8120

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка. Логика первого порядка, являясь формализованным аналогом обычной логики, дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их вз...

Русский

2013-02-04

73.5 KB

79 чел.

Логическое следование. Логический вывод. Метод резолюций в логике предикатов первого порядка.

Логика первого порядка, являясь формализованным аналогом обычной логики, дает возможность строго рассуждать об истинности и ложности утверждений и об их взаимосвязи, в частности о логическом следовании одного утверждения из другого, или, например, об их эквивалентности.

Рассмотрим классический пример формализации утверждений естественного языка в логике первого порядка. Возьмем рассуждение: "Каждый человек смертен. Конфуций – человек. Следовательно, Конфуций смертен". Обозначим:

"x есть человек" – через ЧЕЛОВЕК(x),

"x смертен" – через СМЕРТЕН(x). 

Тогда утверждение "каждый человек смертен" может быть представлено формулой:

()(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)).

А утверждение "Конфуций – человек" – формулой:

ЧЕЛОВЕК(Конфуций),

и "Конфуций смертен" – формулой:

СМЕРТЕН(Конфуций).

Утверждение в целом теперь может быть записано формулой:

()(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) & ЧЕЛОВЕК(Конфуций) → СМЕРТЕН(Конфуций).

Понятие логического следования

Пусть E – множество формул (логики первого порядка), а C – отдельная формула.

Формула C называется логическим следствием из множества формул E, если она истинна при всех интерпретациях, при которых все формулы множества E одновременно истинны.

Формальная запись:

E  C 

Используя данное определение факт логического следования можно установить путем перебора всех возможных интерпретаций. Однако, в логике предикатов такой подход невозможен, т. к. каждая формула имеет бесконечное число интерпретаций (вследствие бесконечного множества областей интерпретаций).

Принцип дедукции

Множество формул называется невыполнимым, если не существует интерпретации, при которой все формулы этого множества одновременно истинны:

 E  C  – невыполнимо.

Таким образом, принцип дедукции сводит задачу о логическом следовании к задаче о невыполнимости множества формул.

Для доказательства невыполнимости множества формул используется метод резолюции.

Метод резолюции

Если X и Y – дизъюнкты, то формула  называется резольвентой.

Правило резолюции: пусть x, y – произвольные формулы, а A – атом (элементарная формула), тогда:

╞ – правило резолюции.

 , , тогда

Предположим, что , тогда . Таким образом .

Рассмотрим случай, когда x и y – дизъюнкты (дизъюнкция атомов).

Любая формула может быть преобразована в логически эквивалентную ей КНФ (конъюнктивно-нормальную форму).

Дизъюнкт, содержащий хотя бы одну литеру, является выполнимой формулой (то есть при неких интерпретациях является истинной).

Единственным невыполнимым дизъюнктом является пустой дизъюнкт, то есть дизъюнкт, не содержащий ни одной литеры. Такие дизъюнкты будем обозначать в дальнейшем константой F (от False).

Алгоритм по преобразованию формул в КНФ (на примере логики высказываний)

1).  Исключение связок, импликаций и эквивалентностей:

2).  Сокращение области действия отрицаний так, чтобы они относились к элементарным формулам:

3).  Закон дистрибутивности:

 Утверждение 1: пусть E – множество формул,  – формулы этого множества, а {Y,X}Z  логическое следствие. Тогда добавление формулы Z к множеству E не меняет его выполнимости/невыполнимости.

 Утверждение 2: добавление резольвент к исходному множеству не меняет его выполнимости/невыполнимости.

Для построения резольвенты находим дизъюнкты, содержащие контрарную пару (пара, имеющая противоположные значения) и строим резольвенту.

Пример 1:

 – родительские дизъюнкты,

– их резольвента.

Пример 2: рассмотрим 2 однолитеральных дизъюнкта  и , их резольвента – пустой дизъюнкт F.

Таким образом, алгоритм метода резолюции предполагает последовательное порождение резольвент от различных пар родительских дизъюнктов до тех пор, пока не будет получен пустой дизъюнкт. Это означает, что множество невыполнимо и тем самым логическое следствие доказано.

Если пустой дизъюнкт получить не удастся, то множество является выполнимым и значит, что логическое следствие не имеет места.

 Теорема Робинсона: если множество дизъюнктов невыполнимо, этот факт всегда может быть установлен с помощью метода резолюции за конечное число шагов. Можно говорить, что метод резолюции полон для данной проблемы.

Общие достоинства логики первого порядка

Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают ее очень привлекательной в качестве одного из основных инструментов формализации знаний:

1.  Полнота.

2.  Непротиворечивость.

3.  Компактность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31927. Общая психология, ответы на билеты 211.5 KB
  Крупные научные школы придерживались различных методологических принципов. Для поведенческой психологии (бихевиоризма) существенным было положение об объективности, наблюдаемости психических явлений. В психоанализе выдвигалась идея динамики, метаморфоз психической энергии в разные периоды жизни ребенка и взрослого. Концепции отечественных психологов строятся на принципах единства сознания и деятельности, принципе детерминизма
31928. Бытовая радиотелевизионная аппаратура 150 KB
  Структурная электрическая схема телевизора чернобелого изображения. Телевизоры чернобелого изображения ранних лет выпуска схема питания. Переносные ч б телевизоры схема питания. Переносные телевизоры ч б изображения схема разверток.
31932. Проектний тепловий розрахунок рекуперативного теплообмінника 585 KB
  Мета розрахунку Основною метою розрахунку теплообмінників є визначення поверхні теплообміну F а також основних розмірів апарата. Отже для визначення теплової поверхні необхідно розрахувати коефіцієнт теплопередачі k а також середній температурний напір 3. Визначення теплового навантаження апарата та масової витрати гарячого теплоносія 4. Визначення кількості трубок в теплообмінному апараті 5.
31933. АНОМАЛИИ ЛИЧНОСТИ 1.54 MB
  БРАТУСЬ АНОМАЛИИ ЛИЧНОСТИ Хакасская областная библиотека москва мысль ББК 88 Б87 РЕДАКЦИИ ФИЛОСОФСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Рецензенты: др психол. О чем же данная книга которую не воображаемый а реальный читатель свой или чужой пока неведомо держит в руках Эта книга об общих проблемах психологии личности о том что такое психическое и личностное здоровье о том по каким внутренним механизмам возможно уклонение от нормы появление аномалий личности о том наконец какие перспективы пути предупреждения и коррекции этих аномалий может...
31934. Методические указания к дипломной работе по разделу «Безопасность жизнедеятельности» 84.5 KB
  Студенту необходимо показать умение анализировать потенциальные опасности эксперимента; оценивать физикохимические горючие и токсичные свойства применяемых и получаемых веществ; определять категории пожаро и взрывоопасности и класс взрывоопасности; владеть методами обеспечения безопасности процесса эксперимента а также методами создания соответствующих санитарногигиенических условий в лабораторных помещениях и методами устранения отравлений профзаболеваний пожаров и взрывов загрязнения окружающей среды. Содержание раздела Безопасность...
31935. БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1.44 MB
  В технологическом разделе рассмотрена система экономии материала. Экономия ресурсов происходит за счет реконструкции цеха, где принято основное технологическое направление, а именно замена технологии производства и вида заготовки. Отверстие будет пробиваться в заготовке (раньше пробивалось после вытяжки) и соответственно иметь меньший диаметр, чем у готовой детали