83641

Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях

Лекция

Физика

По сравнению с рассмотренными выше аналитическими методами они обладают следующими основными преимуществами: отсутствием принципиальной необходимости в аналитическом выражении характеристики нелинейного элемента что устраняет погрешность связанную с ее аппроксимацией; возможностью проведения расчетов при достаточно сложных формах кривых нелинейных характеристик. Метод фазовой плоскости Метод позволяет осуществлять качественное исследование динамических процессов в нелинейных цепях описываемых дифференциальными уравнениями первого и...

Русский

2015-03-15

196.5 KB

0 чел.

Лекция N 43

Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях

Графическими называются  методы, в  основе которых лежат графические построения на плоскости. По сравнению с рассмотренными выше аналитическими методами они обладают следующими основными преимуществами:

- отсутствием принципиальной необходимости в аналитическом выражении характеристики нелинейного элемента, что устраняет погрешность, связанную с ее аппроксимацией;

- возможностью проведения расчетов при достаточно сложных формах кривых нелинейных характеристик.

Главный недостаток графических методов заключается в получении решения для конкретных значений параметров цепи.

Основными графическими методами, используемыми при решении электротехнических задач, являются:

1. Метод  графического  интегрирования

Метод  графического интегрирования основан на графическом подсчете определенного интеграла и заключается в последовательном  нахождении  площадей под соответствующей подынтегральной функции кривой. Он применяется для анализа электрических цепей, переходные процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

2. Метод изоклин

Данный метод является одним из наиболее широко используемых графических методов приближенного интегрирования. Он непосредственно используется для решения уравнений первого порядка вида    и при этом включает в себя в общем случае следующие этапы:

в плоскости по уравнениям изоклин  (изоклина  - линия равного наклона, вдоль которой функция  имеет постоянное значение, т.е. геометрическое место точек, для которых ) строятся изоклины для различных значений углового коэффициента  ;

вдоль каждой изоклины наносятся черточки с наклоном,  определяемым соответствующим значением  ;

от точки  соответствующей начальному условию, строится интегральная кривая так, чтобы она пересекала каждую изоклину параллельно нанесенным на ней черточкам;  полученная кривая является графиком искомой зависимости 

3. Метод фазовой плоскости

Метод позволяет осуществлять качественное исследование динамических процессов в нелинейных цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. При этом без непосредственного  интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений данный метод дает возможность получить представление о процессе в целом.  В общем случае исследования, проводимые методом фазовой плоскости, позволяют выявить зависимость характера переходного процесса от начальных условий, судить об устойчивости или неустойчивости работы цепи, устанавливать возможность появления в цепи автоколебаний  с оценкой их частоты и формы и т. д. 

Более подробно с графическими методами можно познакомиться в [1,2,3].

 

Численные методы расчета переходных процессов

Численные методы анализа динамических процессов в нелинейных электрических цепях базируются на различных численных способах  приближенного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. В их основе лежит общий принцип: исходное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим для приращений зависимой (исследуемой) переменной за соответствующие интервалы изменения независимой переменной (времени).

Основным достоинством численных методов является их универсальность, т.е. принципиальная пригодность для анализа любой цепи. Это особенно важно в случае нелинейных цепей, для которых не существует общих аналитических методов расчета.

Применительно к анализу динамических процессов в нелинейных цепях наибольшее распространение получили:

- метод переменных состояния;

- метод дискретных моделей.

 

Метод переменных состояния

Метод переменных состояния, как было показано при анализе переходных процессов в линейных цепях, основывается на составлении и интегрировании дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме. Полная система уравнений в матричной форме имеет вид

.

=

.

(1)

Здесь  и - матрицы переменных состояния и их первых производных по времени соответственно; w(z) – матрица нелинейных резистивных элементов ; z – матрица аргументов нелинейных резистивных элементов ; v – матрица входных воздействий  ( ЭДС и токов источников ) ; y – матрица искомых величин.

При составлении уравнений состояния для относительно несложных цепей они могут быть записаны непосредственно по законам   Кирхгофа.  В общем же случае для этой цели используется или методика, основанная на составлении по специальному алгоритму таблицы соединений, что было показано при рассмотрении метода переменных состояния применительно к расчету линейных цепей, или методика, базирующаяся на принципе наложения.

 

Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения

Данная методика составления уравнений состояния вытекает из разделения исходной цепи на две подсхемы:

- первая включает в себя элементы, запасающие энергию, а также нелинейные   резистивные элементы и источники питания;

-вторая охватывает линейные резистивные элементы.

Пример такого представления исходной цепи приведен на рис. 1,а, где пассивный многополюсник П соответствует второй подсхеме .

Следующий этап рассматриваемой методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов, а также нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа  u(i) источниками   напряжения, а     всех катушек       индуктивности и нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа i(u) – источниками тока (рис. 1,б). В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой, помимо заданных (независимых) источников, действуют управляемые источники.

 


Рис. 1

На третьем этапе с использованием метода наложения определяются выражения входных токов и напряжений пассивного многополюсника П через напряжения и токи всех присоединенных к нему источников.

В качестве примера составим уравнения состояния для цепи на рис. 2,а и определим выражения  и .


а)

б)

Рис.2

 

1. В соответствии с изложенной методикой заменим исходную цепь схемой замещения на рис. 2,б. На основании метода наложения этой схеме соответствует пять цепей, приведенных на рис. 3. С их использованием для тока =dq/dt  в ветви с конденсатором и напряжения на зажимах  катушки индуктивности запишем

   

(2)

 

  а)  

б)  

в)

г)  

д)


Рис. 3

 

(3)

     2. Выражение для искомого напряжения  определяется согласно закону Ома:

   

 ( 4)

     На основании метода наложения с использованием расчетных схем на рис. 3 для второй искомой переменной – тока  запишем

 

      

( 5)

 

     3. Объединив  (2) (5)  с  учетом , получим    матричное    уравнение     вида (1):

 

=

.

 

Вектор начальных значений     =     .

Сравнивая в заключение рассмотренные методики составления уравнений состояния, можно отметить, что методика, основанная на использовании принципа наложения, не содержит достаточно сложного этапа исключения переменных резистивных ветвей из уравнений состояния, входящего в методику составления уравнений на основе таблицы соединений. Вместе с тем использование метода наложения для сложных цепей может также оказаться весьма трудоемкой задачей.

    

Метод дискретных моделей

Метод основан на использовании дискретных моделей индуктивного и емкостного элементов и позволяет свести численный анализ динамических процессов в нелинейных цепях к последовательному расчету на каждом шаге нелинейных резистивных цепей.

Дискретные модели вытекают из неявных алгоритмов, в частности из обратной формулы Эйлера. Эти модели, полученные на основе неявного алгоритма Эйлера, а также выражения для параметров входящих в них элементов приведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Дискретные модели индуктивного и емкостного элементов

 

Тип элемента

Аналитические

соотношения

 Дискретная модель

Индуктивный элемент

Емкостный элемент

где ;

 ;

где ;

;

.

 

Примечание: если емкостный и индуктивный элементы линейные и то  и .

Метод дискретных моделей хорошо поддается машинной алгоритмизации и используется для расчета сложных нелинейных цепей на ЭВМ. Для достаточно простых схем он может быть реализован ’’вручную’’.

Последовательность расчета нелинейной цепи методом дискретных моделей иллюстрируется приведенным ниже примером решения задачи.

В цепи на рис. 3 предыдущей задачи  ЭДС источника Е = 1В; 1Ом; 4 Ом. Вебер - амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности аппроксимирована выражением  где ток – в амперах, потокосцепление – в веберах.

Рассчитать ток i в цепи после замыкания ключа

.

Решение

1. Нарисуем расчетную дискретную схему замещения цепи (см. рис. 4).

Для этой схемы справедливо

   

(6)

где в соответствии с табл. 1

 


Значение дифференциальной индуктивности нелинейной катушки на k-м шаге

     

(7)

 

2. Выберем шаг интегрирования  На основании закона коммутации     Тогда  и в соответствии с (7) . Параметры элементов схемы замещения:    откуда на основании (6)

На следующем шаге  тогда  и параметры элементов схемы замещения    откуда

   

Результаты пошагового расчета согласно приведенному алгоритму представлены в табл. 2 .

 

Таблица 2. Результаты расчета

 

с

А

Вб

Гн

Ом

В

А

0

0

0,2

0,585

0,974

0,974

0,195

0,605

1

1

0,605

0,846

0,466

0,466

0,282

0,874

2

2

0,874

0,956

0,365

0,365

0,319

0,966

3

3

0,966

0,989

0,341

0,341

0,329

0,99

4

4

0,99

0,997

0,335

0,335

0,332

0,998

 

Литература

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  4.  Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.

Контрольные вопросы

  1.  Какие графические методы применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях? В чем их сущность?
  2.  Какие методики применяются для составления уравнений состояния?
  3.  Сформулируйте этапы составления уравнений состояния на основе принципа наложения.
  4.  В чем заключается сущность метода дискретных моделей?
  5.  Нарисуйте дискретные модели нелинейных индуктивного и емкостного элементов и напишите соответствующие им аналитические соотношения.

294


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73908. Революційно-демократичний напрям економічної думки в Україні. АС. Подолинський, І. Франко, О. Терлецький, В Навроцький 61 KB
  Франко О. Франко та інші. Франко 1856 1916 великий український письменник мислитель історик філософ літературознавець. Франко дослідженню економіки Галичини становищу селянства й робітничого класу.
73909. Ліберальні напрями економічної думки в Україні в 19 столітті. М. Зібер, М. Драгоманов, М. Довнар-Запольський 33 KB
  Драгоманов М. Михайло Петрович Драгоманов 1841 1895 видатний український мислитель історик публіцист етнограф літературний критик. Драгоманова як політично неблагонадійного було звільнено з посади викладача. Драгоманова в розвитку української і національної ідеї.
73910. Сучасний монетаризм М. Фрідмен 57.5 KB
  Монетаризм являє собою одну з найвпливовіших шкіл сучасної економічної науки, що належать до некласичного напряму. Він розглядає явища господарського життя крізь призму процесів, що відбуваються у сфері грошового обігу...
73911. Економічна думка країн Давнього Сходу й Передньої Азії. Давньоєгипетські джерела. Закони Ешнунни. Ліпіт Іштара. Хаммурапі 28.5 KB
  До нашої доби дійшли Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара Проречення Іпусера Пророцтво Неферті Повчання Ахтоя сина Дуауфа своєму синові Піопі різні адміністративногосподарські та юридичні документи. Так наприклад Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара XXII ст. Тоді вони працюватимуть задля царя як один загін і не буде серед них бунтарів1. є закони вавилонського царя Хаммурапі.
73912. Економічна думка в Україні в пореформений період 19 століття. М. Бунге, Д. Піхно, С. Вітте, І. Сокальський 22 KB
  Бунге Д. Бунге професор згодом ректор Київського університету у 80ті рр. Бунге вказував на велике значення для розвитку політичної економії правильного визначення її предмета і вважав що складність такого визначення пояснюється позицією ліберальної економічної школи та соціалістів. Бунге критикував соціалістів за те що вони засуджували існуючий порядок і вбачали свій ідеал у новій організації праці у вигаданих формах суспільного устрою3.
73913. Створення К. Марксом і Ф. Енгельсом пролетарської політекономії : початок формування економічного вчення марксизму. Структура та основні проблеми “Капіталу” Пізні наукові праці 42 KB
  Структура та основні проблеми Капіталу Пізні наукові праці . Теоретичні проблеми Капіталу К. Кілька рукописних варіантів Капіталу 1857 1865 Критика політичної економії До критики політичної економії другий та третій попередні варіанти Капіталу у вигляді нарисів та закінчених теоретичних викладок давно були готові до друку однак Маркс намагався надати цьому твору характеру вичерпної логічно закінченої теорії. Однак вихід у світ одночасно всіх томів Капіталу не пощастило забезпечити: праця тривала надалі а...
73914. Маржинальна революція: австрійська школа “граничної корисності” (К. Менгер, Ф. Візер, О. Бьом-Баверек). Принципи економікс А. Маршалла 36.5 KB
  Маржинальна революція : австрійська школа граничної корисност К. Її теоретичними принципами були субєктивний ідеалізм та теорія граничної корисності. Центральне місце в концепціях австрійської школи посідає так звана теорія граничної корисності.Візер розвивав ідеї Менгера у працях Походження й основні закони господарської цінності 1884 Природна цінність 1889 Закон влади 1926 використовуючи принцип граничної корисності для оцінки вартості витрат виробництва.
73915. Релігія та демократія: конгруенція і конфлікт 35 KB
  За Андерсоном демократія може варіюватися проте в своїй основі вона повинна мати такі складові як рівність влада народу участь всіх конкуренція згода і в випадках ліберальної демократії захист прав меншинств та окремих індивідів. Якщо не пояснювати йдеться про політичну економічну соціальну рівність чи рівність можливостей то дана характеристика не може бути надійним покажчиком демократії. Щодо інших індикаторів демократії то вони також на мою думку є досить суперечливими проте за браком місця не будемо їх розглядати. Скажемо...
73916. Економічна глобалізація 54.5 KB
  Ініціали інституціоналізацію про формування системи глобального регулювання яка буде наділеною відповідним обсягом повноважень та легітимністю. Другий шлях глобальне співробітництво за якого розв‘язання глобальних проблем буде виконуватися не шляхом нав‘язування окремими акторами підходів а шляхом конструктивного і втілюваного в життя діалогу всіх зацікавлених сил. Далі буде логічно виведено розмірковування і про інші проекти. Але зрозуміло що таким чином будуть зачіплятися інтереси якоїсь із національних держав світу адже така...