8313

Вища фізика. Конспект лекцій

Реферат

Физика

Частина 1. Механіка. Тема 1. Вступ. Кінематика поступального руху. Вступ. Кінематика поступального руху (2 год.) Мета: Ввести основні поняття механіки. План Елементи кінематики. Поступальний рух. Радіус-вектор, траєкторія, шлях, переміще...

Украинкский

2013-02-09

7.33 MB

123 чел.

Частина 1. Механіка.

Тема 1. Вступ. Кінематика поступального руху.

Вступ. Кінематика поступального руху (2 год.)

Мета: Ввести основні поняття механіки.

План

  1.  Елементи кінематики. Поступальний рух.
  2.  Радіус-вектор, траєкторія, шлях, переміщення

Швидкість, прискорення Нормальне і тангенціальне п

1.  Основні поняття механіки.

Предметом вивчення механіки є механічний рух, який поля-гає в зміні з часом взаємного положення тіл або їхніх частин упросторі.  Всякий рух відбувається відносно довільного тіла,  щоназивається тілом відліку. З тілом відліку пов'язують систему ко-

ординат,  за допомогою якої задається положення тіла,  що ру-хається. Сукупність тіла відліку, пов'язану з ним систему координат і годинника, що визначає час, називається системою відліку.Відносно різних систем відліку рух одного і того ж тіла виглядаєпо-різному. У цьому полягає відносність руху. При рішенні практичних задач систему відліку необхідно вибирати так,  щоб рух розглянутого тіла був найбільш простим,  тобто описувався найменшим числом рівнянь. Для математичного опису руху різних тіл використовують математичні моделі.  Ми будемо користуватися моделями матеріальної точки й абсолютно твердого тіла.Матеріальною точкою називається тіло,  розмірами якого в умовах даної задачі можна знехтувати.  Положення матеріальної точки в загальному випадку задається трьома декартовими координатами -  x,  y і z.  Абсолютно твердим називається тіло,  деформаціями якого можна знехтувати при розгляді його руху.  Для того щоб задати положення абсолютно твердого тіла в просторі досить знати координати двох точок цього тіла.

2.  Радіус-вектор. Переміщення. Траєкторія. Пройдений шлях.

 Положення матеріальної точки можна задати за допомогою 3-х декартових координат або за допомогою радіуса-вектора , що проводиться з початку координат у ту точку простору, у якій знаходиться матеріальна точка.

          Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

Положение точки (или тела) относительно заданной системы отсчёта определяется некоторым количеством взаимно независимых функций координат:

,

где  определяется количеством степеней свободы. Так как точка не может быть в нескольких местах одновременно, все функции должны быть однозначными. Также в классической механике выдвигается требование их дифференцируемости на промежутках. Производные этих функций определяют скорость тела. [2]

Скорость движения определяется как производная координат по времени:

,

где  — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих координат.

Ускорение определяется как производная скорости по времени:

Следовательно, характер движения можно определить, зная зависимость скорости и ускорения от времени. А если кроме этого известны ещё и значения скорости/координат в определённый момент времени, то движение полностью задано.

Деление кинематики по типам объекта исследования

В зависимости от свойств изучаемого объекта, кинематика делится на кинематику точкикинематику твёрдого телакинематику деформируемого телакинематику газакинематику жидкости и т. д.

Кинематика точки

Кинематика точки изучает движение материальных точек — тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с характерными размерами изучаемого явления. Поэтому в кинематике точки скорость, ускорение, координаты всех точек тела считаются равными.

Частные случаи движения в кинематике точки:

Если ускорение равно нулю, движение прямолинейное (траектория представляет собой прямую) и равномерное (скорость постоянна).

,

где  — длина пути траектории за промежуток времени от  до  — проекции  на соответствующие оси координат.

Если ускорение постоянно и лежит в одной прямой со скоростью, движение прямолинейное, равнопеременное (равноускоренное, если ускорение и скорость направлены в одном направлении; равнозамедленное — если в разные).

,

где  — длина пути траектории за промежуток времени от  до  — проекции  на соответствующие оси координат,  — проекции  на соответствующие оси координат.

Если ускорение постоянно и перпендикулярно скорости, движение происходит по окружности — вращательное движение.

,

где  — радиус окружности, по которой движется тело.

Если выбрать систему декартовых координат xyz так, чтобы центр координат был в центре окружности, по которой движется точка, оси y иx лежали в плоскости этой окружности, так чтобы движение осуществлялось против часовой стрелки, то значения координат можно вычислить по формулам:

Тема 2.  Кінематика обертального руху.

Кінематика обертального руху (2 год.)

Мета: Ввести поняття обертального руху. Зрозуміти відмінність між кутовою та лінійною швидкостями.

План

  1.  Обертальний рух.
  2.  Кутова швидкість. Кутове прискорення.
  3.  Зв’язок між кутовими і лінійними швидкостями і прискореннями.

Основні поняття кінематики обертального руху.

 

Обертальним рухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, при якому траєкторією є коло, що знаходиться в площині перпендикулярній до осі, а центр його лежить на осі обертання.

 

Обертальним рухом абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називають такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по концентричних (центри яких лежать на одній осі) колах відповідно до правила для обертального руху матеріальної точки.

 

Нехай довільне тверде тіло  обертається навколо осі , що перпендикулярна до площини рисунка (рис.1). Виберемо на даному тілі точку . При обертанні ця точка буде описувати навколо осі  коло радіусом .

 

 

 

 


 

Рис. 1

 

За певний час радіус повернеться відносно початкового положення на кут .

 

За додатній напрям повороту прийнято напрям правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називаєтьсярівнянням обертального руху твердого тіла:

 

.

 

Якщо  вимірювати в радіанах (1 рад – це кут, що відповідає дузі, довжина якої рівна її радіусу, 1 рад » 57°17¢), то довжина дуги кола , яку пройде матеріальна точка  за час , рівна:

 

.

Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху

 

Мірою переміщення матеріальної точки за малий проміжок часу  служить вектор елементарного повороту , який направлений вздовж осі обертання за правилом правого гвинта (рис.2).

 

 

 


Рис. 2

 

Кутова швидкість матеріальної тачки чи тіла це фізична величина, яка визначається відношенням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту:

 

 .

 

Напрям вектора , як і , визначається за правилом правого гвинта вздовж осі О (рис.2). В скалярному вигляді:

.

 Якщо 

        ,

 

то такий рух називається рівномірним обертальним рухом. При рівномірному обертальному русі кутову швидкість визначають за формулою: 

.

 

Відповідно до попереднього, розмірність кутової швидкості:

= 1.

Рівномірний обертальний рух можна характеризувати періодом обертання. Період обертання  – фізична величина, що визначає час, за який тіло робить один повний оберт навколо осі обертання (=1с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти , (один повний оберт радіуса  ), то

а тому період обертання визначимо таким чином:

.

 

Число оборотів за одиницю часу називається частотою обертання (), яка рівна:

.

 

Одиниці вимірювання частоти: .

Порівнюючи формули для кутової швидкості та частоти обертання, одержимо вираз, що пов’язує ці величини:

 

.

 Основні елементи кінематики нерівномірного

обертального руху:

 

При нерівномірному обертальному русі матеріальної точки чи твердого тіла навколо нерухомої осі його кутова швидкість змінюється з часом.

 

Вектор , що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискоренням:

 

.

 

Якщо тіло обертається прискорюючись, тобто , то вектор  направлений вздовж осі в ту ж сторону, що і  (рис.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

При сповільненому русі  і вектори  і  протилежно направлені (рис.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

Зауваження. При нерівномірному обертальному русі вектор  може змінюватисьне не тільки за величиною, а і за напрямом (при повороті осі обертання).

 Зв´язок величин, що характеризують поступальний і

обертальний рух:

 

І. Лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує

обертальний рух

 

Відомо, що довжина дуги пов’язана з величиною радіуса і кутом його повороту співвідношенням:

 

,

 

тоді

.

 

Отже

 

.  

                                                         

У векторній формі

 

 

.

 

 

Напрям  вектора  відносно векторів  і  показано на рисунку 5.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує

обертальний рух  визначимо таким чином:

 

.

 

Отже, в скалярному вигляді

 

.

 

Вектор  протилежний до , тому у векторному представленні

 

.

 Тангенціальне прискореня матеріальної точки, що

виконує обертальний рух:

 

.

 

Отже в скалярному представленні:

 

.

 

Для визначення напрямку вектора  (за правилом правого гвинта) по відношенню до векторів  і використовують векторний запис:

 

 

.

 

Повне прискорення матеріальної точки, що виконує

обертальний рух

 

Відповідно до формул для  і , враховуючи напрями векторів даних величин, а також використавши співвідношення Піфагора для співвідношення сторін у прямокутному трикутнику, для повного прискорення одержимо вираз:

 

.

 

Отже

.

 

Подібність кінематичних формул для поступального і

обертального руху

 

                                                            Таблиця 1

Рівномірний рух

поступальний

Обертальний

;

;

.

;

;

.

Рівноприскорений рух

поступальний

Обертальний

.

.

 

 Момент імпульсу матеріальної точки:

 

  Векторний добуток радіус-вектора траєкторії матеріальної точки масою  на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки відносно осі обертання:

 

.

 

Напрям вектора  (за правилом правого гвинта) показано на рис. 6.

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Момент імпульсу матеріальної точки () направлений перпендикулярно до площини, проведеної через  і  і утворює з ними праву трійку векторів. (Тобто при русі від кінця вектора  до  правий гвинт покаже напрям вектора ).

 

У скалярній формі

 

.

 

Враховуючи, що при русі по колу радіус – вектор і вектор лінійної швидкості для і-тої матеріальної точки взаємно перпендикулярні:

 

=1.

 

Отже для обертального руху момент імпульсу матеріальної точки набере вигляду:

 

.

 Момент сили, що діє на і-ту матеріальну точку:

 

  Векторний добуток радіус-вектора , проведеного в точку прикладання сили , на цю силу називається моментом сили  , що діє на і-ту матеріальну точку відносно осі обертання:

 

.

 

Векторне представлення моменту сили подано на рисунку 7.

 

В скалярній формі

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7

 

 

Вважаючи, що

,

 

.

 

Величина , що рівна довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрям дії сили називається плечем сили .

Тема 3. Динаміка поступального руху матеріальної точки.

Динаміка поступального руху матеріальної точки  (2 год.)

Мета: Ввести поняття інерціальних систем відліку, маси, сили.

План

  1.  Пряма та обернена задачі динаміки.
  2.  Інерціальні системи відліку.
  3.  Закони Ньютона.

Динаміка поступального руху матеріальної точки

і твердого тіла

Основні поняття динаміки поступального руху матеріальної точки і твердого тіла:

 

Розділ механіки, який вивчає рух матеріальних тіл разом з фізичними причинами, які викликають цей рух, називається динамікою.

 

Як ми вже знаємо, матеріальна точка – це фізичне тіло, розмірами якого, за даних умов, можна знехтувати.

 

Відомо, що всяке фізичне тіло має розміри і форму,  які можуть змінюватись внаслідок тих чи інших причин. У тих випадках, коли пружні властивості тіла не впливають на його рух, для спрощення фізичних задач, вводять поняття “абсолютно твердого тіла”.

 

Абсолютно твердим називають тіло, відстань між будь-якими двома точками якого залишається постійною, тобто форма і розміри такого тіла не змінюються, при всякій дії на нього сторонніх тіл.

 

Поступальним рухом абсолютно твердого тіла називається такий рух, при якому  будь-яка пряма, що жорстко зв’язана з тілом, при переміщенні останнього залишається паралельною сама собі.

 

 

Рис.1

 

Інакше кажучи, при поступальному русі тіла всі його точки описують однакові траекторії в просторі. Прикладами поступального руху є: рух вагона по залізниці, рух кабіни чортового колеса, яка вільно закріплена на його ободі.

 

Перший закон Ньютона і поняття інерціальної системи відліку

 

а) I закон Ньютона

I закон Ньютона формулюється так: всяке тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, поки дія з боку інших тіл не змусить його змінити цей стан. I закон Ньютона називається ще законом інерції.

 

Властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на них інших тіл називають інертністю.

 

Знайдемо, в яких системах тіло, на яке не діють інші тіла, буде збрігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху.

 

б) інерціальна і неінерціальна системи відліку

 

Нехай у вагоні, що рухається прямолінійно і рівномірно, знаходиться у спокої тіло (Т).

 

Рис.2

 

Для спостерігача у рухомому вагоні (в системі відліку ) тіло знаходиться у стані спокою (= 0) .Для спостерігача в нерухомій системі відліку  тіло перебуває у прямолінійному і рівномірному русі.

 

Тобто в обох системах виконується I закон Ньютона.Такі системи, в яких I закон Ньютона виконується повністю, називають інерціальними системами відліку.

 

Якщо в системі відліку на тіло не діють інші тіла або сили, і тіло рухається відносно даної системи рівномірно і прямолінійно (тобто за інерцією) або перебуває у стані спокою, то таку систему називають інерціальною.

 

Нехай тепер вагон різко гальмує, тобто починає рухатись з прискоренням (рівносповільнено). Спостерігач в точці  (тобто у вагоні) помітить, що тіло без причини почало ковзати вздовж  (як люди в тролейбусі, що різко гальмує). Спостерігач же в т.буде бачити подальший рівномірний прямолінійний рух тіла в напрямі , поки не стане відчутною дія сили тертя тіла в підлогу вагона.

 

Системи, в яких не виконується I закон Ньютона, називаються неінерціальними (в нашому випадку вагон, що гальмує).

 

Системи, що рухаються з прискоренням відносно інерціальної, називають  неінерціальними системами відліку.

 

в) принцип відносності Галілея

 

Повернемось до вагона, що рухається прямолінійно і рівномірно відносно системи, що зв’язана з Землею. Поставимо собі задачу: визначити, чи рухається вагон прямолінійно і рівномірно, чи знаходиться в стані спокою відносно системи . Проведемо дослідження періоду і орієнтації площини коливань математичного маятника, закріпленого до стелі вагону.

 

Математичним маятником називається точкове тіло, що закріплене на невагомій нерозтяжній нитці і виконує коливальні рухи під дією сили ваги.

 

 

 

 

 

 

 

   

Рис. 3

 

Результати таких досліджень показують, що як в , так і в  період коливань і орієнтація площини коливань відносно осей є однаковими і незмінними.

 

Подібні експерименти привели Галілея до формулювання принципу відносності: ніякі механічні досліди і спостереження, що проводяться всередині інерціальної системи, не дають можливості визначити: рухається дана система прямолінійно і рівномірно чи перебуває в спокої відносно іншої інерціальної системи.

 

На закінчення зауважимо, що “найближчою” інерціальною системою можна вважати геліоцентричну систему: центр відліку знаходиться на Сонці, а осі направлені на відповідні зорі.

 

В багатьох дослідженнях Землю також можна вважати інерціальною системою, якщо на результати цих дослідів не впливає добове і річне обертання Землі (обертальний рух – це рух з прискоренням).

 

Другий закон Ньютона     

а) II закон Ньютона

 

Мірою механічної дії одного тіла чи системи тіл на інше тіло є векторна величина, яка називається силою.

 

Механічна взаємодія може здійснюватись безпосередньо через контакт між тілами (сила тертя), або за допомогою відповідних полів (гравітаційне, електромагнітне…).

 

Відомо, що здатність фізичних тіл протистояти зміні свого стану під впливом інших тіл називається інертністю.

 

Кількісною характеристикою інертності є маса тіла. Маса тіла є величина адитивна, тобто маса фізичного тіла рівна сумі мас частин, з яких воно складається.

 

Дія сили на тіло масою  викликає зміну його швидкості, тобто появу прискорення. Чим більша сила – тим більше прискорення. Чим більша маса тіла, при сталій силі, тим менше прискорення одержує тіло. Тобто:

 

~, ~.

 

Узагальнюючи, можна записати:

 

.

 

Одержали математичний запис II закону Ньютона або інакше основний закон динаміки поступального руху матеріальної точки. Його формулювання: прискорення матеріальної точки прямо пропорційне прикладеній до неї силі, співпадає з силою за напрямом і обернено пропорційне масі матеріальної точки.

 

б) Імпульс сили

 

Відомо, що вектор прискорення

 

.

 

Тоді, відповідно до другого закону Ньютона

 

,

 

а отже

 

.

 

Маса не залежить від часу, тому внесемо її під знак диференціалу:

 

.

 

Величина   - імпульс матеріальної точки (кількість руху), тому

 

.

 

Тобто: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки рівна діючій на неї силі.

 

Якщо на матеріальну точку (чи на довільне тіло) діє кілька сил одночасно, то остання формула запишеться у вигляді

 

,

 

тут     - повний приріст імпульсу тіла чи матеріальної точки.

 

Останні два рівняння називають рівняннями руху. Перепишемо рівняння руху у такому вигляді:

 

 

Величина, що рівна добутку сили на час її дії , називається імпульсом сили.

 

Відповідно до останнього запису зміна імпульсу тіла рівна одержаному ним імпульсу сили і має однаковий з ним напрям.

 

Третій закон Ньютона

Кількісний опис механічної взаємодії між тілами дає третій закон Ньютона: в ізольованій системі всяка дія тіл одне на одне має характер взаємодії - якщо тіло 1 діє на тіло 2 з силою , то тіло 2 діє на тіло 1 з силою , причому

 

.

 

Інакше: сили, з якими два тіла в ізольованій системі діють одне на одного, рівні за величиною і протилежні за напрямом.

 

Закон збереження імпульсу механічної системи

Закони Ньютона дозволяють перейти від динаміки точки до динаміки будь-якої механічної системи. Нехай механічна система складається з n матеріальних точок.

 

Зовнішніми тілами будемо називати всі тіла, що не входять в дану систему.

 

Зовнішніми силами будуть ті сили, які діють на дану систему з боку зовнішніх тіл.

 

Сили взаємодії між матеріальними точками системи є внутрішніми силами.

 

Для кожної з n точок системи запишемо рівняння руху:

 

 

В даній системі рівнянь  - сила, що діє з боку -ного тіла на -не.

1). Якщо система ізольована, тобто така, що дія зовнішніх сил на неї виключається, то:

а) ;

б) Враховуючи, що за III законом Ньютона , ,… знайдемо сумарний імпульс системи. Для цього почленно додамо рівняння руху нашої системи. Одержимо:

 

,

 

тобто

 

Отримали закон збереження імпульсу ізольованої системи: сумарний імпульс (кількість руху) ізольованої системи є величина постійна.

 

2). Якщо система неізольована, то

 

.

 

Тоді

,

 

або

 

Отримали закон зміни імпульсу механічної системи: зміна імпульсу механічної системи за час рівна сумарному вектору зовнішніх сил, що діють на систему протягом цього часу.

 

Теорема про рух центра мас механічної системи:

 

Для характеристики руху системи матеріальних точок вводять поняття центра мас системи.

 

Центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок називається точка С, радіус-вектор якої рівний відношенню суми добутків мас всіх точок системи на їх радіус-вектори до маси всієї системи:

 

,

де

 

.

 

Швидкість руху центра мас системи визначим так:

 

.

 

Тоді

.

 

Враховуючи, що

,

 

остаточно отримаємо

,

 

де - маса системи матеріальних точок.

 

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:

 

.

 

Продиференціюємо даний вираз по часу:

 

.

 

Враховуючи закон зміни імпульсу механічної системи одержимо математичний запис теореми про рух центра мас:

 

.

 

Теорема про рух центра мас: центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої рівна масі всієї системи і на яку діє зовнішня сила, що дорівнює рівнодійній всіх зовнішніх сил, що діють на дану систему.

 

Зауваження. Внутрішні сили взаємодії частин системи між собою можуть викликати зміни швидкостей цих частин системи, але не можуть вплинути на сумарний імпульс системи, чи швидкість її центра мас.

 

Центр мас системи співпадає з центром ваги системи в однорідному полі тяжіння.

 

Центром ваги називають точку, до якої прикладають рівнодійну всіх сил, що діють на частини системи в однорідному полі тяжіння.

 

Розмірність сили в СІ:

.

Розмірність імпульсу:

.

Тема 4.  Закони збереження в механіці.

Закони збереження енергії та імпульсу в механіці (2 год.)

Мета: Навчитись визначати імпульс тіла. Вивчити закони збереження імпульсу та механічної енергії.

План

  1.  Імпульс. Закон збереження імпульсу.
  2.  Центр мас.
  3.  Робота і потужність.
  4.  Закон збереження енергії в механіці.

Закон збереження механічної енергії

У механіці закон збереження енергії стверджує, що в замкненій системі частинок, повна енергія, що є сумою кінетичної і потенціальної енергії не залежить від часу, тобто єінтегралом руху. Закон збереження енергії справедливий тільки для замкнених систем, тобто за умови відсутності зовнішніх полів чи взаємодій.

Сили взаємодії між тілами, для яких виконується закон збереження механічної енергії називаються консервативними силами. Закон збереження механічної енергії не виконується для сил тертя, оскільки за наявності сил тертя відбувається перетворення механічної енергії в теплову.

Математичне формулювання

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами  за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

,

де  - швидкості матеріальних точок, а  - сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили, як суму потенціальних сил  і непотенціальних сил , а потенціальні сили записати у вигляді

,

то, домножуючи усі рівняння на  і можна отримати

Перша сума в правій частині рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруюючи рівняння від моменту часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

,

де інтегрування проводиться вздовж траєкторій руху матеріальних точок.

Таким чином,

Зміна механічної енергії системи матеріальних точок з часом дорівнює роботі непотенціальних сил.

Закон збереження енергії в механіці виконується тільки для систем, у яких всі сили потенціальні[4].

Ще на ранніх етапах розвитку фізики рівняння механіки використовувалися до небесних тіл, для яких непотенціальні сили, наприклад, сила тертя, дуже малі і ними можна знехтувати. Непотенціальних сил не існує також у мікросвіті атомів і молекул. В цих системах закон збереження механічної енергії відіграє ключову роль. А от на побутовому рівні, в світі земних природних явищ і машин, механічна енергія не зберігається. Тому повне формулювання закону збереження енергії вимагає вивчення теплових явищ.

Однорідність часу

Закон збереження енергії пов'язаний із однорідністю часу, а саме із принципом, згідно з яким жодна мить жодним чином не відрізняється від іншої, тож одинакові фізичні системи за одинакових умов завжди еволюціонуватимуть однаково. Щодо цього закон збереження енергії є частковим випадком загальної теореми Нетер.

З точки зору аналітичної механіки, однорідність часу зводиться до твердження, що механіка Лагранжа чи Гамільтона класичної системи не залежить від часу безпосередньо, а лише опосередковано, через узагальнені координати.

В квантовій фізиці у випадку, коли гамільтоніан фізичної системи не залежеть від часу, можна перейти від часового рівняння Шредінгера до стаціонарного рівняння Шредінгера. В такому випадку енергія стає інтегралом руху, але приймає лише певні значення, визначені із розв'язку відповідної задачі на власні значення. Говорять, що енергіяквантується.

Закон збереження енергії в термодинаміці

У термодинаміці закон збереження енергії встановлює співвідношення між внутрішньою енергією тіла, кількістю теплоти, переданою тілу і виконаною роботою.

Термодинаміка вивчає здебільшого нерухомі тіла, кінетична і потенціальна енергія яких залишається незмінною. Однак, ці тіла можуть виконувати роботу над іншими тілами, якщо, наприклад, змінювати їхню температуру. Отже, оскільки нагріте тіло може виконувати роботу, воно має певну енергію. Ця енергія отримала назву внутрішньої енергії. З точки зору фізики мікросвіту - фізики атомів і молекул, внутрішня енергія тіла є сумою кінетичних і потенціальних енергії частинок, з яких це тіло складається. Однак, з огляду на велику кількість та малі розміри частинок і загалом невідомі закони їхньої взаємодії, внутрішню енергію тіла визначити важко, виходячи з його будови. Проте очевидно, що вона залежить від температури тіла.

Визначальним моментом для встановлення закону збереження енергії стало встановлення еквівалентності між теплом, кількісною характеристикою якого є кількість теплоти, і механічною роботою. Якщо тілу надати певну кількість теплоти Q, то частина її піде на виконання механічної роботи A, а частина на збільшення внутрішньої енергії тіла:

,

Ця формула складає основу першого закону термодинаміки.

Аналогічним чином при виконанні механічної роботи, частина енергії втрачається у вигляді тепла, тобто йде на підвищення температури тіла й навколишнього середовища.

Загалом сумарний притік енергії в систему мусить дорівнювати сумарному відтоку енергії з системи, плюс зміна енергії тіл, з яких складається сама система. Іншими словами,енергія може бути перетворена з одної форми в іншу, але не може бути створена чи знищена.

Закон збереження енергії виключає можливість створення вічного двигуна (perpetuum mobile) першого роду.

Рівняння неперервності

В неізольованих фізичних системах енергія може перепливати із однієї просторової частини системи до іншої. В такому випадку закон збереження енергії набирає вигляду рівняння неперервності

,

де  - густина енергії - густина потоку енергії.

Це рівняння означає, що зміна енергії певного елементарного об'єму з часом дорівнює різниці між притоком енергії в цей елементарний об'єм та відтоком енергії з нього.

Такий вигляд має, зокрема рівняння теплопровідності.

Перетворення енергії

Енергія одного виду може перетворюватися в енергію іншого виду, наприклад, хімічна енергія може перетворюватися в теплову, а теплова енергія в механічну тощо.

В молекулі хімічної сполуки атоми зв'язані між собою хімічними зв'язками. Для того, щоб розірвати хімічний зв'язок потрібно затратити певну енергію, значення якої визначається типом зв'язку. В одних молекулах енергія зв'язку більша, в інших менша. Так, енергія зв'язку в молекулі вуглекислого газу СО2 більша, ніж сумарна енергія атома карбону у вугіллі й атомів оксигену в молекулі кисню O2. Тому можлива хімічна реакція горіння, внаслідок якої утворюється вуглекислий газ, а залишки хімічної енергії передаються поступальному, тепловому руху молекул, тобто перетворюються в тепло. Виділене внаслідок горіння тепло можна використати, наприклад, для нагріву пари впаровій турбіні, яка, обертаючись, створює електрорушійну силу в генераторі, продукуючи електроенергію. Електроенергія може, в свою чергу використовуватися для виконання механічної роботи, наприклад, підйому ліфта, або ж для освітлення, де електрична енергія перетворюється в енергію електромагнітних хвиль - світла.

Закон збереження моменту імпульсу: стверджує, що момент кількості руху у замкненій системі зберігається під час еволюції цієї системи з часом.

Момент імпульсу замкнутої системи тіл залишається незмінним при будь-яких взаємодіях тіл системи.

Закон збереження кількості руху є наслідком ізотропності простору.

Механіка Лагранжа

Найпростіше закон збереження імпульсу формулюється й доводиться в Лагранжевій механіці.

Ізотропність простору значить, що функція Лагранжа L не залежить від вибору системи координат. Виберемо будь-яку вісь й візьмемо за узагальнену координату кут повороту  навколо цієї осі. Незалежність функції Лагранжа від цього кута означає

,

тобто момент сили дорівнює нулю.

Тоді, Згідно з рівнянням Лагранжа

тобто часова похідна від моменту імпульсу дорівнює нулю. Сам момент імпульсу тоді є інтегралом руху.

.

Квантова механіка

В квантовій механіці момент імпульсу не лише зберігається, а й квантується, тобто може мати лише певні, цілком визначені значення. Принцип невизначеності Гайзенберганакладає обмеження на закон збереження. Одночасно визначеними можуть бути лише одна із просторових компонент моменту кількості руху й квадрат моменту кількості руху. Інші дві просторові компоненти залишаються в такому стані абсолютно невизначеними.

Додатково заплутує ситуацію така властивість квантових часток, як спін. Закон збереження моменту імпульсу справедливий лише при малих швидкостях руху, коли обертовий момент не взаємодіє із спіном. Значна спін-орбітальна взаємодія призводить до того, що не зберігаються ані спін, ані кутовий момент зокрема, а лише повний момент, що є сумою спіну й кутового моменту.

Механічна робота та потужність   

Механічна робота - це скалярна фізична величина, яка є мірою одної дії сили Р під час переміщення 8 точки її прикладання.   За значенням і напрямком постійна, а рух -ййний, то робота визначається'за формулою:

де a  кут між напрямком сили і переміщенням тіла .Одиниця роботи у системі СІ - Дж. Дж = Н-м.

Потужність - скалярна фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи А до проміжку часу /, протягом якого вона була виконана: 

Одиниця потужності у системі СІ - Вт. Вт = Дж/с.

Проаналізуємо формулу роботи . Робота - алгебраїчна величина. Робота може бути додатною (А > 0) при гострому куті (а < П/2 ), та  від'ємною (А < 0) при тупому куті (а>-П/2). Наприклад, робота сили тяжіння при вільному падінні V те з висоти /г - додатна, А = тgН (а = 0) 

Робота сил тертя завжди від'ємна, оскільки під час руху сила тертя спрямована в бік, протилежний переміщенню (а = П ):

Оточуючий нас світ є матеріальним, тобто існує незалежно від нашої свідомості. Філософська категорія для визначення об'єктивної реальності, що відбивається нашою свідомістю, називається матерією. Спосіб існування матерії - це різноманітність форм її руху, а формами існування є простір і час.

Імпульс тіла   

Мірою механічного руху, яка визначає можливість передачі механічного руху від одного тіла до іншого, є кількість руху абоімпульс тіла Р. Імпульс тіла - це векторна фізична величина, напрям якої співпадає з напрямом швидкості v :Р=M*V.Повний імпульс системи тіл Р дорівнює векторний сумі імпульсів окремих тіл: 

Якщо на систему тіл зовнішні сили не діють або вони врівноважені, то така система називається замкнутою,, для неї виконується закон збереження імпульсу: повний імпульс зсщгеиутої системи тіл залишається незмінним за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою:

Будь-яких сильних взаємодіях тіл або їх частин, наприклад іостріл з рушниці і тому подібне, можна розглядати (йрчі тіла як замкнуту систему, оскільки сили взаємодії Ь більші за інші зовнішні сили.

 Для  замкнутої системи сума проекцій імпульсу на будь-який ; (координатну вісь) не змінюється:

це застосовується при розв'язанні задач на закон збере-^імпульсу. На законі збереження імпульсу заснований ц реактивного руху, що виникає при відокремленні від тіла, одиться в стані спокою, деякої його частини з якоюсь швидкістю.

За законом збереження імпульсу:  або   

 тобто друга частина тіла отримає такий же самий імпульс, що і відокремлена частина, тільки спря-гис.і.зи           мований протилежно.

Енергія - це загальна кількісна міра руху і взаємодії всіх видів матерії та їх взаємних перетворень. Таким чином, поняття енергії, як і матерії, є філософською категорією. Однак конкретні види енергії (кінетична, потенціальна, механічна, внутрішня та ін.) мають цілком конкретний фізичний зміст.

Розглянемо роботу при русі тіла масою т по гладкій горизонтальній поверхні під дією сили F, спрямованої також горизонтально. Робота цієї сили , де S - переміщення або шлях. За другим законом Ньютона  Рух тіла, рівно-прискорений, тому  з урахуванням цього роботи

Величина    називається кінетичною енергією, тобтоенергією тіла, що рухається. Таким 

чином, робота постійної сили, яка переміщує тіло горизонтально при відсутності тертя, дорівнює його кінетичній енергії або зміні кінетичної енергії:    

Це положення називають теоремою про кінетичну енергію.

Кінетична енергія, як і швидкість, залежить від системи відліку, тоїбт® є відносною величиною.

«•ДГіла, що взаємодіють гравітаційними та електричними силами, вважаютьаоть також і потенціальною енергією. Гравітаційна та елейРрична взаємодії здійснюються за допомогою гравітаційного та електричного полів. Поле — це об'єктивна реальність (вид матерії),якої здійснюється взаємодія. Гравітаційні та електричні сили мають важливу властивість: робота цих сил не залежить від траєкторії руху, а залежить тільки від початкового  положення тіла.

і^ЦНаприклад, робота по переміщенню тіла масою т в полі тя3|№їя Землі з точки 7 в точку 2 по різним траєкторіям а, однакова: 

Знак "мінус" для А враховує, що при переміщенні тіла з точки / в точку 2 робота здійснюється проти сили тяжіння, тому що напрямок переміщення і напрямок сили складають тупий кут(0<а<П).Робота сили тяжіння по переміщенню того ж тіла з точки 2 в точку / по будь-якій траєкторіїдодатна (0<а<-^-) 

Очевидно, що для будь-якої замкненої траєкторії робота сили Я буде дорівнювати нулю. Поле сил, робота яких по будь-якій траєкторії (контуру) дорівнює нулю, називається ціальним, а сили - консервативними. Роботу цих сил можна -йти як різницю потенціальних енергій. В визначенням: робота сил потенціального поля по перемі-тіла з точки 1 в точку 2 дорівнює різниці потенціальних і в цих точках:

Перепишемо цей вираз таким чином:

Кофіціент корисної дії   

Коефіцієнт корисної дії машин (механізмів) дорівнює відношенню корисної роботи Ak, яка виконується машиною, до всієї  виконаної (повної) роботи Az : 

   або    

 Враховуючи, що    або     

Na - корисна, а Nz - повна потужність.

Тема 5. Динаміка обертального руху.

Динаміка обертального руху. (2 год.)

Мета: Навчитись визначати момент сили та імпульсу та розраховувати кінетичну енергію обертального руху.

План

  1.  Кінетична енергія обертального руху.
  2.  Момент енерції. Теорема Штейнера.
  3.  Основне рівняння обертального руху.
  4.  Момент сили. Момент імпульсу.
  5.  Закон збереження моменту імпульсу.

Рівняння динаміки обертального руху

 

Нехай система складається з n матеріальних точок так, що маса системи (твердого тіла)

,

 

де  – маса і-тої матеріальної точки.

 

Розглянемо обертальний рух такої системи відносно осі обертання. Положення і-тої матеріальної точки системи визначається радіус-вектором , проведеним з центра мас системи. Позначимо  силу, що діє на і-ту точку з боку к-тої,  - рівнодійну зовнішніх сил, що діють наі-ту точку.

 

Тоді за другим законом Ньютон, для і-тої матеріальної точки рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

 

Помножимо векторно це рівняння на :

 

.

 

Так як вектор  співнаправлений з вектором , то знак диференціала зліва виносимо за векторний добуток. Покажемо це:

 

.

 

Враховуючи, що ,

 

=0.

 

Отже рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

Перепишемо наше рівняння руху і-тої матеріальної точки враховуючи поняття моменту імпульсу і моменту сили:         

 

.

 

Для системи n - матеріальних точок рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

Величина

 

називається результуючим моментом зовнішніх сил системи точок (твердого тіла) відносно осі обертання.

Величина

 

 

називається результуючим момент імпульсу системи точок (твердого тіла) відносно осі обертання.

 

Відповідно до ІІІ закону Ньютона

 

=0,

 

бо при такому сумуванні завжди наявні пари сил .

 

  Враховуючи останні заміни отримуємо основний закон динаміки обертального руху системи матеріальних точок (твердого тіла):

 

.

 

Його формулювання: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює результуючому моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.

 

4.8. Момент імпульсу і момент інерції

 

Відомо, що для і-тої матеріальної точки момент імпульсу в скалярній формі задається формулою:

.

Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову :

 

,

 

то вираз для моменту імпульсу набере вигляду:

 

,

або

.

  

Величина

 

називається моментом інерції і-тої матеріальної точки абсолютно твердого тіла відносно осі, що проходить через його центр мас. Тодімомент імпульсу матеріальної точки запишемо:

 

.

 

Враховуючи, що момент інерції є адитивною величиною, тобто

 

,

 

момент імпульсу абсолютно твердого тіла (системи матеріальних точок) запишемо як суму моментів імпульсу матеріальних точок, що складають дане тіло:

 

,

 

.

 

4.9. Момент сили і момент інерції

 

Відповідно до  основним законом динаміки обертального руху

 

.

 

Відомо, що момент імпульсу тіла можна представити через момент інерції:

 

.

 

Тоді

.

 

 

Враховуючи, що кутове прискорення визначається виразом:

 

 

,

 

одержимо формулу для моменту сили представленого через момент інерції:

 

.

 

  Зауваження. Момент сили вважається додатнім, якщо кутове прискорення, що ним спричинене, більше від нуля, і навпаки.

                               

4.10. Момент інерції геометричного тіла

 

Щоб знайти момент інерції довільного твердого тіла відносно осі обертання, що проходить через його центр ваги, таке тіло уявно ділять на безконечне число матеріальних точок чи частин, з масою кожна, і сумують моменти інерції всіх цих частин, замінюючи суму в формулі для  інтегралом:

 

,

 

де - модуль радіус-вектора проведеного від осі обертання до елемента .

 

Для прикладу знайдемо момент інерції однорідного диска радіусом . Виберемо на диску круговий елемент радіусом  і товщиною   з масою  (рис. 8). За означенням

 

 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 8

 

Виразимо елемент маси через густину речовини диска і елемент об’єму:

 

.

 

Тоді момент інерції запишемо:

 

.

 

Об’єм елемента маси виразимо як об’єм пустотілого циліндра з внутрішнім радіусом , висотою  і товщиною стінки :

 

.

 

Підставивши такий вираз для у формулу моменту інерції, одержимо:

 

;

 

.

 

Враховуючи, що масу диска можна виразити як добуток об’єму на густину:

 

,

 

для моменту інерції диска відносно осі, що проходить через його центр маси  одержимо:

.

 

   Подамо без доведення формули моменту інерції відносно осі, що проходить через центр маси для таких геометричних фігур:

стержня -     ,

де - довжина стержня;

кулі -            ,

тут - радіус кулі.

 

4.11. Теорема Штейнера. Закон додавання моментів інерції

     

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі можна розрахувати за теоремою Штейнера: якщо вісь обертання (О) проходить не через центр маси тіла, то момент інерції його () відносно цієї осі рівний сумі моменту інерції () відносно осі, що проходить через центр маси (О0) і добутку маси тіла на квадрат відстані () між осями (рис. 9):

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 9

Якщо система, що обертається навколо нерухомої осі, складається з n тіл, то сумарний момент інерції такої системи буде рівний сумі моментів інерції її складових (закон додавання моментів інерції):

 

.

4.12. Закон збереження моменту імпульсу

 

1). Закон збереження моменту імпульсу: якщо результуючий момент зовнішніх сил, що діють на тіло відносно нерухомої осі тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу такого тіла відносно цієї осі з бігом часу не змінюється.

Покажемо це математично. З основного закону динаміки обертального руху

.

 

Якщо, відповідно до формулювання, прийняти

 

,

то

,

а це означає, що

.

 

Тобто, у випадку , постійним є абсолютне значення і напрям вектора .

  Зауваження. В ізольованій системі момент зовнішніх сил рівний нулю, тому для такої системи завжди виконується закон збереження моменту імпульсу.

 

2). Приклади виконання закону збереження моменту імпульсу

 

Гіроскоп

  У справедливості закону збереження моменту імпульсу можна переконатись на досліді з гіроскопом.

Гіроскопом називають однорідне симетричне тіло, яке швидко обертається навколо своєї осі симетрії. Гіроскоп, зображений на рисунку 10, має три ступені вільності відносно осей . Якщо знехтувати силами тертя, то момент довільної сили, що передається гіроскопу через стояк, буде рівний нулю (бо початок вектора будь-якої сили завжди буде проходити через центр мас гіроскопа, а значить, момент  такої  сили буде  рівний нулю). Тому при будь-яких діях на стояк, гіроскоп зберігатиме незмінним як значення, так і напрям вектора моменту імпульсу.

 

Збереження свого моменту імпульсу  гіроскопом можна спостерігати і тоді, коли ми захочемо повернути вісь в іншому напрямі. Щоб це зробити, необхідно прикласти значних зусиль, тобто значну силу, величина моменту якої рівна:

.

 

  В реальних ситуаціях при великій масі і швидкості обертання гіроскопа сили, що можуть змінити величину і напрям його моменту

 

 

 

 

 

 

 

 

 


        

 

 

Рис. 10

 

імпульсу, часто не досягають такого значення, і  залишається незмінним. Якщо з віссю  такого гіроскопа жорстко з’єднати корпус, наприклад, автомобіля, то це не дозволить йому перевернутись на крутому віражі. Якщо ж з віссю  гіроскопа  з’єднати рульовий механізм літака, одержимо пристрій, що носить назву “автопілот”.

 

Платформа Жуковського

 

Як відомо, . Розглянемо приклад із платформою Жуковського, яка може обертатись з малим тертям навколо своєї осі симетрії (рис.11). Якщо в центрі платформи стоїть людина з розпростертими руками (рис. 11,а) і платформа обертається, то маємо певні значення  та , а значить і .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                         а)               Рис. 11                      б)

 

  Коли людина опустить руки (рис. 11,б), момент інерції  її зменшиться, а значить зменшиться момент інерції системи людина-платформа, і як показує експеримент, у стільки ж разів збільшиться . При цьому добуток  залишиться постійним.

 

Тобто якщо момент зовнішніх сил  , то .

 

4.13. Кінетична енергія тіла, що обертається

 

Кінетична енергія поступального руху і-тої матеріальної точки системи рівна

.

 

Якщо точка обертається відносно нерухомої осі з кутовою швидкістю , то

 

,

 

де  – відстань від і-тої точки до осі обертання.

 

  Підставивши таке значення  у формулу для кінетичної енергії, одержимо вираз, що визначає кінетичну енергію - тої матеріальної точки при обертальному русі:

 

,

 

.

Для системи матеріальних точок

.

 

Враховуючи, що  (момент інерції системи), для кінетичної енергії обертального руху абсолютно твердого тіла (системи матеріальних точок ) одержимо вираз:

 

.

 

Зауваження. Якщо абсолютно тверде тіло рухається поступально з швидкістю і при цьому обертається навколо осі, що проходить через його центр мас з кутовою швидкістю  (куля по горизонтальній площині), то його повна кінетична енергія визначається формулою:

 

.

 

У цій формулі перший доданок відповідає за кінетичну енергію поступального руху, другий – за кінетичну енергію обертального руху.

 

 Тема 6.Механічний принцип відносності.

Механічний принцип відносності. (2 год.)

Мета: Ввести поняття теорії відносності.

План

  1.  Механічний принцип відносності.
  2.  Перетворення Галілея

Принцип відносності — це фундаментальний фізичний принцип, що включає в себе такі постулати:

  1.  Існують інерційні системи відліку (СВ) — такі СВ в яких вільний рух (при якому на тіло не діє ніяка сила) відбувається рівномірно і прямолінійно
  2.  Всі закони природи однакові в інерційних СВ.

Відрізняють два принципи відносності:

  •  принцип відносності Галілея, в якому робиться припущення що взаємодія між тілами відбувається миттєво. Цей принцип лежить в основі класичної механіки, з нього також випливає що час абсолютний — він протікає однаково у будь-якій СВ;
  •  принцип відносності Ейнштейна, в якому робиться припущення що взаємодія між тілами поширюється з скінченною швидкістю.Цей принцип лежить в основі СТВ,створеної Енштейном. Як наслідок, в цій теорії поняття абсолютного часу немає — одна і та ж подія відбувається(триває) різний час в різних СВ.

Перетворення Галілея та механічний принцип відносності

Галілео Галілей (1564 - 1642)

Розглянемо дві системи відліку (СВ): інерціальна система відліку XYZ, яка є нерухомою, та рухому інерціальну систему відліку X’YZ , котра рухається поступально зі швидкістю u' вздовж осі ОX. Нехай точки О, О’ в момент часу t0 = 0 співпадають.


Положення довільної точки М в рухомій та нерухомій СВ визначаються відповідно:

 К (XYZ):      М(x,y,z)

 К’(XYZ’):  M(x’,y’,z’).


Перетворення координат між СВ К та К

x = x’+ ut

y = y

z = z

називаються перетвореннями Галілея.

Якщо в системі К знаходиться лінійка АВ, довжини l = x2 – x1, то в рухомій системі К її довжина відповідно дорівнює:

  l’ = x2’ – x1’ = ( x2 – ut) – ( x1 – ut ) = x2 – x1 = l

Сукупність перетворень Галілея слід доповнити ще одним рівнянням, котре не завжди записують, однак воно має велике значення і глибокий зміст:

t = t

В класичній (ньютонівській) механіці приймається, що хід часу не залежить від відносного руху систем відліку, тобто він є однаковим у всіх інерціальних системах відліку ( системах, котрі рухаються рівномірно і поступально одна відносно іншої).


Нехай точка М(x’,y’,z’) в системі К’ рухається зі швидкістю v вздовж осі Ох. За час Δt вона здійснить переміщенняS1а сама система К переміститься відносно К на вектор переміщення S2. Загальне переміщення S в абсолютній системі координат:

S = S1 + S2

Поділивши останнє співвідношення на час Δt отримаємо класичний закон додавання швидкостей

vv1 + v2

Вперше його отримав Галілей в 1638 році.

Сутність перетворень Галілея полягає в тому, що якщо ми маємо інерціальну систему відліку К , то довільна система К’, котра рухається відносно К прямолінійно та рівномірно, буде також інерціальною.

А саме для інерціальних систем справедливим є механічний принцип відносності:

У всіх ІСВ всі механічні явища протікають однаково.

Вперше його сформулював Г.Галілей у 1590 році, і він виконується в рамках класичної механіки.

[При переході до механіки великих швидкостей – релятивістської механіки – перетворення Галілея не виконуються. Правильними будуть перетворення Лоренца ( перетворення Галілея є граничним випадком перетворень Лоренца при v<< c).

Довжина відрізка АВ в рухомій СВ змінить свою величину, як і проміжок часу між двома подіями – час в різних ІСВ протікає по-різному. Саме цей висновок надає нам теоретичну можливість переміщуватись у часі.

Механічний рух. Система відліку. Відносність руху. Матеріальна точка. Траєкторія. Шлях і переміщення. Швидкість. Додавання швидкостей. Прискорення.

 

    Зміна положення даного тіла (або його частини) відносно інших тіл (частин тіла) з часом називається   механічним рухом.

 

    В природі ми часто стикаємося з механічним рухом:

·                   переміщення людини по землі;

·                   рух кінцівок людини;

·                   рух літака;

·                   зміна положення частин працюючого прилада або станка і т.п.

    Один і той самий рух, який розглянуто відносно різних тіл, буде здаватися іншим.

    Тобто, для дослідника, що знаходиться на землі, пасажир, який знаходиться в потязі, рухається, а для людини, що знаходиться у вагоні, він сам нерухомий. Тому, говорячі про рух, потрібно неодмінно вказувати систему відліку.

    Система відліку – це тіло, годинник,  і система координат, яка пов язана  з цим тілом.

    З цого можна зробити висновок, що рух завжди розглядається відносно чогось .

     Часто, щоб вивчити рух тіла, буває достатньо прослідкувати за рухом будь-якої однієї точки цього тіла. Наприклад, рух санчат з гірки і рух будь-якої точки санчат будуть однаковими.

   

Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого можна знехтувати за даних умов.

    Траєкторія  - лінія в просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка.

    Шлях -  довжина траєкторії  (l).

    Переміщення - напрямлений прямолінійний відрізок, з`єднуючий початкову і кінцеву точки траєкторії.

 

Швидкість – відношення переміщення матеріальної точки (S) до часу (t), за який воно відбулося. Швидкість-вектор характеризує бистроту руху.

V = S/t


                     
Одиниця швидкості:  [V] = м/с

   

Нехай у вагоні, що рухається зі швидкостю V1, йде пасажир зі швидкістю V2відносно вагона. Його швидкість по відношенню до нерухомої системи відліку, пов язаної з пероном, дорівнює векторній сумі V1 і V2:

 

V = V1+V2.

 

 Ця формула є  виразом класичного закону додавання швидкостей.

Якщо хоча б одна зі швидкостей V1, V2 дуже велика (порівняно зі швидкостю світла у вакуумі С), то класичний закон додавання швидкостей вже застосовувати не можна. У випадку дуже великих швидкостей, напрямлених в один бік, використовується формула теорії відносності:

Ця формула є  виразом релятивістського закону додавання швидкостей. ПриV1<< C i V2<<вона переходить у класичну формулу.

    Прискорення – це векторна величина, що характеризує зміну швидкості з часом.

Одиниця прискорення: [a] = м/с2

Рівномірний і рівноприскорений рухи. Графіки залежності кінематичних величин від часу прирівномірному і рівноприскореному рухах.

 

Рівномірний рух

    Рівномірний прямолінійний рух – це рух із постійною швидкістю.

 

Рівноприскорений рух

 Нерівномірний рух – рух, під час якого швидкість тіла змінюється з часом.

    

Характеристиками нерівномірного руху є середня швидкість і миттєва швидкість.

     Середня швидкість – відношення всього переміщення до всього часу руху.

 

Миттєва швидкість – це швидкість у даний момент часу ( у даній точці траєкторії).

Прискорення – це бистрота зміни швидкості, яка дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за якого відбулася ця зміна.

                                            

 

 

Звідси :         

 

      Рівнозмінним рухом називають рух, під час якого  а = const.

 

 

 

Рівнозмінний рух може бути рівноприскореним або рівносповільненим.

 

 

Рівномірний рух по колу. Період і частота. Лінійна і кутова швидкості. Доцентрове прискорення.

      

У природі і в техниці найчастіше відбуваються криволінійні рухи, найпростішим з яких є рух по колу.

      Такий рух здійснюють окремі точки колес транспортних засобів, точки лопастей вентиляторів (пропелерів) і корабельних гребних гвинтів, деталей шківово-пасових передач, свердел і т. ін. Самі ж ці тіла обертаються.

     Рівномірний рух матеріальної точки по колу – це такий рух, під час якого ця точка за будь-які рівні проміжки часу проходить дуги однакової довжини.

     Періодом (Т) називається час, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оберт навколо деякої точки.

 

, де Nчисло  обертів

 

       Частота (n) – це число обходів кола, здійснених матеріальною точкою протягом одиниці  часу (в системі СІ – секунди).

 

    

 

Одиниці вимірювання: [T] = c, [n] = об/с.

 

·             Траєкторія – довільна крива


                 

       Миттєва швидкість напрямлена уздовж дотичної до траєкторії
 

 

·             Траєкторія – коло.

    Усюди а  дотичній (напрямлене по нормалі до неї) і тому називаєтьсянормальним прискоренням аn; це прискорення напрямлене до центра кола і тому називається також доцентровим прискоренням адоц.

 

V – лінійна швидкість.  Лінійна швидкість – скаляр

 

При N = 1 шлях дорівнює довжині кола, час дорівнює періоду Т,

 

Кутова швидкість – це швидкість, яка дорівнює бистроті зміни кута між деякими положеннями радіуса кола, який обертається під час руху матеріальної точки по колу.

 

Одиниця вимірювання: [W] = рад/с = с-1.

                                                                            

Зв’язок лінійної і кутової швидкостей:

 

  Навіть рівномірний рух матеріальної точки по колу відбувається з прискоренням, оскільки напрям вектора  V безперервно змінюється під час такого руху.

Скористаємося таким способом виведення формули для прискорення: у довільному масштабі зобразимо для кількох точок кола вектори лінійної швидкості (мал. б), після чого здійснемо паралельне перенесення у просторі векторів, що зображають лінії швидкості, суміщуючи початки стрілок в одній точці. Тепер побудуємо коло, допоміжне до першого, радіусами якого будуть вектори V. (мал.в)

   З мал. в можна бачити, що дотичні до кола вектори можна розглядати як такі, що визначають бистроту зміни радіуса цього кола, тобто прискорення. З мал.в очевиднаперпендикулярність векторів а і V, тому це прискорення називаютьнормальним ап (від англ. – normal).

    Малюнок б свідчить, що перпендикулярний вектору V вектор а напрямлений до центра основного кола, що дає підставу називати це прискорення доцентровим адоц.

 При одноразовому обході матеріальною точкою кола дістаємо (при розгляді основного кола):

      Довжиною допоміжного кола є V, отже розділивши цю довжину на період, одержуємо прискорення:

 з цих виразів  

Звідси , нарешті одержуємо:

Перший закон Ньютона.Інерціальна система відліку. Принцип відносності Галілея.

Перший закон Ньтона: існують такі системи відліку, по відношенню до яких тіло, що рухається поступально, не має прискорення, якщо на нього не діють інші тіла (або якщо дії на нього інших тіл скомпенсовані). Такі системи називають інерціальними.

 

Принцип відносності у класичній механиці (прнцип Галілея):

·        ніякими механічними дослідами всередині інерціальної системи відліку (ІСВ) не можна визначити, чи знаходиться вона у спокої, чи рухається з Vconst;

·        перехід від однієї ІСВ до іншої не впливає на жодний механічний процес (математичний опис будь-якого закону механіки однаковий в усіх ІСВ).

Отже, всі ІСВ рівноправні.

     Систему відліку, пов язану із Землею, можна вважати інерціальною лише приблизно (це пов язано головним чином з добовим обертанням Землі і її обертанням навколо Сонця). Взагалі неможливо вибрати таке тіло відліку, щоб пов язана з ним система відліку була в точності інерціальною. Справа в тому, що у Всесвіті немає тіла, на рух якого не впливали б інші тіла.

     Проте якщо є одна система відліку, яку можна вважати інерціальною, то таких систем відліку можна вказати безліч: досить розглянути ті, що рухаються відносно першої прямолінійно рівномірно.

     Розглянемо, наприклад, систему відліку, пов язану з судном. Якщо воно рухається відносно Землі прямолінійно рівномірно, то людина, яка знаходиться у трюмі, зовсім не помічає цього руху. Усі механічні явища відбуваються так само, як і для нерухомого відносно Землі судна.

     Якщо ж судно збільшує швидкість руху, то людина помітить: тіла, що падають, відхиляються від вертикалі у бік корми судна. Якщо тіла, що падають, відхиляються до правого або лівого борту, це свідчить про поворот судна. В усих цих випадках судно рухається з прискоренням відносно землі, і пов язана з ним система відліку є неінерціальною.

      Принцип відносності в релятивістській механиці (в теорії відносності), який називається принципом Енштейна, узагальнює принцип Галілея, поширюючи його з механічних законів на всі фізичні. Принцип Енштейна доповнює принцип Галілея твердженням про незалежність швидкості світла у вакуумі (с = 3.108м/с) від руху джерела і приймача світла.

 

Принцип відносності Енштейна:

·                   У всіх ІСВ ( інерціальної системи відліку (ІСВ)) всі фізичні закони однаково справедливі.

·                   Для всіх ІСВ швидкість світла в вакуумі однакова і не залежить від руху джерела і приймача світла.

 

Маса. Сила. Додавання сил. Другий закон Ньютона.Третій закон Ньютона.

 

Інертність – властивість тіл поступово змінювати швидкість при зовнішньому впливі. Чим більша маса тіла, тим довше його розганяє деяка сила зі стану спокою до якоїсь даної швидкості.

Маса (т) – міра інертності тіл. Крім того, маса є мірою гравітаційних властивостей тіла.

      Одиницею маси в СІ є кілограм: [m] = кг.

      Еталон кілограма – циліндр із сплаву платіни та ірідію, діаметр і висота циліндра 39 мм.

      Розглянемо два тіла різної маси, на яке діють сили:

 

    

Другий закон Ньютона: числове значення прискорення, одержуваного тілом масою т під дією сили F, прямо пропорційне числовому значенню сили і обернено пропорційне масі тіла, а напрям вектора а збігається з напрямом вектора F.

 

 

   Третій закон Ньтона:сили, з якими будь-які два тіла діють одне на одне, чисельно рівні, протилежно направлені (F1 = F2і діють вздовж однієї прямої.

 

Гравітаційні сили. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух тіла з початковою швидкістю під дією сили тяжіння.

 

    Всі тіла притягаються одне до одного. Така універсальна взаємодія (гравітаційна) тим сильніша, чим масивніші взаємодіючі тіла і чим ближче вони одне до одного.

     Закон всесвітнього тяжіння: будь-які дві матеріальні точки притягають одна одну із силою, яка прямо пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадратові відстані між ними.

  Вона застосована і для однорідних тіл сферичної форми,які не можуть вважатися матеріальними точками, тоді  – відстань між центрами тіл.

 

  Коефіцієнт пропорційності  G – гравітаційна стала.

                                                           H .м2

                         G = 6,67 .10 -11     -------.                                

                                                             кг2

   Гравітаційну сталу вперше визничив за допомогою крутильних вагів англійський вчений Генрі Кавендіш. Цей дослід сучасники називали „зважування Землі”. Дійсно, із закону всесвітнього тяжіння випливає, що прискорення вільного падіння:            

 

   

Знаючи гравітаційну сталу і радіус Землі, можна з цього співвідношення знайти масу Землі. Аналогічно (знаючи радіус орбіти Землі і тривалість року) можна знайти масу Сонця.

      Закон всесвітнього тяжіння дозволив визначити причини морських припливів і відпливів, виміряти з невеликими місцевими відмінностями прискорення вільного падіння густину порід земної кори. На основі закону всесвітнього тяжіння було передвіщене і існування восьмої і дев`ятої планет Сонячної системи (Нептуна і Плутона). Ці планети були виявлені астрономами саме там, де вони мали знаходитися за результатами обчислень на основі закону всесвітнього тяжіння. Цей закон описує рух не тільки планет та їх супутників, але й цілих галактик.

 

Сила тяжіння

Рух тіла з початковою швидкістю під дією сили тяжіння

Вага тіла. Невагомість. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.

Невагомість – стан при якому тіла не діють на опору або підвіс.

Невагомість виникає, коли прискорення, з яким рухається тіло по направленню до центру Землі, дорівнює прискоренню вільного падіння.

Рух штучних супутників

   Рух супутника – сума руху за інерцією (як результату запуску ракети) й вільного падіння. На супутник і на всі тіла в ньому діє лише сила тяжіння, проявом чого є невагомість. Така невагомість називається динамічною.

Сила пружності. Закон Гука.

   Деформація тіла – це зміна його форми або об`єму.

   Види деформації:

·                   Пржня – при припиненні дії на тіло виникає повне відновлення його початкових форм і об`єму. Відновлення відбувається під дією сили пружності.

·                   Пластична – при припиненні дії на тіло зберігаються деякі зміни порівняно з початковим станом (залишається початкова деформація.

Способи створення пружніх деформацій:

a)                 шляхом одновісного ростягу чи стиску;

b)                шляхом всебічного стиску;

c)                шляхом зсуву.

 

 

Закон пружних деформацій (закон Гука)

 

Тема 7. Елементи релятивістської динаміки.

Елементи релятивістської динаміки (2 год.)

Мета: Навчитись користуватись елементами теорії відносності.

План

  1.  Постулати Ейнштейна. Відносність довжини і часу.
  2.  Релятивістський закон додавання швидкостей.
  3.  Елементи релятивістської динаміки.

Елементи теорії відносності

Сучасну фізику поділяють на такі три розділи:

1. класичну механіку (вивчає рухи макротіл і мікротіл з малими швидкостями );

2. релятивістську механіку (вивчає рух макротіл з великими швидкостями );

3. квантову механіку (вивчає рух мікротіл з великими швидкостями ).

Спеціальна теорія відносності - це нове вчення про простір і час, яке грунтується на двох постулатах:

принципі відносності (всі фізичні явища перебігають однаково в будь-яких інерціальних системах відліку);

принципі сталості швидкості світла (швидкість світла у вакуумі не залежить від напряму його поширення і від руху джерела).

Відносність одночасності.

У спеціальній теорії відносності одночасність двох подій, що відбуваються в різних точках простору є відносною: події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не є одночасними в інших інерціальних системах, що рухаються відносно першої (рис. 6.1).

Відносність довжин (відстаней).

, l < l0.

l0 - довжина стрижня в системі K', l - довжина стрижня в системі K, відносно якої стрижень рухається зі швидкістю . Лінійний розмір тіла, що рухається відносно інерціальної системи відліку зменшується.

Відносність проміжків часу.

t0 - інтервал часу в рухомій системі K', t - інтервал часу відносно системи K (рис. 6.3). Час в рухомих системах сповільнюється.

Релятивістський закон додавання швидкостей (рис.6.4).

Наслідки:

Якщо ; , то  - нехтуємо . Якщо , то ; . Якщо , , то , .

Релятивістська динаміка. Зв'язок між масою і енергією.

1. Залежність маси тіла від швидкості. Другий закон Ньютона в релятивістському вигляді.

Другий закон Ньютона для тіла в класичній динаміці має вигляд: , де  - імпульс тіла.

Під час збільшення швидкості тіла його маса зростає:

 - залежність маси тіла від швидкості (m > m0),

де m0 - маса тіла в системі K', m - маса тіла відносно системи K.

Основний закон динаміки в релятивістському вигляді:

, де .

2. Зв'язок між масою і енергією:  - повна енергія тіла (закон взаємозв'язку маси і енергії)

де  - швидкість світла у вакуумі;

Довільне тіло, уже завдяки факту свого існування, володіє енергією, яка пропорційна масі спокою: E0 = m0c 2 - енергія спокою тіла.

Частина 2. Електрика. Електромагнетизм.

Тема 8. Електростатичне поле.  

Електростатичне поле (2 год.)

Мета: Ввести основні величини електростатики. Розглянути властивості електричного поля.

План

  1.  Електростатика. Електростатичне поле.
  2.  Потік вектора електростатичного зміщення. Теорема Гауса.
  3.  Електричне поле зарядженої площини. Двох площин, сфери, циліндра, кулі.

Робота сил поля. Потенціал. Зв’язок потенціалу та напруженості

Основні поняття та закони електростатики

Електричний заряд

Електричний заряд є фундаментальною властивістю елементарних частинок. Електричний заряд буває позитивним та негативним. Взаємодія частинок однойменного заряду призводить до їх відштовхування, різнойменного – до притягання.

Будь-який заряд є кратним елементарному заряду (заряду електрона), який дорівнює

 Кл

Закон Кулона

Кількісно взаємодію заряджених тіл визначає основний закон електростатики, закон Кулона. Він справедливий для точкових зарядів, розмірами яких, за аналогією з поняттямматеріальної точки в класичній механіці, можна знехтувати для даної фізичної задачі.

Математичний вигляд закону для двох точкових зарядів () у системі СІ такий:

,

де  - електрична стала.

У системі СГС ця формума має вигляд:

Із закону Кулона виводиться теорема Гауса, зручніша для використання при знаходженні конфігурації електричного поля в багатьох електростатичних задачах.

Напруженість електричного поля

Напруженість електричного поля – це його силова характеристика, що дорівнює силі, з якою поле діє на пробний одиничний заряд.

Електричний потенціал

Електричне поле також зручно характеризувати електричним потенціалом , який дорівнює потенційній енергії одиничного пробного заряду, поміщеного в дану точку простору.

Фізичні тіла в електричному полі

Нейтральні тіла реагують на присутність зарядів по різному в залежності від їхньої здатності проводити електричний струм. У провідниках в електричному полі відбувається перерозподіл поверхневих зарядів. Це явище називається електростатичною індукцією. У рівноважному стані після затухання перехідних струмів всі точки провідника мають однаковий електростатичний потенціал - статичне електричне поле в провідник не проникає.

Діелектрики в електричних полях поляризуються. При цьому електричні поля проникають у діелектрик, але зменшуються. Сили, що виникають при взаємодії двох електричних зярядів, поміщених в діелектричне середовище, дорівнюють:

 (система СГС).

Величина , що описує це зменшення, називається діелектричною сталою середовища.

 

Електростатичне поле

Перш ніж вводити поняття електростатичного поля, слід поговорити про теорію близькодії на відстані, яку почав розвивати англійський фізик Майкл Фарадей, а остаточно завершив Максвелл. Цю теорію в сучасному її вигляді зрозуміти надзвичайно важко, особисто я ніяк не розумію, яким же чином за теорією близькодії один заряд безпосередньо „відчуває” присутність іншого через пустоту.

Тут доцільно провести аналогію з ньютонівською теорією „далекодії на відстані”, згідно з якою одне тіло з величезною силою притягує інше тіло, знову ж таки через пустоту, так званий міжзоряний „вакуум”, хоча, ніхто дотепер не сказав, що це таке. Тільки уявіть, у пустоті діють так звані „сили”, і щоби їх „якось” компенсувати, одне тіло повинно обертатися навколо іншого, або навколо їх барицентра, тоді відцентрова сила (тут вже без лапок, бо вона цілком реальна!) якраз компенсує ньютонівську „силу тяжіння”. Далі більше. Уявіть собі, що електромагнітні хвилі розповсюджуються у „вакуумі” з кінцевою швидкістю. А значить, ніякий це не вакуум, а реальне середовище, подібне до середовища, у якому розповсюджується звук, теж, як відомо, з кінцевою швидкістю. Хто мені скаже, як буде розповсюджуватись звукова хвиля у безповітряному просторі? Або електромагнітна хвиля у пустоті? Швидкість цих хвиль буде рівною нескінченності. Кінцева швидкість поширення звуку говорить про те, що звук переносить повітря, цілком певний коефіцієнт опору якому має звукова хвиля. До того ж, швидкість поширення звуку в інших середовищах відмінна від швидкості поширення його в повітрі, але скрізь вона кінцева. Середовище, у якому поширюються електромагнітні хвилі, теж з певним коефіцієнтом опору, звалося раніше (кілька століть тому справді великі були праві, але їх не чули!) і зветься тепер ефіром, я не боюся цього терміну, хоч нехай сучасні фізики-теоретики повісять мене на першій гілляці.

Це був лише відступ. Повертаючись до теорії близькодії, можна сказати, що один заряд „відчуває” дію іншого. Під час переміщення одного заряду А сила, що діє на інший заряд В, вмить змінює своє значення. Причому, ні з самим зарядом В, ні з оточуючим простором нічого не відбувається.

За ідеєю Фарадея, електричні заряди не діють один на одного безпосередньо. Кожен заряд створює в навколишньому просторі електричне поле. Поле одного заряду діє на другий заряд і навпаки.

Спочатку ця ідея виражала одну лише впевненість Фарадея у неможливості взаємодії одного тіла на інше черезпустоту. Доказів існування поля не було. Таких доказів і не можна дістати, досліджуючи нерухомі заряди. Успіх прийшов після вивчення електромагнітних взаємодій рухомих частинок. Спочатку було доведено існування змінних у часі полів, і тільки після цього зроблено висновок про реальність електричного поля нерухомих зарядів.

Використавши ідеї Фарадея, Максвелл теоретично довів скінченну швидкість поширення у просторі електромагнітних взаємодій, чим фактично показав реальність світлоносного ефіру.

Теж, задля відступу скажу, що людям, які пізнали вершки фізичних знань, здається, що вони знають дуже багато. Насправді ж, їх знання, навіть разом взяті, настільки мізерні, що не дозволяють зрозуміти світ Божий. От і Максвелу не повірили. Згодом фізики відмовились від не те що очевидного, а доведеного факту, відкинувши ефір, як середовище.

Про електричне поле сказано наступне – воно матеріальне, існує незалежно від нас, від наших уявлень про нього. Головна властивість електричного поля – здатність його діяти на електричні заряди з певною силою.

Електричне поле нерухомих зарядів називають електростатичним. Воно незмінне з часом і створене тільки електричними зарядами; існує в просторі, який оточує ці заряди і нерозривно з ними пов’язане.

Потенціал електростатичного поля

Робота будь-якого електростатичного поля під час переміщення зарядженого тіла з однієї точки в іншу, як і робота однорідного поля, не залежить від форми траєкторії. На замкнутій траєкторії робота електростатичного поля рівна нулю. Поля, які мають таку властивість, називають потенціальними.

Потенціальна енергія заряду в електростатичному полі пропорційна заряду. Це справедливо як для однорідних, так і для неоднорідних полів. Отже, відношення потенціальної енергії до заряду не залежить від заряду, вміщеного в полі.

Це дає змогу ввести нову кількісну характеристику поля – потенціал. Потенціалом електростатичного поля називають відношення потенціальної енергії заряду в полі до величини цього заряду. Іншими словами, потенціал чисельно дорівнює енергії одиничного заряду в полі.

Теорема Гауса - один із основних законів електростатики, еквівалентний закону Кулона, твердження про зв'язок між потоком вектора електричної індукції через замкнену поверхню, і сумарним зарядом, в об'ємі, оточеному цією поверхнею. Теорема Гауса справедлива також для змінних полів і є одним із основних законів електродинаміки.

В системі СІ теорема Гауса має вигляд:

,

де D - вектор електричної індукції,  - сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

де  - густина заряду.

В гаусовій системі одиниць СГСГ теорема Гауса формулюється

,

де  - напруженість електричного поля.

Теорема Гауса і закон Кулона

Теорема Гауса була отримана в 1835 Карлом Фрідріхом Гаусом, який виходив із закону Кулона. В сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гауса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гауса.

Вивід закону Кулона

Для того, щоб отримати закон Кулона з теореми Гауса, розглядають точковий електричний заряд  у вакуумі. На поверхні сфери радіусом , в центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції  дорівнює напруженості електричного поля (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гауса:

.

Звідси основне твердження закону Кулона:

В системі СІ , де  - електрична стала. Теорема Гауса записується:

.

Звідси:

.

Теорема Гауса в диференціальній формі

Теорему Гауса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського-Гауса (система СГС):

.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

.

В системі СІ цей вираз має вигляд:

Теорема Гауса для полів у середовищі

Теорема Гауса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом, справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші - увійдуть у цей об'єм зовні - речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, зяряджаючи тіла, зв'язаними - електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

,

де  - густина зв'язаних зарядів,  - густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією.

Тоді теорема Гауса записується у вигляді

.

Вводячи вектор електричної індукції

,

отримуємо теорему Гауса для діелектричних середовищ:

,

або в диференціальній формі

.

Магнітне поле

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

Електричне поле зарядженої площини. Двох площин, сфери, циліндра, кулі.

· означення та зміст напруженості поля (сила, що діє на пробний заряд) ;E=F/q;

· що виражає емпіричний закон Кулона

· принцип суперпозиції (наголошування на важливість векторних позначень) 

· Розподіл зарядів ()

· Потік вектора Е ()

· теорема Гауса

Потік вектора Е скрізь замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів обмежених цією поверхнею, поділеної на :

Приклад знаходження напруженості ел. поля нескінченно довгого тонкостінного циліндра

Розв’язок:

У ході розв’язку треба наголошувати на причинах, за яких ми використовуємо теорему Гауса. Декілька раз підкреслювати, що поле має циліндричну симетрію.

Розбиття задачі на два етапи:

1) Знаходження поля всередині циліндра ()

Вибираємо точку на відстані від осі циліндра та проводимо крізь цю точку коаксіальний циліндр (рис. 1). Застосовуючи теорему Гауса, за відсутністю заряду всередині визначаємо, що 

2) Знаходження поля зовні циліндра ()

Вибираємо точку на відстані від осі циліндра та проводимо крізь цю точку коаксіальний циліндр. Застосовуємо теорему Гауса. Потік крізь торці обраного циліндра дорівнює нулеві, а потік крізь бокову поверхню в теоремі Гауса набуде вигляду:

;

(1) 

Приклад Знайти поле двох паралельних площин заряджених рівномірно різноіменими зарядами з густинами s та - s.

Розв’язок:

Це поле легко знайти як суперпозицію полів, що створюються кожною площиною окремо. Між площинами напруженості полів що додаються мають однаковий напрямок, тому напруженість отримана для однієї площини (дивись лекцію) подвоїться, та результуюча напруженість поля між площинами має вигляд:

(2) 

Зовні , легко побачити, що поле дорівнює нулю.

Поля систем розподілених зарядів.

Постійне втручання в індивідуальну роботу студентів

Слідкування за вірним напрямком ходу розв’язку

Індивідуальна робота по розв’язку задач: № 3.08, 3.10, 3.11, 3.14

Задача

Знайти поле нескінченного круглого циліндра, зарядженого рівномірно по поверхні, якщо подовжня густина - l.

Розв‘язок:

З точки зору симетрії поле має радіальний характер, так як вектор Е в кожній точці перпендикулярний до вісі циліндра, а модуль вектора напруженості залежить тільки від відстані r до вісі. Тоді замкнену поверхню треба обрати у формі коаксіального циліндру. В результаті по теоремі Гауса маю:

(3) ;

(4) (r>a), де а - радіус циліндру.

Коли r<a - E=0.

№3.08 Дано: q, R; E(0) - ?

Для даного напівкільця маємо:

(5) 

(6) 

№3.10 Дано: q, R, -q; E(x) - ? x»R

Повідомити студентів, що у цьому випадку треба буде застосувати формулу наближеного числення для малих :

(7) 

Користуючись розв’язком минулої задачі - формулою (6), згідно принципу суперпозиції полів, знаходимо:

(8) 

(9) 

№3.11 Дано: R, q, ; F(x) - ?

(10) 

Спираючись на отриманий на минулому занятті розв’язок задачі 3.9, та підставляючи його у формулу (10), отримаємо:

(11) 

Теорема Гаусса:

Напруженість електричного поля залежить тільки від Х та У як , де а – постійна, і та j – орти осей ОХ та ОУ. Знайти заряд у сфері радіусом R з центром у початку координат.

Розв’язок:

З теореми Гауса:

(12) 

(13) 

(14) 

Куля радіусу R має додатній заряд, об‘ємна густина якого залежить тільки від відстані r до її центру як r =, де - постійна, e=1. Знайти:

1) Модуль напруженості електричного поля в середині та зовні кулі як функцію від r.

2) Максимальне значення модуля напруженості та .

Розв’язок:

a) По теоремі Гауса:

У випадку r>R

(15) 

У випадку r<R

(16) 

б) .

(17) 

Простір заповнено зарядом з об‘ємною густиною де та a - додатні постійні, r – відстань до центру системи. Знайти |E|=E(r).

Розв’язок:

З теореми Гауса:

(18) .

(19) .

Робота сил поля. Потенціал. Зв’язок потенціалу та напруженості.

Гравітаційне поле та його характеристики. зв’язок напруженості поля з його потенціалом:

 

І. Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл, прийшов до висновку, що всі тіла притягуються одне до одного і величина цієї сили дорівнює:

,

де  – гравітаційна стала, яка чисельно дорівнює силі взаємодії між тілами масами 1 кг на відстані 1 м;  і  – маси тіл, а  – відстань між їх центрами. Взаємодія між тілами передається через гравітаційне поле. Обмеження закону гравітаційної взаємодії є  < 10-15 м (розмір ядра атома).

Гравітаційне поле є видом існування матерії, через яку передається взаємодія між тілами. Гравітаційне поле існує у просторі і часі об’єктивно і може діяти на наші органи відчуття, проявлятись за дією на тіла (наприклад, покази терезів є результатом дії притягання тіл гравітаційним полем Землі).

Гравітаційне поле є силовим потенціальним полем. Для характеристики гравітаційного поля вводять два параметри: силову характеристику – напруженість поля та енергетичну характеристику поля – потенціал.

Розглянемо взаємодію тіла масою , яке утворює гравітаційне поле, та розміщену в ньому одиничну пробну масу  (рис. 2.23). Згідно з законом всесвітнього тяжіння у векторній формі:

або:

.

Величина в правій частині останнього рівняння є однозначною характеристикою поля, оскільки вона не залежить від пробної маси , а визначається тільки масою  та радіус-вектором  точки її гравітаційного поля.

Тоді позначимо:

 

або:

.

Вектор  є напруженістю гравітаційного поля, тобто силовою характеристикою, яка дорівнює відношенню сили, з якою поле діє на розміщену в даній точці одиничну пробну масу , до величини цієї маси.

Отримаємо одиницю вимірювання напруженості гравітаційного поля:

,

тобто ми отримали одиницю вимірювання прискорення.

Через те, що для Землі напруженість поля чисельно дорівнює прискоренню вільного падіння , то сила тяжіння, з якою Земля діє на розміщене в її полі тіло, дорівнює:

 .

Розглянемо елементарну роботу  з переміщення пробної одиничної маси  у полі тяжіння тіла з масою  з точки 1 в точку 2 (рис. 2.24).

.

Через те, що кут між  та  дорівнює 180о, то:

.

Повна робота:

;

.

Отже, затрачена робота в полі сил тяжіння не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим та кінцевим положеннями тіла, тобто сили тяжіння є консервативними, а поле тяжіння є потенціальним.

Введемо позначення  для потенціальної енергії тіла одиничної маси  в гравітаційному полі тіла масою .

Поділимо вираз для потенціальної енергії на величину :

.

Отже, потенціал поля тяжіння є скалярною величиною, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії тіла одиничної маси в даній точці поля або роботі з переміщення одиничної маси з даної точки поля у нескінченність.

Тоді робота в полі сил тяжіння:

.

Розглянемо зв’язок потенціалу та напруженості гравітаційного поля. Елементарна робота при малому переміщенні буде рівною (рис. 2.24):

, також .

З формули напруженості гравітаційного поля сила .

Тоді:                                                      ;

 ,

де знак “–“ показує, що вектор напруженості поля  спрямований протилежно до зростання потенціалу .

Величина  називається градієнтом потенціалу і показує зміну потенціалу на одиницю довжини. Тоді:

.

 

  1.  Робота сил електричного поля. Циркуляція вектора напруженості електричного поля. 
    2. 
    Потенціал поля точкового заряду і системи зарядів. 
    3. Зв'язок між напруженістю і потенціалом електричного поля. Еквіпотенціальні 
    поверхні
    З'ясуємо, як можна знайти роботу електричних сил при переміщенні заряду q в однорідному електричному полі (Е = const). Нехай заряд q знаходиться в точці В однорідного електричного поля (рис.1). 

    Рис.1. 
    Робота сил електричного поля з переміщення заряду q із точки В в точку С не залежить від форми шляху. 
    З механіки відомо, що 
    робота дорівнює добутку сили на шлях і на косинус кута між ними. Тому робота електричних сил при переміщенні заряду q в точку С по прямій BnC виразиться таким чином: 
    BnC = F • BC • cos α = qE • BC • cos α 
    Так як BC • cos α = BD (див. рис. 1), то маємо 
    BnC = qE • BD. 
    Робота сил поля при переміщенні заряду q в точку С по шляху BDC дорівнює сумі робіт на відрізках BD та DC, тобто 
    BDC = A BD + A DC = qE • BD + qE • DC • cos 90 º. 
    Оскільки cos 90 º = 0, робота сил поля на ділянці DC дорівнює нулю. Тому 
    BDC = qE • BD. 
    Отже, коли переміщення заряду відбувається по лінії напруженості, а потім 
    перпендикулярно до неї, то сили поля здійснюють роботу тільки при переміщенні заряду вздовж лінії напруженості поля. 
    З'ясуємо тепер, чому буде дорівнює робота сил поля на криволінійній ділянці BmC. Розіб'ємо цю ділянку на 
    малі відрізки, сто кожен з них можна прийняти за пряму лінію (див. рис. 1). За доведеним вище робота на кожному такому ділянці буде дорівнює роботі на відповідному відрізку лінії напруженості l i. Тоді вся робота на шляху BmC буде дорівнює сумі робіт на відрізках l 1, l 2 і т. д. Таким чином, 
    BmC = qE • (l 1 + l 2 + ... + l k). 
    Оскільки сума в дужках дорівнює довжині BD, маємо 
    BmC = qE • BD. 
    Отже, ми довели, що 
    в однорідному електричному полі робота електричних сил не залежить від форми шляху. Наприклад, при переміщенні заряду q між точками В і С ця робота в усіх випадках дорівнює qE • BD. Можна довести, що цей висновок справедливий і для неоднорідного поля. Отже, якщо розподіл а просторі електричних зарядів, що створюють електричне поле, не змінюється з часом, то сили поля є консервативними. 
    Оскільки робота сил поля на ділянці BnC і BmC однакова (див. рис.2), то на замкнутому шляху робота сил поля дорівнює нулю. Дійсно, якщо на ділянці BmC робота сил поля позитивна, то на ділянці CnB вона негативна. Отже, 
    робота сил електричного поля по замкнутому контуру завжди дорівнює нулю. 
     
  2.  

Рис. 2. Робота електричних сил на замкнутому шляху дорівнює нулю. 
При дії тільки консервативної сили робота є єдиною мірою зміни енергії. Поле консервативної сили, тобто поле, в якому робота не залежить від форми шляху, називається 
потенційним. Прикладами потенційних полів є поле тяжіння і електричне поле. 
Оскільки сили електричного поля консервативні, то робота сил цього поля при переміщенні заряду з точки В в С (див. рис. 2) може служити мірою зміни потенційної енергії заряду в електричному полі. Якщо позначити потенційну енергію заряду в точці В через П 
В, а в точці С - через П С, то 
BC = П В - П С. (1) 
У більш загальному випадку, якщо заряд переміщається в електричному полі з точки 1, де його потенційна 
енергія була П 1, в точку 2, де його енергія виявляється рівною П 2, робота сил поля 
А 
1 2 = П 1 - П 2 = - (П 2 - П 1) = - ΔП 2 1, 
Де ΔП 
1 лютого = П 2-П 1 являє собою приріст потенційної енергії заряду при його переміщенні з точки 1 в точку 2. Отже 
А 
1 2 = - ΔП 2 1. (1а) 
З формули (1а) видно, що А 
1 2 і ΔП 1 лютому завжди мають протилежні знаки. 
Дійсно, якщо заряд q переміщається під дією сил поля (тобто робота сил поля А 
1 2 позитивна), то при цьому потенційна енергія заряду зменшується (т. е. П 2 <П 1 і прирощення потенційної енергії ΔП 1 лютого негативно ). Якщо ж заряд переміщається проти сил поля (А 1 2 <0), то потенційна енергія заряду збільшується (ΔП 2 січня> 0). 
З формули (1) видно, що за допомогою вимірювання 
роботи можна дізнатися лише зміна потенційної енергії заряду q між двома точками В і С, але немає способів, що дозволяють однозначно оцінити величину його потенційної енергії в будь-якій точці поля. Щоб усунути цю невизначеність, можна умовно прийняти за нуль потенційну енергію в будь-якій довільно обраній точці поля. Тоді й у всіх інших точках потенційна енергія буде визначена однозначно. Умовилися потенційну енергію заряду, що знаходиться в точці, нескінченно віддаленій від зарядженого тіла, що створює поле, вважати за нуль: 
П 
 = 0. (2) 
Тоді для випадку переміщення заряду q З точки В в нескінченність отримаємо 
А 
В ∞ = П в - П  = П В. (2а) 
Отже, за такої умови 
потенційна енергія заряду, що знаходиться в будь-якій точці поля, буде чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні даного заряду з цієї точки в нескінченність. Таким чином, якщо поле створено позитивним зарядом, то потенційна енергія іншого позитивного заряду , що знаходиться в будь-якій точці цього поля, буде позитивною, а якщо поле створене негативним зарядом, то потенційна енергія позитивного заряду в цьому полі буде негативною. Для негативного заряду, поміщеного в електричне поле, буде все навпаки. 
Коли поле створено відразу кількома зарядами, то потенційна енергія заряду q, поміщеного в яку-небудь точку У такого поля, дорівнює алгебраїчній сумі енергій, обумовлених полем (в точці В) кожного заряду окремо. Згадаймо, що напруженості електричних полів окремих зарядів в кожній точці простору теж складаються (геометрично). Таким чином, якщо в просторі одночасно існують поля декількох зарядів, то ці поля просто накладаються один на одного. Така властивість полів називається 
суперпозицією. 
Відзначимо ще, що 
в електротехніці за нуль часто приймають потенційну енергію заряду, що знаходиться на Землі. У цьому випадку потенційна енергія заряду в будь-якій точці поля У чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні цього заряду з точки В на поверхню Землі. 
Було встановлено, що потенційна енергія електричного заряду залежить від його положення в електричному полі. Тому доцільно ввести 
енергетичнухарактеристику точок електричного поля. 
Оскільки сила, що діє на заряд q в електричному полі, прямо пропорційна величині заряду q, то робота сил поля при переміщенні заряду також прямо пропорційна величині заряду q. Отже, і потенційна енергія заряду в довільній точці В електричного поля прямо пропорційна величині цього заряду: 
П 
В = φ У q. (3) 
Коефіцієнт пропорційності φ 
В для кожної визначеної точки поля залишається постійним і може служити енергетичної характеристикою поля в цій точці. 
Енергетична характеристика електричного поля в даній точці називається потенціалом поля в цій точці. Потенціал вимірюється потенційноюенергією одиничного позитивного заряду, що знаходиться в заданій точці поля: 
φ 
В = П В / q. (3а) 
Потенціал поля електричного поля чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з цієї точки в нескінченність. 


Рис. 3. У всіх точках, що знаходяться на однаковій відстані від точкового заряду, потенціал однаковий. 
Потенціал поля в даній точці може бути розрахований теоретично. Він визначається величиною і розташуванням зарядів, що створюють поле, а також навколишнім середовищем. Зважаючи на складність таких розрахунків тут ми їх приводити не будемо. Запишемо лише формулу для потенціалу поля точкового заряду q, отриману в результаті такого розрахунку. 
Якщо відстань від заряду q до точки 1, в якій обчислюється потенціал, позначити через r 
1 (рис. 3), то можна показати, що потенціал у цій точці 
φ 
1 = q / 4πε c r 1. (4) 
Відзначимо, що з цієї ж формулою обчислюється потенціал поля, створеного зарядом q, який рівномірно розподілений по поверхні кулі, для всіх точок, що знаходяться поза кулі. У цьому випадку r 
1 позначає відстань від центру кулі до точки 1. 
Слід звернути увагу на те, що потенціал поля позитивного заряду зменшується при видаленні від заряду, а потенціал поля негативного заряду - збільшується. Оскільки потенціал є величиною скалярної, то, коли поле створено багатьма зарядами, 
потенціал у будь-якій точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених у цій точці кожним зарядом окремо. 
Роботу сил поля можна виразити за допомогою 
різниці потенціалів. Згадай, що робота при переміщенні заряду між точками 1 і 2 (див. рис. 3) визначається формулою (1а): 
А 
1 2 = - ΔП 1 лютого = - (П 2 - П 1). 
Замінивши П його значенням з формули (3), отримаємо 
А 
1 2 = - (φ 2 q Пр - φ 1 q Пр) = - q Пр (φ 2 - φ 1) = - q Пр Δφ. 
Але це можна записати й так: 
А 
1 2 = q Пр (φ 1 - φ 2). 
Різниця потенціалів (φ 1 - φ 2) називають напругою між точками 1 і 2 і позначається U 1 2. Таким чином, 
А 
1 2 = q Пр U 1 2. 
Опустивши 
індекси, отримаємо 
А = qU. (5) 
Отже, 
робота сил поля при переміщенні заряду q між двома точками поля прямо пропорційна напрузі між цими точками. 
Виведемо з (5) одиницю напруги: 
U = A 
/ q; U = 1 Дж / ​​1Кл = кг • м 2 / с 3 • А = ​​1 В (вольт). 
У системі СІ за одиницю виміру напруги приймається вольт. Вольтою називається така напруга (різниця потенціалів) між двома точками поля, при якому, переміщаючи заряд в 1 Кл з однієї точки в іншу, поле здійснює роботу в 1 Дж. Відзначимо, що на практиці заряди завжди переміщаються між двома певними точками поля, тому частіше важливо знати напруга між окремими точками, а не їх потенціали. 
З формули (4) видно, що у всіх точках поля, що знаходяться на відстані r 
1 від точкового заряду q (див. рис. 3), потенціал φ 1 буде однаковий. Всі ці точки знаходяться на поверхні сфери, описаної радіусом r 1 з точки, в якій знаходиться точковий заряд q. 
Поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційної (від латинського «екві» - рівний). Розрізи таких поверхонь з потенціалами φ 1 і φ 2 на рис. 3 показані колами. Для еквіпотенційної поверхні справедливе співвідношення 
φ = const. (6) 
Виявляється, що 
лінії напруженості електричного поля завжди нормальні до еквіпотенціальними поверхнями. Це означає, що робота сил поля при переміщенні заряду по еквіпотенційної поверхні дорівнює нулю. 
Оскільки робота сил поля при переміщенні заряду q визначається тільки різницею потенціалів між початком і кінцем шляху, то при переміщенні заряду q з одного еквіпотенційної поверхні на іншу (потенціали яких φ 
1 і φ 2) ця робота не залежить від форми шляху і дорівнює А = q (φ 1 - φ 2). 
У подальшому слід пам'ятати, що під дією сил поля позитивні заряди завжди переміщуються від більшого потенціалу до меншого, а негативні - навпаки. 

Тема 9. Провідник в електричному полі.

Провідник в електричному полі (2 год.)

Мета: Навчитись визначати заряди тіл. Вивчити закон збереження зяряду.

План

  1.  Розподіл заряду. Електричне поле біля поверхні провідника.
  2.  Енергія системи зарядів, провідника, конденсатора.
  3.  Енергія електричного поля.
  4.  Об’ємна густина енергії

Розподіл заряду в провіднику.

Зв'язок між напруженістю поля в поверхні провідника й поверхневою густиною заряду

 

 

  1.  

Вільні заряди в провіднику здатні переміщатися під дією як завгодно малої сили. Тому для рівноваги зарядів у провіднику повинні виконуватися наступні умови: 1. Напруженість поля усередині провідника повинна дорівнювати нулю , тому що  т.е. тобто потенціал усередині провідника повинен бути постійним.

  1.  Напруженість поля на поверхні провідника повинна бути перпендикулярна поверхні

Отже, поверхня провідника при рівновазі зарядів є еквіпотенціальною.

При рівновазі зарядів ні в якому місці усередині провідника не може бути надлишкових зарядів – усі вони розподілені по поверхні провідника з деякою густиною σ.

Розглянемо замкнену поверхню у формі циліндра твірні поверхні якого перпендикулярні провіднику. На поверхні провідника розташовані вільні заряди з поверхневою густиноюσ.

Так як усередині провідника зарядів немає, то потік  

через поверхню циліндра усередині провідника дорівнює нулю. Потік через верхню частину циліндра поза провідником по теоремі  Гауса рівний

        

тобто вектор електричного зсуву дорівнює поверхневої густині вільних зарядів провідника або

 

 

 

 2. 

При внесенні незарядженого провідника в зовнішнє електростатичне поле вільні заряди почнуть переміщатися: позитивні -  по полю, негативні – проти поля. Тоді з однієї сторони провідника будуть накопичуватися позитивні, а з іншого негативні заряди. Ці заряди називаються ІНДУКОВАНИМИ. Процес перерозподілу зарядів буде відбуватися доти, поки напруженість усередині провідника не стане рівною нулю, а лінії напруженості поза провідником перпендикулярні його поверхні. Індуковані заряди з'являються на провіднику внаслідок зсуву, тобто є поверхневою густиною зміщених зарядів і тому що  то тому  назвали вектором електричного зсуву.

 

§2 Електроємність провідників.

Конденсатори

 

ВІДОКРЕМЛЕНИМ називається провідник, віддалений від інших провідників, тіл, зарядів. Потенціал такого провідника прямо пропорційний заряду на ньому

 З досвіду випливає, що різні провідники, будучи однаково зарядженими Q1 = Q2здобувають різні потенціали φ1 φ2через різну форму, розміри й навколишнього середовища  біля провідника (ε). Тому для відокремленого провідника слушна формула

,

де  - ємність відокремленого провідника. Ємність відокремленого провідника дорівнює відношенню заряду q, надавання якого провіднику змінює його потенціал на 1 Вольт.

У системі SI ємність виміряється у Фарадах

Ємність кулі

 

  1.  Ємність відокремлених провідників дуже мала. Для практичних цілей необхідно створювати такі обладнання, які дозволяють накопичувати більші заряди при малих розмірах і потенціалах. КОНДЕНСАТОР – обладнання, що служить для накопичування заряду й електричної енергії. Найпростіший конденсатор складається із двох провідників, між якими перебуває повітряний зазор, або діелектрик (повітря – це теж діелектрик). Провідники конденсатора називаються обкладками, і їхнє розташування по відношенню друг до друга підбирають таким, щоб електричне поле було зосереджено в зазорі між ними. Під ємністю конденсатора розуміється фізична величина С, рівна відношенню заряду q, накопиченого на обкладках, до різниці потенціалів  між обкладками.

 

Розрахуємо ємність плоского конденсатора із площею пластин S, поверхневою густиною заряду σ, діелектричною проникністю ε діелектрика між пластинами, відстанню між пластинами d. Напруженість поля рівна

 

.

Використовуючи зв'язок Δφ і Е, знаходимо

                 

 -

ємність плоского конденсатора.

Для циліндричного конденсатора:

 

Для сферичного конденсатора

 

Так як при деяких значеннях напруги в діелектрику наступає пробій (електричний розряд через шар діелектрика), то для конденсаторів існує пробивна напруга. Пробивна напруга залежить від форми обкладок, властивостей діелектрика і його товщини.

 

  1.  Ємність при паралельному і послідовному з’єднанні конденсаторів

а) паралельне з’єднання

 

 

За законом збереження заряду

            

                                          

                                                                            

б)послідовне з’єднання

За законом збереження заряду

                                                                                      

                                                                           

                                                                           

                                                                           

 

 

3 Енергія електростатичного поля

 

  1.  Енергія системи нерухомих точкових зарядів

Електростатичне поле є потенційним. Сили, що діють між зарядами – консервативні сили. Система нерухомих точкових зарядів повинна мати потенційну енергію. Знайдемо потенційну енергію двох нерухомих точкових зарядів q1і q2, що перебувають на відстані r друг від друга

                                                                      Потенційна енергія заряду q2 у поле, створюваному

           зарядом q1, рівна

            

Аналогічно, потенційна енергія заряду q1 у поле, створюваному зарядом q2, рівна

Видне, що W1 = W2, тоді позначивши потенційну енергію системи зарядів q1 і q2 через W, можна записати

де φi  - потенціал, створюваний у тій точці, де перебуває заряд qi, усіма зарядами, крім i-го.

  1.  Енергія зарядженого відокремленого провідника.

Енергію електричного поля зарядженого відокремленого провідника можна визначити, розглянувши сумарну роботу, виконувану по переміщенню невеликих порцій заряду dq з нескінченності на даний провідник.

Якщо провідник має заряд q, ємністю С и потенціалом φ, то для того щоб перенести заряд dq з нескінченності на провідник необхідно затратити роботу

Щоб зарядити провідник від нульового потенціалу до потенціалу φ необхідно зробити роботу

Потенційна енергія дорівнює роботі, яку необхідно зробити, щоб зарядити провідник

 

3. Енергія зарядженого конденсатора.

Виразимо енергію конденсатора через величини, що характеризують конденсатор

так як усередині конденсатора поле однорідне, те можна ввести об'ємну густина енергії (об'ємна густина – енергія одиниці об'єму)

Енергія електричного поля

Робота електричного поля при переміщенні заряду

Поняття роботи  електричного поля  при переміщенні заряду  вводиться в повній відповідності з визначенням механічної роботи:

де  — різниця потенціалів (також уживається термін напруга)

У багатьох завданнях розглядається безперервне перенесення заряду протягом деякого часу між точками із заданою різницею потенціалів , у такому разі формулу для роботи слід переписати таким чином:

де  — сила струму

Потужність електричного струму в колі

Потужність  електричного струму для ділянки кола визначається звичайним способом, як похідна від роботи  за часом, тобто виразом:

— це найзагальніший вираз для потужності в електричному колі.

З врахуванням закону Ома : 

Електричну потужність, що виділяється на опорі  можна виразити як через струм,

так і через напругу

Відповідно, робота (виділена теплота) є інтегралом потужності за часом:

[ред.]Енергія електричного і магнітного полів

Для електричного і магнітного полів їх енергія пропорційна квадрату напруженості поля. Слід зазначити, що, строго кажучи, термін енергія електромагнітного поля є не цілком коректним. Обчислення повної енергії електричного поля навіть одного електрона приводить до значення рівного нескінченності, оскільки відповідний інтеграл (див. нижче) розходиться. Нескінченна енергія поля цілком скінченного електрона складає одну з теоретичних проблем класичної електродинаміки. Замість нього у фізиці зазвичай використовують поняття густини енергії електромагнітного поля (у певній точці простору). Загальна енергія поля дорівнює інтегралу густини енергії по всьому простору.

Густина енергії електромагнітного поля є сумою густин енергій електричного і магнітного полів.

У системі СІ для вакууму:

де E — напруженість електричного поляH — напруженість магнітного поля — електрична стала, і  — магнітна сталаяп.

Потоки енергії електромагнітного поля

Для електромагнітної хвилі густина потоку енергії визначається вектором Пойнтінга (вектором Умова) S.

В системі СІ вектор Пойнтінга дорівнює:

,

— векторному добутку напруженостей електричного і магнітного полів, і направлений перпендикулярно до векторів E і H. Це природним чином узгоджується з властивістю поперечності електромагнітних хвиль.

Разом з тим, формула для густини потоку енергії може бути узагальнена для випадку стаціонарних електричних і магнітних полів, і має абсолютно той же вигляд:

.

Сам факт існування потоків енергії в постійних електричних і магнітних полях, на перший погляд, виглядає дуже дивним, але це не приводить до будь-яких парадоксів; більш того, такі потоки можуть бути виявлені експериментально.

Об’ємна густина енергії

Основні формули

1. Електроємність відокремленого провідника

де j – потенціал провідника, який має заряд q.

2. Електроємність сфери, радіус якої R

де e – діелектрична проникність середовища, яке оточує сферу.

3. Електроємність конденсатора

де U = j1  j2 – різниця потенціалів між обкладками конденсатора.

4. Електроємність:

а) плоского конденсатора

де e – діелектрична проникність діелектрика, що є між обкладками конденсатора; S – площа кожної пластини конденсатора;  – відстань між ними;

б) сферичного конденсатора

де R1, R2 – радіуси сферичних обкладок конденсатора;

в) циліндричного конденсатора

де L – довжина циліндричних обкладок, радіуси яких  і .

5. Електроємність послідовно з’єднаних конденсаторів

6. Електроємність паралельно з’єднаних конденсаторів

7. Енергія зарядженого конденсатора

8. Об’ємна густина енергії електричного поля

де D – електричне зміщення.

Тема 10. Постійний електричний струм.

Постійний електричний струм (2 год)

План

Мета: Ввести поняття постійного струму. Дати визначення закону Ома для ділянки та повного кола.

  1.  Постійний струм та його характеристики.
  2.  Закон Ома в інтегральній та диференціальній формі.
  3.  Закон Джоуля-Ленца.
  4.  Розгалужені кола. Правила Кірхгофа.

Електричний струм — це впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах та напівпровідниках це електрони, у електролітах позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином напрямок руху струму в металах протилежний напрямку руху електронів.

Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму.

Електричний струм в речовині виникає під дією електричного поля. Електричне поле змушує рухатися вільні носії заряду: електрони, дірки чи йони. Узгоджений рух носіїв заряду в зовнішньому електричному полі називається дрейфовим струмом.

Електричний струм виникає також під дією відмінних від електричного поля причин. У таких випадках говорять, що електричний струм зумовлений сторонніми силами. Кількісною характеристикою здатності сторонніх сил створювати електричний струм є так звана електрорушійна сила, або скорочено е.р.с

1. Пості́йний струм, його джерела

Пості́йний струм — електричний струм, незмінний в часі.

Необхідно відзначити деяку некоректність терміну постійний струм: насправді для постійного струму незмінним є перш за все значення напруги (вимірюється у вольтах), а не значення струму (вимірюється в Амперах), хоча значення струму також може бути незмінним. Тому термін постійний струм слідує розуміти як постійну напругу. Далі використовуватимемо термін саме в цьому значенні.

Використовування терміну постійний струм (так само, як і змінний струм) підкреслює «силовий» характер даного сигналу, тобто це електричний сигнал, що передає потужність, призначений для живлення електричних пристроїв. У інших значеннях використовують точніші терміни: напруга, сигнал тощо

Нерідко цим терміном називають також електричний струм, який з часом може і змінюється за величиною, але не змінюється за напрямом (наприклад, пульсуючий електричний струм). Останнє обумовлюється можливістю розкладу одержуваного сигналу в ряд Фур'є, у якого постійна складова буде не нульова.

Постійний струм широко використовується в техніці: переважна більшість електронних схем як живлення використовує постійний струм. Змінний струм використовується переважно для зручнішої передачі від генератора до споживача.

Простим джерелом постійного струму є хімічне джерело (гальванічний елемент або акумулятор), оскільки полярність такого джерела не може мимовільно змінитися. Для отримання постійного струму використовують також електричні машини — генератори постійного струму. У електронній апаратурі, що живиться від мережі змінного струму, для отримання пульсуючого струму використовують випрямляч. Далі для зменшення пульсацій може бути використаний згладжувальний фільтр і, при необхідності, стабілізатор напруги.

2. Машини постійного струму

За видом струму розрізняють машини змінного струму і машини постійного струму.

Електричні машини змінного струму поділяють, крім того, на дві групи — синхронні й асинхронні. Щоб зрозуміти ознаки цієї класифікації, розглянемо будову електричних машин. Електрична машина має нерухому частину — статор і рухому — ротор (якір), нерухомо з'єднаний з валом машини. Кожна із цих частин може виконувати будь-яку з двох функцій: створювати або магнітне поле, або ЕРС індукції. Термін «ротор» звичайно вживають тоді, коли говорять про машини змінного струму, а термін «якір» — стосовно машин постійного струму. Кількість обертів ротора (вала машини) за одиницю часу називають частотою обертання електричної машини.

Магнітне поле, що його створює статор, у більшості електричних машин змінюється періодично; часто воно є обертовим магнітним полем. Якщо частота обертання магнітного поля і частота обертання вала електричної машини однакові, такі машини називають синхронними. В асинхронних машинах частота обертання ротора менша за частоту обертання магнітного поля.

Електричні машини експлуатують у різних умовах. А тому залежно від форми виконання розрізняють відкриті й захищені електричні машини, причому захищені можуть бути бризко-захищеними, водозахищеними, пилозахищеними, вибухоза-хищеними та ін.

Під час роботи електричні машини нагріваються. Це шкідливо для ізоляції та інших частин. Тому більшість електричних машин мають вентиляційні пристрої.

Одна й та сама машина постійного струму в принципі може працювати і як генератор, і як двигун. (Ця властивість машини постійного струму, що називається оборотністю, дає змогу не розглядати окремо будову генератора чи двигуна.) Проте кожну електричну машину завод випускає з певним призначенням — працювати тільки як генератор або тільки як двигун. Дуже рідко використовують машини постійного струму, призначені для роботи як генератором, так і двигуном.

Генератори постійного струму застосовують тоді, коли потрібно мати самостійне джерело струму, наприклад для живлення деяких видів електромагнітів, електромагнітних муфт, електродвигунів, електролізних ванн, зварювальних установок тощо.

Електродвигуни постійного струму застосовують тоді, коли потрібно плавно регулювати швидкість, наприклад у тролейбусах, електровозах, деяких типах підйомних кранів, у пристроях автоматики.

Машини постійного струму розрізняють за способом збудження.

У машинах з незалежним збудженням обмотка збудження живиться від побічного джерела струму (рис. 1, а). Якщо обмотка збудження дістає живлення від затискачів якоря і з'єднана з ними паралельно, таку машину називають машиною з паралельним збудженням (рис. 2, б). Таку саму машину, але з послідовним з'єднанням обмотки збудження із затискачами якоря називають машиною з послідовним збудженням (рис. 3, в). У машинах зі змішаним збудженням є дві обмотки збудження, одна з яких з'єднана із затискачами якоря послідовно, а друга — паралельно (рис. 4, г).

Характеристики машини постійного струму показують її робочі якості.

Рис. 1. Схеми машин постійного струму (пускові й регулювальні реостати не показано):

а — з незалежним збудженням; б — з паралельним збудженням; в — з послідовним збудженням; г — зі змішаним збудженням

Одним із найвідоміших законів фізики є, безперечно, закон Ома. Цей закон часто зустрічається як в народних прислів"ях так і в численних кросвордах. Напевне, у 1826 р. Г.Ом експериментально встановивши співвідношення між струмом та напругою навіть і не здогадувався про цю славу. Проте не всі пам"ятають про чотири різних формулювання цього закону для електричних кіл із постійним струмом.

  1. Закон Ома для однорідної ділянки кола.

Сила  струму І в однорідній ділянці кола прямо пропорційна напрузі, яку прикладено до ділянки і обернено пропорційна характеристиці ділянки, яку називають електричним опором провідника ( рис. 1 ).

Пам"ятаємо, що опір провідника R визначає його здатність обмежувати силу струму в колі і пов"язаний ( в металах ) з розсіюванням електронів провідності на теплових коливаннях кристалічної решітки та структурних неоднорідностях.

  2. Закон Ома в диференціальній формі.

Вектор густини струму в довільній точці провідного середовища визначається вектором напруженості електричного поля в цій точці та провідністю цього середовища ( рис. 2 ).


 Зауважу, що диференціальна форма запису закону Ома, містить величини, котрі характеризують електричний стан середовища в одній і тій же точці.
  
3. Узагальнений закон Ома (закон Ома для неоднорідної ділянки кола).

Добуток сили струму на опір для неоднорідної ділянки кола дорівнює сумі різниці потенціалів на цій ділянці та Е.Р.С. всіх джерел електричної енергії, які ввімкнуто на даній ділянці кола ( рис.3.1 ).

рис.3.1

При записанні цього закону слід пам"ятати про правило знаків ( рис. 3.2 ).

 

Якщо струм у джерелі протікає від катода ( "-" електрод ) до анода ("+" електрод ), тоді Е(12)>0, якщо навпаки, то Е(12)<0.

  4. Закон Ома для замкнутого кола.

Сила струму в замкнутому колі прямо пропорційна Е.Р.С. джерела і обернено пропорційна сумі зовнішнього і внутрішнього  опорів ( рис. 4 ).

 Зауважу, що електрорушійною силою джерела ( Е.Р.С. ) називається фізична величина, яка вимірюється роботою джерела струму при переміщенні одиничного додатнього заряду замкнутим колом.

Закон Ома не вичерпується цими чотирма формулюваннями. В недалекому майбутньому ми будемо говорити про цей закон для електролітів; змінного струму ... 

Закон Джоуля — Ленца — физический закон, дающий количественную оценку теплового действия электрического тока. Установлен в 1841 году Джеймсом Джоулем и независимо от него в 1842 году Эмилием Ленцом.

В словесной формулировке звучит следующим образом[2]

Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину электрического поля

Математически может быть выражен в следующей форме:

где  — мощность выделения тепла в единице объёма,  — плотность электрического тока,  — напряжённость электрического поля,σ — проводимость среды.

Закон также может быть сформулирован в интегральной форме для случая протекания токов в тонких проводах[3]:

Количество теплоты, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом участке цепи, пропорционально произведению квадрата силы тока на этом участке и сопротивлению участка

В математической форме этот закон имеет вид

где dQ — количество теплоты, выделяемое за промежуток времени dtI — сила тока, R — сопротивление, Q — полное количество теплоты, выделенное за промежуток времени от t1 до t2. В случае постоянных силы тока и сопротивления:

Практическое значение

Снижение потерь энергии

При передаче электроэнергии тепловое действие тока является нежелательным, поскольку ведёт к потерям энергии. Поскольку передаваемая мощность линейно зависит как от напряжения, так и от силы тока, а мощность нагрева зависит от силы тока квадратично, товыгодно повышать напряжение перед передачей электроэнергии, понижая в результате силу тока. Однако, повышение напряжения снижает электробезопасность линий электропередачи.

Для применения высокого напряжения в цепи для сохранения прежней мощности на полезной нагрузке приходится увеличивать сопротивление нагрузки. Подводящие провода и нагрузка соединены последовательно. Сопротивление проводов () можно считать постоянным. А вот сопротивление нагрузки () растёт при выборе более высокого напряжения в сети. Также растёт соотношение сопротивления нагрузки и сопротивления проводов. При последовательном включении сопротивлений (провод — нагрузка — провод) распределение выделяемой мощности () пропорционально сопротивлению подключённых сопротивлений.

Ток в сети для всех сопротивлений постоянен. Следовательно, выполняются соотношение

 и  в каждом конкретном случае являются константами. Следовательно, мощность, выделяемая на проводах, обратно пропорциональна сопротивлению нагрузки, то есть уменьшается с ростом напряжения, так как . Откуда следует, что . В каждом конкретном случае величина  является константой, следовательно, тепло выделяемое на проводе обратно пропорционально квадрату напряжения на потребителе.

Выбор проводов для цепей

Тепло, выделяемое проводником с током, в той или иной степени выделяется в окружающую среду. В случае, если сила тока в выбранном проводнике превысит некоторое предельно допустимое значение, возможен столь сильный нагрев, что проводник может спровоцировать возгорание находящихся рядом с ним объектов или расплавиться сам. Как правило, при сборке электрических цепей достаточно следовать принятым нормативным документам, которые регламентируют, в частности, выбор сечения проводников.

Электронагревательные приборы

Если сила тока одна и та же на всём протяжении электрической цепи, то в любом выбранном участке будет выделять тепла тем больше, чем выше сопротивление данного участка.

За счёт сознательного увеличения сопротивления участка цепи можно добиться локализованного выделения тепла в этом участке. По этому принципу работают электронагревательные приборы. В них используется нагревательный элемент — проводник с высоким сопротивлением. Повышение сопротивления достигается (совместно или по отдельности) выбором сплава с высоким удельным сопротивлением (например, нихромконстантан), увеличением длины проводника и уменьшением его поперечного сечения. Подводящие провода имеют обычное низкое сопротивление и поэтому их нагрев, как правило, незаметен.

]Плавкие предохранители

Для защиты электрических цепей от протекания чрезмерно больших токов используется отрезок проводника со специальными характеристиками. Это проводник относительно малого сечения и из такого сплава, что при допустимых токах нагрев проводника не перегревает его, а при чрезмерно больших перегрев проводника столь значителен, что проводник расплавляется и размыкает цепь.

Перше правило Кірхгофа

Перший встановлює зв'язок між сумою струмів, спрямованих до вузла електричного з'єднання (додатні струми), і сумою струмів, спрямованих від вузла (від'ємні струми). Згідно з цим законом алгебрична сума струмів, що збігаються в будь-якій точці розгалуження провідників, дорівнює нулю:

Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду. Для неперервно розподілених струмів у просторі воно відповідаєрівнянню неперервності.

Друге правило Кірхгофа

Для будь-якого замкнутого контура проводів сума електрорушійних сил дорівнює сумі добутків сил струму на кожній ділянці контура наопір ділянки, враховуючи внутрішній опір джерел струму.

Математично друге правило Кірхгофа записується так:

Використання

Послідовне застосування правил Кірхгофа до усіх вузлів й контурів у складній електротехнічній мережі дозволяє скласти повну систему лінійних рівнянь для визначення сил струму на кожній із ділянок.

Для розрахунку перш за все малюють електротехнічну схему й довільним чином позначають стрілками напрями струмів на кожній ділянці. Потім виділяються замкнуті контури й обходяться в одному довільно вибраному напрямку. Якщо стрілка, яка вказує напрям струму направлена проти обходу, то відповідний добуток струму на опір береться зі знаком мінус.

Якщо при обході переходять від від'ємного полюса джерела струму до додатного, то е.р.с. записується з додатним знаком, якщо навпаки, то з від'ємним.

В результаті отримують систему рівнянь, розв'язуючи яку визначають сили струму. Якщо сила струму вийшла від'ємною, то це значить, що напрям струму на даній ділянці вгадали неправильно , хоча це не впливає на правильність результату.

Тема 11. Електричний струм в рідинах і в газах

Електричний струм в рідинах та газах (2 год)

Мета: Визначити основні напрямки застосування електричного струму в різних середовищах.

План

  1.  Термоелектронна емісія. Струм у вакуумі.
  2.  Електровакуумні прилади.
  3.  Електричний струм в газах

На практиці, в тому числі в військовій техніці зв’язку широко застосовуються електронні лампи, електронно-променеві трубки різного призначення й інші прилади, в яких використовується явище термоелектронної емісії. Важливою характеристикою явища термоелектронної емісії є робота виходу електрона, а також струм насичення термоемісії. Ці та інші характеристики термоемісії і будуть розглянуті в даній лекції. Крім цього будуть розглянуті питання, які існують інші види електронної емісії і як вони враховуються і використовуються на практиці. 

РОБОТА
 ВИХОДУ ЕЛЕКТРОНІВ ІЗ МЕТАЛУ 
Для 
розуміння явища термоелектронної емісії, а також інших електронних явищ важливе значення має поняття роботи виходу електрона. Розглянемо це поняття
Дослідами було виявлено, що вільними зарядами в металах являються електрони, причому вільних електронів в металах дуже багато 
 і рухаються вони хаотично (подібно молекулам ідеального газу) з великими швидкостями . Отже, якщо швидкість будь-якого електрона буде перпендикулярна поверхні металу і він має запас кінетичної енергії, то електрон вилетить із металу і знаходитиметься поза металом певний час і потім повернеться в метал. 
Розглянемо природу сил, які перешкоджають виходу електрона із метала. 
При вилітанні електрона із нейтрального провідника в металі виникає індукований додатній заряд, рівний заряду електрона: кулонівська сила взаємодії притягає електрон до металу, тому електрон буде рухатись рівносповільнено, на якійсь віддалі ( 
) зупинеться, а потім буде рухатись до металу ( рис. I). 

Рис. 1 
2. На відстані 
 електрон буде найбільший час, тому навколо металу виникне електронна хмара, заряджена буде негативно, а поверхня металу буде заряджена позитивно і знаходитиметься під потенціалом +j, який називається потенціалом виходу, або граничним потенціалом. 
Таким чином: на 
межі метал-вакуум виникає своєрідний конденсатор, поле якого протидіє вилітанню електронів із металу. 
Ці дві причини перешкоджають вилітанню електрона із металу, і щоб електрон вилетів йому необхідно виконати певну роботу для подолання сили протидії. 
Найменша 
робота, необхідна для того, щоб електрон вилетів із твердого тіла, або рідини в вакуум називається роботою виходу електрона. 
Так, як 

причому 
, то A = ej, де j - потенціал виходу. В СІ робота виходу вимірюється в джоулях, а на практиці в електрон-вольтах. 
Один електронвольт- це 
енергія, яку одержує електрон, пролетівши різницю потенціалів в I В. 
Отже, для того, щоб електрон вилетів із твердого тіла, чи рідини йому необхідно надати енергію хоча б рівну роботі виходу. З цього випливає, що 
тілоє для електрона потенціальною ямою, яку він не може вільно залишити. Причому потенціальна енергія електрона 

(заряд електрона негативний), а потенціальна енергія електрона в вакуумі 
. Тому схематично положення електрона в твердому тілі чи рідині зображається за допомогою потенціальної ями, в якій по осі Y відкладається потенціальна енергія, а по осі X- лінійні розміри тіла (рис. 2). 
 
Рис. 2 
Згідно класичної фізики електрони в металі подібні молекулам ідеального газу і їх кінетична енергія 

а при T = 0, 
і всі електрони знаходяться на дні потенціальної ями, при цьому робота виходу електрона дорівнює глибині потенціальної ями (рис. 3). 
 
Рис. 3 
Але в металів немає нерухомих електронів. І згідно квантової механіки. навіть при T = 0електрони мають значну кінетичну енергію. Причому найбільшу кінетичну енергію при абсолютному нулеві температури називають 
енергією фермі - , тому робота виходу 

Для різних металів робота виходу електрона неоднакова і значною мірою залежить від 
стану його поверхні, та від природи абсорбованих поверхнеюметалу атомів і молекул. Наприклад: для чистого вольфраму А=4,5 еВ, а якщо на вольфрам нанести тонкий шар барію, то А=1,36 еВ. 
ТЕРМОЕЛЕКТРОННА ЕМІСІЯ. 
НАЙПРОСТІШІ ЕЛЕКТРОВАКУУМНІ ПРИЛАДИ 
Явище виривання електронів з металів називають емісією. Емісія електронів може відбуватись під дією різних причин. 
Термоелектронною називають емісію, зумовлену тепловим рухом електронів. 
В металах концентрація електронів велика і в наслідок хаотичного руху окремі електрони час від часу можуть 
мати кінетичну енергію 

рівну або більшу роботі виходу і вилітатимуть з металу. 
При кімнатних температурах дуже мала частина електронів вилетіти із металу. З підвищенням температури швидкість електронів зростає і число електронів, що вилітають із металу. Це явище повністю аналогічне 
процесу випаровування молекул із нагрітої рідини. 
Дослідження термоелектронної емісії зручно проводити з допомогою схеми, зображеної на рис. 4. 
 
Рис. 4 
В скляний балон, з якого відкачане повітря, впаяні два електроди – холодний анод А і катод К (лампа-діод). Катод являє собою спіраль з досліджуваного матеріалу, нагрівається від батареї Бн. З нагрітого катода вилітають електрони і навколо катоду утворюється просторовий заряд – електронна „хмара”. З допомогою Ба та потенціометра 
 між катодом і анодом можна створювати різну напругу , яка вимірюється вольтметром. Під дією прикладеної між катодом і анодом напруги, електрони, що вилетіли з катода рухаються до аноду і створюють струм , який вимірюється міліамперметром. Змінюючи напругу  і вимірюючи  будують залежність 
Залежність анодного струму 
 від напруги, прикладеної між катодом і анодом  називають вольт-амперною характеристикою термоелектронної емісії (ВАХ). Досліди показують, що залежність між силою анодного струму та напругою (рис. 5) має нелінійний характер, тобто закон Ома не виконується. 
 
Рис. 5 
Це пояснюється тим, що при малих напругах тільки частина електронів просторового заряду біля катода під дією поля досягає аноду. Але чим більше буде напруга, тим більше буде електронів з „хмари” досягати аноду. Причому початкові ділянки вольт-амперних характеристик діодів для різних температур однакові. Теоретичні дослідження (Богуславський і Ленглюр) показали, що в області просторового заряду залежність термоелектронного струму від напруги (АВ) має вигляд: 

закон степені 3/2, 
де К-стала, яка 
характеризує розміри і форму електродів і не залежить від температури катода. А починаючи з деякої напруги  всі електрони, що вилітають з катода, досягають анода, просторового заряду навколо катоду немає, тому при збільшенні напруги анодний струм залишається сталим – це максимальне значення анодного струму називають струмом насичення . Відношення струму насичення до площі катода S називають густиною струму насичення. 


За допомогою квантової фізики Річардсон і Дешман отримали вираз для густини струму насичення. 
 / I / 
де B- стала величина, ej - робота виходу електрону з металу, к - стала Больцмана, Т- абсолютна температура катоду. 
Формулу / I / називають формулою Річардсона-Дешмана. Із цієї формули слідує, що густина струму насичення різко збільшується із збільшенням температури катоду та з зменшенням роботи виходу електрона. 
Наприклад, як показують 
розрахунки, для чистої поверхні вольфраму (ej = 4,5eB) при збільшенні температури з  густина струму насичення збільшується в  раз, а коли при сталій температурі Т=1000 К порівняти густину струму насичення при і , то густина струму збільшується в  раз. 
Досліди показують, що реальна густина струму насичення менша, ніж та, що одержується за формулою / I / , це пояснюється тим, що частина електронів, що вилетіла з катоду повертається знову на катод. Тому замість сталої B в формулу вводять 

де g - так званий коефіцієнт відбивання Шотткі. 
Явище термоелектронної емісії широко використовується на практиці в електронних лампах, електронно-променевих трубках й інших електровакуумних приладах. 
Найпростішими електровакуумними приладами є лампи діод і тріод. 
Як відмічалось, лампа діод являє собою скляний або металевий балон, з якого відкачане повітря і в якому розміщені два електроди анод та катод, який може нагріватися: 
 
Особливістю діода є те, що він пропускає струм лише в одному напрямку і широко використовується для випрямлення змінного струму, а також детектування 
сигналів
Більш складною є лампа тріод - третім електродом є керуюча сітка, з допомогою можна керувати анодним струмом, тому сітка називається керуючою. 
 
Лампа тріод широко використовується для підсилення напруги - підсилення слабких сигналів електромагнітних коливань, що виникають в антені радіоприймача й ін. 

ІНШІ ВИДИ ЕЛЕКТРОННОЇ ЕМІСІЇ 
Енергію, необхідну електронам для вилітання із металу, можна надати не тільки при нагріванні, але й іншими шляхами. Так електрони вилітають із металу, поміщеному в сильне електричне поле – це автоелектронна емісія або холодна емісія. 
Виривання електронів під дією світла називають фотоелектронною емісією. Причому падаючі електрони називають первинними, а вибиті - вторинними. 
Відношення кількості вторинних електронів n до числа первинних електронів 
 називається коефіцієнтом вторинної емісії 

Число вирваних електронів в великій мірі, залежить від природи речовини – емітера. В металах, де велика густина вільних електронів вторинні електрони внаслідок великого числа зіткнень з вільними електронами втрачають свою енергію і мають малу ймовірність вилетіти з металу. Навпаки, в напівпровіднику, де густина вільних електронів збільшується. Тому не існує металів з великим d. І ефективні емітери вторинних електронів виготовляють із 
напівпровідників та діелектриків. 
Значення d для металів не перевищує 2, а для напівпровідників 6-18. 
Явище вторинної електронної емісії лежить в основі дії електронних помножувачів, які призначені для підсилення слабких електронних струмів, світлових сигналів. За допомогою таких помножувачів можна отримати коефіцієнт підсилення первинного струму порядку 

В електронних лампах вторинна емісія із аноду шкідлива (вона зменшує анодний струм), тому в лампах вводиться спеціальна сітка, яка змушує вторинні електрони повертатись до аноду. 
Автоелектронна емісія спостерігається з металів, які знаходяться в сильному електричному полі ( 
В/м). Причому процес автоелектронної або холодної емісії принципово відрізняється від термоелектронної емісії. При термоелектронній, або іншій емісії, щоб електрон вилетів із металу йому необхідно надати енергію. 
А при автоелектронній емісії електрони вилітають внаслідок тунельного ефекту, фізична суть якого розкривається в квантовій механіці. 
ВИСНОВКИ 
Для вильоту електрону із речовини, йому необхідно мати енергію, щонайменше, рівну роботі виходу, яка залежить від хімічної природи речовини і, в значній мірі, від стану поверхні речовини. Тому в електронних лампах широко використовуються оксидні катоди. 
Явище термоелектронної емісії спостерігається при нагріванні електродів (катодів), воно широко використовується на практиці в електронних лампах, електронно-променевих трубках та ін. Причому густина струму насичення різко збільшується при підвищенні температури катода та при зменшенні роботи виходу. 
Крім термоемісії існують інші її види – вторинна електронна емісія, автоемісія й ін. Ці явища враховуються і використовуються на практиці – в електронних лампах, фотопомножувачах тощо. 

Загалом гази не проводять електричний струм або мають низьку електропровідність, оскільки їхні молекули нейтральні, проте якщо частина атомів газу йонізується, він стає здатним до проводження електричного струму. В газах також можливі газові розряди або при іонізації зовнішнім джерелом, або внаслідок ударної іонізації в самому розряді.

Один із видів йонізації газів — термічна йонізація. При цьому атоми газу йонізуються за рахунок зіткнень між атомами внаслідок підвищення температури — атоми набувають кінетичної енергії, достатньої для звільнення електрона від атома. Проте температури, за яких атоми газів набувають достатньої кінетичної енергії, високі (наприклад, для водню це значення 6 000 К).

Другий вид йонізації газів — йонізація електричним ударом. Дана йонізація відбувається і при низьких температурах внаслідок перевищення напруженості електричного поля в газі певного значення, що зумовлює вихід електрона з атома. Іноді виникають також самостійні електричні розряди, що зумовлюється зіткненням фотонів або позитивних йонів з катодом і ланцюгове повторення реакції, в процесі чого також відбувається збудження атомів газу. Прикладом самостійного електричного розряду є блискавка. Гази, молекули яких за йонізації перетворюються на суміш йонів та електронів, називаються плазмою.

При нагріванні катода електричним розрядом з великою силою струму відбувається його нагрівання до міри термоелектронної емісії електронів з нього (дуговий розряд).

1 Іонізація, газів

2. Самостійний розряд.

3. Типи самостійних газових розрядів.

3.1. Іскровий розряд.

3.2. Дуговий розряд.

3.3. Тліючий розряд.

3.4. Коронний розряд.

Іонізація газів

За звичайних умов (не занадто високі температури; тиски, близькі до атмосферного) гази складаються з нейтральних атомів і молекул і не містять вільних зарядів (електронів та іонів). Тому струм вони не проводять, іншими словами, є ізоляторами. Наприклад, якщо в сухе атмосферне повітря помістити заряджений електрометр із доброю ізоляцією, то його заряд довго залишається незмінним.

Щоб газ почав проводити електричний струм, потрібно створити в ньому вільні носії заряду, тобто заряджені частинки. Цей процес називається іонізацією газу. При цьому в газі відбувається розщеплення нейтральних атомів і молекул на іони і вільні електрони.

Іонізувати газ можна двома шляхами:

1) заряджені частинки вносяться в газ ззовні або створюються дією якого-небудь зовнішнього фактора;

2) заряджені частинки створюються в газі дією електричного поля.

У залежності від способу іонізації електропровідність газів (розряд у газах) називається несамостійною (1) і самостійною (2).

Під дією іонізатора з електронної оболонки атома або молекули виривається один або кілька електронів. Атом (або молекула) перетворюється на позитивний іон (катіон), і утворюються вільні електрони. Вони, у свою чергу, приєднуються до нейтральних молекул і атомів, перетворюючи їх на негативні іони (аніони). Таким чином, в іонізованому газі Містяться катіони, аніони і вільні електрони.

Часто катіони та аніони являють собою не з'єднані іонізовані молекули, а групи молекул, що «прилипли» до негативного або позитивного іона. Тому їхня маса набагато більша, ніж маса окремого атома або молекули.

Для опису іонної провідності не можна використовувати ані закони Фарадея, ані закон Ома.

Закони Фарадея для газів утрачають зміст у силу того, що в розчинах електролітів частинки являють собою або певні атоми, або певні групи атомів, а в газах конгломерати частинок можуть бути якими завгодно.

Закон Ома для газів виконується тільки при малих напругах. Тоді, як і у випадку провідників, що підкоряються законові Ома, залежність сили струму від напруги (тобто вольтамперна характеристика) для них матиме вигляд:

Зі збільшенням напруги вольтамперна характеристика для газів набуває складнішого вигляду:

Проаналізуємо цю криву.

На ділянці ОА (малі напруги) графік показує, що сила струму пропорційна напрузі. На цьому проміжку відбувається збільшення кількості іонів, що проходять за одиницю часу через перетин розряду, а отже, збільшується і сила струму, оскільки швидкість заряджених частинок зростає з посиленням поля. Але незалежно від швидкості руху, кількість частинок, що проходить через розряд за одиницю часу, не може бути більшою за кількість частинок, що утвориться в газі під впливом іонізатора. Ця величина і визначає значення струму насичення. Наведемо приклад розрахунку струму насичення (Iнас). Нехай іонізатор створює за 1 секунду 2 мільйони пар іонів, кожен із яких має заряд 1,5•10-19 Кл. Тоді величина струму насичення дорівнюватиме найбільшому зарядові, що проходить через газ за 1 секунду:

Як бачимо, величина струму насичення залежить від іонізуючої здатності іонізатора, а не від напруги.

Трапляються випадки, коли струму насичення немає. Це відбувається, якщо іонізуюча здатність іонізатора настільки велика, що навіть при великих напругах електричне поле не встигає відводити всі утворені іони. Подібну картину ми можемо спостерігати в розчинах електролітів, коли швидкість утворення іонів у результаті електричної дисоціації дуже велика.

Іонізаторами газів можуть виступати різні зовнішні впливи. Наприклад, у результаті сильного нагрівання швидкість молекул зростає, і їхні зіткнення стають настільки сильними, що вони розбиваються на іони. Таким чином, іонізатором виступає сильне нагрівання. Крім того, іонізувати газ може короткохвильове електромагнітне випромінювання (УФ, рентгенівське, у-випромінювання), корпускулярне випромінювання (потоки електронів, протонів, а-частинок) тощо.

Для того щоб вибити з молекули або атома один електрон, треба витратити певну енергію, необхідну для здійснення роботи іонізації — роботи проти сил взаємодії між електроном, що виривається, та іншими частинками атома або молекули. Вона називається енергією іонізації. Зазвичай її значення коливається для різних атомів у межах від 4 до 25 еВ. Величина роботи іонізації залежить від хімічної природи газу й енергетичного стану електрона, що виривається, в атомі або молекулі.

Процес іонізації має кількісну характеристику — інтенсивність іонізації. Вона вимірюється числом пар іонів, протилежних за знаком, що виникають в одиниці об'єму газу за одиницю часу.

Електричний струм у газах. Несамостійний і самостійний розряди. Поняття про плазму

За звичайних умов гази майже повністю складаються із нейтральних атомів чи молекул, тому є діелектриками. Для того, щоб газ почавпроводити електричний струм, його потрібно забезпечити вільними електричними зарядами. Для цього можна:

1) нагріти газ (З підвищенням температури теплові рухи молекул газу призведуть до втрати електронів молекулами, а отже, й утворення позитивно заряджених іонів. Деякі нейтральні молекули приймуть вільні електрони і стануть негативно зарядженими іонами, крім того, самі вільні електрони зможуть створити струм. Чим вища температура, тим більше вільних електронів.);

2) помістити в газ джерело радіоактивного випромінювання;

3) помістити в газ нагріту металеву нитку, з якої будуть випаровуватись вільні електрони, які і створять струм.

Отже, щоб газ проводив електричний струм, в нього треба помістити іонізатор. Завдяки іонізації в газі утворюються вільні носії електричного заряду - іони та електрони.

Процес проходження електричного струму через газ називають газовим розрядом.

Після припинення дії іонізатора газ перестає бути провідником. Струм припиняється після того, як усі іони й електрони досягнуть електродів. Крім того, під час зближення електрон і позитивно заряджений іон можуть знову втратити нейтральний атом. Такий процес називаютьрекомбінацією заряджених частинок.

Помістимо в газ два металеві електроди, до яких прикладено напругу U. Тиск газу в трубці бажано знизити. Помістимо в трубці іонізатор, який буде утворювати певне число вільних зарядів за одиницю часу (рис. 4.3.5). Постійно підвищуючи напругу, будемо вимірювати силу струму вколі. Результати нанесемо на графік (рис. 4.3.6).

Значення сили струму в газі буде зростати зі збільшенням прикладеної напруги, згідно із законом Ома для ділянки кола, а коли досягне деякого значення, стане незмінним, що вкаже на стан насиченості в трубці. Це означає, що всі носії, які утворює іонізатор, беруть участь у створенні струму. Якщо дію іонізатора припинити, то припиниться і розряд, оскільки інших джерел іонів немає. Тому такий розряд називаютьнесамостійним.

Будемо і далі продовжувати підвищувати напругу на електродах. За деякої граничної напруги в трубці знову почне зростати сила струму (рис. 4.3.7).

Це означає, що в газі з'являються додаткові іони до тих, що утворилися внаслідок дії іонізатора. Сила струму при цьому може зрости в сотні разів, а число іонів, які виникнуть у процесі розряду, може стати таким великим, що зовнішній іонізатор буде вже непотрібним для підтримання розряду. Якщо забрати зовнішній іонізатор, то розряд не припиниться. Розряд, який може існувати без зовнішнього іонізатора, називаютьсамостійним розрядом.

Причиною різкого збільшення сили струму у разі великих напруг (рис. 4.3.7) є зростання кінетичної енергії електронів, що утворилисявнаслідок дії зовнішнього іонізатора. На своєму шляху електрон зіштовхується з іонами і нейтральними атомами. Кінетична енергія електрона перед черговим зіткненням пропорційна напруженості поля і довжині вільного пробігу електрона (шляху між двома послідовними зіткненнями):

.

Якщо кінетична енергія електрона більша за роботу іонізації Ai, яку треба виконати, щоб іонізувати нейтральний атом, тобто

,

то під час зіткнення електрона з атомом відбувається іонізація. Кількість заряджених частинок швидко наростає, виникає електронна лавина. Цей процес називають іонізацією електронним ударом. Однак цього замало. Для підтримання такого розряду потрібна емісія електронів з катода. Цьому сприяють швидкі позитивні іони, що утворюються після зіткнення електронів з нейтральними атомами і внаслідок дії електричного полявдаряються об катод.

Залежно від властивостей і стану газу, а також від якостей і розміщення електродів, прикладеної до них напруги виникають різні види самостійного розряду в газах. Якщо тиск низький, виникає тліючий розряд. За атмосферного тиску можна отримати електричну дугу, короннийта іскровий розряди.

Тліючий розряд використовують у газоосвітлювальних лампах. Електрична дуга є потужним джерелом світла і широко використовується впрожекторах, установках для зварювання і різання металів тощо. Прикладом велетенського іскрового розряду є блискавка. Іскровий розрядвикористовують для запалення суміші палива і повітря у двигунах внутрішнього згоряння, для точної обробки металів тощо.

Коронний розряд, що виникає за атмосферного тиску поблизу загострених ділянок провідника, у разі великого заряду має вигляд корони, що світиться навколо вістря. Його використовують в електричних фільтрах для очищення промислових газів від домішок.

Якщо температури досить високі, розпочинається іонізація газу через зіткнення атомів чи молекул, які швидко рухаються. Речовина переходить в новий стан - плазму.

Плазма - це частково чи повністю іонізований газ, в якому густини позитивних і негативних зарядів майже збігаються. Плазма вважається четвертим станом речовини. У повністю іонізованій плазмі електрично нейтральних атомів немає, тому плазма дуже добре проводить струм. У цілому плазма являє собою електрично нейтральну систему.

Поряд з нагріванням іонізація газу і утворення плазми можуть бути викликані різними способами, наприклад, бомбардуванням атомів газу швидкими зарядженими частинками. При цьому утворюється низькотемпературна плазма.

Через велику рухливість заряджених частинок у плазмі, вони легко переміщуються під дією електричного і магнітного полів, тому будь-які локальні порушення електронейтральності плазми швидко ліквідуються.

На відміну від нейтрального газу, між молекулами якого є короткодіючі сили, між зарядженими частинками плазми діють кулонівські сили, які порівняно повільно зменшуються з відстанню. Кожна частинка взаємодіє одночасно з багатьма навколишніми частинками. Завдяки цьому частинки можуть брати участь не тільки в хаотичному тепловому русі, а і в упорядкованих (колективних) рухах. У плазмі легко збуджуються різні коливання й хвилі.

Провідність плазми підвищується зі зростанням ступеня іонізації. За високої температури повністю іонізована плазма за своєю провідністю наближається до надпровідників.

У стані плазми перебуває близько 90 % речовини Всесвіту (Сонце, зорі, міжзоряний простір).

Плазма оточує нашу планету. Верхній шар атмосфери на висоті 100 - 300 км є іонізованим газом - іоносферою. Полум'я запаленого сірника це також плазма.

Плазма виникає при всіх видах розряду в газах: тліючому, дуговому, іскровому тощо. Таку плазму називають газорозрядною. Їївикористовують у лазерах.

Струмінь плазми застосовують у магнітогідродинамічних генераторах, плазмотронах. Потужні струмені плазми застосовують для різання і зварювання металів, буріння свердловин, прискорення перебігу хімічних реакцій тощо.

Найбільші перспективи фізики вбачають у застосуванні високотемпературної плазми (T > 108 К) для створення керованих термоядерних реакцій.

Тема 12. Магнітне поле у вакуумі.

Магнітне поле у вакуумі . (2 год.)

Мета: Ввести поняття магнітної індукції.

План

  1.  Магнітна індукція. Закони Ампера, Біо-Савара, Лапласа. Принцип суперпозиції.
  2.  Магнітне поле прямого і колового струмів. Циркуляція вектора напруженості.
  3.  Поле тороїда і соленоїда
  4.  Магнітний потік. Теорема Гауса..

Магнитный момент контура с током. Магнитная индукция

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой, напрмер, токи Iпритягиваются, а токи Iотталкиваются. Взаимодействие токов осуществляется через поле, которое называется магнитным. Следовательно, движущиеся заряды (токи ) изменяют свойства окружающего их пространства - создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы. Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный заряд, применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров . Будем называть такой контур пробным контуром.

Ориентацию его в пространстве характеризует направление нормали к контуру, восстанавливаемой по правилу правого буравчика: вращаем рукоятку правого буравчика по направлению тока в контуре, тогда направление его поступательного движения даст направление нормали (см. рис. 1). Помещая пробный контур в магнитное поле, обнаружим, что поле стремится повернуть контур (нормаль) в определенном направлении.

Вращающий момент, действующий на контур, зависит как от свойств магнитного поля в данной точке, так и от свойств контура. Оказывается, что максимальная величина вращающего момента пропорциональна IS, т.е. M ~ IS, где I -ток контуре, S - площадь контура с током, (рис. 1). Векторную величину  (1)

называют магнитным моментом контура, который в СИ измеряется в А×м2.

На пробные контуры с разными рm, помещаемыми в данную точку магнитного поля, будут действовать разные по величине максимальные вращающие моменты М, но отношение М / рбудет для всех контуров одинаково, оно будет являться силовой характеристикой магнитного поля, которая называется магнитной индукцией

В = М . (2)

Магнитная индукция есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали контура с током, свободно установившегося во внешнем магнитном поле(см.рис.2)

Поле вектора В можно представить с помощью силовых линий, (см. рис. 2), как и поле вектора ; таким образом В является аналогом Е.Магнитная индукция в СИ измеряется в теслах: 1 Тл=1 Нм/1 А×м2. Тесла равен магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский контур с током, который имеет магнитный момент 1 А м2, действует максимальный вращающий момент, равный 1 Нм.

На контур с током, помещенный в магнитное поле с индукцией , действует вращающий момент . (3)

Величина его M = 

при  имеем М = M= pB , при  = 0 или  = , M= 0.

Ампер нашел, что на элемент тока Id, помещенный в магнитное поле с индукцией , действует сила . (4)

Произведение I называют элементом тока, где  - вектор, совпадающий с элементом участка тока и направленный в сторону, в которую течет ток.

Закон Био - Савара - Лапласа

Био, Савар и Лаплас установили закон, который позволяет вычислить магнитную ин дукцию поля, созданного элементом тока Id на расстоянии  от него:

dB = , (5)

т.е. индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока Id точке А, (см. рис. 3), на расстоянии r от него, пропорциональна величине элемента тока и синусу угла a, равного углу между направлениями элемента тока Id и , а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; Гн / м - магнитная постоянная.

Закон Био - Савара - Лапласа в векторной форме имеет вид: d=. (6)

Закон Био - Савара - Лапласа позволяет вычислить магнитную индукцию поля любых систем токов, используя принцип суперпозиции магнитных поля = . (7)

Применим закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции (7) к расчету магнит ных полей следующих токов:

Из рис. 4 с учетом (6) находим, что d плоскости, в которой лежат d и ; далее можно найти ,откуда, принимая во внимание, что получаем . С учетом этого из (5) находим:

интегрируя последнее равенство, получаем:

(8)

Для бесконечно длинного проводника и из (8) следует, что

(9)

C учетом (4) и (9) cила взаимодействия двух бесконечно длинных тонких и параллельных проводников . (10)

Пусть I1 = I2 = I, r0 = 1м, l = 1м, F = Н, тогда