8120

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка. Логика первого порядка, являясь формализованным аналогом обычной логики, дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их вз...

Русский

2013-02-04

73.5 KB

77 чел.

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка.

Логика первого порядка, являясь формализованным аналогом обычной логики, дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их взаимосвязи, в частности о логическом следовании одного утверждения из другого, или, например, об их эквивалентности.

Рассмотрим классический пример формализации утверждений естественного языка в логике первого порядка. Возьмем рассуждение: "Каждый человек смертен. Конфуций – человек. Следовательно, Конфуций смертен". Обозначим:

"x есть человек" – через ЧЕЛОВЕК(x),

"x смертен" – через СМЕРТЕН(x). 

Тогда утверждение "каждый человек смертен" может быть представлено формулой:

()(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)).

А утверждение "Конфуций – человек" – формулой:

ЧЕЛОВЕК(Конфуций),

и "Конфуций смертен" – формулой:

СМЕРТЕН(Конфуций).

Утверждение в целом теперь может быть записано формулой:

()(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) & ЧЕЛОВЕК(Конфуций) → СМЕРТЕН(Конфуций).

Понятие логического следования

Пусть E – множество формул (логики первого порядка), а C – отдельная формула.

Формула C называется логическим следствием из множества формул E, если она истинна при всех интерпретациях, при которых все формулы множества E одновременно истинны.

Формальная запись:

E  C 

Используя данное определение факт логического следования можно установить путем перебора всех возможных интерпретаций. Однако, в логике предикатов такой подход невозможен, т. к. каждая формула имеет бесконечное число интерпретаций (вследствие бесконечного множества областей интерпретаций).

Принцип дедукции

Множество формул называется невыполнимым, если не существует интерпретации, при которой все формулы этого множества одновременно истинны:

 E  C  – невыполнимо.

Таким образом, принцип дедукции сводит задачу о логическом следовании к задаче о невыполнимости множества формул.

Для доказательства невыполнимости множества формул используется метод резолюции.

Метод резолюции

Если X и Y – дизъюнкты, то формула  называется резольвентой.

Правило резолюции: пусть x, y – произвольные формулы, а A – атом (элементарная формула), тогда:

╞ – правило резолюции.

 , , тогда

Предположим, что , тогда . Таким образом .

Рассмотрим случай, когда x и y – дизъюнкты (дизъюнкция атомов).

Любая формула может быть преобразована в логически эквивалентную ей КНФ (конъюнктивно-нормальную форму).

Дизъюнкт, содержащий хотя бы одну литеру, является выполнимой формулой (то есть при неких интерпретациях является истинной).

Единственным невыполнимым дизъюнктом является пустой дизъюнкт, то есть дизъюнкт, не содержащий ни одной литеры. Такие дизъюнкты будем обозначать в дальнейшем константой F (от False).

Алгоритм по преобразованию формул в КНФ (на примере логики высказываний)

1).  Исключение связок, импликаций и эквивалентностей:

2).  Сокращение области действия отрицаний так, чтобы они относились к элементарным формулам:

3).  Закон дистрибутивности:

 Утверждение 1: пусть E – множество формул,  – формулы этого множества, а {Y,X}Z  логическое следствие. Тогда добавление формулы Z к множеству E не меняет его выполнимости/невыполнимости.

 Утверждение 2: добавление резольвент к исходному множеству не меняет его выполнимости/невыполнимости.

Для построения резольвенты находим дизъюнкты, содержащие контрарную пару (пара, имеющая противоположные значения) и строим резольвенту.

Пример 1:

 – родительские дизъюнкты,

– их резольвента.

Пример 2: рассмотрим 2 однолитеральных дизъюнкта  и , их резольвента – пустой дизъюнкт F.

Таким образом, алгоритм метода резолюции предполагает последовательное порождение резольвент от различных пар родительских дизъюнктов до тех пор, пока не будет получен пустой дизъюнкт. Это означает, что множество невыполнимо и тем самым логическое следствие доказано.

Если пустой дизъюнкт получить не удастся, то множество является выполнимым и значит, что логическое следствие не имеет места.

 Теорема Робинсона: если множество дизъюнктов невыполнимо, этот факт всегда может быть установлен с помощью метода резолюции за конечное число шагов. Можно говорить, что метод резолюции полон для данной проблемы.

Общие достоинства логики первого порядка

Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают ее очень привлекательной в качестве одного из основных инструментов формализации знаний:

1.  Полнота.

2.  Непротиворечивость.

3.  Компактность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70725. Влияние АЦП на спектр сигналов 379 KB
  Значение аналогового сигнала определено в любой момент времени. Частным случаем дискретных сигналов являются цифровые сигналы в которых каждое значение отсчет дискретного сигнала представлено закодировано конечным числом.
70728. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАПЫЛЕННОСТИ ВОЗДУХА В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОМЕЩЕНИЯХ 1.92 MB
  Ознакомление с вредным действием пыли на организм человека, требованиями санитарных и технологических норм для воздуха, рабочей зоны; изучение методов и приборов для измерения запыленности и дисперсного состава пыли в производственных помещениях...
70729. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКРАНОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ОТ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 977.5 KB
  Цель работы Определение интенсивности теплового облучения на рабочем месте и оценка эффективности защитных экранов. Измерить интенсивность теплового облучения на разных расстояниях от источника излучения: а при отсутствии защитных экранов; б при наличии...
70730. ИЗМЕРЕНИЕ ЗВУКОВОЙ МОЩНОСТИ ИСТОЧНИКА ШУМА 130.5 KB
  Определить уровни звуковой мощности шумовую характеристику электровентилятора по измерениям его шума. Характеристики дума и методика акустического расчета В настоящее время защита человека от шума стала одной из актуальнейших проблем.
70731. ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА WINDOWS 83.5 KB
  В настоящее время операционные системы фирмы Microsoft прочно завоевали господствующее положение на рынке операционных систем для персональных компьютеров на платформе Intel. Доминирующее положение Microsoft укрепил выпуск новых 32-разрядных систем: Windows 95 и Windows NT 4.0.
70732. Частотные преобразования дискретных фильтров 238.5 KB
  Цель работы: Изучение практических методов синтеза дискретных фильтров нижних, верхних частот, полосовых и режекторных фильтров методом частотных преобразований.