83642

Цепи с распределенными параметрами

Лекция

Физика

Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями линии электропередачи передачи информации обмотки электрических машин и аппаратов и т. уже при к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами. Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами другое название длинная линия введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности сопротивления емкости и проводимости. Уравнения однородной линии в стационарном режиме Под первичными параметрами линии...

Русский

2015-03-15

159.5 KB

1 чел.

Лекция N 44

Цепи с распределенными параметрами

В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью.

Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны . Если , т.е. при , и . Для , т.е. уже при  к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

 

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость  и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины  со структурой, показанной на рис. 1.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно  и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

;    

(1)

.     

(2)

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при  можно распространить  и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя  на , на основании (1) и (2) получаем

;

(3)

(4)

где  и  - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение  из (4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

,

(5)

где  - постоянная распространения;  - коэффициент затухания;  - коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (3) можно записать

,

(6)

где  - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление  и постоянную распространения  называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Определяя  и , на основании (5) запишем

.

(7)

Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени  и   . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

.

(8)

Продифференцировав (8) по времени, получим

.

(9)

Длиной волны  называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на  рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

(10)

где в соответствии с (5)  и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провода к нижнему.

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

,

(11)

где  и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока  (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

;

.

 

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление  лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным

;

.

(12)

На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

.

Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:

Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.

У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.

Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига  между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линий длиной  в данном случае

,

откуда КПД линии

и затухание

.

Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в  раз, а по напряжению или току – в  раз.

 

Литература

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключается разница между цепями с сосредоточенными и распределенными параметрами?
  2.  По какому критерию цепь относят к классу цепей с распределенными или сосредоточенными параметрами?
  3.  Нарисуйте схему замещения длинной линии.
  4.  Объясните понятия прямой и обратной бегущих волн.
  5.  Что такое согласованный режим работы цепи с распределенными параметрами, чем он характеризуется?
  6.  Определить первичные параметры линии, если ее вторичные параметры .

Ответ:    

  1.  Определить по условиям предыдущей задачи КПД линии длиной 200 км, считая, что она нагружена на сопротивление, равное волновому.

Ответ: .

  1.  Определить ,  и  для кабеля, у которого , , если частота .

Ответ: ; ; .

  1.  По условиям предыдущей задачи определить длину волны и ее фазовую скорость.

Ответ:

301


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65362. ТРИБОВІБРОГРАВІТАЦІЙНА СЕПАРАЦІЯ КАМ’ЯНОГО ВУГІЛЛЯ 1.16 MB
  Одним із напрямів збільшення виробництва палива є його вилучення із вуглевміщуючих матеріалів, під якими розуміються високозольне крупно-кускове рядове вугілля, шахтна порода, відходи та промпродукт вуглезбагачувальних фабрик.
65363. ВПЛИВ ПАРАТИПОВИХ ФАКТОРІВ НА РЕЗИСТЕНТНІСТЬ ЖЕРЕБЦІВ-ПЛІДНИКІВ УКРАЇНСЬКОЇ ВЕРХОВОЇ ПОРОДИ 581.66 KB
  Мета роботи дослідження природної резистентності стану здоров'я жеребцівплідників української верхової породи за дії різних абіотичних факторів мікроклімат стаєнь якість годівлі способи утримання та інтенсивність використання тварин.
65364. ОБҐРУНТУВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ СТІЙКОСТІ ГІРНИЧИХ ВИРОБОК ВИБУХОВИМ РОЗВАНТАЖЕННЯМ ПОРІД ПОКРІВЛІ 4.18 MB
  Більше 70 гірничих виробок кріплять металевим податливим кріпленням з них близько 1520 знаходиться в незадовільному стані. Для охорони виробок найбільше застосовують на шахтах пасивні способи ремонти й заміну кріплення які лише усувають негативні наслідки гірського тиску.
65365. Покращення структури і властивостей деталей електровозів, відновлених електрошлаковим наплавленням 3.73 MB
  Роботу відновлених деталей їх робочий ресурс експлуатаційну надійність в деяких випадках лімітує якість зони сплавлення та зон термічного впливу. Присутність в цих зонах несприятливої крихкої структури плівкових неметалевих вкраплень пор дефектів газового походження викликає...
65366. Інформаційно-інтелектуальні системи для оперативного керування електроенергетичними об’єктами 697.5 KB
  Причини такого стану справ досить очевидні оскільки побудова ІІС для ОК ЕЕО потребує від їх розробників відповідних знань не лише в галузі інформатики програмування та обчислювальної техніки але також і знань що стосуються технологічних процесів...
65367. ДЕРЖАВНЕ УПРАВЛІННЯ РИНКОМ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ В УКРАЇНІ 185 KB
  Насамперед це стосується програмного забезпечення світовий ринок якого розвивається високими темпами й становить близько 200 млрд. Специфіка ринку розробки програмного забезпечення ПЗ така що на ньому можливе швидке подолання навіть глибокого технологічного відставання.
65368. Залізобетонні фундаменти теплових агрегатів, які працюють в умовах впливу температури на основу 301 KB
  Досвід експлуатації промислових споруд що зазнають дії технологічних температур свідчить про значну деформацію основ і конструкцій їх фундаментів. Недостатня вивченість поводження цих конструкцій вимагає вдосконалювання теоретичної і експериментальної наукової...
65369. Студентська субкультура: становлення та еволюція (на матеріалах російських університетів XIX – поч. XX ст.) 173.5 KB
  Відповідно стан історіографії зумовлює подальші дослідження про студентство зокрема перед істориками постає завдання здійснити цілісний аналіз студентської субкультури Російської імперії ХІХ початку ХХ ст. В тому числі це стосується й студентства...
65370. УДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЦЕСУ ПРОЕКТУВАННЯ КОМПЛЕКТУ ФОРМЕНОГО ОДЯГУ УЧНІВ МОЛОДШОЇ ШКІЛЬНОЇ ГРУПИ 1.01 MB
  Актуальність теми обумовлена тим, що формений одяг (ФО) для учнів молодшої шкільної групи (МШГ), який експлуатується в загальноосвітніх навчальних закладах України, має низькі показники ергономічності. Одним з основних показників ергономічності є показник динамічної...