83076

Решение задач по закону нормального распределения при помощи редактора электронных таблиц MS Excel

Курсовая

Экономическая теория и математическое моделирование

Курсовая работа на тему экспериментальный метод в методологии исследования. Данная работа включает в себя: 4 задачи по теории вероятности, 2 задачи по закону нормального распределения, задачу по системам массового обслуживания.

Русский

2015-03-07

422.04 KB

17 чел.

Лист для замечаний

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………...………………..………5

  1.  Теория вероятностей…………………..…………………………………………6
  2.   Закон нормального распределения…………………………….………..…….14
  3.   Системы массового обслуживания……………………………………….…...23

Список использованных источников…………………………..…...…………31

ВВЕДЕНИЕ

Курсовая работа на тему экспериментальный метод в методологии исследования. Данная работа включает в себя: 4 задачи  по теории вероятности, 2 задачи по закону нормального распределения, задачу по системам массового обслуживания.

Решение задач по закону нормального распределения решаются при помощи редактора электронных таблиц MS Excel.

1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1. Из полного набора костей домино на угад выбираются две. Определить вероятность того, что на обеих костях нет цифр 3 и 5.

Решение.

Всего мы имеем 28 возможных вариант выпадения костей:

(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0,6)

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,4)(4,5)(4,6)

(5,5)(5,6)

(6,6)

Всего костей на которых нет цифр 3 и 5 равно 15

Общее число элементарных исходов равно n =

Число благоприятных исходов равно m =

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

                                                                                                                               (1)      

                                              

                                                              (2)

                                                             (3)

Подставив уравнение 2 и 3 в уравнение 1 получаем искомую вероятность :

                                                                                                                               

Вывод: Вероятность того, что на обеих взятых  костях нет цифр 3 и 5 равна 0.277.

Задание 2. На отрезок OA длины L наудачу брошена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА будет иметь длину, меньшую, чем L/3.

Решение.

Рисунок 1 – Пояснение к заданию 2

Длина всего отрезка равна L.

Пользуясь правилами геометрической вероятности получаем, что вероятность нахождения на отрезке ОА точки В  на  отрезке  меньшем L/3 равна соотношению длины этого отрезка на всю длину ОА.

Искомая вероятность находится по формуле соотношения их длин:

                                                                                   (4)

Вывод: Вероятность того, что при попадании точки В  на отрезок ОА меньший из отрезков будет иметь длину меньшую или равную L/3 -  равна 0,333.

Задание 3. Игрок А поочередно играет с игроками В и С по две партии. Вероятность выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно, вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3 для С – 0,4. Определить вероятность того, что первым выиграет В.

Решение:

Всего играется 4 партии. Возможно несколько взаимоисключающих исходов: 

1) В первой партии выиграет В (т.е., В выиграет первым); 

2) В первой партии выиграет А, во второй выиграет С (т.е., С выиграет первым); 

3) В первой и второй партиях выиграет А, в третьей выиграет В (т.е., В выиграет первым); 

4) В первой, второй и третьей партиях выиграет А, в четвертой выиграет С (т.е., С выиграет первым); 

5) Все партии выиграет А. 

Найдем вероятности побед игрока А в каждой партии:

Вероятность того, что А выиграет в 1-ой партии, если  В проиграет: 

  (5)

где – вероятность выигрыша В ,  = 0.1;

Р1(А) =1-0.1=0.9                                                                                                    

Вероятность того, что А выиграет во 2-ой партии, если С проиграет:

 (6)

где– вероятность выигрыша С,  = 0.2;

Р2(А) =1-0.2=0.8                                                                                                   

Вероятность того, что А выиграет в 3-ей партии, если В проиграет:    

 (7)

где– вероятность выигрыша В,  = 0.3;

Р3(А) =1-0.3=0.7                                                                                                    

Вероятность того, что А выиграет в 4-ой партии, если С проиграет:

 (8)

где– вероятность выигрыша С,  = 0.4;

Р4(А) =1-0.4= 0.6                                                                                                   

Выигрыш в каждой партии – это независимое событие т.е., по закону умножения вероятностей получаем искомые вероятности:

- вероятность исхода 1, т.е В выиграет, берем из условия задачи:

Р1 =  0.1                                                                                                                   (9)

- вероятность исхода 2, выигрывает игрок С: 

Р2 =                                                                                                        (10)

где – вероятность выигрыша С,  = 0.2;

;

Р2 = 0.90.2 = 0.18                                                                                               (11)

- вероятность исхода 3, выигрывает игрок В: 

Р3 =                                                                                         (12)

где – вероятность выигрыша В,  =0.3;

= 0.9;

 

 

Р3 = 0.90.80.3 = 0.216                                                                                   (13)

- вероятность исхода 4, выигрывает игрок С: 

Р4=                                                                              (14)

где – вероятность выигрыша С,  =0.4;

;

;

;

Р4= 0.90.80.70.4 = 0.2016                                                                            (15)

- вероятность исхода 5, оба игрока проиграют: 

Р5=                                                                      (16)

где ;

;

;

;

Р5= 0.9 0.80.7 0.6 = 0.3024                                                                            (17)

Таким образом: вероятность того, что первым выиграет В - это сумма вероятностей исходов (9) и (13),

Находим вероятность выигрыша В:

Р(В) = P1 + P3 (18)

Р(В) = 0,1+0,216 = 0,316                                                                                       

Вывод: Вероятность того что из всех 4 партий первым выйграет игрок В составляет 0,316.

Задание 4. Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось 2 попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

Решение

Решаем задачу при помощи формулы Байеса

                                                                                                                             (19)

где полная вероятность события;

–вероятность события относительно события А;

вероятность события А;

Для начала найдем вероятности промаха всех 3 стрелков:

Вероятность промаха первого стрелка:

 (20)

где  

(21)

Вероятность промаха второго стрелка:

 (22)

где

                                                                                             (23)

Вероятность промаха третьего стрелка:

 (24)

где  

                                                                                             (25)

Так как из 3 выстрелов попали только 2 стрелка,  то вероятность промаха общей системы равна

 (26)

где   - вероятность попадания всей системы,

          (27)

Далее находим общую вероятность промаха, подставляя значения из формул (21), (23), (25), (27) в формулу (28):

 

                                   (28)

где вероятность промах системы;

вероятность промаха первого стрелка;

вероятность промаха второго стрелка;

вероятность промаха третьего стрелка;

                                  (29)

Полученное значение общей вероятности промаха (29), вероятности промаха системы (27) и вероятность промаха 3-го стрелка (25) подставляем в формулу  (19) получаем:

                                                                               

Вывод: Вероятность того, что промахнулся 3 игрок составляет 0,426

2 ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Задание 5. Задана непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x). Получите выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1 (). Выполнить проверку гипотезы о нормальности распределения результатов математического эксперимента графическим методом (методом линеаризации интегральной функции).

Решение.

Получаем 50 случайных числе при помощи функции СЛЧИС:

Рисунок 2 – Столбец случайных чисел

Получаем выборку случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и стандартным отклонением равным 1. Сортируем по возрастанию.

Рисунок 3 – Выборка случайных чисел

Количество элементов выборки считаем при помощи функции СЧЕТ.

Рисунок 4 – Объем выборки

Вычисляем значения эмпирической функции распределения вероятностей.

Рисунок 5 – Значения эмпирической функции

Находим теоретические значения аргумента , соответствующие значениям, полученными в столбце для эмпирической функции.

Рисунок 6 – Теоретические значения аргумента

Строим график точек . Добавляем на него линию тренда.

Рисунок 7 – График точек

Вычисляем по графику приближенное значение среднего арифметического    (точка пересечения прямой тренда с осью абсцисс)  и оценки среднеквадратического отклонения  (СКО).

Рисунок 8 – Графические значения (СКО) и среднего арифметического.

Определяем точное среднее значение и среднеквадратическое отклонение (СКО).

Рисунок 9 – Вычисленные значения среднеквадратического отклонения (СКО) и среднее арифметическое

Рисунок 10 – Полученные графические и расчетные данные.

Вывод: близость графических оценок с вычисленными значениями является подтверждением правильности гипотезы о законе распределения.

Задание 6. Получите две серии случайных чисел  и , распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсиями равными 1 и 4 соответственно. Размерность серий может быть произвольной, необязательно одинаковой (). Выполните проверку гипотезы  о равенстве дисперсий в сериях  и  (надстройку “Двухвыборочный F – тест для дисперсий” не применять!!!).

Решение.

Получаем две серии случайных чисел распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1 и 4 при помощи анализа данных. (столбцы А и В).

Рисунок 11 – Получение серии случайных чисел с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1  

Рисунок 12 – Получение серии случайных чисел с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 4  

Рисунок 13 – Серии случайных чисел

Выполним проверку дисперсий для полученных столбцов случайных чисел А и В. Проверку проведем при помощи функции ДИСП.

Рисунок 14 – Значение дисперсии для столбца А

Рисунок 15 – Значение дисперсии для столбца В

Находим F - критическое одностороннее. Для этого рассчитываем количество наблюдений и число степеней свободы (df).

Рисунок 16 – количество наблюдений и число степеней свободы

Рассчитываем F - критическое одностороннее.

 

Рисунок 17 – Расчет F критического одностороннего

Определяем критические точки.

Рисунок 18 - Значение левосторонней критической точки

Рисунок 19 - Значение правосторонней критической точки

Таким образом, получаем двустороннюю оценку Fкр. Объединение двух интервалов показывает критическую область . Так как значение F - критическое одностороннее равное 0,62216546 и не принадлежит ни одному критическому интервалу, значит гипотеза принимается.  

3 СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Задание 7. В вычислительном центре работает 9 персональных компьютеров. Простейший поток неисправностей имеет интенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной неисправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслуживают три инженера с одинаковой производительностью. Все потоки событий простейшие. Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

а)  три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так, что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R= 3; N = 9;

б) каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК.В этом случае R = 1; N = 3.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.

Решение:

Вычислим параметр обслуживания :

                                                                                                                    (30)

где   – время обслуживания одного рабочего;

 

Вычислим приведенную интенсивность :

,                                                                                                                             (31)      

где λ – интенсивность потока неисправностей; λ = 0,3 отказа в день

                                                                                          

                                                                                                                                                                                           

Вычислим вероятностные характеристики системы массового обслуживания (СМО) для двух вариантов организации обслуживания ПК.

Вариант 1:

Определим вероятности состояния системы:

   (т                                    (32)

где N – число компьютеров;

k – компьютеры ожидающие обслуживания;

R – количество инженеров;

                                                                                 

                                                                                 

                                                                         

                                                                         

                                                                         

                                                                             

                                                                         

                                                                         

                                                                         

Учитывая, что  и используя результаты расчета , вычислим :

                                                                              (30)

(33)

Откуда

Тогда:

Р1=4,050·Р0=

0,109

Р2=7,290·Р0=

0,197

Р3=7,655·Р0=

0,207

Р4=6,889·Р0=

0,186

Р5=5,167·Р0=

0,140

Р6=3,100·Р0=

0,084

Р7=1,395·Р0

0,038

Р8=0,419·Р0=

0,011

Р9=0,063·Р0=

0,002

Среднее число компьютеров  в очереди на обслуживание:

(34)

                                                                                                                         

         

          

Среднее число ПК, находящееся в системе (на обслуживании и в очереди):

(35)

 

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

(36)

                                                                                                                          

 

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

                                                                                                                             (37)

Коэффициент использования компьютеров:

                                                                                       (38)

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

                                                                                                             (39)

Среднее время ожидания ПК обслуживания:

                                                                                                                             (40)

Вариант 2:

Определим вероятности состояния системы:

(                                         (41)

где N – число компьютеров;

k – компьютеры ожидающие обслуживания;

R – количество инженеров;

(Nk) – компьютеры в эксплуатации;

                                                                               

                                                                             

                                                                             

Учитывая, что  и используя результаты расчета , вычислим :

                                         (42)

Откуда

Тогда:

Р1 = 1,350·Р0 =

0,328

Р2 = 1,215·Р0 =

0,295

Р3 = 0,547·Р0 =

0,133

Среднее число компьютеров  в очереди на обслуживание:

                                               (43)

 

Среднее число ПК, находящееся в системе (на обслуживании и в очереди):

                                            (44)

 

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

                                                                                                                                        (45)  

           

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

 (46)

                                                    

Коэффициент использования компьютеров:

     (47)

                                                                     

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

                   (48)

        

                                                                  

Среднее время ожидания ПК обслуживания:

                                                                                                                        (49)

 

Сведем полученные результаты в таблицу 1:

Итоговые значения

Варианты:

                     1

                      2

       0,104

       0,618

Вывод по задаче 7: Из проведенных вычислений мы получаем, что в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания примерно 0,104 части рабочего времени, что много меньше чем в варианте 2. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать больше чем в варианте 2 . Из этого следует что вариант 1 обслуживания ПК будет эффективней.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 432с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53981. The Numerals (числівники). Time. Cardinal numerals (кількісні числівники) 117.5 KB
  Let me introduce myself! Where are you from? – I am from Ukraine. I came from Rivne region. How old are you? – I am 25. What is your occupation (profession)? – I am businessman. Are you married? – Yes, I am. No, I am not. Do you have a business here? – Yes, I do. No, I don’t. I came here to have a rest. Glad to meet you! – Glad to meet you too.
53982. Prepositions of time, place, move 724 KB
  Look at these time expressions. Some use in, some use on or at. Put them in the correct column.
53983. To be. There is/are. To have. Pronouns 140.5 KB
  Whether the weather be fine, or whether the weather be not. Whether the weather be cold, or whether the weather be hot. We'll weather the weather whether we like it or not.
53984. Present Simple 65.5 KB
  We use the simple present tense when: the action is general the action happens all the time, or habitually, in the past, present and future the action is not only happening now the statement is always true
53989. Types of questions 66 KB
  Загальні питання (general questions)Ставиться до всього речення і вимагає відповіді «так» або «ні» Does Peter read books? Спеціальні питання (special questions) Ставиться за допомогою спеціальних питальних слів для з’ясування чогось конкретного.