80202

Спектральное представление сигналов

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как исходное при его описании и анализе. Фурье свел единую функцию трудно поддающуюся математическому описанию к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрических функций которые в сумме дают исходную функцию. Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической синуснокосинусной формой ряда Фурье...

Русский

2015-02-16

109 KB

12 чел.

Лекция №3 «Спектральное представление сигналов»

В радиотехнике используют оригинальный прием, при котором реальные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют (представляют) набором (взвешенной суммой) математических моделей, описываемых элементарными функциями. Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как исходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить обратную задачу —синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций. 

Фурье свел единую функцию, трудно поддающуюся математическому описанию, к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрических функций, которые в сумме дают исходную функцию. 

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье:  (1)

компоненты анализируемого сигнала:

- постоянная составляющая (2)

 - амплитуды косинусоидальных составляющих: (3)

- амплитуды синусоидальных составляющих: (4)

Спектральную составляющую с частотой ω1 в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами nω1 (n> 1) — высшими гармониками периодического сигнала.

Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (1) отсутствуют синусоидальные коэффициенты bn так как в соответствии с формулой (4) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (3), нулю равны косинусоидальные коэффициенты аn и ряд содержит составляющие bn (кстати, постоянная составляющая а0 также отсутствует). Заметим, что пределы интегрирования (от -T/2 до T/2) не обязательно должны быть такими, как в приведенных формулах (2 - 4). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной T— результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от 0 до T или от -T до 0, и т. д.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования n (т. е. для каждой гармоники с частотой nω1) в формуле (1) фигурируют два слагаемых — косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме: (5)

где : 

Аn – амплитуда; φn- начальная фаза n-й гармоники сигнала.

Также широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Представление вытекает из формулы Эйлера е = cosx +jsinx:

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (5), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: (6)

А теперь будем трактовать в (6) экспоненты при частоте ω1 со знаком минус в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье (7)

где (8)

— комплексная амплитуда n-й гармоники.

Cвязь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье.(9)

Можно также показать, что коэффициенты: (10)

Если u(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Сn будут вещественными, а если u(t) — функция нечетная, коэффициенты ряда станут мнимыми. Из формулы (7) нетрудно выяснить, что спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Однако отрицательные частоты в природе не существуют, и это не физическое понятие, а математическая абстракция (физический смысл отрицательной частоты — вращение в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное). Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой. Легко показать, что при переходе от комплексной формы записи (7) к тригонометрической (5) «отрицательная частота» пропадает.

Различают амплитудно-частотные и фазо- частотные спектры (не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками электрических цепей). Совокупность амплитуд гармоник Аn называют амплитудным спектром, их фаз фn — фазовым спектром. Совокупность Сn = |Сn| является комплексным амплитудным спектром

Рис. 1. Спектры периодического сигнала:

а — амплитудный; б — фазовый; в — амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала.

Амплитудный спектр анализируемого сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения T и длительности импульса ти, т. е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками спектра равно частоте следования импульсов ω1= 2π/T

Рис. 2. Спектры последовательности прямоугольных импульсов:

а — амплитудный; б — фазовый

Ширина лепестков спектра последовательности, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τИ, т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса ти с увеличением периода их повторения Т основная частота ω1 уменьшается, и спектр становится плотнее. Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса τИ при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга), чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы φn= arctg (bnn). Так как здесь коэффициенты bn = 0, то (11)

где m = 0, 1,2, ...

Амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(n ω1 τИ/2). Изменение знака в эквивалентно сдвигу фазы этой функции на π. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники φn = 2mπ, а когда отрицательна — φn = (2m+ 1)π (рис. 2, б).

Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Спектральное представление непериодических сигналов. Преобразование Фурье

Для радиотехники интерес представляют импульсные (одиночные) сигналы. Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют сигналами конечной длительности, или финитными, т. е. пространственно ограниченными).

Положим, что некоторая функция u(t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал конечной длительности (рис. 3, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Г (штриховые импульсы на рис. 3, б), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов un(t) = u(t ± пТ). Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени 0 ... Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и Т -> ∞, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов un(t)  вновь станет одиночным импульсом u(t). В этом случае выражения (7) и (8) сохраняют смысл. Подставив соотношение (8) в формулу (7), запишем периодическую функцию

Так как период следования импульсов Т= 2π/ω1 то (12)

В предельном случае, когда Т —> ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов ω1 = 2π/Т —>0 и превращается в dω, дискретная переменная nω1 — в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов un(t) станет одиночным импульсом u(t), и выражение (12) запишется в виде

Интеграл в скобках есть комплексная функция частоты. Обозначив его (13)

Получим (14)

Соотношения (13) и (14) носят фундаментальный характер в теории сигналов и определяют соответственно прямое и обратное преобразования Фурье (direct, inverse Fourier transform). Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S(ω).

Если использовать не угловую частоту со, а циклическу f = ω/(2π), то формулы прямого (13) и обратного (14) преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь лишь знаком в показателе

Рис. 3. Непериодические сигналы:

а — одиночный импульс;

б — условное периодическое представление

Рис. 4. Прямоугольный импульс:

а — временная диаграмма; б — модуль спектральной плотности


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38996. Доброе дело – бесценное богатство. Лукошко сказок: «Свободный город» 32 KB
  Лукошко сказок: Свободный город. Оборудование: телепередача Свободный город диск Цикл телевизионных передач для детей Доброе слово. Для этого мы побываем в Свободном городе. Почему город называется Свободным О чем мечтал Яков Как горожане спасали город Просмотр телепередачи 12 минут.
38997. Вход Господень в Иерусалим. Тайная вечеря и распятие 36.5 KB
  Эта традиция уходит корнями в те времена когда по земле ходил Господь Иисус Христос. Однажды заболел Его друг – Лазарь а Господь находился в другом селении. Господь прослезился и сказал открыть гроб. Пальмовая ветвь – символ победы в сражениях а Господь победил смерть.
38998. Традиции празднования Пасхи 42.5 KB
  Входит Шуня с пасхальным лукошком Шуня: Христос воскресе Здравствуйте ребята смотрите что у меня есть Матильда Леонардовна: Воистину воскресе Здравствуй Шунечка какое у тебя красивое лукошко а в нем все символы Пасхи собраны Шуня: И никакие не символы а самая вкусная пасхальная еда. Вот и яичко и пасочка и какаято горка творога вкусная наверное Матильда Леонардовна: Как ты не знаешь что это не простая еда а со значением символизирующая все самое важное в Пасхе И что это никакая не горка а творожная пасха а это не...
38999. Светлая седмица. Лукошко сказок: «Глухой колокол» 54 KB
  А Светлая потому что дарит людям радость на душе светло и легко Господь победил смерть – Воскрес Смерти больше нет Зубок: А что вы говорили о загадке Матильда Леонардовна: Слушайте и отгадывайте: язык есть речей нет вести подает и поёт. Что это Шуня: Я не знаю а ты Зубок Зубок: Я тоже. А вы ребята Шуня: А давайте у Енотыча спросим Зубок: Побежали скорее Изучение нового материала. Енот Енотович: Что же это за загадка такая Зубок: Язык есть речей нет вести подает и поёт.
39000. Урок-повторение «Дорогой добра» 46.5 KB
  Вставь пропущенные буквы: ОЕНЬ ЛИА ОРА Осень липа Лиза лиса гора нора пора Кто такой Денница Падший ангел В какой день Бог отдыхал В седьмой Дополни пословицу: Маленькое лучше большого безделья. Спой песенку о днях творения День один день один – Бог свет сотворил. День два день два – сотворил Он небеса. День три день три – реки травы и цветы.
39001. Откуда мы узнаем о Боге. Библия – Откровение Божие. Каков Он, Бог 36 KB
  08 Тема: Откуда мы узнаем о Боге Библия – Откровение Божие. Каков Он Бог Цель: Познакомить детей с Книгой книг – Библией; рассказать о том какой Он Бог свойства Божие; рассмотреть новозаветную и ветхозаветную иконы Святой Троицы объяснить понятие Бог – Святая Троица на примере явления Ангелов Аврааму; изучить молитву Слава Тебе Боже наш слава Тебе. Скажи нам пожалуйста что такое святой угол Это то место в доме где находятся святые иконы и где мы можем общаться с Богом. Смотрите зажигаешь лампадку согревается сердце...
39002. Как Бог мир сотворил (1-3 дни творения) 40.5 KB
  И был вечер и было утро: день один. Матильда Леонардовна: Я даже знаю песенку ребята подпевайте первый куплет: День один день один – Свет во тьме Бог сотворил. Шуня: А про этот день есть песенка Матильда Леонардовна: Да конечно подпевайте второй куплет: День два день два Небеса и облака. Подпевайте: День три день три – Деревья травы и цветы.
39003. Как Бог человека сотворил. Человек – венец творения. Правила жизни, данные Богом в Раю 32.5 KB
  Цель: Изучить с детьми библейскую историю о сотворении человека; закрепить знания воспитанников о сотворении видимого мира; познакомить детей с жизнью первых людей в Раю; формировать у детей мировоззрение основанное на православных традициях; воспитывать ответственность за свое поведение. А как он создал человека Из чего Матильда Леонардовна: Внимание внимание открываем заседание клуба Совинформ Сегодня узнаем о создании человека. Изучение нового материала Рассказ жителей Шишкиного леса о сотворении человека.
39004. Дети Адама и Евы - Каин и Авель. Не завидуй 32 KB
  У Адама и Евы родились дети которых они назвали Каин и Авель. Каин был земледельцем выращивал овощи фрукты а Авель – пастухом. Авель с любовью относился к Богу выбирал самое лучшее в дар Господу.