83076

Решение задач по закону нормального распределения при помощи редактора электронных таблиц MS Excel

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Курсовая работа на тему экспериментальный метод в методологии исследования. Данная работа включает в себя: 4 задачи по теории вероятности, 2 задачи по закону нормального распределения, задачу по системам массового обслуживания.

Русский

2015-03-07

422.04 KB

12 чел.

Лист для замечаний

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………...………………..………5

  1.  Теория вероятностей…………………..…………………………………………6
  2.   Закон нормального распределения…………………………….………..…….14
  3.   Системы массового обслуживания……………………………………….…...23

Список использованных источников…………………………..…...…………31

ВВЕДЕНИЕ

Курсовая работа на тему экспериментальный метод в методологии исследования. Данная работа включает в себя: 4 задачи  по теории вероятности, 2 задачи по закону нормального распределения, задачу по системам массового обслуживания.

Решение задач по закону нормального распределения решаются при помощи редактора электронных таблиц MS Excel.

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1. Из полного набора костей домино на угад выбираются две. Определить вероятность того, что на обеих костях нет цифр 3 и 5.

Решение.

Всего мы имеем 28 возможных вариант выпадения костей:

(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0,6)

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,4)(4,5)(4,6)

(5,5)(5,6)

(6,6)

Всего костей на которых нет цифр 3 и 5 равно 15

Общее число элементарных исходов равно n =

Число благоприятных исходов равно m =

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

                                                                                                                               (1)      

                                              

                                                              (2)

                                                             (3)

Подставив уравнение 2 и 3 в уравнение 1 получаем искомую вероятность :

                                                                                                                               

Вывод: Вероятность того, что на обеих взятых  костях нет цифр 3 и 5 равна 0.277.

Задание 2. На отрезок OA длины L наудачу брошена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА будет иметь длину, меньшую, чем L/3.

Решение.

Рисунок 1 – Пояснение к заданию 2

Длина всего отрезка равна L.

Пользуясь правилами геометрической вероятности получаем, что вероятность нахождения на отрезке ОА точки В  на  отрезке  меньшем L/3 равна соотношению длины этого отрезка на всю длину ОА.

Искомая вероятность находится по формуле соотношения их длин:

                                                                                   (4)

Вывод: Вероятность того, что при попадании точки В  на отрезок ОА меньший из отрезков будет иметь длину меньшую или равную L/3 -  равна 0,333.

Задание 3. Игрок А поочередно играет с игроками В и С по две партии. Вероятность выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно, вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3 для С – 0,4. Определить вероятность того, что первым выиграет В.

Решение:

Всего играется 4 партии. Возможно несколько взаимоисключающих исходов: 

1) В первой партии выиграет В (т.е., В выиграет первым); 

2) В первой партии выиграет А, во второй выиграет С (т.е., С выиграет первым); 

3) В первой и второй партиях выиграет А, в третьей выиграет В (т.е., В выиграет первым); 

4) В первой, второй и третьей партиях выиграет А, в четвертой выиграет С (т.е., С выиграет первым); 

5) Все партии выиграет А. 

Найдем вероятности побед игрока А в каждой партии:

Вероятность того, что А выиграет в 1-ой партии, если  В проиграет: 

  (5)

где – вероятность выигрыша В ,  = 0.1;

Р1(А) =1-0.1=0.9                                                                                                    

Вероятность того, что А выиграет во 2-ой партии, если С проиграет:

 (6)

где– вероятность выигрыша С,  = 0.2;

Р2(А) =1-0.2=0.8                                                                                                   

Вероятность того, что А выиграет в 3-ей партии, если В проиграет:    

 (7)

где– вероятность выигрыша В,  = 0.3;

Р3(А) =1-0.3=0.7                                                                                                    

Вероятность того, что А выиграет в 4-ой партии, если С проиграет:

 (8)

где– вероятность выигрыша С,  = 0.4;

Р4(А) =1-0.4= 0.6                                                                                                   

Выигрыш в каждой партии – это независимое событие т.е., по закону умножения вероятностей получаем искомые вероятности:

- вероятность исхода 1, т.е В выиграет, берем из условия задачи:

Р1 =  0.1                                                                                                                   (9)

- вероятность исхода 2, выигрывает игрок С: 

Р2 =                                                                                                        (10)

где – вероятность выигрыша С,  = 0.2;

;

Р2 = 0.90.2 = 0.18                                                                                               (11)

- вероятность исхода 3, выигрывает игрок В: 

Р3 =                                                                                         (12)

где – вероятность выигрыша В,  =0.3;

= 0.9;

 

 

Р3 = 0.90.80.3 = 0.216                                                                                   (13)

- вероятность исхода 4, выигрывает игрок С: 

Р4=                                                                              (14)

где – вероятность выигрыша С,  =0.4;

;

;

;

Р4= 0.90.80.70.4 = 0.2016                                                                            (15)

- вероятность исхода 5, оба игрока проиграют: 

Р5=                                                                      (16)

где ;

;

;

;

Р5= 0.9 0.80.7 0.6 = 0.3024                                                                            (17)

Таким образом: вероятность того, что первым выиграет В - это сумма вероятностей исходов (9) и (13),

Находим вероятность выигрыша В:

Р(В) = P1 + P3 (18)

Р(В) = 0,1+0,216 = 0,316                                                                                       

Вывод: Вероятность того что из всех 4 партий первым выйграет игрок В составляет 0,316.

Задание 4. Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось 2 попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

Решение

Решаем задачу при помощи формулы Байеса

                                                                                                                             (19)

где полная вероятность события;

–вероятность события относительно события А;

вероятность события А;

Для начала найдем вероятности промаха всех 3 стрелков:

Вероятность промаха первого стрелка:

 (20)

где  

(21)

Вероятность промаха второго стрелка:

 (22)

где

                                                                                             (23)

Вероятность промаха третьего стрелка:

 (24)

где  

                                                                                             (25)

Так как из 3 выстрелов попали только 2 стрелка,  то вероятность промаха общей системы равна

 (26)

где   - вероятность попадания всей системы,

          (27)

Далее находим общую вероятность промаха, подставляя значения из формул (21), (23), (25), (27) в формулу (28):

 

                                   (28)

где вероятность промах системы;

вероятность промаха первого стрелка;

вероятность промаха второго стрелка;

вероятность промаха третьего стрелка;

                                  (29)

Полученное значение общей вероятности промаха (29), вероятности промаха системы (27) и вероятность промаха 3-го стрелка (25) подставляем в формулу  (19) получаем:

                                                                               

Вывод: Вероятность того, что промахнулся 3 игрок составляет 0,426

2 ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Задание 5. Задана непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x). Получите выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1 (). Выполнить проверку гипотезы о нормальности распределения результатов математического эксперимента графическим методом (методом линеаризации интегральной функции).

Решение.

Получаем 50 случайных числе при помощи функции СЛЧИС:

Рисунок 2 – Столбец случайных чисел

Получаем выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1. Сортируем по возрастанию.

Рисунок 3 – Выборка случайных чисел

Количество элементов выборки считаем при помощи функции СЧЕТ.

Рисунок 4 – Объем выборки

Вычисляем значения эмпирической функции распределения вероятностей.

Рисунок 5 – Значения эмпирической функции

Находим теоретические значения аргумента , соответствующие значениям, полученными в столбце для эмпирической функции.

Рисунок 6 – Теоретические значения аргумента

Строим график точек . Добавляем на него линию тренда.

Рисунок 7 – График точек

Вычисляем по графику приближенное значение среднего арифметического    (точка пересечения прямой тренда с осью абсцисс)  и оценки среднеквадратического отклонения  (СКО).

Рисунок 8 – Графические значения (СКО) и среднего арифметического.

Определяем точное среднее значение и среднеквадратическое отклонение (СКО).

Рисунок 9 – Вычисленные значения среднеквадратического отклонения (СКО) и среднее арифметическое

Рисунок 10 – Полученные графические и расчетные данные.

Вывод: близость графических оценок с вычисленными значениями является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.

Задание 6. Получите две серии случайных чисел  и , распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсиями равными 1 и 4 соответственно. Размерность серий может быть произвольной, необязательно одинаковой (). Выполните проверку гипотезы  о равенстве дисперсий в сериях  и  (надстройку “Двухвыборочный F – тест для дисперсий” не применять!!!).

Решение.

Получаем две серии случайных чисел распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1 и 4 при помощи анализа данных. (столбцы А и В).

Рисунок 11 – Получение серии случайных чисел с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1  

Рисунок 12 – Получение серии случайных чисел с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 4  

Рисунок 13 – Серии случайных чисел

Выполним проверку дисперсий для полученных столбцов случайных чисел А и В. Проверку проведем при помощи функции ДИСП.

Рисунок 14 – Значение дисперсии для столбца А

Рисунок 15 – Значение дисперсии для столбца В

Находим F - критическое одностороннее. Для этого рассчитываем количество наблюдений и число степеней свободы (df).

Рисунок 16 – количество наблюдений и число степеней свободы

Рассчитываем F - критическое одностороннее.

 

Рисунок 17 – Расчет F критического одностороннего

Определяем критические точки.

Рисунок 18 - Значение левосторонней критической точки

Рисунок 19 - Значение правосторонней критической точки

Таким образом, получаем двустороннюю оценку Fкр. Объединение двух интервалов показывает критическую область . Так как значение F - критическое одностороннее равное 0,62216546 и не принадлежит ни одному критическому интервалу, значит гипотеза принимается.  

3 СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Задание 7. В вычислительном центре работает 9 персональных компьютеров. Простейший поток неисправностей имеет интенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной неисправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслуживают три инженера с одинаковой производительностью. Все потоки событий простейшие. Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

а)  три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так, что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R= 3; N = 9;

б) каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК.В этом случае R = 1; N = 3.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.

Решение:

Вычислим параметр обслуживания :

                                                                                                                    (30)

где   – время обслуживания одного рабочего;

 

Вычислим приведенную интенсивность :

,                                                                                                                             (31)      

где λ – интенсивность потока неисправностей; λ = 0,3 отказа в день

                                                                                          

                                                                                                                                                                                           

Вычислим вероятностные характеристики системы массового обслуживания (СМО) для двух вариантов организации обслуживания ПК.

Вариант 1:

Определим вероятности состояния системы:

   (т                                    (32)

где N – число компьютеров;

k – компьютеры ожидающие обслуживания;

R – количество инженеров;

                                                                                 

                                                                                 

                                                                         

                                                                         

                                                                         

                                                                             

                                                                         

                                                                         

                                                                         

Учитывая, что  и используя результаты расчета , вычислим :

                                                                              (30)

(33)

Откуда

Тогда:

Р1=4,050·Р0=

0,109

Р2=7,290·Р0=

0,197

Р3=7,655·Р0=

0,207

Р4=6,889·Р0=

0,186

Р5=5,167·Р0=

0,140

Р6=3,100·Р0=

0,084

Р7=1,395·Р0

0,038

Р8=0,419·Р0=

0,011

Р9=0,063·Р0=

0,002

Среднее число компьютеров  в очереди на обслуживание:

(34)

                                                                                                                         

         

          

Среднее число ПК, находящееся в системе (на обслуживании и в очереди):

(35)

 

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

(36)

                                                                                                                          

 

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

                                                                                                                             (37)

Коэффициент использования компьютеров:

                                                                                       (38)

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

                                                                                                             (39)

Среднее время ожидания ПК обслуживания:

                                                                                                                             (40)

Вариант 2:

Определим вероятности состояния системы:

(                                         (41)

где N – число компьютеров;

k – компьютеры ожидающие обслуживания;

R – количество инженеров;

(Nk) – компьютеры в эксплуатации;

                                                                               

                                                                             

                                                                             

Учитывая, что  и используя результаты расчета , вычислим :

                                         (42)

Откуда

Тогда:

Р1 = 1,350·Р0 =

0,328

Р2 = 1,215·Р0 =

0,295

Р3 = 0,547·Р0 =

0,133

Среднее число компьютеров  в очереди на обслуживание:

                                               (43)

 

Среднее число ПК, находящееся в системе (на обслуживании и в очереди):

                                            (44)

 

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

                                                                                                                                        (45)  

           

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

 (46)

                                                    

Коэффициент использования компьютеров:

     (47)

                                                                     

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

                   (48)

        

                                                                  

Среднее время ожидания ПК обслуживания:

                                                                                                                        (49)

 

Сведем полученные результаты в таблицу 1:

Итоговые значения

Варианты:

                     1

                      2

       0,104

       0,618

Вывод по задаче 7: Из проведенных вычислений мы получаем, что в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания примерно 0,104 части рабочего времени, что много меньше чем в варианте 2. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать больше чем в варианте 2 . Из этого следует что вариант 1 обслуживания ПК будет эффективней.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 432с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66384. ВЛИЯНИЕ ТЕХНОЛОГИЙ РАЗНОГО УРОВНЯ ИНТЕНСИВНОСТИ НА ПРОДУКТИВНОСТЬ СОРТОВ ОЗИМОЙ ПШЕНИЦЫ И КАЧЕСТВО ЗЕРНА В УСЛОВИЯХ ЮГО-ЗАПАДА ЦЕНТРАЛЬНОГО НЕЧЕРНОЗЕМЬЯ 4.16 MB
  Цель исследований – изучить эффективность средств химизации в технологиях разного уровня интенсивности на сортах озимой пшеницы и выявить оптимальные решения получения максимальной урожайности новых и перспективных сортов на серых лесных почвах юго-запада Центрального Нечерноземья.
66385. Диференційований підхід у вивченні основ штучного інтелекту в курсі інформатики фізико-математичного факультету вищого педагогічного закладу 1.43 MB
  Перетворення в економічній політичній і соціальній сферах суспільного життя бурхливе впровадження нових інформаційних технологій вимагають нових підходів до розбудови як всієї національної системи освіти так і системи вищої освіти і висувають на перший план завдання...
66386. ЦЕННОСТНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ КАК РЕЗУЛЬТАТ МЕЖПОКОЛЕННОЙ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ 347.5 KB
  Идет процесс переоценки ценностей меняются ценностные представления. В переходном российском обществе следует говорить не столько о традиционной передаче ценностей от старших поколений к младшим сколько о разнонаправленном их участии в этом процессе.
66387. КОМПЕТЕНТНОСТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ ПОВЫШЕНИЕ КВАЛИФИКАЦИИ СПЕЦИАЛИСТОВ ПО СОЗДАНИЮ ИНКЛЮЗИВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЫ 342.5 KB
  Стратегическая цель государственной образовательной политики – повышение доступности качественного образования, соответствующего требованиям инновационного развития экономики, современным потребностям общества и каждого гражданина, – связана с созданием такой образовательной среды...
66388. СТРАТЕГИИ ПРЕОДОЛЕНИЯ СТУДЕНТАМИ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ БАРЬЕРОВ ПРИ АУДИРОВАНИИ ИНОЯЗЫЧНОЙ РЕЧИ 254 KB
  Проблема психологических барьеров достаточно полно представлена в зарубежной психологии З. В отечественной психологии широко представлены исследования раскрывающие сущность и виды психологических барьеров: смысловые Л. и этносоциокультурных барьеров В.
66389. Развитие самообразовательной компетентности студентов в процессе проектной деятельности 281.5 KB
  Особую важность развития СК исследователи связывают с её значимость для профессионально-личностного роста специалиста И. Представляется важным сделанное рядом авторов заключение о том что СК выступает как системообразующая стержневая так как она детерминирует формирование...
66390. ФИТОНИМИЧЕСКАЯ ЛЕКСИКА В ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ПРОЗЕ Е.И. НОСОВА 178.5 KB
  Актуальность диссертации обусловлена возрастающим вниманием лингвистов к изучению языковой личности Е.И. Носова; стремлением к многоаспектному описанию отдельных пластов лексики, в частности названий растений и растительных организмов...
66391. ПРИНЦИП СИМПАТІЇ У ФІЛОСОФСЬКІЙ АНТРОПОЛОГІЇ 244 KB
  Осмислення симпатії як морального і психологічного явища в європейській філософській традиції започатковується ще в Античності але особливо актуальним стає у моралістиці новоєвропейської філософської традиції. Проте тема симпатії не належить до того кола проблем що мають наскрізну історію вивчення аналізу й оцінки.
66392. РОЗШИРЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ ВІБРАЦІЙНОЇ ОБРОБКИ ПЛОСКИХ ДЕТАЛЕЙ НА ОСНОВІ УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЧНОЇ СИСТЕМИ 724.14 KB
  На сьогодні одним зі шляхів розвитку машинобудування є виготовлення деталей машин високої якості, довговічність і надійність яких значною мірою залежать від точності їх виготовлення, оптимальних фізико-механічних властивостей поверхневих шарів поверхонь, що сполучаються.