83638

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Лекция

Физика

Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи. Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа линейных не представляет труда. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая изображающая точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике переходя через точки излома.

Русский

2015-03-15

134 KB

4 чел.

Лекция N 40

Метод кусочно-линейной аппроксимации

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией  с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа 

линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти

 

Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора

         Участок аппроксимирующей

кривой

   Схема замещения

 Параметры

элементов

Граничные

условия

0 - 1

1 - 2

2 - 5

3 - 0

2 - 5

  

 

к другому сочетанию. Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.

В качестве примера определим напряжение  в цепи на рис. 2, в которой     . ВАХ нелинейного резистора  приведена на рис. 3, где .

Решение

            1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1-2 заменяем линейным резистором с сопротивлением

,

на участке 2-3-источником тока с током  и на участке 4-1-источником тока с током .

            2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1-2 ВАХ можно записать:

(1)

откуда

При движении изображающей точки по участку 2-3 ВАХ имеем

,

при движении по участку 1-4 ВАХ-

.

            3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение

или

.

            Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: . Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4-1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.

            Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ

или

откуда  (значение, соответствующее переходу с участка 1-2 на участок 2-3) и  (значение, соответствующее переходу с участка 3-2 на участок 2-1).

            Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения

;

;

;

;


               .

            В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n.

            На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.

 

Метод гармонического баланса

Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.

            Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

            Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

            1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.

            2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.

            3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами  и начальными фазами .

            4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.

            5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд  и начальных фаз  функции разложения определяемой величины.

            6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно  и .

Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.

Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения  и состоящей из последовательно соединенных линейного резистора  и нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида , необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражением , где  и  - неизвестные (искомые величины).

Для решения определяем аналитическое выражение характеристики  для первых гармоник:

откуда

.  

(2)

После подстановки выражения тока и соотношения (2)  в уравнение состояния цепи

получаем

или

            На основании последнего получаем систему уравнений

из которых находим искомые параметры и .

 

Литература

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3.  Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключается сущность метода кусочно-линейной аппроксимации?
  2.  На чем основан метод гармонического баланса?
  3.  Сформулируйте основные этапы расчета нелинейной цепи методом гармонического баланса.
  4.  В чем состоит сущность метода расчета по первым гармоническим?
  5.  Как определяется характеристика нелинейного элемента для первых гармоник?
  6.  Резистивная нагрузка подключена к источнику синусоидального напряжения через последовательно включенный с ней диод. Считая ВАХ диода идеальной, определить коэффициент мощности. Обоснуйте физически полученный результат.

Ответ: .

  1.  Последовательно соединенные линейный конденсатор с  и нелинейная катушка, вебер-амперная характеристика которой аппроксимирована выражением , где , питаются от источника синусоидального напряжения . Ограничившись рассмотрением первой и третьей гармонических, определить потокосцепление.

Ответ: .

273


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80262. Економічний розвиток України в умовах радянської економічної системи та його трактування в економічній думці 134 KB
  Економічний розвиток України в умовах радянської економічної системи та його трактування в економічній думці 1. Соціальноекономічний стан Західної України в 20-30х роках ХХ ст. Господарство України в роки Другої світової війни та післявоєнної відбудови. Перша світова війна мала руйнівний вплив на економіку України.
80263. Формування засад ринкового господарства в Україні (90-ті роки ХХ ст.) 46.5 KB
  Участь України в світовому господарстві. Проблеми соціальноекономічного реформування української економіки в перші роки незалежності Проголошення незалежності України відкрило нову еру в історії нашої країни. Верховна Рада України затвердила Основи національної економічної політикиrdquo;. У цьому документі передбачалася структурна перебудова господарства України.
80264. Особливості розвитку ринкового господарства й основні напрямки економічної думки в Україні (друга половина ХІХ - початок ХХ ст.) 82.5 KB
  Особливості розвитку ринкового господарства й основні напрямки економічної думки в Україні друга половина ХІХ початок ХХ ст. Промисловий переворот в Україні. Суть індустріалізації в Україні. Загальні умови і основні напрямки розвитку економічної думки в Україні наприкінці ХІХ початку ХХ ст.
80265. Господарство та економічна думка в період державно-монополістичного розвитку суспільств Європейської цивілізації (перша половина ХХ ст.) 97.5 KB
  Обновлялися основні галузі економіки: хімічна електрична приладобудівна автомобільна радіотехнічна. Одним з найбільших недоліків її післявоєнної економіки була залежність від імпорту сільськогосподарської продукції та промислової сировини. Німеччина втратила зовнішні ринки через розвал економіки звузилися її внутрішні ринки. Катастрофічне становище в основних галузях економіки було причиною краху кредитнофінансової системи Німеччини.
80266. ПІДГОТОВКА ПІД-ПРИЛАДУ МОДЕЛЮВАННЯ ЗМІНИ ТЕМПЕРАТУРИ - SIMULATED TEMPERATURE 681.5 KB
  Підготовка під приладу Моделювання зміни температури Simulted Temperture. Віртуальний прилад що моделює зміну температури: а контрольна панель; б блоксхема приладу. Vi для моделювання зміни температури починається з контрольної панелі на яку слід вивести девять задавачів зміни температури обєднавши їх у одномірний масив рисунок 7.
80267. Основні функції для підготовки віртуального приладу дослідження температури 322.5 KB
  Основні функції для підготовки віртуального приладу дослідження температури Для виведення функції Rdio Button на контрольну панель Controls ModernClssic Boolen 12 Boolen Rdio Button. Меню для виведення функції Rdio Button на контрольну панель Вигляд функції Rdio Button яку названо Шкала температур на контрольній і функціональній панелі показано на рисунку 7.8 Функція Rdio Button яку названо Шкала температур на контрольній а і функціональній б панелі ЛІТЕРАТУРА 1 Большая советская енциклопедія Т3 стр.
80268. ВІРТУАЛЬНИЙ ПРИЛАД ДОСЛІДЖЕННЯ ВТРАТИ ТИСКУ НА ДІЛЯНЦІ ТРУБОПРОВОДУ 75.5 KB
  Склад та принцип дії насосної установки УНБ1 400х40 Установка змонтована на автомобілі КрАЗ250 складається із силового агрегату карданного і проміжного валів коробки передач плунжерного насоса з навісним редуктором маніфольда допоміжного трубопроводу водоподавального блока цементного бачка поста керування з фарою для освітлення зубчастої муфти та випускної труби двигуна автомобіля. Технічна характеристика установки УНБ1400х40 Двигун Чотирикратний...
80269. АЛГОРИТМ СТВОРЕННЯ ВІРТУАЛЬНОГО ПРИЛАДУ ВИМІРЮВАННЯ ТИСКУ НА ДІЛЯНЦІ ТРУБОПРОВОДУ 1.99 MB
  Для вибору і розміщення необхідних на лицьовій панелі приладу елементів слід у верхній горизонтальній лінійці піктограм (ВГ-ЛП) обрати передостанню зліва закладку Вікно – Window і натиснути ЛКМ.
80270. ПРОГНОЗУВАННЯ ВАРТОСТІ ДОСЛІДНОГО ЗРАЗКА ВИРОБУ 423.5 KB
  Створення програми та методики експерименту. Планування експерименту. Використання елементів теорії математичної статистики для визначення результатів експерименту. Вибір ключових слів і рубрик УДК У ході підготовки даної роботи використовувалися такі ключові слова: планування експерименту.