83642

Цепи с распределенными параметрами

Лекция

Физика

Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями линии электропередачи передачи информации обмотки электрических машин и аппаратов и т. уже при к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами. Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами другое название – длинная линия введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности сопротивления емкости и проводимости. Уравнения однородной линии в стационарном режиме Под первичными параметрами линии...

Русский

2015-03-15

159.5 KB

0 чел.

Лекция N 44

Цепи с распределенными параметрами

В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью.

Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны . Если , т.е. при , и . Для , т.е. уже при  к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

 

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость  и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины  со структурой, показанной на рис. 1.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно  и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

;    

(1)

.     

(2)

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при  можно распространить  и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя  на , на основании (1) и (2) получаем

;

(3)

(4)

где  и  - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение  из (4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

,

(5)

где  - постоянная распространения;  - коэффициент затухания;  - коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (3) можно записать

,

(6)

где  - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление  и постоянную распространения  называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Определяя  и , на основании (5) запишем

.

(7)

Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени  и   . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

.

(8)

Продифференцировав (8) по времени, получим

.

(9)

Длиной волны  называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на  рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

(10)

где в соответствии с (5)  и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провода к нижнему.

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

,

(11)

где  и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока  (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

;

.

 

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление  лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным

;

.

(12)

На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

.

Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:

Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.

У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.

Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига  между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линий длиной  в данном случае

,

откуда КПД линии

и затухание

.

Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в  раз, а по напряжению или току – в  раз.

 

Литература

  1.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2.  Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключается разница между цепями с сосредоточенными и распределенными параметрами?
  2.  По какому критерию цепь относят к классу цепей с распределенными или сосредоточенными параметрами?
  3.  Нарисуйте схему замещения длинной линии.
  4.  Объясните понятия прямой и обратной бегущих волн.
  5.  Что такое согласованный режим работы цепи с распределенными параметрами, чем он характеризуется?
  6.  Определить первичные параметры линии, если ее вторичные параметры .

Ответ:    

  1.  Определить по условиям предыдущей задачи КПД линии длиной 200 км, считая, что она нагружена на сопротивление, равное волновому.

Ответ: .

  1.  Определить ,  и  для кабеля, у которого , , если частота .

Ответ: ; ; .

  1.  По условиям предыдущей задачи определить длину волны и ее фазовую скорость.

Ответ:

301


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42022. Использование классов на примере работы с простыми геометрическими фигурами 40.5 KB
  Варианты заданий Треугольник задаваемый координатами вершин. Прямоугольник задаваемый координатами своих левойверхней и правойнижней вершин стороны параллельны осям. Треугольник задаваемый координатами вершин. Прямоугольник задаваемый длинами своих диагоналей и координатами центра стороны параллельны осям.
42024. Наследование классов. Разработка простейшего производного класса 28.5 KB
  Цель работы: Разработка простейшего производного класса. В функции min организовать ввод конкретных параметров объекта с клавиатуры создание объекта экземпляра класса тестирование всех его методов как старых так и новых в текстовом режиме с выдачей соответствующих сообщений. Организовать исходный текст в виде пяти исходных файлов: заголовочный с описанием класса .h из предыдущей части задания; с реализацией методов функцийчленов класса .
42026. Перегрузка операций и функций 58 KB
  Для всех заданий реализовать: а конструктор инициализирующий значения полей некоторыми значениями; б вывод данных на экран оператор . Необходимо корректное описание данного оператора в демонстрация всех операций должны быть реализована через пользовательское меню где пользователь выбирает действие вводит данные указывает тип данных если нужно и т. Реализовать: а сложение вычитание векторов операторы –; б умножение вектора на скаляр оператор ; в скалярное произведение векторов оператор ; г векторное произведение...
42028. Динамические структуры данных (списки, очереди, стеки, двоичные деревья) 56.5 KB
  Программа должна обеспечивать: начальное формирование данных о всех автобусах в парке в виде двусвязного циклического списка; при выезде каждого автобуса из парка вводится номер автобуса и программа удаляет данные об этом автобусе из списка автобусов находящихся в парке и записывает эти данные в список автобусов находящихся на маршруте; при въезде каждого автобуса в парк вводится номер автобуса и программа удаляет данные об этом автобусе из списка автобусов находящихся на маршруте и записывает эти данные в список автобусов...
42029. Структура окна Maple. Арифметические операции, числа, константы и стандартные функции. Элементарные преобразования математических выражений. Функции в Maple. Операции оценивания. Решение уравнений и систем 317 KB
  Структура окна Mple. Функции в Mple. Структура окна Mple Mple  это пакет для аналитических вычислений на компьютере содержащий более двух тысяч команд которые позволяют решать задачи алгебры геометрии математического анализа дифференциальных уравнений статистики математической физики. Для того чтобы запустить Mple необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения: Mple.
42030. Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных 264.5 KB
  Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume