80192

Методы анализа линейных цепей

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Все электрические цепи состоящие из сопротивлений емкостей индуктивностей и соединительных проводов линейны. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения nго порядка с постоянными коэффициентами. Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи системы.

Русский

2015-02-16

136 KB

3 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT8

Лекция «Методы анализа линейных цепей»

Линейные цепи состоят из пассивных и активных элементов, параметры которых не зависят от протекающих в них токов и приложенных к ним напряжений. Все электрические цепи, состоящие из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и соединительных проводов, линейны.

Cвязь между входным UВХ(t) = UВХ и выходным UВЫХ(t) = UВЫХ сигналами устанавливают с помощью дифференциального уравнения

Если цепь (далее часто четырехполюсник) линейна, то все коэффициенты

а0, a1,..., an  и  b0, b1,..., bm — постоянные вещественные числа.

Если UВХ(t) задан, то правая часть уравнения , которую условно обозначим через iВХ(t), является известной функцией. Анализ отклика линейной цепи на известное входное воздействие сводится при этом к известной в математике задаче решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Порядок n этого уравнения в радиотехнике принято называть порядком линейной цепи (системы).

К линейным цепям (системам) применим принцип суперпозиции: выходной сигнал линейной цепи на суммарное воздействие нескольких входных источников равен алгебраической сумме откликов на воздействие (входной сигнал) каждого источника в отдельности.

где В — линейный оператор, характеризующий вид воздействия линейной цепи на входной сигнал.

Линейным системам свойственна еще и однородность (гомогенность), т. е. отклик системы на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз.

При анализе процессов в электрических цепях необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Отклик выражают в значениях напряжений u(t) и токов i(t) в разные моменты времени. При анализе воздействия сигналов на сложные по структуре цепи применяют следующие методы анализа:

  •  классический;
  •  частотный (спектральный);
  •  операторный;
  •  метод интеграла наложения.

Классический метод основан на составлении и решении дифференциальных уравнений и наиболее удобен для анализа прохождения импульсных сигналов через линейные цепи. Метод прост, нагляден, хорошо отражает физическую суть процессов. Очень сложен при анализе процессов и цепей выше третьего порядка. В этом случае удобнее применять спектральный и операторный методы или метод интеграла наложения.

Частотный (спектральный) метод. Оперирует с помощью параметра К(ω)- частотный коэффициент передачи.

В комплексном виде

Частотный коэффициент передачи (или просто коэффициент передачи)

Модуль коэффициента передачи К(ω) = |К(ω)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент φ(ω)фазочастотной характеристикой (ФЧХ). 

Полоса пропускания (рабочая полоса) — области частот, где модуль коэффициента передачи К(ω) становится не менее 1/(2)0,5  своего максимального значения. На границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи по мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза.

Ширина полосы пропускания 

∆ω = ωВ - ωН.

Для циклической частоты

Если на вход линейной цепи подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида UВХ(t) = еjωt, то сигнал на ее выходе запишется как UВЫХ(t) = К(ω) еjωt . Подставляя эти выражения в (1), после несложных преобразований запишем К(ω) в форме дифференциального уравнения

Т.е. если коэффициенты постоянные то К(ω) представляет собой дробно-рациональную функцию переменной jω. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения. С помощью частотного коэффициента передачи К(ω) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(ω) действует  непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения UBX(t). Применив прямое преобразование Фурье

определим спектральную плотность входного сигнала SВХ(ω). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейного четырехполюсника

Проведя обратное преобразование Фурье

 

от спектральной плотности, получим выходной сигнал

Операторный метод  основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р, который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим некоторый комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t), определенный при t≥0 и равный нулю в момент времени t =0.  Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р, выраженная интегралом 

 

u(t) называют оригиналом, а функцию U(p) его изображением

Для примера определим изображение функции включения σ(t)=1(t)

Учитывая

Получим

Преобразование Лапласа обладает линейными свойствами, т.е.

Обратное преобразование Лапласа

где а1 — вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей дифференциального уравнения (1), получим

Передаточной функцией (операторным коэффициентом передачи) линейной цепи называется .

Где через Q(p) обозначают сомножитель перед UВЫХ(р) называя собственным оператором системы, а сомножитель перед UВХ(р) — через R(p) и называют оператором воздействия.

Передаточная функция К(р) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи К(ω) с мнимой осную на всю область комплексных частот р=α+jω.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию электрической цепи на заданное входное воздействие UВХ(t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала UВХ(t) -> UВХ(р);

• найти изображение выходного сигнала UВЫХ(р) = K(p)* UВХ(р);

• вычислить выходной сигнал UВЫХ(р)  -> UВЫХ(t).

Метод интеграла наложения. Cвойства линейных четырехполюсников часто проще оценить видом их отклика на воздействие ряда элементарных сигналов. В качестве элементарных сигналов используются

  •  прямоугольные импульсы, длительностью ∆, в пределе стремящиеся к дельта-функции δ(t);
  •  ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения σ(t) через равные промежутки времени ∆. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени ∆.

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования единичной функции является дельта-функция

Импульсная характеристики линейной цепи h(t) - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию δ(t).

Переходная характеристика g(t) - отклик линейной цепи на единичную функцию σ(t).  Пример

Характеристики линейной цепи.

а — различные виды импульсных; б — переходная

Если входной и выходной сигналы линейной цепи имеют одинаковую размерность, то импульсная характеристика, как и дельта-функция времени, имеет размерность частоты.

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

а - входной сигнал- прямоугольных импульсов

б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Положим, что требуется определить выходной сигнал UВЫХ(t). Известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал UВХ(t). Заменим приближенно кривую входного сигнала UВХ(t)ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность ∆τ. Если выбрать длительность ∆τ бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта- функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (UВХ(0) ∆τ) первого импульса, т. е. UВХ(0) ∆τ h(t) Откликом цепи на второй импульс является произведение UВХ(∆τ) ∆τ h(t- ∆τ) , где UВХ(∆τ) ∆ τ — площадь этого импульса, а величина h(t- ∆τ) — импульсная характеристика цепи, соответствующая моменту времени t = ∆τ. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = n ∆τ (n — число условно сформированных импульсов,  

приходящихся на интервал времени O...t) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой 

Если длительность импульсов ∆τ, отражающих входной сигнал, последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени ∆τ превращается в dτ, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной τ= k ∆τ

В более общей форме

В теории электрических цепей часто применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75996. Дорога в школу. Школа «Светофорных наук». Современные средства передвижения 49.5 KB
  Школа Светофорных наук. Всех принять участие в уроке приглашаем И важные правила запомнить разрешаем Приветствуем друзей слева и справа Знать правила дорожные это не забава Пожимаем друзьям множество рук И приглашаем в школу Светофорных наук...
75997. Вивчи Правила, знай і завжди їх пам’ятай 2.77 MB
  Ми завітаємо в гості до казки де зустрінемося з Дідусем Правила Руху Казкою живими Дорожніми знаками Бабою Ягою і навіть зі славнозвісним Світлофором Івановичем. Знаки треба розставити вчасно І розмітку накреслити ясно Світлофори усі засвітити А у горах тунелі пробити...
75998. Безпечний перехід вулиці 840.5 KB
  Мета. Ознайомити учнів з місцями, де можна переходити вулицю; як безпечно переходити проїжджу частину дороги; які знаки, прилади, лінії допомагають безпечному переходу; вчити практично визначати безпечні місця переходу вулиці на шляху додому...
75999. Перехрестя долі Кобзаря. Літературно-музичний вечір для учнів 5 – 8 класів 100.5 KB
  Мета: вшанувати великого Кобзаря, поглибити знання учнів про тяжку долю Шевченка та українського народу; розвивати творчі здібності учнів, артистичність; виховувати любов і повагу до спадщини, яку нам залишив поет, учити учнів наслідувати Т.Шевченка та виконувати його заповіти.
76000. Письмовий переказ «Допоможи птахам» 45.5 KB
  Мета: вчити виявляти зміни що сталися у неживій природіу житті птахів удосконалювати навички чітко і повно відповідати на запитання; розвивати спостережливість вміння передавати свої враження від навколишнього; виховувати у дітей дбайливе ставлення до птахів бажання допомагати їм.
76001. «Від серця до серця» (66 років Великої Перемоги) 185.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про мистецький доробок творчої плеяди Донбасу з теми визволення рідного краю від німецько-фашистських загарбників; сприяти формуванню соціальної компетентності учнів; формувати навички використання отриманих знань в реальних життєвих ситуаціях...
76003. «Брейн-ринг» присвячений 64-й річниці Перемоги у Великій Вітчизняній війні 44 KB
  У грі беруть участь команди 8-11 класів у складі 4-5 чоловік. Кожна команда сидить за своїм столом. Команди отримують папірці, які необхідно завчасно підписати (вказати назву своєї команди) до початку гри.
76004. Шлях до Перемоги (визволення Миколаївщини від німецько-фашистських загарбників) 76.5 KB
  Мета: познайомити учнів з історією визволення Миколаївщини в 1944 році від німецько-фашистських загарбників; закріпити навички аналізу і зіставлення історичного матеріалу; сприяти вихованню поваги до минулого рідного краю та почуття патріотизму, самовіданному служінню інтересам народу України.