомнения Положение о губернских и уездных земских учреждениях которое было издано 1 января 1864 года. Городская реформа 16 июня 1870 года было издано Городовое положение по которому в 509 из 1130 городах вводилось выборное самоуправление городские думы избираемые на четыре года. Военная и судебная реформы при Александре II Судебная реформа В числе реформ одно из...
45141. Политическая модель Александра 3. Внутренняя и внешняя политика Александра III Миротворца. Период лавирования 14.18 KB
  Политическая модель Александра 3 Внутренняя и внешняя политика Александра III Миротворца Период лавирования Есть мнение что в 18791881 годах в России сложилась революционная ситуация. народовольцами Александра II коренным образом повлияло на дальнейшую внутреннюю политику самодержавия. Приход к власти Александра обозначил новый поворот от либерального реформизма к реакции. Александр III считавший реформы Александра II слишком либеральными начал эпоху контрреформ.
45142. Политическая модель Александра III 13.58 KB
  Политическая модель Александра III. Период лавирования:Приход к власти Александра обозначил новый поворот от либерального реформизма к реакции.Александр III считавший реформы Александра II слишком либеральными начал эпоху контрреформ. Внешняя политика Александра III Миротворца В области внешней политики период царствования Александра III характеризуется почти полным отсутствием войн: только небольшие боевые действия в Туркмении на этом завершилось присоединение Средней Азии к России.
45143. Национальный вопрос в государственном управлении России 19- начале 20 вв 13.87 KB
  Национальный вопрос в государственном управлении России 19 начале 20 вв. На окраинах России под влиянием развития капитализма формировались национальная буржуазия и интеллигенция происходил рост национального самосознания. Хищническая эксплуатация окраин бедность и бесправие живущих там народов вызывали массовую эмиграцию из России и развитие национального движения. В целом для внутриполитической системы России в начале XX в.
45144. Свяще́нный сино́д Ру́сской правосла́вной це́ркви 19.74 KB
  По упразднении Петром I 1701 год патриаршего управления церковью с 1721 года вплоть до августа 1917 года номинально существовал до 1 14 февраля 1918 года учреждённый им Святейший Правительствующий Синод был высшим государственным органом церковноадминистративной власти в Российской империи заменявшим собой патриарха в части общецерковных функций и внешних сношений а также соборы всех епископов поместной церкви. Учреждение и функции 16 октября 1700 года скончался патриарх Адриан. В течение 1720 года проходило подписание Регламента...
45146. Думская монархия 15.57 KB
  Всего было 4 созыва Государственной думы. Новой основой законодательной компетенции Государственной думы стал п. установивший как незыблемое правило чтобы никакой закон не мог восприять силу без одобрения Государственной думы. 86 Основных законов Российской империи в редакции 23 апреля 1906: Никакой новый закон не может последовать без одобрения Государственного совета и Государственной думы и восприять силу без утверждения Государя Императора.
45147. Кризисы государственного управления периода правления Николая II 12.86 KB
  Первая русская революция ставшая ярким показателем необходимости реформ так и не стала для императора той ступенью которая могла бы направить страну на путь преобразования и развития. Вступление императора на должность главнокомандующего в условиях войны было бесполезным шагом так как Николай не обладал даром командования войсками и этот шаг был простой формальностью которая тем не менее не принесла никаких положительных результатов. Ситуация внутри страны продолжает накаляться и вместе с тяжелым положением во внешней политике ставит...