80687

Задачи анализа временных рядов

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Исходные данные, которыми располагает экономист в своих исследованиях, представлены в виде динамических (временных рядов). Такие ряды описывают изменение некоторой характеристики во времени. Каждый член (уровень) такого ряда связан с соответственным моментом времени или временным интервалом. Показатели временных рядов оформляются под совокупным влиянием множества факторов и в том числе различного рода случайностей.

Русский

2015-02-18

193.5 KB

7 чел.

8

Лекции по курсу '' Моделирование и прогнозирование в экономике''

Задачи анализа временных рядов

  1.  Введение

2. Проверка гипотезы о существовании тенденции

3. Проверка разности средних уровней

4

. Метод Фостера - СтюартаАнализ тенденции временного ряда:

5. Средний темп роста

6.

Сглаживание временных рядов7. Метод простой скользящей средней

8.

Метод взвешенной скользящей средней9. Метод простой экспоненциальной средней

1. Введение

Исходные данные, которыми располагает экономист в своих исследованиях, представлены в виде динамических (временных рядов). Такие ряды описывают изменение некоторой характеристики во времени. Каждый член (уровень) такого ряда связан с соответственным моментом времени или временным интервалом. Показатели временных рядов оформляются под совокупным влиянием множества факторов и в том числе различного рода случайностей.

Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы их результативности их воздействия и в конечном счете к вариации уровня изучаемого явления во времени.

Лишь в очень редких случаях в экономике встречаются чисто стационарные ряды, т. е. Ряды в которых не наблюдаются систематические изменения в средних значениях уровней, их дисперсиях. В основном временные ряды не являются стационарными.

Последовательность расположения исследуемых данных во времени в таких рядах имеет существенное изменение для анализа, т.е. время здесь выступает как один из определяющих факторов.

Можно выделить три основные задачи исследования временных рядов. Первая из них заключается в описании изменения соответствующего показателя во времени и выявлении тех или иных свойств исследуемого ряда. Для этого прибегают к различным способам:

расчету обобщающего показателя применения уровней во времени - среднего темпа роста.

применению различных сглаживающих фильтров, уменьшающих колебания уровней во времени и позволяющих более четко представить тенденции развития;

подбору кривых, характеризующих эту тенденцию;

выделению сезонных и иных периодических и случайных колебаний;

измерению зависимости между членами ряда (автокорреляция).

Второй важной задачей анализа является объяснение механизма изменения уровней ряда. Для её решения обычно прибегают к регрессионному анализу.

Описание изменения временного ряда и объяснение механизма формирования ряда часто используются для статистического прогнозирования, которое в большинстве случаев сводиться к экстраполяции обнаруженных тенденций развития.

Уровень динамического ряда рассматривается как сумма четырех компонентов:

ТРЕНД;

ЦИКЛИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ;

СЕЗОННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ;

СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Тренд описывает некоторую усредненную для достаточно протяженного периода наблюдения тенденцию развития времени. В большинстве случаев полученная траектория связывается исключительно с ходом времени. Полагается, что с помощью время можно выразить влияние всех основных факторов. Механизм их влияния в явном виде не учитывается.

2. Проверка гипотезы о существовании тенденции.

При незначительной тенденции развития во времени и существенной колеблемости уровней динамического ряда можно «подозревать» наличие стационарности. В этих случаях, прежде чем перейти  к выделению тренда следует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще. Отсутствие тренда (нулевой тренд) означает неизменность среднего уровня ряда во времени.

3. Проверка разности средних уровней.

Этот метод заключается в разбиении анализируемого ряда на две примерно равные части, каждая из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность данных. Для каждой из совокупностей исчисляется средняя и проверяется существенно ли различаются между собой средние или это расхождение можно приписать действию случайности и таким образом заключить, что тренд отсутствует.

В основу проверки берется t-критерий Стьюдента.

При - тренд есть;

- тренд отсутствует;

t - расчетное значение t - критерия;

- табличное значение этого критерия при уровне вероятности ошибки равном .

Значение  берется с числом степеней свободы, равным.

-  числа наблюдений в группах. Ряд разбивается на 2 равные части

- среднее для первой и второй совокупности наблюдений;

n - число наблюдений в подгруппе;

- сумма квадратов отклонений от общей средней.

Пример.

1,2......10

средняя для первой половины

               для 2:

общая средняя (3+8)/2=5,5

отклонение от общей средней каждого уровня ряда

5,5-1=4,5

5,5-2=3,5

= 82,5

Табличное значение t критерия при вероятности 0,95 при числе степеней свободы 8=2,31.

2,4>2,31 - ТРЕНД ЕСТЬ.

Этот метод применим для рядов с монотонной тенденцией. Если же ряд меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу этого средние двух отрезков ряда будут близки и проверка может не показать наличие тренда.

4. Метод Фостера - Стюарта

Предложены две простые характеристики S и d:

 ,где

Значения  определяются путем последовательного сравнения уровней. Если какой - либо уровень превышает каждый из предыдущих уровней, то величине  присваивается значение 1, в остальных случаях - 0.

Если уровень меньше всех предыдущих то  присваивается значение 1.

Показатель S применяется для обнаружения тенденций изменения дисперсии d - для обнаружения тенденций в средней. После того как для исследуемого ряда найдены фактические значения d и S, проверяется гипотеза о том, что можно ли считать случайными разности d-0 и S-.Гипотезы можно проверить, применяя t -  критерий Стьюдента, т.е.

- математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени;

      - средняя квадратичная ошибка величины S;

средняя квадратичная ошибка величины d;

,,- находятся из таблиц.

Пример:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

10.3

14.3

7.7

15.8

14.4

16.7

15.3

20.2

17.1

7.7

15.3

16.3

198.9

14.4

18.7

20.7

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

,,по таблице, т.к. n=16, то используется метод линейной интерполяции, используются значения для n=15 и n=20.

: 4,636+(16-15)/(20-15)*(5,195-4,636)=4,749

:1,521+(16-15)/(20-15)*(1,677-1,521)=1,552

:2,153+(16-15)/(20-15)*(2,273-2,153)=2,178

Отсюда для d:

t= 4/2,178=1,83

для S:

t=(6-4,749)/1,552=0,8

Ближнее табличное значение при n=16 (число степеней свободы) и верности 0,9.

По средней - тенденция есть, по дисперсии нет.

  1.  Средний темп роста

Средний темп роста можно получить как геометрическую среднюю из ряда последовательных (цепных) темпов роста.

Цепной темп роста характеризует отношение какого-либо уровня динамического ряда к предыдущему уровню и выражается в процентах или долях единицы.

Если ряд состоит из уровней   , то цепные темпы роста

Соответственно цепные темпы прироста:

Средний темп роста

Недостатки:

  1.   Средний темп полностью определяется двумя крайними уровнями ряда, при этом выбор периода для расчета среднего темпа существенным образом определяет его значение. Сдвиг периода даже на один шаг может привести к значительным изменениям величины темпа. При достаточной протяженности анализируемого ряда можно подсчитать много значений среднего темпа путем подбора различных временных интервалов в пределах ряда. Таким образом, значение среднего темпа будет случайным. Неустойчивость показателя среднего темпа особенно проявляется в том случае, когда ряд имеет чередующиеся повышения и понижения.

При расчете среднего темпа не принимаются во внимание промежуточного члена ряда, отсюда теряется существенная для анализа информация. Особенно эти члены определяют форму тенденции развития. Чем больше продолжительность ряда, тем больше теряется информации.

Применение среднего темпа предполагает, что развитие явления следует геометрической прогрессии и соответственно траектория изменения соответствующего показателя в общем приближается к экспоненциальной кривой.

                                                                                    

             

                                         t                                                           t

При всех своих недостатках средний темп по традиции в связи с легкостью его получения. Особенно он удобен при сопоставлении рядов с разной закономерностью развития.

  1.  Сглаживание временных рядов.

Наиболее распространенным и простым путем выявления тенденции развития является сглаживание  или механическое выравнивание динамического ряда. Суть сводится к замене фактических уровней динамического ряда различными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные данные. Уменьшение колеблемости позволяет тенденции развития проявить себя более наглядно.

7. Метод простой скользящей средней.

Пусть динамический ряд состоит из уровней ; t=1...n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (m, n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых m уровней, переходят к расчету средней для уровней ;  затеми т.д. Таким образом, интервал сглаживания, т.е. интервал для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице.

Если m нечетное число, а предполагается брать нечетное число уровней :

- значение скользящей средней для момента t (t=1,...n);

- фактическое значение уровня в момент i, здесь i - порядковый номер уровня в интервале сглаживания.

P = (m - 1) / 2;

8. Метод взвешенной скользящей средней.

Простые скользящие средние - весьма грубый статистический прием выявления тенденции. При этом если ряд имеет периодические колебания с жесткой продолжительностью  цикла, то они полностью устраняются при сглаживании с помощью скользящей средней при интервале сглаживание, равном или кратном циклу. В ряде случаев сглаживание с помощью простой скользящей средней оказывается настолько сильным, что тенденция развития проявляется лишь в самом общем виде, а отдельные важные для экономического анализа детали исчезают, таким образом в результате сглаживания могут исчезнуть относительно мелкие волны или изгибы в тренде.

Более тонкий прием заключается в применении взвешенных скользящих средних.

При этом каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния, измеряемого от данного уровня до середины интервала сглаживания.

m=5:  

m=7:     

m=9:   

Веса симметричны относительно центрального уровня(), и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

Операция сглаживания трансформирует динамический ряд. До сглаживания уровни ряда более независимы, после они находятся в зависимости между собой. Полученный при этом тренд характеризуется периодичностью, в действительности её не было.

9. Метод простой экспоненциальной средней

При рассмотренных методах не рассматривается «устранение » данных, т.е. старым значениям ряда придается то же значение, что и более свежим.

Ряд весов, учитывающих по экспоненциальному закону:

Для истинного среднего эта сумма должна стремиться к единице:.

Лежит в пределах 0,05 до 0,3

Пусть  =0,2

0,2+0,16+0,128+0,102+0,082 и т.д.

Чувствительность экспоненциально взвешенного среднего в целях повышения адекватности прогностической системы могут быть в любой момент времени изменена путем изменения величины .

Чем выше , тем выше чувствительность среднего, чем ниже , тем устойчивей становиться экспоненциально взвешенное среднее.

7

Задачи и анализ временных рядов


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81734. Герои и проблематика сатиры М.Е.Салтыкова - Щедрина 38.82 KB
  Первым отдельным изданием сказочный цикл вышел в 1886 году 23 сказки М. и те сказки которые не могли появиться в легальной русской печати по цензурным причинам. Сказки стали своего рода малым миром сжатыи изложением всего что создано писателем его наблюдения над идейнополитической жизнью страны психологией социальных групп сатирической энциклопедией творчества Салтыкова. Сказки опираются на традиции фольклора отсюда сказочные сюжеты образы события описания обстановки социальнополитическая направленность бытовых...
81735. Психологизм изображения внутреннего мира личности в лирике А. Ахматовой (на примере 3 – 4 стихотворений) 37.04 KB
  Ахматовой на примере 3 4 стихотворений Я научила женщин говорить так пишет А. Уже в ранних сборниках сформировались основные принципы лирики Ахматовой: сдержанность недосказанность внутреннее эмоциональное напряжение и скрытая страстность сжатость и сила афористичность и краткость психологическая достоверность в передаче чувств и взаимоотношений. Акмеистическое внимание к деталям внешнего мира к предметам обихода у Ахматовой связано с отражением внутреннего мира. С годами эти тенденции в стихах Ахматовой только усиливаются в...
81736. Мотив поиска истины в произведениях отечественной литературы 33.66 KB
  является проблема человеческого счастья проблема поисков смысла жизни. В жизни обоих можно выделить несколько этапов на которых меняется их мировоззрение в душе происходит определенный перелом. Он понял что в жизни есть нечто более важное чем слава. Медленно возвращается он к жизни к людям.
81737. Правда Раскольникова и правда Сони в романе Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание». Роль евангельских мотивов и образов в романе 33.02 KB
  Все идущие оттуда идеи будь то буржуазный утилитаризм Лужина коммунистическое общежитие Лебезятникова наполеонизм Раскольникова носят разрушительный нигилистический характер. диспуты Раскольникова с Разумихиным и Порфирием сколько опровергает его постулаты на практике. Кроткая и жертвенная Соня живущая по евангельским заповедям подвигает Раскольникова на путь покаяния отказа от теории воссоединения с людьми и жизнью.
81738. Особенности творчества одного из современных отечественных поэтов второй половины хх века 41.92 KB
  Поэт ведет разговор с читателем и слушателем как бы один на один с глазу на глаз с абсолютной индивидуальной доверительностью. Окуджава снискал себе известность как поэт города. Изменения которые происходили в стране и порой далеко не в лучшую сторону не могли не сказаться на характере творчества поэта.
81739. Тема чести в произведениях отечественной классики 19 века 31.73 KB
  Пушкин Капитанская дочка Роман открывается эпиграфом: Береги честь смолоду который несет в себе очень глубокий смысл. Каждый человек смолоду должен хранить честь достоинство и оставаться человеком до конца. Он подвергается смертельной опасности но даже под угрозой смерти не желает предать честь своего сословия не желает предать честь дворянина отказаться от присяги которую он давал императрице. Он легко предает честь офицера встает под знамена бунтовщиков.
81740. Образ Петербурга в романе Ф. Достоевского «Преступление и наказание» 31.29 KB
  В романе мы открываем Петербург мрачный, давящий на душу. Город, где во дворы-колодцы никогда не заглядывает солнце. Это Петербург бедных людей, которых заставляет вечно дрожать нужда и пронизывающий ветер с моря. Это город Достоевского.
81741. Письма героев как средства их характеристики в произведениях отечественной литературы 32.51 KB
  А Пушкин Евгений Онегин Письмо Татьяны Онегину Третья глава Онегин сталкивается с внутренней природной стихией человеческого сердца любовью. и первый поступок ее любви письмо составляют центр главы. еще подняться не может даже тогда когда получает письмо влюбленной Т. решила написать письмо О.
81742. Лирика М.Цветаевой. Основные темы, идеи, художественное мастерство. Чтение наизусть и разбор одного стихотворения 38.65 KB
  В своем первом альбоме юная Цветаева отличалась тем-что ничего не выдумывала и никому не подражала. Но как поэт и как личность Цветаева развивалась стремительно. Зимой 1915-1916 годов Цветаева жилав Петербурге после возвращения домой она стала писать по-иному чем прежде и в этом была некоторая закономерность. Обделенная в детстве сказкой не имевшая няни Цветаева жадно наверстывала упущенное.