83215

Подземная нефтегазовая гидромеханика (ПГМ)

Дипломная

География, геология и геодезия

Для процессов происходящих в нефтегазовых пластах при разработке характерно наличие периодов изменения параметров течения во времени пуск и остановка скважин проведение работ по интенсификации притока. От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта.

Русский

2015-03-12

1.85 MB

23 чел.

ВВЕДЕНИЕ

Подземная нефтегазовая  гидромеханика (ПГМ) –  наука о движении нефти,  воды,  газа и их смесей по коллекторам. Коллектора – это горные  породы, которые могут служить хранилищами нефти, газа, воды и отдавать их при разработке.  Жидкость,  газ, смесь жидкости и газа,  то есть  всякая текучая среда, часто  именуется общим термином флюид, если не ставится задача выделить характерные особенности движения данной среды.

ГЛАВА 1. ФИЗИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ  ПОДЗЕМНОЙ   ГИДРОМЕХАНИКИ

1.1. Понятие о моделировании

Особенностью  подземной гидромеханики является   одновременное рассмотрение процессов в областях,  характерные размеры которых различаются на порядки – от микрометров (размеры пор и трещин) до десятков и сотен километров (протяженность месторождений). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерные размеры практически любого масштаба.

Указанные неоднородности по строению залежей, а также значительная широта фациального состава коллекторов  и сложный нерегулярный характер структуры порового пространства обуславливают ограниченность и приближенность сведений о пласте и флюидах,  полученных в результате геологических и геофизических исследований. Таким образом, исследование пластов невозможно без абстрактного (математического) и физического (лабораторного) моделирования.

При абстрактном моделировании реальные процессы описываются некоторой математической  моделью, полученной на основе  осреднения характерных параметров по времени,  пространству и статистической выборке. Это осреднение позволяет  перейти  от  дискретных  распределений к непрерывным и, следовательно, использовать  хорошо  разработанные  методы механики сплошных сред и дифференциального исчисления.

Математическое моделирование  предполагает  использование  целого ряда зависимостей, позволяющих в той или иной мере отожествить математическую модель с реальными физическими средами и процессами.

В  силу разнообразия реальных сред,  процессов и огромного числа взаимосвязанных факторов для получения данных зависимостей в подземной  гидромеханике широко используется физическое моделирование,  основанное на теории подобия.

Адекватность абстрактных и физических моделей реальным  процессам требует выполнения некоторых требований при их построении:

полнота – содержание достаточного числа признаков реального объекта;

непротиворечивость – включенные признаки не должны противоречить друг другу;

реализуемость – построенная математическая модель должна допускать аналитическое или  численное решение,  а физическая – реализацию в искусственных условиях;

компактность и экономичность –  процессы сбора информации, подготовка и реализация модели должны быть максимально просты, обозримы и экономически целесообразны.

При моделировании  пластов  и фильтрационных процессов необходимо помнить о принципиальной невозможности достижения точного количественного описания,  и, следовательно, основная задача исследования заключается в установлении качественных закономерностей,  устойчивых  тенденций,  а также количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью моделирования является не столько точное определение всех характеристик процесса,  сколько расширение той совокупности сведений,  которые учитываются при выборе системы разработки  или  метода воздействия  на пласт.  При этом уточнение и коррекция данных сведений возможны только на основе анализа последующего поведения пласта. Решающую роль  играет постановка задачи и такой анализ результатов ее реализации, который позволяет сделать некоторые общие заключения.  Следует иметь в виду, что усложнение модели путем увеличения признаков сверх определяющих основные закономерности  может привести  не  к  увеличению точности, а  к  получению качественно неверных результатов.

1.2. Модели фильтрационного течения, флюидов и   коллекторов

1.2.1. Модели фильтрационного течения

Теория фильтрации  строится  на  представлении породы и заполняющего ее флюида сплошной средой. Это означает необходимость осреднения кинематических и динамических параметров по пространству, которое требует малости  элементов системы флюид – порода,  но при этом они должны быть достаточно большими по сравнению с размерами пустот и зерен породы.  При этом предполагается, что в одном и том же элементарном объеме содержатся одновременно порода и флюид.

При исследовании фильтрационного течения в подземной гидромеханике изменением температуры флюида пренебрегается по причине малых скоростей течения и значительного теплообмена со скелетом пород, вследствие значительной поверхности контакта и значительного превышения теплоёмкости горных пород над теплоёмкостью флюида.  Таким образом, процесс течения предполагается изотермическим. Необходимо отметить, что в отдельных случаях (тщательное изучение призабойной зоны, использование термических методов интенсификации добычи флюидов) используют и общую постановку –  с учётом изменения температуры не только флюида, но и породы.

Для процессов, происходящих в нефтегазовых пластах при разработке, характерно наличие периодов изменения параметров течения во времени (пуск и остановка скважин, проведение работ по интенсификации притока). Такие процессы называют неустановившимися (нестационарными), а сами модели течения нестационарными. Те же модели, которые описывают процессы, не зависящими от времени, называют стационарными (установившимися). При этом в данных моделях, по причине малости изменения скорости и значительного преобладания сил сопротивления над инерционными силами, уравнение количества движения используется, не зависящим от времени,  и пренебрегается изменением  импульса по пространству.

Моделирование фильтрационного течения по отношению к пространственному изменению параметров может проводиться в одномерной, плоской и пространственной постановках. Одномерная постановка рассматривается в том случае,  когда параметры являются функцией только одной переменной – это течение по прямой или кривой.

1.2.2. Модели флюидов

По степени сжимаемости. Природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели  требует привлечения эмпирических уравнений состояния – соотношений, связывающих изменение объёма с изменением давления.

Гомогенные и многофазные модели. В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.), в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне, и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными.

Ньютоновские и неньютоновские жидкости. В процессе движения флюиды испытывают различные деформации (сжатие, кручение, растяжение и т.д.) при изменении нагрузки (трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом.  Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений txy  на сдвиговую деформацию применяют соотношение Ньютона  , где ux – скорость в направлении  х; у – направление, перпендикулярное х.

Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, например, при страгивании пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель – моделью неньютоновского течения.

1.2.3. Модели коллекторов

Моделирование коллекторов и, соответственно, классификация их параметров проводится по трём направлениям: геометрическое, механическое и связанное с наличием жидкости.

Геометрические модели. С геометрической точки зрения, все коллектора можно подразделить на две большие группы: гранулярные (поровые) (рис. 1.) и трещинные (рис.2). Ёмкость и фильтрация в пористом коллекторе определяется структурой порового пространства между зёрнами породы. Для второй группы характерно наличие развитой системы трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, структурных условий и так далее.

Чаще всего имеют место коллектора смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, а ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит развитой системе микротрещин, сообщающих эти пустоты между собой. В зависимости  от вида путей фильтрации или главных вместилищ флюида различают коллектора: трещинно-пористые, трещинно-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот, по которым происходит фильтрация.

С целью количественного описания фильтрационно - ёмкостных параметров реальные сложные породы заменяют идеализированными моделями.  

Рис. 1.3. Слепок поровых

каналов сцементированного песчаника

Идеализированные модели пористых сред.  Реальные горные породы имеют очень сложную геометрию (рис.1.3) порового пространства или трещин. Кроме того, размеры частиц гранулярных коллекторов или трещин в трещиноватых породах меняются в очень широких пределах – от микрометров до сантиметров. Естественно, что математическое описание течения через столь хаотическую структуру невозможно и, следовательно, необходима некоторая идеализация структуры.

Рис. 1.4. Элемент фиктивного грунта

Фиктивный грунт – среда, состоящая из шариков одного размера, уложенных во всем объёме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра (рис.1.4). Острый угол раствора ромбоэдра меняется от 60 до 90о. Наиболее плотная укладка частиц при =60о и наименее плотная при =90о (куб)

С целью более точного описания реальных пористых сред в настоящее время предложены более сложные модели фиктивного грунта: с различными диаметрами шаров, элементами не шарообразной формы и так далее.

Идеальный грунт – среда, состоящая из трубочек одного размера, уложенных одинаковым образом по элементам из четырех трубочек в углах ромба. Плотность укладки меняется от угла раствора ромба.

Идеализированные модели  трещинно-пористых сред. Трещинно-пористые коллекторы рассматриваются как совокупность двух разномасштабных пористых сред (рис.1.2): системы трещин (среда 1), где пористые блоки играют роль “зёрен”, а трещины – роль извилистых “пор” и системы пористых блоков (среда 2).

В простейшем случае трещинный пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин некоторой протяженности    (рис.1.5), причём все трещины одинаково раскрыты и равно отстоят друг от друга (одномерный случай).

Рис.1.5. Схема одномерной                         Рис.1.6 Схема пространственной

модели трещинной среды                               модели трещинной среды

В большинстве случаев трещинный пласт характеризуется наличием двух взаимно-перпендикулярных систем вертикальных трещин (плоский случай). Такая порода может быть представлена в виде модели коллектора, расчленённого двумя  взаимно-перпендикулярными системами трещин  с равными величинами раскрытия  и линейного размера блока породы l. В пространственном случае используют систему трёх взаимно-перпендикулярных систем трещин (рис.1.6).

Механические модели. Реологические модели горных пород. Всякое изменение сил, действующих на горные породы, вызывает их деформацию, а также изменение внутренних усилий – напряжений. Таким образом, динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические зависимости получают в результате анализа экспериментальных данных, натурных исследований или физического моделирования. Если объём пустот не изменяется или изменяется так, что его изменением можно пренебречь, то такую среду можно назвать недеформируемой. Если происходит линейное изменение объёма от напряжения, то такая среда – упругая, иначе ещё её называют кулоновской. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. В упругих телах при снятии нагрузки объём восстанавливается полностью и линия нагрузки совпадает с линией разгрузки. Многие породы деформируются с остаточным изменением объёма, т.е. линия нагрузки не совпадает с линией разгрузки. Такие породы называются пластичными (глины), текучими (несцементируемые пески) или разрушаемыми.

Модели по ориентированности в пространстве. Горные породы необходимо разделять по  ориентированности  изменения их характеристик в пространстве.  С этой позиции выделяют изотропные и анизотропные тела.  Изотропия – это независимость изменения физических параметров  от  направления,  анизотропия – различные изменения по отдельным направлениям.  Понятие  ориентированности,  применительно  к коллекторам, связано с геометрией расположения частиц,  трещин. Частицы горной породы могут располагаться хаотически и упорядочно (иметь геометрическую ориентацию). Упорядочные структуры  –  анизотропны  по  поверхностным параметрам.

1.2.4. Характеристики коллекторов

С точки зрения теории фильтрации значение твердого скелета горной породы, прежде всего,  геометрическое –  он  ограничивает  ту  область пространства, в  которой  движется  жидкость. Свойства горных пород описываются некоторым набором  геометрических  характеристик, осредненных  по достаточно малому,  по сравнению с исследуемым объемом, но содержащему большое число элементов (частиц, пор, трещин).

Параметры пористой среды. Важнейшая характеристика  –   полная пористость  "mо",  равная отношению объема пор Vп к общему объему элемента V

.  (1.1)

В связи с тем,  что переток жидкости осуществляется через  поверхность, представляется необходимым введение параметра,  связанного с площадью. Такой геометрический параметр называется просветностью "ms " и определяется как отношение площади просветов Fп ко всей площади сечения образца F

.  (1.2)

Пользоваться такими  поверхностными  параметрами  практически  не представляется возможным,  так как в реальных породах они меняются от сечения  к сечению и определить их можно только с помощью микроскопического анализа.  Следовательно, данные параметры следует заменить  объемными, которые можно определить достаточно надежно. Выше отмечалось, что породы можно разделить на два класса: изотропные и анизотропные. Для анизотропных коллекторов с упорядоченной структурой данные параметры нельзя заменять на объемные.  Для хаотичных, изотропных сред  указанная  замена  возможна и просветность полагают равной пористости.

В  пористой среде есть тупиковые  и замкнутые поры, в которых движения жидкости не происходит. В связи с этим, вполне обосновано введение понятия открытой пористости, которая описывается соотношением (1.1) , но под Vп  понимается объём открытых пор Vпo.

В реальных условиях твердые зерна породы обволакиваются тонкой плёнкой, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. В этом случае подвижный флюид занимает объём, меньший Vпo,  и, поэтому, наряду с открытой пористостью часто пользуются понятием динамической (эффективной) пористости  

, (1.3)

где Vпод – объем, занятый подвижной жидкостью.

В дальнейшем, под пористостью мы будем понимать динамическую пористость, кроме специально оговорённых случаев.

Пористость твердых материалов (песок,  бокситы и  т.д.)  меняется незначительно при изменении даже больших давлений, но пористость, например глины, очень восприимчива к сжатию.  Так  пористость  глинистого сланца при  обычном  давлении  равна 0.4 – 0.5,  а на глубине 1800м – 0.05. Для  газовых  и  нефтяных  коллекторов  в  большинстве  случаев m=15–22%, но может меняться в широких пределах: от нескольких долей процента до 52%.

Пористость и просветность фиктивного грунта не зависят от диаметра шарообразных частиц, а зависят только от степени укладки. Для реальных сред коэффициент пористости зависит от плотности укладки частиц и их размера – чем меньше размер зёрен, тем больше пористость. Это связано с ростом образования сводовых структур при уменьшении размера частиц.

В идеализированном представлении коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для того, чтобы формулы, описывающие фиктивный грунт, можно было применить для описания реальной среды, вводится линейный размер порового пространства, а именно, некоторый средний размер порового канала  или отдельного зерна пористого скелета d.

Рис.1.7. Гистограмма распределения частиц по размерам

Простейшая геометрическая характеристика пористой среды – эффективный диаметр частиц грунта. Определяют его различными способами – микроскопическим, ситовым, осаждением в жидкости (седиментационным) и так далее. Эффективным диаметром частиц dэ, слагающих реальную пористую среду, называют такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково. Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу (рис.1.7), например, по формуле веса средней частицы

,  (1.4)

где di – средний диаметр i - й фракции; ni – массовая или счетная доля i - й фракции.

Для того, чтобы привести в соответствие диаметр частиц, определённый ситовым или микроскопическим методами, с гидравлическим,  данный диаметр умножают на коэффициент гидравлической формы. Если же диаметры определяются гидродинамическими (седиментационными) методами, то они не требуют указанного уточнения.

Эффективный диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой пористой среды, потому что он не даёт представления об укладке частиц, их форме. В то же время два образца грунта, имеющих равные эффективные диаметры, но различную форму частиц и структуру укладки, имеют различные фильтрационные характеристики.

Таким образом, для определения геометрической структуры пористой среды, кроме пористости и эффективного диаметра, нужны дополнительные  характеристики. Одной из таких характеристик является гидравлический радиус пор R, который связан с диаметром частиц породы.

Динамика фильтрационного течения, в основном, определяется трением флюида о скелет коллектора, зависящего от площади поверхности частиц грунта. В связи с этим, одним из важнейших параметров является удельная поверхность Sуд суммарная площадь поверхности частиц, содержащихся в единице объёма.

Удельная поверхность нефтесодержащих пород с достаточной точностью определяется формулой

, (1.5)

Среднее значение Sуд для нефтесодержащих пород изменяется в пределах 40 – 230 тыс. м23. Породы с удельной поверхностью большей 230 тыс. м23 непроницаемы или слабопроницаемы (глины, глинистые пески и так далее).

В практике нефтегазодобычи помимо чисто геометрической характеристики доли пустот (пористости) вводят параметры, связанные с наличием нефти, газа или воды:

а) насыщенность – отношение объёма Vf данного флюида, содержащегося в порах, к объёму пор Vп.

.  (1.6)

По виду флюида различают нефтенасыщенность, газонасыщенность, водонасыщенность.

б) связанность – отношение объёма, связанного с породой флюида V, к объёму пор

. (1.7)

Важнейшей характеристикой фильтрационных свойств породы является проницаемость. Проницаемость – параметр породы, характеризующий её способность пропускать флюиды. Различают проницаемости: абсолютную, эффективную или фазовую и относительную. Абсолютная проницаемость – свойство породы и не зависит от свойств фильтрующегося флюида и перепада давления, если нет взаимодействия флюидов с породой. Фазовой называется проницаемость пород для данного флюида при наличии в порах многофазных систем. Значение её зависит не только от физических свойств пород, но также от степени насыщенности порового пространства флюидами и их физических свойств. Относительной проницаемостью называется отношение фазовой проницаемости к абсолютной.

Физический смысл проницаемости k заключается в том, что проницаемость характеризует площадь сечения каналов пористой среды, по которым происходит фильтрация.

Для реальных сред радиус пор связан с проницаемостью формулой Котяхова

,   (1.8)

где k – д; R – м;  – структурный коэффициент (=0.5035/m1,1 – для зернистых сред).

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах 100–1000 мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли мдарси. Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, то есть, размерами и формой частиц, а также системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной  схематизированной  модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.

Проницаемость можно рассчитать по известной удельной поверхности:  

. (1.9)

Параметры трещинной среды. Аналогом пористости для трещинных сред является трещиноватость mт или, иначе, коэффициент трещиноватости. Иногда данный параметр называют трещинной пористостью. Трещиноватостью называют отношение объёма трещин Vт ко всему объёму V трещинной среды.

. (1.10)

Для трещинно-пористой среды вводят суммарную (общую) пористость, прибавляя к трещиноватости пористость блоков.

Второй важный параметр – густота. Густота трещин Гт – это отношение полной длины  li всех трещин, находящихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения F

(1.11)

Из (1.11) следует, что для идеализированной трещинной среды

mт=Гт,  (1.12)

где т – раскрытость трещин; – безразмерный коэффициент, равный 1,2, 3 для одномерного, плоского и пространственного случаев, соответственно.

Для реальных пород значение коэффициента зависит от геометрии систем трещин в породе.

Для квадратной сетки трещин (плоский случай) Гт=1 / lт, где lт – размер блока породы. Средняя длина трещин l* равняется среднему размеру блока породы и численно обратно пропорциональна густоте

l*=1 / Гт .   (1.13)

В качестве раскрытости (ширины трещины) берут среднюю величину по количеству трещин в сечении F. Среднюю гидравлическую ширину определяют, исходя из гидравлического параметра – проводимости системы трещин.

Трещинный пласт – деформируемая среда. В первом приближении можно считать

,  (1.14)

где т0 – ширина трещины при начальном давлении р0 ;

*т=п l /т0 – сжимаемость трещины;    п – сжимаемость материалов блоков; l – среднее расстояние между трещинами.

Для трещинных сред l/т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

Аналитическое и численное исследование задач гидрогазодинамики связано с применением основных законов сохранения (массы, импульса и энергии) в дифференциальной форме. Ранее уже говорилось, что для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиться уравнениями баланса массы (неразрывности) и количества движения (импульса).

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны, где  из-за значительных перепадов давления значительно влияние  дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, определяющих зависимость силы трения, пористости и ряда другиз параметров от давления и скорости фаз.

Кроме того, для получения однозначного решения, необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение.

2.1. Скорость фильтрации

При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=w Fп,  (2.1)

где w – действительная средняя скорость жидкости; Fп – площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,

Q=w m F.   (2.2)

Величина  

u= w m   (2.3)

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то  скорость фильтрации всегда меньше средней.

Физический смысл  скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:

  1.  расход через любое сечение равен реальному расходу,
  2.   поле давлений идентично реальному потоку,
  3.   сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока.

Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3).

2.2. Общая система уравнений подземной  гидромеханики

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

  1.  уравнение неразрывности

;   (2.4)

  1.  уравнение сохранения количества движения

. (2.5)

В уравнении (2.5):

  1.  в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь;
  2.  разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь;
  3.  силу сопротивления Fc  по аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде

.

Таким образом, уравнение (2.2) вырождается  в следующее

,

то есть, получаем уравнение, линейно связывающее  скорость фильтрации с градиентом давления.

Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси:

,     (2.6)

где р*=р+zg,  z – вертикальная координата.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившемся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся  фильтрации и уравнение неразрывности принимает вид

.  (2.7)

В вышеприведенных уравнениях:

;

;

(a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k – единичные векторы по осям декартовой системы  координат; e , e , er, ez – по осям сферической системы; , , r  и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол  определяет изменение меридианного угла, а угол   широтного.

Для несжимаемой жидкости (=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

. (2.8)

2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации)

2.3.1. Пористая среда

 В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н12 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения  F ,заполненной пористой средой.

Закон Дарси  имеет вид

, (2.9)

где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; – гидравлический напор при пренебрежении скоростным напором; р/ – пьезометрическая высота.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

 (2.10)

или в векторной форме

,  (2.11)

где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации «с» характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой.  При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

 (2.12)

или

. (2.13)

Из сравнения (2.10) и (2.12) имеем

. (2.14)

Границы применимости закона Дарси. Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

  1.   скорость фильтрации и градиент давления малы;

b)  изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости  закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa/μ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w –характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды; – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва:

  (2.15)

где

Критическое число Рейнольдса Reкр=1–12.

Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

, (2.16)

представляющим собой отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях  становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

. (2.17)

 Законы фильтрации при Re > Reкр. От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение нелинейных законов фильтрации. Данные законы могут быть: одночленными и двухчленными.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

 (2.18)

где C, n – постоянные, 1 n 2.

Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному закону Краснопольского:

  (2.19)

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

 (2.20)

где структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

  (2.21)

2.3.2. Трещинная среда

Линейный закон фильтрации. В трещинных пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

u=mтw.   (2.22)

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

 (2.23)

Если использовать зависимости (2.23), (1.12), то получаем линейный закон фильтрации в трещинных средах

 (2.24)

Проницаемость трещинных сред равна

 (2.25)

Для трещинно-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма пористой и трещинной проницаемостей.

Трещинно-пористую среду следует считать  деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет изменяться с изменением давления, а именно:

 (2.26)

Данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В  общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.

Границы применимости линейного закона фильтрации. Так же, как и в пористых средах, в трещинных породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Reкр=500, а для шероховатых трещин – 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещинной среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

,   а  Reкр=0,4. (2.27)

2.4. Уравнения потенциального движения для пористой среды

Потенциальным течением будем называть  течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно,  потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

.  (2.28)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.29)

или, учитывая закон Дарси,

.  (2.30)

Здесь u вектор массовой скорости фильтрации; grad – градиент , направленный в сторону быстрейшего возрастания  .

Уравнение (2.30)  – это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.30)в (2.4), получаем

,   (2.31)

а для установившегося течения

. (2.32)

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции , а оператор  оператором Лапласа.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

 ,

где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты.

Уравнение Лапласа имеет два  практически важных свойства:

  1.   сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;
  2.   произведение частного решения на константу – также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.

2.5. Уравнения фильтрации для  трещинно-пористой среды

В чисто трещинном пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещинно-пористой среды следует учитывать её характерные особенности:

  1.  моделирование связано  с порами разных масштабов (среда 1 – роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен –  пористые блоки; среда 2 – обычная пористая среда, образующая блоки);
  2.  между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещинно-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещинно-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что  в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:

.  (2.33)

Для жидкости в пористых блоках

.   (2.34)

Здесь q1,2 – масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL-3T-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).

Будем полагать, что q1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q1,2= (2 - 1),  (2.35)

где   коэффициент переноса, размерности L-2.

Для чисто трещинного пласта считаем q1,2=0 и тогда  будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещинно-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р12, получаем

   (2.36)

Для чисто трещинного пласта

.    (2.37)

2.6. Начальные и граничные условия

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для данного уравнения.

2.6.1. Начальные условия

= о(x,y,z) при t = 0, (2.38)

если при t = 0 пласт не возмущён, то  = о = const.

2.6.2. Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница  Г

1)постоянный потенциал

(Г,t)=к=const, (2.39)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fu = const, т.е. используя уравнение (2.30),

 (2.40)

3) переменный поток массы через границу

  (2.41)

4) замкнутая внешняя граница

(2.42)

5) бесконечный пласт

limx (Г,t) = к = const.   (2.43)

      у

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc

(rc , t)=c=const ;       (2.44)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)     или

при r=rc; (2.45)

3) переменный потенциал на забое

(rc ,t)=f2(t)   при    r=rc;  (2.46)

4) переменный массовый дебит

 при r=rc;   (2.47)

5) неработающая скважина

при r=rc.    (2.48)

2.7. Замыкающие соотношения

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей , m, k, μ от давления.

2.7.1. Зависимость плотности  от давления

Различают жидкости:

а) Несжимаемую –  =соnst.  (2.49)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения  объёма нефти и воды при снижении давления

,       (2.50)

где – коэффициент объёмного расширения жидкости, Vс – объём жидкости;

с= (7–30)10-10 Па-1 – для нефти и (2,7–5)10-10Па-1 – для пластовой воды.

с) Сжимаемую  – газ. До рпл < 9 МПа и     р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р= R T,  (2.51)

где R – газовая постоянная.

Совершенный газ – это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const) используют соотношение

.  (2.52)

Если рпл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=z R T  (2.53)

или двузпараметрические уравнения состояния, типа Редлиха – Квонга.

В уравнении (2.53):  z – коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.

2.7.2. Зависимость вязкости от давления

При давлениях меньше давления насыщения можно считать, что вязкость не зависит от давления, а при больших значениях давления

.  (2.54)

2.7.3.  Зависимость пористости от давления

Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды – эффективным давлением эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что

эф + рпл = ргорн = const.  (2.55)

Здесь рпл – пластовое давление; ргорн= горн g Hгорное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности горн; Н – глубина залегания пласта.

При разработке рпл падает и, согласно (2.55), растёт эф. Увеличение эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

,   (2.56)

где т – коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 – 2)10-10Па-1.

2.7.4. Зависимость проницаемости от давления

В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

.   (2.57)

При р < 10 МПа показатель в (2.27, 2.33 –2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

,   (2.58)

где  – общее обозначение вышеприведённых параметров.

ГЛАВА 3. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

При данных условиях    t=0 и  =0.  (3.1)

3.1. Виды одномерных потоков

Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

  1.  прямолинейно-параллельный:
  2.  плоскорадиальный;

радиально-сферический.

3.1.1. Прямолинейно-параллельный поток

Рис. 3.1. Схема прямолинейно-параллельного течения

 Траектории всех частиц жидкости – параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями, перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат – ось х.

Примеры

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин  расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем лучше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой – галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно–параллельным.

б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин  в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) В лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой или трещинной средой.

3.1.2. Плоскорадиальный поток

a b

Рис. 3.2. Схема плоскорадиального течения: a – горизонтальное сечение; b –вертикальное сечение

Траектории всех частиц жидкости – прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины,  а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

Примеры

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины h и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис.3.2), то есть. вскрыт на всю толщину, и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток – радиально-сходящийся, а для нагнетательной – радиально-расходящийся. Плоскорадиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически несовершенная скважина (скважина с перфорированным забоем – несовершенство по характеру вскрытия или не полностью вскрывшая пласт – несовершенство по степени вскрытия). Вблизи скважины линии тока искривляются, и поток можно считать плоскорадиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин – поток плоскорадиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

3.1.3. Радиально-сферический поток

Траектории всех частиц жидкости – прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Рис. 3.3. Схема радиально-сферического течения

Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефтегазопромысловой практики. Естественно, моделируя реальное течение одним из трёх указанных видов, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее, рассмотренные схемы не только воспроизводят, хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

3.2. Исследование одномерных течений

3.2.1. Задача исследования

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

3.2.2. Общее дифференциальное уравнение

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки:

  1.  от галереи (для прямолинейно- параллельного потока);
  2.  от центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока);
  3.  от центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока.  Из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом

u= G /F( r ),  (3.2)

где F=F(r) – площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов  одномерных потоков:

  1.  прямолинейно-параллельный поток  – F( r ) =Bh;
  2.  плоскорадиальный  поток                      – F( r ) =2 h r;
  3.  радиально-сферический поток           – F( r ) = 2 r2.

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, то есть галерея или скважина – эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное  уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

,  (3.3)

где А и j имеют  следующие значения:                     

  1.  прямолинейно-параллельный поток  – A = Bh,    j = 0; 
  2.  плоскорадиальный  поток                      – A = 2 h, j = 1;
  3.  радиально-сферический поток            – A = 2,    j = 2.

Параметр j получил название показателя формы потока, так как характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим:

,  (3.4)

где С – произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

.  (3.5)

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи:

  1.  Известны постоянный массовый дебит G и значение потенциала  на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G=G0 = const,   =  k  при   r=rk).

Подставляя данные значения в (3.4), получаем:

.   (3.6)

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G0 = const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Таким образом, =  с  при   r = rc ;   = k  при   r = rk . Подставляя в равенство (3.4) один раз значения rk  и  k, а другой раз значения  с и rc, и исключая  из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G :

  (3.7)

где значения А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G/A, при помощи формулы (3.7) получаем:

, (3.8)

где .

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен.

В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

  (3.9)

 (3.10)

Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

3.2.3. Потенциальные функции

В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие  распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В то же время потенциал величина абстрактная и не имеет физического смысла, а для практических задач исследования необходимо определение физических величин, таких как давление и скорость фильтрации. В связи с этим, определим выражения потенциальной функции (табл. 3.2)

(2.5)

для случаев флюидов (табл.3.1) различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещинные).

Таблица 3.1

№ п/п

Вид коллектора

Характеристики пласта

Вид флюида

Характеристики

флюида

1

Недеформируемый (пористый) пласт

k=const

Несжимаемая жидкость

=const; μ=const

2

Трещиноватый (деформируемый) пласт

смотри 1*

Несжимаемая жидкость

смотри 2*

3

Недеформируемый (пористый) пласт

k=const

Упругая

жидкость

μ =const;

4

Недеформируемый (пористый) пласт

k=const

Совершенный газ

= р/ рст;  

μ =const

5

Недеформируемый (пористый) пласт

k=const

Реальный газ

смотри 3*

1*, где * ≈ 0,01.10-5 –0,006.10-5 м2/н.;

2*=const; μ =const ; ;

3* р=z R T –; μ =const;.

Таблица 3.2

№ п/п

Потенциал

1

2

3

4

5

, где  ;

для средних μ и z –

Проанализировав вышеприведенную таблицу, можно получить следующие зависимости потенциала от давления:

Таблица 3.3

№ п/п

Вид коллектора

Вид флюида

Потенциал

1

Недеформируемый (пористый) пласт

Несжимаемая жидкость

2

Трещинный (деформируемый) пласт

Несжимаемая жидкость

3

Недеформируемый (пористый) пласт

Упругая жидкость

4

Недеформируемый (пористый) пласт

Совершенный газ

3.2.4. Анализ основных видов одномерного течения

Для практического  исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции – потенциала, а конкретных физических параметров – давления, скорости, закона движения и так далее. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7–3.10) к соотношениям, определяющим вышеперечисленные параметры при использовании приведенных в  разделе 3.2.3.  выражений для потенциальной функции. При этом рассмотрим только случай плоскорадиального течения, так как оно имеет наибольший практический интерес.

Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт. Выражение для потенциала (2.5) запишется в виде

.

Выпишем ранее выведенные соотношения в случае  плоскорадиального течения для:

  1.  распределения потенциала ;
  2.   распределения градиента потенциала ;
  3.  дебита ;
  4.  средневзвешенного давления .

В вышеприведенных соотношениях: .

Для определения закона движения частиц жидкости проинтегрируем уравнение движения  по времени от 0 до t и по расстоянию от r0 до r, где r0 – начальное положение частицы флюида.

Переходя в вышеприведенных соотношениях от потенциала к давлению, получим искомые выражения, позволяющие провести исследование в физических переменных (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Закон фильтрации Дарси

Распределение давления

Градиент давления

Уравнение притока

 

Уравнение движения

Средневзвешенное давление

, т.к.

Примечание. При выводе соотношения для средневзвешенного давления интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подинтегральное выражение приводится к виду и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда, а именно, 1 –х/2, получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. После пренебрежения членами с r2c  получаем вышеприведенное соотношение.

Уравнение притока в случае плоскорадиального течения получило название – соотношение Дюпюи.

Анализ

Рис. 3.4. Индикаторная диаграмма в случае плоскорадиального    течения несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте по закону Дарси

  1.  Дебит Q не зависит от r, а только от депрессии рк. График зависимости Q от р  (рис.3.4) называется индикаторной  диаграммой, а сама зависимость – индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

.        (3.11)

2. Градиент давления и, следовательно, скорость u обратно пропорциональны расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким  возрастанием значений при приближении к забою.

Рис. 3.5. Зависимость градиента  давления и скорости от расстояния до центра скважины

Рис. 3.6. Распределение давления по радиусу

3. Графиком зависимости р=р(r) является логарифмическая кривая (рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая  воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары – концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура rк для достаточно больших значений rк /rc,  т.к. rк /rc входят в формулу под знаком логарифма.

Течение совершенного газа через недеформируемый пласт. Выражение для потенциала (2.5) запишется в виде

.

Выпишем соотношения для:

  1.  распределения потенциала ;
  2.   распределения градиента потенциала ;
  3.  дебита ;
  4.  средневзвешенного давления .

В вышеприведенных соотношениях: .

Для определения закона движения частиц жидкости проинтегрируем уравнение движения  по времени от 0 до t и по расстоянию от r0 до r, где r0 – начальное положение частицы флюида.

Переходя в вышеприведенных соотношениях от потенциала к давлению, получим  искомые выражения, позволяющие провести исследование в физических переменных (табл. 3.3).

Таблица 3.4

Закон фильтрации

Распределение давления Р =р2

Градиент  давления

Уравнение притока

Уравнение движения

Анализ

Распределение давления. Если сравнить распределения давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.7), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.

Рис. 3.7. Распределение давления при плоскорадиальном течении в недеформируемом пласте: 1 – газ; 2 – несжимаемая жидкость

Уравнение притока (уравнение индикаторной линии). Индикаторная зависимость для газа описывает параболическую зависимость дебита Qст от депрессии  рk (рис.3.8) и линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличие от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с депрессией. Уравнение притока устанавливает линейную связь между дебитом и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Qст k2с2). В этом случае имеем прямую линию (рис.3.9), проходящую через начало координат с угловым коэффициентом

.  (3.12)

Рис. 3.8. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси

Рис. 3.9. Индикаторная завиимость при фильтрации газа по закону Дарси в переменных Q – p2

Запишем уравнение притока в координатах Qст кс). Так как Q=к2с2), а разность квадратов  рк2с2=2ркрс - (рс)2, где рс= рк - рс , то

.

Таким образом, для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис.3.8). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.

Распределение градиента давления. Градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации получим из закона Дарси

.  (3.13)

Из (3.13) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.

Реальный газ и недеформируемый пласт. Следует использовать при давлении рпл>10МПа и депрессии на пласт рск<0.9.

Как и в предыдущем случае, полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид

р = z R T.  (2.30)

или для изотермического течения газа

,  (3.14)

Потенциальная функция имеет вид

.   (3.15)

где z  = (zc+zк) / 2; μ = (μc+μк) / 2; zс =z(pс), μс =μ (pс),  zк =z(pк), μк  =μ (pк ).

Подставив в  (3.9) выражение потенциала (3.15) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям, получим уравнение притока:

.   (3.16)

Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения для совершенного газа среднепластовыми множителями    и z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72% дебита совершенного.

Течение несжимаемой жидкости в  трещиноватом (деформируемом) пласте.  Для данных условий потенциал

  (3.17)

и основные зависимости имеют вид

  1.  распределение давления

(3.18)  

  1.  градиент давления

 (3.19)

  1.  объёмный дебит

,  (3.20)

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

  1.  скорость фильтрации

. (3.21)

При малых депрессиях на пласт из-за малости * можно считать, что

и тогда зависимость для давления  (3.18) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

При *=0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле (3.20) получаем формулу Дюпюи.

Анализ

Рис. 3.10. Кривые распределения давления: 1– недеформируемый пласт 2 – трещинный пласт

1. Воронка депрессии для деформируемого пласта более  крутая, чем для недеформируемого (пористого) пласта (рис. 3.10). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим *.

2. Из формулы для объёмного дебита (3.20) следует, что индикаторная кривая – парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

.    (3.21)

Рис. 3.11. Вид индикаторной кривой при фильтрации несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис.3.11). Однако если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит, т.к. не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из–за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.21).

  1.  Комплексный параметр * можно определить или графо-аналитически или непосредственно из (3.21), взяв по индикаторной кривой два известных значения дебита Q1 и Q2 при двух значениях депрессии рс1 , рс2 , т.е. из соотношения

.   (3.22)

По найденному значению * можно из уравнения (3.21) определить проницаемость k.

Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт. При данном виде течения

. (3.23)

Подобно тому, как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом  и давлением р, так и в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между  и плотностью . Это означает, что для упругой жидкости зависимость между  и координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные  и r, значения , к и с, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем

.   (3.24)

Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r , что и при однородной несжимаемой жидкости.

Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке из (3.23)

.   (3.25)

Приближенная формула массового дебита получается при использовании  линейного уравнения состояния

  . (3.26)

Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента f и не очень большого перепада давления рс = рк - рс. В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае, вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.

Время движения частицы упругой жидкости рассчитывается так же, как и для несжимаемой жидкости.

3.2.5. Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения

,   (3.27)

где .

Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте. Выразим скорость фильтрации через дебит Q: u=Q / (2 rh)

и перепишем выражение (3.27) в виде

. (3.28)

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае,  по радиусу от r до Rк  и по давлению от р до рк , а, во втором случае, по радиусу от rс до Rк  и по давлению от рс до рк, получаем:

  1.  распределение давления в пласте

;  (3.29)

  1.  дебит скважины

.   (3.30)

Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.29).  Из данного уравнения видно, что индикаторная линия – парабола. Кривая распределения давления (3.29) – гипербола и воронка депрессии – гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

Идеальный газ в недеформируемом пласте. Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход

.  (3.30)

Подставим выражение (3.30) в (3.27) и, заменив плотность по уравнению состояния (3.14), получим:

.  (3.31)

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р – рс и r – rc получим:

.  (3.32)

Распределение давления по (3.32) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Интегрируя уравнение(3.31) в пределах рк - рс и Rк - rc, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/Rк по сравнению с 1/rc:

,   (3.33)

или в общепринятом виде

 .  (3.34)

Уравнение (3.34) – основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах.

Однородная несжимаемая жидкость в  деформируемом (трещиноватом)  пласте. Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде

,    (1.46)

где ; lбл – средний линейный размер блока.

Умножим все члены (1.46) на плотность  и вынесем за скобки вязкость . Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим:

,   (3.35)

где.

После разделения переменных и интегрирования (3.35) в пределах rc - rк ; с - к  получим

,  (3.36)

Если в (3.36) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение

.  (3.37)

Как видно из (3.37), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол – параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (рс) и отстоящей от последней на расстоянии, равном

.

Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом)  пласте. Из (3.37) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение:

 (3.38)

Зависимость величины проницаемости от метода обработки индикаторной диаграммы. В практике гидродинамических исследований скважин большое значение имеет этап идентификации индикаторных кривых, т.е. определение типов флюида и коллектора, а также закона притока флюида в скважину.  Для примера рассмотрим, как изменение аппроксимации одних и тех же  экспериментальных данных разными уравнениями притока приводит к значительному различию в значениях определяемой проницаемости (рис. 3.12).

а

б

Рис. 3.12. Аппроксимация индикаторной диаграммы различными уравнениями притока:

.   Q=0,0972∆p – линейный закон фильтрации, без скин-эффекта;

.  Q=0,132∆p -12,432 – линейный закон фильтрации, со скин-эффектом;

.   ∆p=0,0001Q2+0,04 Q – нелинейный закон фильтрации

Из приведенных рисунков видно, что все аппроксимации находятся в области точности, удовлетворяющей точности, принятой при обработке гидродинамических исследований. В то же время, в первом случае мы имеем расчетную проницаемость k= 0,25 дарси, во втором – 0,19 дарси, а в третьем  – 0,61 дарси. Таким образом, получаем, что по одним и тем же промысловым данным мы, если не сделать предварительно анализ вида течения, получим проницаемости пласта отличающие в несколько раз. Следовательно, и в прогнозируемой продуктивности пласта мы ошибемся в несколько раз. Если же, в результате мероприятий по интенсификации притока изменится тип коллектора, то, считая его неизменным, можно получить результаты ещё более отличающие. Отсюда следует, что применение даже очень совершенных расчетных методик может привести к неправильным результатам без предварительной оценки вида течения и коллектора, так как любая программа подбирает необходимое уравнение притока по заданной точности, а часто отличия могут крыться  в области, принятой за  достаточно точную.

3.3. Фильтрация в неоднородных средах

В продуктивных пластах в различных точках проницаемость неодинакова. При мелкомасштабном хаотичном изменении фильтрационных характеристик по пласту пласт считается в среднем однородно–проницаемым.

Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях.

Различают следующие виды  макронеоднородности:

а) Слоистая неоднородность (многослойный пласт), т.е. неоднородность по толщине пласта. Предполагается, что пропластки разделены непроницаемыми границами – гидравлически изолированы либо учитываются перетоки между слоями различной проницаемости – гидравлически сообщающиеся; поток в каждом пропластке – прямолинейно-параллельный или плоскорадиальный; в пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок.

Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. При практических расчетах указанный многослойный пласт можно заменить квазиоднородным с эффективной проницаемостью

,  (3.39)

где ki , hi – проницаемость и эффективная толщина i- го пропластка, h– эффективная толщина всего пласта.

В случае слоистой неоднородности распределения давления по пропласткам идентично, а дебиты отличаются – наименьший дебит имеет пропласток минимальной проницаемости.

б) Зональная неоднородность – пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметров, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно.

Согласно уравнению неразрывности, массовый дебит постоянен и равен:

  1.  при прямолинейно-параллельном потоке

;    (3.40)

  1.  при плоскорадиальном потоке

,   (3.41)

где li , riпротяженность i - й зоны или её внешний радиус (r0=rc); , i=1,...,n; n – число зон.

В тоже время распределение давления представляет ломаную кривую с углом наклона обратно-пропорциональным проницаемости.

При замене зонально-неоднородного пласта – квазиоднородным пластом следует использовать эффективные средние проницаемости:

  1.  при прямолинейно–параллельном потоке

;  (3.42)

  1.  при плоскорадиальном потоке

,   (3.43)

где L – расстояние от галереи до контура.

В практике важен случай притока к скважине при наличии вокруг забоя кольцевой зоны с проницаемостью, отличной от проницаемости пласта (торпедирование или кислотная обработка, установка гравийного фильтра, глинизация или парафинизация призабойной зоны и т.д.). При данной задаче надо установить влияние различия проницаемостей кольцевой призабойной зоны и остальной части пласта на продуктивность скважины. С этой целью сравним дебит скважины в неоднородном пласте с двумя областями (n = 2 в формуле 3.41) проницаемости с дебитом скважины в однородном пласте (n = 1).

Расчеты показывают:

  1.  Недопустимость постановки прогноза на будущий дебит исходя только из данных о проницаемости призабойной зоны пласта, а следует использовать квазиоднородное приближение (формула 3.43).
  2.  Ухудшение проницаемости призабойной зоны сильнее влияет на дебит, чем увеличение проницаемости в этой зоне. Если произойдёт заметное ухудшение проницаемости даже в небольшой области пласта, примыкающей к скважине, то дебит скважины резко снизится.
  3.  В случае фильтрации по закону Дарси увеличивать проницаемость призабойной зоны более чем в 20 раз не имеет смысла, т.к. дальнейшее увеличение проницаемости практически не ведёт к росту дебита (при условии сохранения типа коллектора, например, в случае проведения кислотной обработки известняков образуются глубокие каналы растворения).

Нарушение в пластовых условиях закона Дарси усиливает положительное влияние увеличенной проницаемости призабойной зоны на производительность скважины.

3.4. Приток к несовершенным скважинам

3.4.1. Виды  и параметры несовершенств скважин

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.

а                                                         b

Рис. 3.12. Схема притока к несовершенной скважине:

а – по степени вскрытия;  b – по характеру вскрытия

Различают два вида несовершенства скважин – несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия – это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.3.12,а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 3.12,b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины обычно меньше дебита Gс совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях    (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов характеризует степень несовершенства скважины и  называется параметром несовершенства

.  (3.44)

Параметр несовершенства зависит от:

  1.    относительного вскрытия пласта   , (3.45)

где hвс глубина погружения скважины в пласт , h – толщина пласта;

  1.    плотности перфорации (числа отверстий, приходящихся на 1м фильтра), размеров и формы отверстий;
  2.    глубины прострела.

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

, (3.46)

где rC – радиус совершенной скважины, С – коэффициент несовершенства.

Приведенный радиус –  это  радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы rпр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется как для совершенных скважин радиуса rпр.

Таким образом, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен параметр несовершенства   или приведённый радиус rпр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной Gc и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2h, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде:

.  (3.47)

Учитывая (3.44), получаем зависимость между коэффициентом и и величиной С:

.  (3.48)

3.4.2. Исследования притока жидкости к несовершенной скважине

Течение по закону Дарси. Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D (h – мощность пласта, D – диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта h=hвс/h. Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от  него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16–20 отверстий на 1 метр. Для случая фильтрации газа  Е.М. Минским и П.П. Марковым доказана сильная  нелинейная зависимость коэффициентов фильтрации от относительного вскрытия пласта.

Для несовершенной по степени вскрытия на основе метода суперпозиции и отображения стоков Маскетом получена зависимость для дебита

, (3.49)

где f функция относительного вскрытия (рис.3.12).

Рис. 3.12. График функции относительного вскрытия

Если глубина вскрытия не слишком мала, то формула Маскета даёт хорошие результаты, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но совершенных по характеру вскрытия.

Если толщина пласта много больше радиуса скважины, то для расчета дебитов несовершенной по степени вскрытия скважины можно пользоваться более простой формулой Н.К.Гиринского:

. (3.50)

Из зависимости (3.49) видно, что коэффициент несовершенства по степени вскрытия С можно выразить соотношением:

 (3.51)

и он добавляется к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины.

Если скважины ещё и несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

,  (3.52)

где D – диаметр фильтрового отверстия в см; n – число отверстий на 1м перфорированной части.

Течение реального газа по двухчленному закону. В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси так же, как в некоторых случаях  для нефтяных и водяных скважин.

Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя.

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному

,  (3.53)

но здесь А и В являются функциями р и Т

.  (3.54)

Рис.3.13. Схема притока  к скважине несовершенной по степени и характеру вскрытия

Приток к несовершенной скважине учитывается так же как и при фильтрации по закону Дарси, т.е. введением приведённого радиуса скважины в формулу дебита.

При нарушении закона Дарси для скважины несовершенной по степени и характеру вскрытия для расчета притока проще всего использовать следующую схему. Круговой пласт делится на три области (рис. 3.13). Первая имеет радиус R1  (2–3) rc. Здесь из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область – кольцевая с R1< r< R2 и R2h. Здесь линии тока искривляются из-за несовершенства по степени вскрытия, и фильтрация происходит тоже по двухчленному закону. В третьей области (R2< r< Rк) действует закон Дарси и течение плоскорадиально.

Для третьей области

 .  (3.55)

Во второй области толщина пласта переменна и изменяется по линейному закону от hвс при r = R1 до h при r = R2 (hвс – глубина вскрытия), т.е. h(r) =   r, где и определяются из условий h(r) = hвс при r = R1; h(r) = h при r = R2. Чтобы получить закон движения в этой области, надо проинтегрировать уравнение (3.31), предварительно подставив вместо постоянной толщины h  переменную h(r) и учтя реальные свойства газа:

,  (3.56)  

где

В первой области фильтрация происходит по двухчленному закону и плоскорадиальное течение нарушается из-за перфорационных отверстий. Уравнение притока имеет вид (3.56), но несовершенство учитывается коэффициентами С3 и С4, а R2 заменяется на R1 и R1   на rc.

Коэффициент С3 определяется по графикам Щурова, а для определения С4 используется приближенная формула:

,

где N – суммарное число отверстий; R0– глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почленно (3.55), (3.56) и уравнение притока для первой области, получим уравнение притока для несовершенной скважины:

,  (3.57)

где  

3.5. Влияние радиуса скважины на её  производительность

Определим дебит в двух крайних случаях: по закону Дарси – первое слагаемое в формуле (3.33) и по закону Краснопольского развитого нелинейного течения – второе слагаемое. То же самое сделаем и в случае радиально–сферического течения. Если примем радиус одной скважины rс, а другой rc/ = x.rc и, соответственно, дебиты G и G/, а их отношение обозначим через у = G/G/, то получим следующие формулы для вычисления предельных значений у

Из таблицы видно, что  при сохранении закона Дарси в плоскорадиальном потоке влияние радиуса скважины на дебит невелико (необходимо увеличение радиуса в 10 раз, чтобы дебит вырос на 20%). Если же фильтрация нелинейна, то влияние rc на G усиливается. Для радиально-сферического потока дебит скважины зависит от радиуса в большей степени, особенно при нелинейном законе фильтрации. При торпедировании забоя, гидравлическом разрыве пласта и других способах воздействия на призабойную зону, образуются и расширяются трещины, что способствует нарушению закона Дарси и, следовательно, усилению влияния радиуса скважины на приток к ней жидкости.

Закон

Тип потока

фильтрации

плоскорадиальный

радиально-сферический

Дарси

у=х

Краснопольского

ГЛАВА 7. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ (ДВУХМЕРНАЯ) ФИЛЬТРАЦИЯ

Основная проблема разработки нефте-водо-газоносных пластов – расчет притока к одной или группе совершенных скважин. Точные решения, как правило, оказываются весьма сложными и громоздкими. При разработке проектов в настоящее время используют численные методы, связанные с довольно большими затратами как финансовыми, так и временными. Для оценочных целей и получения выражений для определения дебитов можно применять более простые приближенные, но вместе с тем достаточно точные методы расчета. Это методы, использующие аппарат функции комплексного переменного и свойства уравнения Лапласа.

При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач:

1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает их разрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, или физическим смыслом. Это означает, например, невозможность установления нулевого или отрицательного забойного давления.

Рис. 7.1. Зависимость суммарного дебита от числа скважин

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например, давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.

Следует отметить, что при эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением,  дебит всего месторождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями (рис.7.1). Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.

Для решения поставленных задач необходимо решить задачу плоской интерференции (наложения) скважин.

Предположим, что пласт – неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом. Движение жидкости – установившееся,  подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой, и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из  этих плоскостей – в основной плоскости течения.

7.1. Метод суперпозиции (потенциалов)

Решение задач будем строить методом суперпозиции (наложения) потоков и методами теории функций  комплексного переменного.

Метод суперпозиции заключается в следующем.

        а                                     б            

Рис. 7.2. Схема векторного сложения скоростей фильтрации в произвольной точке М при работе нескольких источников и стоков  

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.7.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 7.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал

, (7.1)

где i – номер скважины; ri расстояние между некоторой точкой пласта М и центром скважины под номером i.

Пользуясь методом суперпозиции, определяем потенциал сложного потока:

,  (7.2)

где .

Зависимость (7.2) физически означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника-стока накладываются друг на друга. Так как. пласт предполагается неограниченным, то потенциал на бесконечности равен бесконечности. В центрах стоков-источников (ri=0) потенциал также равен бесконечности.

Если жидкость несжимаема, то в зависимости (7.2), вместо массовых дебитов,  можно использовать объёмные дебиты Q.

Для определения уравнений эквипотенциальных поверхностей (изобар) следует иметь в виду, что во всех точках этих кривых значение потенциала (давления) должно оставаться неизменным. Таким образом, приравнивая (7.2) к некоторой постоянной, получаем:

,  (7.3)

где П – знак произведения; С1 – постоянная.

Если дебиты всех скважин равны по величине, то

, (7.4)

где обозначение sign означает знак параметра Gi .

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам.

Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу произвольной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта. Фиктивные скважины, в совокупности с реальными, обеспечивают необходимые условия на границах, и задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Данный метод называется методом отображения источников и стоков.

Формула (7.2) – основная в решении задач интерференции скважин. Рассмотрим применение этой формулы в случаях: фильтрационного потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной; пласта с произвольным контуром питания, но удалённым от скважин и пласта с прямолинейным контуром питания.

7.1.1. Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

Рис. 7.3. Схема расположения источника 01 и стока 02

Пусть сток О1 и источник О2 равнодебитны, т.е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стоком равно . Исследуем поток от источника к стоку.

Проведём ось через точки О1 и  О2 таким образом, чтобы точка О1 находилась от начала координат  0 на расстоянии а1, а точка О2 на расстоянии а2 (рис. 7.3).

По формуле (7.2) определим потенциальную функцию  потока. При этом учтем знаки дебитов: источник G 1= - G, а сток G 2= + G. После подстановки получим

, (7.5)

где r1 и r2 расстояния любой точки пласта до стока и источника, соответственно.

Уравнение изобар (7.4) при этом будет иметь вид

(7.6)

Рис. 7.4. Фильтрационное поле источника и стока

и соответствует окружностям, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин (рис.7.4). Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус – прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса  расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности - по другую.

Семейство линий тока ортогонально изобарам и, следовательно, в данном случае тоже окружности. Все линии тока проходят через сток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоком и источником пополам (рис.7.4).

Массовый дебит эксплуатационной и нагнетательной скважин при их совместной деятельности определяется на основе соотношения (7.5), расписанного для каждой скважины при учете отношений радиусов (рис.7.3): на контуре эксплуатационной скважины – ; на контуре нагнетательной скважины – . Решая, полученную систему уравнений, имеем

. (7.7)

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта M (рис.7.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока

Модуль массовой скорости i-ой скважины равен

, (7.8)

/  , /

Для поддержания пластового давления часто используется нагнетание воды в пласт. Определим для однородной несжимаемой жидкости время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами, то есть по оси . При жестководонапорном режиме решается при этом вопрос о времени, прошедшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину.

Чтобы решить указанную задачу, выразим скорость в (7.8) через производную расстояния по времени  и, поместив начало координат в сток О1, проинтегрируем полученное уравнение по х от х0 до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х0 до точки х определится зависимостью

. (7.9)

Время обводнения Т, т.е. время прохождения частицы расстояния О1О2= 2а определится из (7.9), если принять х=0; х0=2а

, (7.10)

где Q - объёмный дебит.

Зная Т, можно найти площадь обводнения  , приравнивая объёмы TQ и mh. Откуда.  (7.11)

Анализ формул (7.9) и (7.10) показывает, что расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.

7.1.2. Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

В большинстве практических случаев контур питания находится довольно далеко. Поэтому решения данной задачи позволяют провести предварительную оценку однородных участков месторождений.

Рис. 7.5. Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания

Пусть в пласте расположена группа из n скважин (рис. 7.5) с различными дебитами Gi, забойными потенциалами pi и радиусами скважин ri. Расположение скважин задано и на достаточно большом удалении находится контур питания, форма которого неизвестна, но известен порядок расстояния rк от контура питания до группы скважин. При этом rк намного больше расстояния между скважинами. Считаем, что потенциал контура к и забойные потенциалы скважин i. заданы.

Для определения дебитов используем формулу (7.2) при помещении точки М на забое каждой скважины, что позволяет записать n - уравнений вида

,  (7.12)

где rci радиус скважины, на которую помещена точка М; rji расстояние между i - й и j - й скважинами; ci – забойный потенциал i-й скважины.

Неизвестных же – n+1, так как константа С тоже неизвестна. Для нахождения С воспользуемся условием =к на удалённом контуре питания:

. (7.13)

Приближение заключается в том, что для удаленных точек контура питания от скважин принимаем одно и то же расстояние rк, что справедливо для достаточного удаления контура, учитывая, что оно находится под знаком логарифма. Уравнение (7.13) и будет (n+1) уравнением.

Таким образом, плоская задача интерференции при удалённом контуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первой степени (7.12), (7.13).

При помощи данной системы можно находить или депрессию при заданном дебите, или получить значения дебитов при заданных депрессиях. При найденных дебитах можно определить пластовое давление в любой точке по (7.2), причем результат будет тем точнее, чем дальше эта точка отстоит от контура питания.

7.1.3. Приток к  скважине в пласте с прямолинейным  контуром питания

Пусть в полосообразном пласте пробурена одна скважина с центром в точке О1  на расстоянии а от прямолинейного контура (ось у ) бесконечного протяжения, на котором поддерживается постоянный потенциал к. На скважине радиуса rc поддерживается постоянный потенциал с. 

Рис. 7.6.  Схема притока к скважине с прямолинейным контуром питания

Найдём дебит скважины G и распределение функции  . Так как контур питания пласта  является эквипотенциальной линией, то все линии тока, сходящиеся в центре скважины О1, должны быть перпендикулярны к прямой (рис.7.6). Для определения поля течения добьёмся выполнения граничных условий на контуре введением фиктивного источника О2 с дебитом, равным дебиту стока О1, путём зеркального отображения данного стока относительно прямой .Таким образом, используем ранее упомянутый метод отображения и задачу о потоке в пласте с прямолинейным контуром питания и с одиночной эксплуатационной скважиной сведём к ранее рассмотренной в разделе 7.1.17. задаче о фильтрационном потоке от источника к стоку.  Отличие данных задач только в постановке граничных условий: в задаче раздела 7.1.1. источник питания – нагнетательная скважина, а в данном случае – прямолинейный контур, а источник О2 фиктивный.

Используем для определения дебита выражение (7.10), но со следующей заменой граничных условий:

= к при r1 = r2 ,т.е. при r1/r2 = 1;

= с при r1 = rс , r2 2а, т.е. при r1/r2  rс /2а.

Подставляя последовательно соответствующие граничные значения , r1 и r2 в равенство (7.10), получаем два уравнения, определяющих потенциалы на контуре и забое. Из этих уравнений легко находится массовый дебит одиночной скважины в пласте с прямолинейным контуром

.  (7.14)

Если бы в пласте была нагнетательная скважина, то в формуле (7.14) достаточно только изменить знак правой части.

7.1.4. Приток к скважине, расположенной вблизи  непроницаемой прямолинейной границы

Данная задача может возникнуть при расположении добывающей скважины вблизи сброса или около границы выклинивания продуктивного пласта. В этом случае реальную скважину-сток зеркально отображают относительно непроницаемой границы, и дебиту скважины - отображения приписывают тот же знак, что и дебиту реальной скважины. При притоке к двум равнодебитным скважинам скорость фильтрации на непроницаемой границе будет направлена вдоль границы, т.е. граница является линией тока и фильтрация через неё отсутствует. Дебит скважины определяется из уравнений (7.12) и (7.13) для n=2 в пласте с удалённым контуром питания:

.  

7.1.5. Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

В естественных условиях контур питания имеет произвольную форму и её не всегда удаётся определить. Кроме того, часто не удаётся определить достаточно точно и расстояние а от скважины О1 до контура. Можно ли в этом случае пользоваться формулой предыдущего раздела? Любой произвольный контур В находится между прямолинейным Впр  и круговым Вкр (рис.7.7).

Рис.7.7. Схема видов контуров питания

Расчеты дебитов, проведенные для этих двух крайних разновидностях контуров, показывают:

  1.  При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.
  2.  Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита
  3.  В случае расположения скважины эксцентрично относительно контура поток можно считать плоскорадиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи, если rк.>103 rc и эксцентриситет а1< rк /2.

Таким образом, для практических расчетов точное знание формы и расстояния до контура питания необязательно, но порядок расстояния до контура питания должен быть известен.

7.1.6. Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям  скважин

При рациональной системе разработки  нефтяных месторождений скважины располагают обычно в виде рядов, расставленных вдоль контура нефтегазоносности и контура питания. Эти линии называются батареями или рядами скважин. Без большой погрешности можно считать дебит скважин в каждом ряду одинаковым, если в каждом ряду скважины находятся в одинаковых условиях. Дебиты же скважин в разных рядах будут отличаться друг от друга. Наибольший дебит имеет первый ряд, ближайший к контуру питания, а по мере удаления дебит уменьшается. Поэтому число  одновременно работающих рядов редко превышает два-три, и последующие ряды включаются по мере приближения контура нефтегазоносности. Когда вода подошла к первому ряду, то он выключается и включается один из следующих рядов и так далее.

В этом случае число неизвестных уменьшается от числа скважин n до числа рядов N (обычно число рядов не превышает 2-4), что значительно упрощает решение задачи пункта 7.1.2.

Рис. 7.8. Схема кольцевой батареи

Приток к скважинам кольцевой батареи. Пусть центры скважин располагаются в вершинах правильного n-угольника, т.к. что скважины образуют кольцевую батарею радиуса а (рис. 7.8). Контур питания удалён от скважин на расстояние, значительно превышающее радиус батареи, и тогда можно считать, что все скважины равноудалены от контура питания на расстояние rк. Будем считать, что на контуре питания поддерживается постоянное значение потенциала к и на контуре скважин потенциал постоянен и равен с. В данной постановке, следовательно, надо решить задачу о плоском течении к n точечным стокам, размещённым равномерно на окружности радиуса а.

Для получения формулы дебита скважин воспользуемся формулой (7.2):

, (7.15)

где G - массовый дебит любой скважины батареи, rj - расстояния от некоторой точки пласта до всех n скважин; h - толщина пласта.

Граничные условия:

на контуре питания =к=const, при rj=rк;

на контуре скважины =с=const, при r1=rс; rj(j1)=2a sin[(n-1)/n].

Используя данные граничные условия, преобразуем формулу (7.15):

,   (7.16)

.   (7.17)

В последнем выражении

. (7.18)

Тогда (7.17) перепишется в виде

 (7.19)

и из (7.16), (7.19) получим выражение для определения дебита скважины

.  (7.20)

Формула (7.20) справедлива при любом целом n. В частности, при n=1 имеем выражение типа формулы Дюпюи для определения дебита при плоскорадиальном потоке:

.  (7.21)

Формула (7.20) – приближенная. Её можно применять в случае, если размеры пласта во много раз больше площади внутри окружности батареи скважин, например, при водонапорном режиме, когда жидкость можно считать несжимаемой. Если же в пласте установился режим растворенного газа, то трудно ожидать, что площадь, занятая газированной жидкостью, простирается до границ пласта.

Если расстояние до контура незначительно превышает радиус батареи, то, строго говоря, следует воспользоваться более точной формулой:

.   (7.22)

Эта формула при n=1 переходит в формулу определения дебита эксцентрично заложенной одиночной скважины (а - эксцентриситет скважины). В большинстве практических случаев можно пользоваться формулой (7.20), т.к. уже при rк=10а дебиты, подсчитанные по формулам (7.20) и (7.22), различаются не более чем на одну тысячную процента.

Определим дебит батареи, умножив формулу (7.20) на число скважин в батарее n:

. (7.23)

Рассмотрим поле течения в области действия круговой батареи, То есть построим семейства линий тока и изобар. Уравнение изобар получаем из (7.3) путём представления радиусов rj в полярной системе координат (рис. 7.8):

.  (7.24)

Данное уравнение позволяет построить поле изобар, а линии тока пересекают изобары под прямым углом.

Рис. 7.9. Изобары и изолинии тока для кольцевой батареи из трёх скважин

Плоскость течения (рис. 7.9) кольцевой батареи с n равнодебитными скважинами, размещенными в вершинах правильного многоугольника, делится на n равных частей (секторов) прямыми линиями тока Н, сходящимися в центре батареи и делящими расстояние между двумя соседними скважинами пополам.

Эти линии тока называются нейтральными. Другое семейство прямых линий тока Г проходит через центры скважин и делит сектор, ограниченный двумя нейтральными линиями, пополам. Это – главные линии.

Семейство изобар подразделяется на два подсемейства, которые разграничиваются изобарой, пересекающей себя в центре батареи столько раз, сколько скважин составляет данную батарею. Первое подсемейство изобар определяет приток к отдельным скважинам  и представляет собой замкнутые, каплеобразные кривые, описанные вокруг  каждой скважины.  Второе семейство – определяет приток к батарее в целом и представляет собой замкнутые кривые, описанные вокруг батареи.

Скорость фильтрации по главным линиям максимальна, а по нейтральным линиям – минимальна. В центре кольцевой батареи скорость фильтрации равна нулю, т.е. частица жидкости, находящаяся в точке, в которой изобара пересекает сама себя, неподвижна. Такие точки фильтрационного поля называются точками равновесия и при разработке в окрестностях таких точек образуются “застойные области”. В условиях водонапорного режима в этих областях могут возникать “целики нефти”. Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приёмы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приёмов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении.

Для кольцевой батареи, на основе анализа формул (7.20)-(7.23), можно сделать ряд оценок эффекта взаимодействия:

  1.  дебит изменяется непропорционально числу скважин и радиусу батареи (расстоянию между скважинами);
  2.   с увеличением числа скважин дебит каждой скважины уменьшается при постоянном забойном давлении, т.е. растет эффект взаимодействия;
  3.   взаимодействие скважин может практически не проявляться только при очень больших расстояниях между скважинами (в случае несжимаемой жидкости, строго говоря, влияние скважин распространяется на весь пласт);
  4.   с увеличением числа скважин темп роста суммарного дебита батареи замедляется  (рис. 7.1), а именно, сверх определённого предела увеличение числа скважин оказывается неэффективным в виду прекращения прироста дебита.

Приток к прямолинейной батарее скважин. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, приток к батарее при удалённом контуре питания в режиме поддержания постоянного забойного давления. В отличие от круговой батареи необходимо различать два случая:

  1.  число скважин батареи нечетное;
  2.   число скважин четное.

В обоих случаях дебиты скважин, равноудаленные от середины  или от концов батареи, будут одинаковы, а при разной удаленности будут отличаться. Последнее вызывается неодинаковой интенсивностью влияния со стороны скважин батареи на те или иные скважины. При этом при нечетном числе скважин дебит средней скважины отличается от дебитов других скважин.

Дебиты равномерно расположенных скважин можно определить общим методом с использованием формулы (7.2). Можно вывести аналогичные уравнения для любой скважины прямолинейной батареи конечной длины в пласте с прямолинейным контуром питания, но с использованием дополнительно метода отображения. В этом случае запись уравнений  оказывается громоздкой из-за необходимости учета не только взаимных расстояний между скважинами, но также расстояний между скважинами и воображаемыми источниками и расстояний между этими последними.

Для практических расчетов можно использовать приближенную формулу П.П. Голосова для общего дебита скважин прямолинейной батареи:

  1.   для нечетного числа скважин 2n+1, где n - любое целое число

;  (7.25)

  1.   для четного числа скважин 2n

.  (7.26)

Здесь h – толщина пласта; – расстояние между скважинами;     L – расстояние до контура.

Ошибка в определении дебитов по данным формулам не превышает 3–4% при L=10км, rс=10см, при расстояниях между скважинами  100м  500м.. 

Приведенные формулы можно использовать при любом контуре питания, т.к. проведенные ранее исследования взаимодействия двух скважин показали, что форма контура питания пласта мало влияет на взаимодействие скважин. При этом, по мере приближения скважин к контуру питания эффект взаимодействия уменьшается, но в реальных условиях значительного удаления скважин от контура питания погрешность определения расстояния до контура даже в 100% не отражается значительно на эффекте взаимодействия. Для однородных пластов и жидкостей относительные изменения дебитов скважин, вызванные эффектом взаимодействия, не зависят от физико-геологических характеристик пласта и от физических параметров жидкости.

Рис. 7.10. Схема прямолинейной батареи скважин

Рассмотрим  фильтрационное поле (рис.7.10), поддерживаемое бесконечной цепочкой равностоящих скважин (требование бесконечности приводит к ликвидации граничных эффектов на концах батареи и равнодебитности скважин, так как все скважины оказываются в равных условиях притока к ним флюидов).

Для получения формул дебита скважины бесконечной прямолинейной батареи воспользуемся формулой (7.20) дебита скважины кольцевой батареи. Положим, что

rк = L + a;  a = n /(2 ),  (7.27)

где L = const – разность между радиусом контура питания и радиусом кольцевой батареи а;  = const – длина дуги окружности радиусом а между двумя соседними  скважинами кольцевой батареи.

Подставив значения rк , a  в формулу (7.20), получим

,  (7.28)

где z= / (2l).

Переходя в данной формуле к пределу при n  и учитывая, что=e, получаем формулу массового  дебита скважины прямолинейной батареи:

.   (7.29)

Здесь L – расстояние от контура питания до батареи; –- расстояние между скважинами батареи; h – толщина пласта.

Суммарный дебит из n - скважин определится следующим выражением:

.  (7.30)

Для несжимаемой жидкости соотношение (7.35) можно переписать через давление и объёмный дебит

.  (7.31)

Рис.7.11. Фильтрационное поле для бесконечной батареи.

Ортогональная сетка, изображающая фильтрационное поле бесконечной прямолинейной батареи, изображена на рис. 7.11 .

Здесь, как и в кольцевой батарее, имеются главные и нейтральные линии тока перпендикулярные цепочке. Нейтральными линиями тока вся плоскость течения делится на бесконечное число полос, каждая из которых является полосой влияния одной из скважин, находящейся в середине расстояния между двумя соседними нейтральными линиями. Главные линии тока проходят через центры скважин параллельно нейтральным линиям.

Изобара, бесчисленное множество раз пересекающая сама себя, отделяет изобары внешнего течения ко всей батареи, охватывающих всю цепочку скважин, от изобар притока к скважине, охватывающих только данную скважину. Точки пересечения граничной изобары являются точками равновесия и они делят интервал между двумя соседними скважинами пополам.

7.2. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений (метод Борисова)

Данный метод называется методом Борисова и позволяет сложный фильтрационный поток в пласте при совместной работе нескольких батарей эксплуатационных и нагнетательных скважин разложить на простейшие потоки – к одиночно работающей скважине и к одиночно работающей батареи. Реализация данного метода достигается введением понятий внутреннего и внешнего фильтрационных сопротивлений, которые придают простейший физический смысл членам уравнений, используемых для подсчетов дебитов и значений потенциальных функций. Для выяснения этих понятий сравним формулы (7.30) или (7.31) с законом Ома  I=U / R, где I – ток, U – разность потенциалов и R – сопротивление. Из сравнения видно, что фильтрационное сопротивление определяется величиной знаменателя правой части (7.30), который состоит из двух слагаемых. Если в (7.30) оставить только первое слагаемое, то оно будет выражать дебит в прямолинейно-параллельном потоке через площадь величиной nh  на длине L. Таким образом, первое слагаемое выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к участку прямолинейной бесконечной цепочки, занятому n скважинами, в предположении замены батареи галереей. Борисов назвал эту часть фильтрационного сопротивления – внешним фильтрационным сопротивлением:

. (7.32)

Оставим теперь в (7.30) только второе слагаемое. В этом случае получим аналог формулы Дюпюи для суммарного дебита n скважин при плоскорадиальном течении и в предположении, что каждая скважина окружена контуром питания длиной . Таким образом, второе слагаемое выражает местное фильтрационное сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам. Появление этого сопротивления объясняется искривлением линий тока у скважин и, по Борисову, оно получило название внутреннего

.  (7.33)

На внешнее  и внутреннее фильтрационные сопротивления разделяется также полное фильтрационное сопротивление кольцевой батареи:

.  (7.34)

Здесь выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к кольцевой батареи радиуса а в предположении, что поток плоскорадиален и батарея заменена галереей. Внутреннее сопротивление / – это сопротивление плоскорадиального потока от воображаемого контура окружности длиной 2а/n к скважине. Величина 2а/n – длина дуги сектора радиуса а, который содержит одну из скважин батареи.

Рис. 7.12. Схема одной                           Рис. 7.13  Электрическая

              батареи схема одной батареи

Электрическая схема в случае одной батареи (рис.7.12) имеет вид (рис.7.13).  На рис.7.12 затемнены области внутреннего сопротивления.

а b

Рис.7.14. Схема n-батарей с двумя контурами питания:

а) линейные батареи;  b) кольцевые батареи

Рассмотрим случай притока к n эксплуатационным и нагнетательным батареям скважин и составим схему сопротивлений. Предположим, что скважины i - й  батареи имеют забойные потенциалы  сi (i = 1,...,n), пласт имеет контурные потенциалы к1 и к2  (рис. 7.14). Пусть к1 > к2. Очевидно, поток от контура питания к первому ряду скважин будет частично перехватываться первой батареей и частично двигаться ко второй. Поток ко второй батарее будет частично перехватываться второй батареей, частично двигаться к третьей и т.д. Этому движению отвечает разветвленная схема фильтрационных сопротивлений (рис. 7.15).

Рис. 7.15. Электрическая схема n-батарей с двумя контурами питания

Расчет ведется от контура с большим потенциалом к контуру с меньшим потенциалом, а сопротивления рассчитываются по зависимостям:

  1.    прямолинейная батарея

(7.35)

  1.   круговая батарея

 (7.36)

где Li расстояние между батареями  (для i = 1 - L1 = Lк1 ); ri – радиусы батарей (для i = 1 - r0 = rк ); ki – число скважин в батарее.

Дальнейший расчет ведется, как для электрических разветвленных цепей, согласно законам Ома и Кирхгоффа:

  1.  - алгебраическая сумма сходящихся в узле дебитов равна нулю, если считать подходящие к узлу дебиты положительными, а отходящие – отрицательными.
  2.  -  алгебраическая сумма произведения дебитов на сопротивления (включая и внутренние) равна алгебраической сумме потенциалов, действующих в замкнутом контуре. При этом и дебиты и потенциалы, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а направленные навстречу обходу отрицательными.

Следует помнить, что для последовательных сопротивлений =i, а для параллельных -

Рис.7.16. Электрическая схема n-батарей с двумя контурами питания (проницаемым и непроницаемым)

Если одна из границ непроницаема, то расход через неё равен нулю, и  в соответствующем узле схемы фильтрационных сопротивлений задаётся не потенциал, а расход. На рис. 7.16  показана схема в случае непроницаемости второго контура, где вместо потенциала к2 (рис.7.15) задано условие Gi = 0.

Приведенные формулы тем точнее, чем больше расстояние между батареями по сравнению с половиной расстояния между скважинами. Если расстояние между скважинами много больше расстояния между батареями, то расчет надо вести по общим формулам интерференции скважин, или использовать другие виды схематизации течения, например, заменить две близко расположенные соседние батареи скважин с редкими расстояниями между скважинами (рис. 7.17,а) эквивалентной  батареей – с суммарным числом скважин и расположенной посредине (рис.7.17,b).

a b

Рис. 7.17. Схема замены соседних батарей скважин одной батареей

7.3. Интерференция  несовершенных скважин.

В случае интерференции скважин несовершенных по степени вскрытия в условиях течения по закону Дарси вначале определяется дебит совершенных скважин с радиусами rс по формулам теории интерференции для притока к стокам и источникам на плоскости, а затем фильтрационное сопротивление каждой скважины увеличивается на величину коэффициентов несовершенства Сi (i = 1,...,4). При использовании метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений двухчленный закон фильтрации надо представить в виде

,   (7.50)

где можно рассматривать как нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению .

Например, в схеме фильтрационных сопротивлений для условий линейного закона фильтрации, внутренние  сопротивления следует заменить суммой , где . Дальнейший расчет ведется, как и ранее, при помощи законов Ома и Кирхгофа, но система уравнений получается уже не линейной, а содержащей квадратные уравнения, что приводит к усложнению вычислений.

7.3.1. Взаимодействие скважин в анизотропном пласте

Рис. 7.18. Кольцевая батарея скважин при двухзональной неоднородности пласта

При разработке часто возникают  условия, при которых проницаемость в законтурной области меньше проницаемости внутри контура (рис.7.18).

Пусть в круге радиуса R0 проницаемость k1, а в кольце Rк проницаемость k2. При этом Rк >> a радиуса батареи.

Поток к n эксплуатационным скважинам идёт от окружности радиуса R0 и дебит G1 каждой скважины определяется по  (7.20), где вместо к следует поставить 0 – потенциал на границе двух сред, а вместо rкR0. Во второй области поток плоскорадиален от контура Rк до укрупненной скважины радиуса R0 и дебит скважины , где G определяется по формуле (7.21).

Имея в виду, что в пределах каждой зоны k = const, распишем потенциал в виде  = kФ+С, где . Подставляя данное выражение для  в соотношение для дебитов и исключая Ф0, получим

.  (7.51)

Для однородной несжимаемой жидкости Ф = р/, а вместо массового дебита G/ надо подставить объёмный дебит Q. Пользуясь (7.51), можно сравнить дебиты батареи при различных относительных размерах частей I и II пласта и при различных соотношениях между проницаемостями. Расчеты показывают, что при k1/k2 =  < 1 величина коэффициента суммарного взаимодействия (отношение суммарного дебита группы совместно действующих скважин к дебиту одиночной скважины) всегда выше, чем U батареи, действующей при тех же условиях в однородном пласте ( = 1). Если же  >1, то U будет меньше его значения в однородном пласте. При одних и тех же значениях  взаимодействие скважин будет тем больше, чем большую площадь при данных условиях занимает менее проницаемая часть пласта.

Рассмотрим случай, когда кольцевая батарея занимает область II, то есть область, примыкающую к контуру питания (а > R0). В этом случае

.  (7.52)

Для анизотропных пластов эффект взаимодействия  будет значительно усиленным или ослабленным лишь при резком различии проницаемостей в двух определённых направлениях: в направлении линии расстановки скважин и в направлении, перпендикулярном к этой линии.

Ослабление взаимодействия наблюдается в случае более низкой проницаемости в направлении линии расстановки скважин по сравнению с проницаемостью в перпендикулярном направлении. Усиление эффекта взаимодействия происходит в обратном случае. Таким образом, для уменьшения эффекта взаимодействия при закладывании новых скважин следует выбирать направление, в котором пласт наименее проницаем.

Взаимодействие скважин. С целью выявления влияния радиуса скважин на дебит при взаимодействии скважин сравним дебиты скважин кольцевой батареи из n эксплуатационных скважин в двух случаях: 1)скважины имеют радиус rc и 2)скважины имеют радиус хrc.

Из (7.20) следует

.  (7.53)

Кроме того, рассмотрим случай, если в центре батарей действует нагнетательная скважина с дебитом, равным дебиту батареи:

.   (7.54)

Из данных зависимостей следует, что с увеличением числа эксплуатационных скважин кольцевой батареи влияние их радиуса на дебит уменьшается, если отсутствует нагнетание жидкости в пласт. Если в центре батареи находится нагнетательная скважина, то влияние радиуса скважины на дебит будет больше, чем при отсутствии центрального нагнетания жидкости в пласт. При этом радиус скважины влияет на производительность больше, чем при одиночной эксплуатационной скважине. Число скважин при этом несущественно. Таким образом, взаимодействие эксплуатационных скважин с нагнетательными повышает влияние радиуса скважин на дебит.

7.3.2. Взаимодействие скважин при нестационарных  процессах

Метод суперпозиции фильтрационных потоков используется и в задачах неустановившихся процессов при упругом режиме.

Группа скважин. Так, если в пласте действует группа скважин, в числе которых имеются как эксплуатационные, так и нагнетательные скважины, понижение давления в какой-либо точке пласта р определяется сложением понижений давлений, создаваемых в этой точке отдельными источниками и стоками, изображающими скважины рj. Следовательно,

,   (7.29)

где n –число скважин; Qj – объемный дебит стока (+) или источника(-) за номером j; rj– расстояние данной точки пласта от скважины за номером j.

Так как аргумент интегрально-показательной функции  мал (меньше 1), то зависимость (7.29) можно переписать в виде

.  (7.30)

Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования.

Периодически работающая скважина. В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении  времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления р/  в момент времени Т можно найти по формуле (7.23). С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через   р//. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (7.23) имеем:

,  (7.31)

.

Результирующее понижение давления р в любой точке пласта находится по методу суперпозиции

.  (7.32)

Обозначая через рс давление на забое скважины после её остановки, получаем

.  (7.33)

Зависимость (7.33) используется при гидродинамических исследованиях  скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.

7.4. Решение плоских задач фильтрации методами теории   функций комплексного переменного

7.4.1.Общие положения теории функций комплексного переменного

Рис. 7.19. Ортогональность  изобар и линий тока

Круг задач, рассмотренных в предыдущем разделе, может быть значительно расширен, если к решениям применить аппарат теории функций комплексного переменного. При этом оказывается возможным исследовать отдельные вопросы плоского потока более полно. Рассмотрим   связь  между    задачами плоского фильтрационного потока и теорией функций комплексного переменного.

Совместим с основной плоскостью течения плоскость комплексного переменного z = х + iy. Каждое комплексное число z изображается в этой плоскости точкой М (х, у) (рис. 7.19.). Функцией комплексного переменного z будет комплексное переменное F (z), если указан закон, позволяющий получить значение F (z) no заданному значению z.

Отделив в функции F (z) действительную  часть  от  мнимой, можем записать

F (z) = F (х + iy) = (х, у) + i (х, у), (7.34)

где  (х, у) и  (х, у) - некоторые функции действительных переменных  х и у; i – мнимая единица.

Задать функцию комплексного переменного - значит задать соответствие между парами чисел (х, у) и (, ). Функция F (z) является аналитической в точке zm, то есть имеющей производную во всех точках некоторой окрестности zm.

В теории функций комплексного переменного имеются следующие положения:

7. Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением  (х, у) = С, а другая - семейству кривых (х, у) = С* (С и С* – постоянные), пересекаются под прямым углом, т. е. два семейства кривых образуют ортогональную сетку в основной плоскости течения.

2. Функции  (х, у) и (х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть

; (7.35)

. (7.36)

Положения 1 и 2 справедливы, если выполняются такие условия:

. (7.37)

Условия  (7.37)  называются  уравнениями Коши Римана.

7.4.2. Характеристическая функция, потенциал и  функция тока

Представим себе, что имеем плоский фильтрационный поток любой жидкости или газа, подчиняющийся закону Дарси. При рассмотрении одномерных течений было показано, что если фильтрация протекает по закону Дарси, существует потенциальная функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа. Но если существует потенциальная функция , то наряду с ней существует функция , также удовлетворяющая уравнению Лапласа. Зная функцию , всегда можно определить функцию путем интегрирования уравнения (7.37).

Потенциальная функция течения определяется зависимостью основных параметров жидкости (или газа) и пористой среды от давления. Допустим, что эта зависимость однозначная; тогда можно заключить, что в основной плоскости течения линии равного давления (изобары) совпадают с эквипотенциальными линиями  (х, у) = С. Но кривые (х, у)=С* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями. Следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства (х, у)=С*, то есть кривые этого семейства можно считать линиями тока. (При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция (х, у)  называется функцией тока.

Потенциальную функцию течения   и функцию тока всегда можно принять за действительную и мнимую части некоторой функции F(z) комплексного переменного z (7.34).

Функция F (z) называется характеристической функцией течения  (комплексным потенциалом).

Исследование любого плоского течения жидкости или газа в пористой среде должно начинаться с определения характеристической функции, соответствующей данной задаче. Найдя ее, мы можем считать задачу решенной. В самом деле, отделив в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. представив ее в виде, показанном формулой (7.34), можно определить потенциальную функцию  (х, у) и функцию тока  (х, у). В результате можно представить полную картину потока: принимая различные значения функции , получим уравнения семейства эквипотенциальных линий  (х, у) = С, а придавая различные значения , найдем уравнения семейства линий тока (х, у) = С*. По эквипотенциальным линиям определяется распределение давлений в пласте, по линиям тока – направление движения и характер поля скоростей фильтрации.

Проекции вектора массовой скорости фильтрации на оси координат можно записать в виде:

(7.38)

Примечание. Функции тока может быть дан следующий смысл. Фиксируем некоторую линию тока (х, у) = 0 и вообразим канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями с образующими, перпендикулярными плоскости течения, проведенными через линию тока = 0 и другую линию тока (х, у) = С* и двумя плоскостями – плоскостью движения и ей параллельной, отстоящей от первой плоскости на расстояние, равное единице (рис. 7.20).

Рис. 7.20. Распределение потока между  двумя  параллельными плоскостями 1 и 2

При рассмотрении двух произвольных поперечных сечения канала ω1 и ω2 видно, что количество массы жидкости, протекающей через эти сечения в единицу времени (расход) будет одно и то же; внутри такого канала количество массы жидкости при установившемся движении измениться не может; через боковые стенки канала, образованные линиями тока  = 0 и (х, у) = С*1, и через плоскости движения жидкость не протекает, следовательно, втекает жидкости в единицу времени через ω1 столько, сколько вытекает через ω2.

Функцией тока можно назвать функцию, принимающую на линии тока (х, у) = С* значение, равное массе жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях  = 0 и (х, у) = С*1 . Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока = 0.

Массовую скорость фильтрации можно очень просто определить в любой точке пласта, найдя производную от характеристической функции по комплексному аргументу z. Чтобы это показать, составим полный дифференциал от характеристической функции F (z):

 (7.39)

Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись затем уравнениями Коши – Римана (7.37)  получим:

т.е. . (7.40)

Учитывая  (7.38), перепишем (7.40) в виде

. (7.41)

Из (7.40) и (7.41) следует, что производная dF/dz есть комплексное число, модуль которого равен модулю массовой скорости фильтрации:

. (7.42)

Таким образом, модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации.

Для однородной несжимаемой жидкости функция тока  будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока =0 и *. Модуль же производной от характеристической функции течения будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.

7.4.3.  Характеристические функции некоторых основных типов плоского потока

Исследование плоского потока методом комплексного переменного начнём с того, какие типы плоского потока соответствуют простейшим аналитическим функциям.

Исследуем течения, заданные характеристическими функциями вида

F(z) = Az и F(z) = Alnz.

I. Пусть характеристическая функция имеет вид F(z) = Az,

где z = x +iy, a A - любое комплексное или действительное число. Пусть, например, А = А1 + iA2.

 Отделим в F (z) действительную часть от мнимой:

.

Следовательно, потенциальная функция  и функция тока выразятся следующим образом:

(7.43)

Приравнивая полученное выражение потенциальной функции постоянной С, найдем уравнение семейства эквипотенциальных линий:

А1х – А2y = С.  (7.44)

Из (7.44) следует, что эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A12.

Уравнение семейства линий тока найдем, приравняв выражение для  (7.43) постоянной С*:

А1у + А2х = С**.  (7.45)

Рис. 7.21. Сетка, изображающая прямолинейно-параллельный поток в направлении, показанном   стрелками.

Отсюда следует, что  линии  тока – прямые   с  угловым  коэффициентом (-A2А1).

Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 7.21.

Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z. Согласно формулам (7.41) и (7.42).

При А1=0–поток параллелен оси , а при А2=0–параллелен оси 0х.

191

II. а) Пусть характеристическая функция задана в виде:

F(z) = A ln z, (7.46)

где А – некоторое действительное число.

Рис. 7.22. Карта эквипотенциальных линий и линий тока

Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так ( рис. 7.22):

z = х +i y =

=r (cos θ + i sin θ) = reiθ,       (7.47)

где г – радиус - вектор точки; θ – полярный угол.

Подставляя значение z в (7.46) и отделяя действительную часть от мнимой, получим:

F(z) = A In (re) = A In r + iAθ.

Значит

=Alnr;  =Aθ.               (7.48)

Приравнивая эти значения  и постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде:

  1.  для эквипотенциальных линий – ν=const (7.49)
  2.  для линии тока – θ = const. (7.50)

Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат (рис. 7.22). Линии тока – прямые, проходящие через начало координат.

В данном случае имеется плоскорадиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.

Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F (7.46) по z:

.

Эта производная – комплексное переменное, модуль которого равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е-iθ. Следовательно , (7.51)

то есть массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь и функция F (z) уже не будет аналитической). Для плоскорадиального потока имеем:

, (7.52)

где G = const – массовый дебит;  h мощность пласта.

Приравнивая правые части (7.51) и (7.52), определим коэффициент А:

. (7.53)

Подставив это значение А в формулу (7.46), получим

, (7.54)

где положительный дебит G соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине).

Таким образом, функция (7.54) характеризует плоскорадиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.

II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид:

, (7.55)

где а = а1 + ia2.

Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси на расстояние а1., а в направлении оси 0y на расстояние a2, и следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а1 + ia2.

Если представить комплексное переменное z-а в полярных координатах, то получим

, (7.56)

где r – расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ– полярный угол с вершиной в этой особой точке.

В соответствии с формулами (7.48) и (7.56)

(7.57)

Примечание. Потенциальная функция  и  функция тока  определяются с точностью до произвольной постоянной. В формулах (7.57), выражающих и , опущены произвольные постоянные, но их надо учитывать при определении  дебита.

III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин).

Потенциальную функцию течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками , можно определить по методу суперпозиции, описанному в параграфе 7.1, как алгебраическую сумму потенциальных функций течений, поддерживаемых отдельными стоками и источниками, если бы каждый из них был единственным в пласте.

На основании первого равенства (7.57) запишем

, (7.58)

где Gj массовый дебит стока или источника за номером j; rj – расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n – число стоков и источников.

Метод суперпозиции основан на известных свойствах уравнения Лапласа, которому подчиняется потенциал , а именно,  сумма частных решений уравнения Лапласа есть решение этого уравнения.

В то же время существование потенциальной функции j означает существование наряду с ней функции тока j, соответствующей каждому стоку и источнику. Функция j удовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, по отношению к функции тока можно применять метод суперпозиции. Функция тока для течения, поддерживаемого всеми стоками и источниками, определится аналогично потенциалу сложного потока:

. (7.59)

Характеристическая функция сложного потока,  согласно формулам (7.34), (7.58, 7.59), определится уравнением:

(7.60)

где Fj (z) – характеристическая  функция,   соответствующая   стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj-:

. (7.61)

7.4.4. Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока

Рис. 7.23. Схема расположения источника 01 и стока 02

В разделе 7.1.6. подробно исследовалось семейство изобар в случае потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной. О линиях тока было замечено, что они образуют семейство окружностей, ортогональных изобарам. Уточним вопрос об особенностях семейства линий тока на основе метода теории функций комплексного переменного.

Сохраняя прежние обозначения и придерживаясь рис. 7.23, получим на основании формул (7.60) и (7.61) характеристическую функцию течения от нагнетательной скважины к эксплуатационной

. (7.62)

где r1 и r2– расстояния некоторой точки М до источника 01 и стока 02 , соответственно, θ1 и θ2 – соответствующие полярные углы; М – модуль массового дебита стока и источника.

Отделяя в (7.62) действительную часть от мнимой, получим

, (7.63)

Отсюда:

, (7.64)

Из (7.64) следует, что уравнение семейства изобар запишется в виде

,

где С постоянное.

Уравнение линий тока получается из второй формулы (7.64):

θ1-θ2*, (7.65)

где С* – постоянное.

Рассмотрим уравнение (7.65). Выразим θ1 и θ2 через координаты точки М (х, у) в соответствии с рис. 7.23.

.

Подставив значения θ1 и θ2 в уравнение (7.65) и  учитывая, что   а2-a1=2a, будем иметь после несложных алгебраических преобразований:

(7.66)

где С**  - новая постоянная.

Из (7.66) видно,  что центры окружностей имеют координаты . Так как абсцисса центров окружностей не зависит от С**, то она одинакова для всех   окружностей и, следовательно, все окружности расположены на прямой   , То есть на   прямой, параллельной оси , делящей расстояние между стоком и источником пополам. Радиус окружностей .

Рис. 7.24. Фильтрационное поле источника и стока

Отсюда абсциссы точек пересечения

то есть линии тока проходят через сток и источник.

Таким образом, линии тока представляют собой окружности, проходящие через центры обеих скважин, и ортогональны окружностям - изобарам. Центры всех этих окружностей расположены на прямой (эквипотенциальной линии), делящей расстояние между скважинами пополам (рис. 7.24).

7.4.5. Характеристическая функция течения для  кольцевой батареи  скважин

Характеристическую функцию для п стоков представим в  виде:

. (7.67)

Согласно формуле (7.61), можно записать

. (7.68)

Здесь аjкомплексное число, определяющее положение стока за номером j.

В соответствии с формулой (7.47) комплексное число аj можно представить в тригонометрической форме, заменив в (7.47) z на аj, r на а (радиус батареи). Тогда формулу (7.68) можно переписать для кольцевой батареи из n скважин в следующем виде:

(7.69)

где .

Целая рациональная функция вида хп - 1  может быть представлена в виде

. (7.70)

Выражение, сходное с правой частью формулы (7.70) имеется под знаком логарифма в (7.69).   Таким образом, можно  представить  характеристическую  функцию F (z)   (7.69)   в   виде:

. (7.71)

Согласно формулам (7.42) и  (7.71) находим модуль массовой скорости фильтрации :

, (7.72)

где z = rei; r1, r2, ..., rnрасстояния точки пласта от стоков O1, О2 , ...Оnсоответственно.

В центре кольцевой батареи r = 0. Из (7.72) следует, что скорость фильтрации u здесь равна нулю. Эти точки фильтрационного поля называются точками равновесия. При разработке залежей нефти в окрестностях таких точек образуются «застойные области» – «целики нефти».

Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приемы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приемов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении.

7.4.6.  Подсчет времени движения частицы несжимаемой жидкости вдоль линии тока

Для однородной несжимаемой жидкости в выражениях характеристической функции потока F (z), потенциальной функции φ и функции тока ψ можно опустить постоянный множитель и вести расчеты применительно к объемному дебиту Q и скорости фильтрации u, а не к массовым дебиту G и скорости фильтрации u. Таким образом формулы (7.40) для проекции массовой скорости фильтрации на оси декартовых координат могут быть для несжимаемой жидкости применены к вычислению проекции скорости фильтрации на эти оси ux и uy:

. (7.73)

Формула (7.41) для несжимаемой жидкости запишется в виде:

. (7.74)

Но проекции скорости движения на оси координат равны dx/dt и dy/dt, следовательно, можно записать

 (7.75)

Исключаем из (7.73)  ux и uy с помощью (7.75) и интегрируя, получим уравнения движения частицы в направлении осей x и у :

(7.76)

Чтобы вывести формулу времени движения частицы жидкости вдоль линии тока  ,подставим значения ux и uy из (7.75) в формулу (7.74):

 (7.77)

где z=x-iy - сопряженное с z комплексное переменное.

Разделяя переменные в (7.77) и интегрируя вдоль линии тока, получим формулу для подсчета времени движения частицы на длине кривой L:

. (7.78)

7.4.7. Стягивание контура нефтеносности к эксплуатационной  кольцевой батарее

Имеется кольцевая батарея из n (n>2) эксплуатацион­ных скважин, размещенных равномерно по окружности радиусом а. Контур питания удален от всех скважин на расстояние rк, значительно превышающее а. Первоначально контур нефтеносности представляет собой окружность, концентричную по отношению к окружности – батарее и имеющую радиус rн, причем rн в несколько раз меньше rк, но больше радиуса батареи а.

Подсчет времени движения частиц контура нефтеносности по линиям тока проведем по формуле (7.78). При этом характеристическую функцию течения определяем по формуле (7.71):

, (7.79)

где Q – объемный дебит одной из скважин.

Таким образом

. (7.80)

Величины  z и z запишем в полярной системе координат:

. (7.81)

Тогда из (7.80) и (7.81)  следует, что

. (7.82)

Рассматриваем движение частиц только вдоль прямых линий тока – главной и нейтральной (рис. 7.9). По всем главным линиям тока частицы контура нефтеносности движутся с одинаковой скоростью, по всем нейтральным линиям тока характер движения этих частиц также один и тот же. Поэтому достаточно найти время продвижения двух частиц контура: одной, которая движется по любой из главных линий тока, и другой, движущейся по любой из нейтральных линий.

Направим полярную ось из центра батареи вдоль одной из главных линий тока и будем искать время движения частицы контура нефтеносности вдоль полярной оси и по вдоль нейтральной линии, ближайщей к этой оси.

Так как для главных и нейтральных линий тока  =const, можно на основании второй формулы (7.81) определить dz следующим образом:

. (7.83)

Подставляя значения dF/dz из (7.82) и dz из (7.83) в формулу (7.78), получим:

, (7.84)

где r/  – полярный радиус частицы.

Уравнение полярной оси имеет вид =0. Подставляя это значение в уравнение (7.84), получим формулу для вычисления времени движения  частицы контура нефтеносности по главной линии тока:

, (7.85)

Уравнение нейтральной линии тока =/n. Подставим это значение в (7.78) и заметим, что . Тогда уравнение движения частицы кон­тура нефтеносности по нейтральной линии тока представится в виде

. (7.86)

Из частиц контура нефтеносности раньше всех других достигнут скважин те, которые движутся по главным линиям тока, так как их пути – наикратчайшие. Когда частица контура, движущаяся по главной линии тока, подойдет к скважине, последняя начнет обводняться. В этот момент времени tn, в уравнении (7.85) надо считать, что. После интегрирования правой части (7.64), получим

. (7.87)

Определим  точку нейтральной линии тока, в которой будет находиться частица контура   нефтеносности в момент начала обводнения скважин  tn   для этого раскроем интеграл правой части (7.86) и напишем это равенство для момента tn:

. (7.88)

Местоположение частицы контура нефтеносности на нейтральной линии тока в момент прорыва воды в скважины можно определить, приравняв правые части формул (7.87) и (7.88) и решив затем полученное уравнение n-степени относительно r'.

. (7.89)

Исследуя уравнение (7.89), В. Н. Щелкачев установил, что величина r'/а возрастает с увеличением отношения rн/a; следовательно, чем больше величина радиуса первоначального контура нефтеносности, тем больше отставание точек контура нефтеносности, движущихся по нейтральной линии тока, от точек контура, движущихся по главной линии тока..

При величине радиуса контура нефтеносности rн более, чем в два раза превышающей радиус батареи а можно пренебрегать тем членом уравнения (7.89), который содержит множитель а/rн. Тогда уравнение (7.89) принимает более простой вид

. (7.90)

При n= 3 уравнение (7.90) сводится к кубическому уравнению, у которого левая часть раскладывается на множители. К кубическому уравнению сводится (7.90) и при n = 6. Если n = 4, получим биквадратное уравнение, если n=8 – уравнение четвертой степени.

Рис.7.25. Контур нефтеносности в момент прорыва воды в скважины кольцевой батареи

На рис. 7.25 контуры нефтеносности вычерчены для трех и восьми скважин в момент прорыва в них воды. Чем больше скважин в батарее, тем меньше отставание частиц контура нефтеносности от тех, которые движутся по главной линии тока, т. е. тем равномернее стягивается контур.

Исследования при помощи формул (7.85) и (7.86) позволяют утверждать, что формы контура нефтеносности, которая первоначально была в виде окружности, искажается лишь в ближайшей окрестности скважин. При анализе явления стягивания контура к скважинам кольцевой батареи допустимо применить «галереизацию», т. е. кольцевую батарею заменить равнодебитной кольцевой галереей

Время безводной эксплуатации батареи tn определяется формулой (7.87). Из этой же формулы легко определить: 1) общий объем добытой нефти за время безводной эксплуатации, 2) объем оставшейся в пласте нефти к начальному моменту обводнения скважин и 3) площадь, занятую оставшейся в пласте нефтью.

Действительно, общий объем добытой жидкости за время безвод­ной эксплуатации скважин Qntn подсчитывается по формуле (7.87) следующим образом:

. (7.91)

Объем оставшейся в пласте нефти определится по формуле

. (7.92)

Наконец, площадь  ωн,   занятая оставшейся в пласте нефтью в момент прорыва воды в скважины, находим по формуле

. (7.93)

Если сравнить площадь оставшейся в пласте нефти ωн с площадью круга, ограниченного кольцевой   батареей   скважин а2, получим значения отношения ωн/а2, приведенные в таблице для а = 0,4rн и 0,1rн.

Из таблицы видно, что при большом числе скважин в батарее нефтеносная площадь ωн не зависит от величины отношения а/rн.

Относительное количество нефти, остающейся в пласте к моменту

начала обводнения скважин кольцевой батареей

а/rн.

Число скважин

4

8

Относительная величина площади

ωн/а2

0,4

1,84

1,33

1

0,1

1,99

1,33

1

7.5. Метод конформного отображения

7.5.1. Общие положения

Ранее была установлена связь между теорией функций комплексного переменного и теорией плоских фильтрационных потоков.

Эта связь позволяет каждую функцию F (z) комплексного переменного z = х +iy трактовать, как поле некоторого плоского движения.

Введем новое комплексное переменное , связанное со старым переменным z соотношением z = z), где z (ς) произвольная аналитическая функция.

Первое движение происходило на плоскости комплексного переменного z и характеризовалось комплексным потенциалом F (z). Подставляя вместо z его выражение через ς получим

, (7.94)

где F1 –новая функция.

Полученная из F функция F1 определяет некоторый плоский фильтрационный поток на плоскости ς и,  изучив первый поток F, можно легко изучить поток F1 (ς).

Таким образом, задаваясь той или иной преобразующей функцией z = z (ς), из одного потока F (z) плоскости z можно получить бесчисленное множество других потоков на плоскости ς. Последнееозначает, что функция z=z(ς) реализует конформное отображение плоскости z на плоскость ς.

Для решения задач интерференции скважин в качестве исход­ного потока удобно взять течение к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте, являющееся вместе с тем течением между равнодебитными источником и стоком.

Применение метода конформного отображения позволяет получить решения ряда задач интерференции скважин значительно быстрее, нежели методами, основанными на прямой суперпозиции источников и стоков.

Метод конформных отображений в настоящее время широко применяется во многих физических и технических задачах. При помощи этого метода удается решить ряд плоских задач напорной и безнапорной фильтраций.

7.5.2.  Вывод некоторых формул для притока к  скважинам при помощи конформного отображения

Предположим, что на плоскости комплексного переменного z=х+iy дано некоторое течение с комплексным потенциалом F(z). Введем новое комплексное переменное , связанное со старым переменным z зависимостью z=z(ς) или ς=ς(z). Отделяя в функции z=z(ς)действительную часть от мнимой, получаем

,

откуда      x=x(ξ,η),      y=y(ξ,η),

       ξ= ξ(x,y),     η= η(x,y). (7.95)

Уравнения (7.95) устанавливают соответствие между точками плоскостей ς и z. В зависимости от того, однозначна или многозначна преобразующая функция z=z(ς), каждой точке плоскости ς соответствует одна или несколько точек плоскости z.

Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости. Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом,  сами значения потенциала скорости Ф и функции тока Ψ будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей. Производная dz/, есть также некоторая функция комплексного переменного, вполне определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей z и ς. Это означает по самому определению производной, что предел отношения

не зависит от закона стремления к нулю отрезков Δξ и Δη. Отсюда следует, что в каждой точке плоскости ς и соответствующей (или соответствующих) ей точке плоскости z отношение соответствующих бесконечно малых отрезков dz и dς постоянно. Но из каждой точки плоскости ς можно провести бесконечное множество отрезков dς1, dς2, ... Им будут соответствовать на плоскости z бесконечно малые отрезки dς1, dς2, ... также исходящие из точки плоскости z, соответствующей рассматриваемой точке плоскости ς .

Так как     в каждой   точке   есть   вполне   определённая величина, то  (7.96)

Из (7.96) следует пропорция  .

Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя. Но argdz1 – это угол между направлениями элемента dzl и осью х.

Таким образом,

arg dzl - arg dz2 = arg dς1 - arg dς2,

т. е. углы между отрезками dz1, dz2 и  отрезками dς1, dς2 равны.

Поэтому преобразование z(ς) или ς (z) называется конформным, так как оно сохраняет подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках.

Доказательство сохранения дебитов скважины при конформном отображении. Пусть на плоскости z имеется скважина радиусом rс., на плоскости ς ей будет соответствовать скважина радиусом с. При этом, так как радиусы скважин обеих плоскостей можно считать очень малыми по сравнению с размерами областей течения, то на основании формулы (7.96)

. (7.97)

Покажем теперь, что при конформном отображении дебиты скважин – стоков или источников – сохраняются на обеих плоскостях. Для этого окружим скважину на плоскости z произвольным замкнутым контуром l, которому на плоскости ς будет соответствовать также замкнутый контур λ. Пусть dn и dl – элементы нормали и касательной для контура l на плоскости z и соответственно dv и d λ – для контура λ на плоскости ς.

Тогда абсолютная величина дебита | Q | скважины на плоскости z выразится интегралом по замкнутому контуру

, (7.98)

так как составляющая скорости   фильтрации   по нормали к контуру.

Но по смыслу конформного преобразования, сохраняющего подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках обеих плоскостей, согласно формуле (7.96) имеем

. (7.99)

Подставляя эти выражения в формулу (7.98), получаем

.

Сокращая  на будем иметь

. (7.100)

В правой части формулы (7.100) согласно формуле (7.98) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости ς, равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости z.

Связь прямолинейно-параллельного  и плоско-радиального течений. За исходный поток примем простейший вид прямолинейно-параллельного течения

. (7.101)

Рис.7.26. Соответствие между эквипотенциалями и линиями тока

Пусть А – положительная и действительная постоянная. Отделяя действительную и мнимую части, получаем

,

откуда

.              (7.102)

Т. о. эквипотенциали Ф=Ах=const   являются   семейством прямых, параллельных оси у (рис. 7.26.), а линии тока Ψ = Ау = const – прямыми, параллельными оси х.

Проекции скорости фильтрации u, v равны

.               (7.103)

Таким образом, характеристическая функция течения F (z) = Az определяет прямолинейно-параллельное течение в сторону отрицательной оси х с постоянной во всех точках скоростью u = - А.

Сделаем  замену переменного

,                                       (7.104)

где .

Здесь , θ – полярные координаты на плоскости ς. 

Тогда

, (7.105)

откуда, сравнивая действительные и мнимые части, получим

. (7.106)

Прямым линиям х = const плоскости z соответствуют на плоскости ς кривые ln=const, = const, т. е. окружности с центром в начале координат, а прямым у=const –лучи θ = const плоскости ς (рис. 7.26.).

Следовательно, сетке течения Ф = Ах = const,  Ψ = Ay = const на плоскости z соответствует на плоскости ς сетка течения = const и θ = const, т. е. при А >0 – приток к точечному стоку в начале координат с дебитом q = 2 А.

Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания. Возьмем за исходный поток приток к точечному стоку на плоскости ς:

,  (7.107)

где С – произвольная константа.

Пусть на плоскости z в точке х = 0, у = а находится скважина малого радиуса гс, причем ось х является одной эквипотенциалью Ф=Фк, а окружность малого радиуса гс – другой эквипотенциалью Ф = Фс (рис. 7.27). На плоскости z мы имеем приток к скважине в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания.

Если удастся найти преобразование ς = ς (z) или обратное z=z (ς), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости z в круг = к плоскости ς, а точку zc = ia плоскости z, где расположен центр скважины радиусом rс, в начало координат ς=0 плоскости ς, то задача будет решена.

Рис. 7.27. Соответствие между плоскостями z и ς в задаче о притоке  в скважину

В нашем случае искомое преобразование имеет вид:

.               (7.108)

Действительно, полагая z=ia, из формулы (7.108) получаем ς=0, т. е. центру скважины на плоскости z соответствует начало координат ς= 0 на плоскости ς.

Точки вещественной оси х плоскости z переходят в точки окружности = к плоскости ς. Действительно, полагая в формуле (7.108) z = х – любому вещественному числу, имеем

,. (7.109)

откуда следует .

Таким образом, действительная ось z = х перешла в окружность ρн плоскости ς, а точка верхней полуплоскости z = ia в начало координат ς = 0. Отсюда ясно, что формула (7.108) и есть нужное нам преобразование. Радиусы скважин обеих плоскостей согласно формуле (7.97) связаны соотношением .

Отсюда согласно (7.108) получаем

. (7.110)

Для комплексного потенциала на плоскости z получаем

, (7.111)

где С' – новая константа,   равная

. (7.112)

Для дебита, согласно формуле Дюпюи, имеем . Подставляя сюда ρс  из формулы (7.110), получим

. (7.113)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76113. Проектирование и расчет показателей работоспособности и надежности ЛВС 31.77 MB
  В процессе выполнения работы студент решает следующие задачи: выбор типа одноранговая или с выделенным сервером и топологии ЛВС для организации; выбор устройств физического и канального уровня в соответствии с моделью OSI и физическая структуризация сети...
76116. ТЕХНОЛОГІЯ ВИРОБНИЦТВА ГЛЮКОРНУ 1.1 MB
  Актуальність теми. У сучасних умовах забруднення навколишнього середовища недоброякісного виробництва продуктів харчування та високого рівня урбанізації вживання людиною додаткових нутрієнтів із підвищеним рівнем ферментів вітамінів мікро та макроелементів стає все більш необхідним.
76117. НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА РУССКУЮ РЕВОЛЮЦИЮ 52.5 KB
  И цель предлагаемой статьи рассмотреть влияние которое недавние политические и интеллектуальные изменения оказывают на изучение революции. В течение семи десятилетий дискуссии о русской революции 1917 г.
76118. Петровские реформы 48.5 KB
  Такова притягательная сила личности Петра Великого первого Российского императора великого реформатора. История России до Петра Великого и после него знала немало реформ. Реформы проводились в течение всего правления Петра I.
76120. Принципы организации и виды финансовой политики предприятия 29.79 KB
  В данной работе рассматривается финансовая палитика предприятия стратегические направления которые определяют долгосрочную и среднесрочную перспективу использования финансов и предусматривают решение главных задач вытекающих из...
76121. Мистецтво усного публічного мовлення. Мистецтво переконувати 104.5 KB
  Переконливе пристрасне слово дійовий засіб організації стосунків між людьми в діловій сфері могутній чинник виховання. Живе слово особистий приклад величезна сила. Поведінка оратора його мова жести вигляд усе це взірець для слухачів.