83247

Нелинейное и динамическое программирование

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности: дана последовательность требуется найти самую длинную возрастающую подпоследовательность. Задача о редакционном расстоянии расстояние Левенштейна: даны две строки требуется найти минимальное количество стираний...

Русский

2015-03-12

42.96 KB

1 чел.

Нелинейное и динамическое программирование

Динамическое программирование в теории управления и теории вычислительных систем — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой (англ.), выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем.Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач.

Классические задачи динамического программирования

  1.  Задача о наибольшей общей подпоследовательности: даны две последовательности, требуется найти самую длинную общую подпоследовательность.
  2.  Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности: дана последовательность, требуется найти самую длинную возрастающую подпоследовательность.
  3.  Задача о редакционном расстоянии (расстояние Левенштейна): даны две строки, требуется найти минимальное количество стираний, замен и добавлений символов, преобразующих одну строку в другую.
  4.  Задача о вычислении чисел Фибоначчи
  5.  Задача о порядке перемножения матриц: даны матрицы , …, , требуется минимизировать количество скалярных операций для их перемножения.
  6.  Задача о выборе траектории
  7.  Задача последовательного принятия решения
  8.  Задача об использовании рабочей силы
  9.  Задача управления запасами
  10.  Задача о ранце: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес» требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при ограниченном суммарном весе.
  11.  Алгоритм Флойда — Уоршелла: найти кратчайшие расстояния между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа.
  12.  Алгоритм Беллмана — Форда: найти кратчайший путь во взвешенном графе между двумя заданными вершинами.
  13.  Максимальное независимое множество вершин в дереве: дано дерево, найти максимальное множество вершин, никакие две из которых не связаны ребром.

Нелинейное программирование (NLPангл. NonLinear Programming) — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением являетсянелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции  при выполнении условий

где  — параметры,  — ограничения,  — количество параметров,  — количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Методы решения задачи

Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений, является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Если целевая функция  является линейной, а ограниченным пространством является политоп, то задача является задачей линейного программирования, которая может быть решена с помощью хорошо известных решений линейного программирования.

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации) или выпуклой (задача минимизации) и множеством ограничений служит выпуклая, то задачу называютвыпуклой, и в большинстве случаев могут быть использованы общие методы выпуклой оптимизации.

Если целевая функция является отношением вогнутых и выпуклых функций (при максимизации) и ограничения выпуклые, то задача может быть преобразована в задачу выпуклой оптимизации использованием техник дробного программирования.

Существуют несколько методов для решения невыпуклых задач. Один подход заключается в использовании специальных формулировок задач линейного программирования. Другой метод предусматривает использование методов ветвей и границ, где задача делится на подклассы, чтобы быть решенной с выпуклыми (задача минимизации) или линейными аппроксимациями, которые образуют нижнюю границу общей стоимости в пределах раздела. При следующих разделах в определенный момент будет получено фактическое решение, стоимость которого равна лучшей нижней границе, полученной для любого из приближенных решений. Это решение является оптимальным, хотя, возможно, не единственным. Алгоритм можно прекратить на ранней стадии, с уверенностью, что оптимальное решение находится в рамках допустимого отклонения от найденной лучшей точки; такие точки называются ε-оптимальными. Завершение ε-оптимальных точек, как правило, необходимое для обеспечения конечности завершения. Это особенно полезно для больших, сложных задач и задач с неопределенными расходами или значениями, где неопределенность может быть определена из соответствующей оценки надежности.

Дифференцирование и условия регулярности, условия Каруша — Куна — Такера (ККТ) обеспечивают необходимые условия оптимальности решения. При выпуклости, эти условия являются и достаточными.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33908. Средняя арифметическая и ее свойства 15.55 KB
  Средняя арифметическая и ее свойства. В статистической практике из всех видов средних чаще всего используется средняя арифметическая. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной.
33909. Средняя хронологическая 12.86 KB
  Средняя величина- обобщающая характеристика варьирующего признака ед.статистической совокупности. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных ед.совокупности, обусловленных действиями случайных факторов, и учитываются изменения, возможные действия основных факторов.
33910. Средняя гармоническая 13.87 KB
  Средняя гармоническая. гармонической взвешенной имеет вид: Средняя гармоническая простая имеет вид :.
33911. Исходное соотношение средней 12.95 KB
  Наиболее распространенной формой статистических показателей используемой в социально – экономических явлениях является средняя величина представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. средняя арифметическая ; 2. средняя гармоническая; 3. средняя геометрическая; 4.
33912. Средняя геометрическая 12.21 KB
  Средняя геометрическая. Для несгруппированных данных или для сгруппированных данных с равными частотами применяется средняя геометрическая простая:.
33913. Средняя квадратическая и другие степенные средние 11.35 KB
  Для несгруппированных данных: Для сгруппированных данных: Правило мажорантности старшинства состоит в том что при расчете по одним и тем же данным между числовыми значениями средних исчисляется по разным формулам всегда сохраняется неравенство: Хсред. Гармоническая =Хсред. Геометрическая =Хсред. =Хсред квадратическая.
33914. Область применения различных видов степенной средней 10.74 KB
  Средняя арифметическая величина – среднее слагаемое поэтому если есть данные по варьированному осредненному признаку известен объем статистической совокупности то применяем арифметическую среднюю. Для вариационного ряда распределения применяется средняя арифметическая взвешенная. Если имеются данные по величине признака на начало каждого периода то применяется средняя хронологическая. Квадратическая средняя используется при расчете средних темпов роста.
33915. Общее понятие о вариации, показатели величины вариации и способы их расчета 13.27 KB
  Общее понятие о вариации показатели величины вариации и способы их расчета. Показатели вариации показатели стабильности позволяют сделать вывод об однородности совокупности о надежности типичности средней. Для измерения величины вариации используется абсолютный и относительный показатель вариации. Размах вариации R=XmxXmin.
33916. Абсолютные показатели вариации 20.12 KB
  Чтобы дать представление о величине варьирующего признака недостаточно исчислить средний показатель. Кроме средней необходим показатель характеризующий вариацию признака. Вариация – это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности.