83654

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС

Лекция

Физика

Положительных направлений напряжений и токов. Однако число уравнений подлежащих решению может быть сокращено если воспользоваться специальными методами расчета к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов. Метод контурных токов Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа но не для действительных а для воображаемых токов циркулирующих по замкнутым контурам т. Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно.

Русский

2015-03-15

189.5 KB

1 чел.

Лекция N 9

Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС


Возьмем два участка цепи
a-b  и c-d (см. рис.  1) и составим для них уравнения в комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и токов.

                

Объединяя оба случая, получим

  

(1)

или для постоянного тока

.   

(2)

 

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление противоположно направлению тока.

 

Основы символического метода расчета цепей
синусоидального тока
 

 

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

1.     Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

(3)

 

2.     Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

(4)

 

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

(5)

 

3.     Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

§         первый закон Кирхгофа:

. ;   

(6)

 

§         второй закон Кирхгофа

.

(7)

 

Пример.

Дано:

Определить:  

1) полное комплексное сопротивление цепи ;

 

2) токи

 

Рис. 2

 

Решение:

 

1.     .

2.     .

3.    

                                             .

4.     Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

.

Тогда

.

5.     Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6.     .

7.     Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

 

Специальные методы расчета

 

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

 

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа . Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно  и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим  токи ветвей через контурные токи:

           ;

           ; ;

           ; .

Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем

.

Поскольку ,

то

.

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

 - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур;

 - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем    ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”;

знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление  i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае ставится знак “-”;

если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, и “-”, если не совпадает. 

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку , коэффициенты контурных уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий через ветвь с k- м источником тока равен этому току .

 

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева .

Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем .

Допустим, что  и  известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

.

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

.

Аналогично можно записать для узла b:

.

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1.      В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал  i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком “-”потенциал  соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей  ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены , стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”, причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2.      В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к  i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.

 

Литература

 

1.     Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2.     Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с

.

Контрольные вопросы и задачи

 

1.      В ветви на рис. 1     . Определить ток .

Ответ: .

2.      В чем заключается сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока?

3.      В чем состоит сущность метода контурных токов?

4.      В чем состоит сущность метода узловых потенциалов?

5.      В цепи на рис. 5 ; ; ;       . Методом контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей.

Ответ: ; ; .

6.      В цепи на рис. 6                 . Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.

Ответ: ; ; ; ; ; ; .

64


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83537. Право спеціальних місій 37.02 KB
  Функції спеціальної місії визначаються за взаємною згодою між державою що посилає і приймаючою державою. Для направлення або прийняття спеціальної місії не є необхідною наявність дипломатичних або консульських відносин між державами. За деякими виключеннями держава що посилає може на свій розсуд призначити членів спеціальної місії повідомивши попередньо приймаючій державі всю необхідну інформацію про чисельність і шал спеціальної місії і зокрема повідомивши про прізвища і посади осіб яких вона має намір призначити.
83538. Дипломатичне право міжнародних організацій 36.09 KB
  Як показує практика багатостороння дипломатія відбувається головним чином в рамках міжнародних організацій при яких держави засновують свої постійні представництва які користуються такими ж привілеями та імунітетами що і члени делегацій державчленів організації. Вона охоплює чотири сфери діяльності держав в їх відносинах з міжнародними організаціями і в рамках міжнародних конференцій а саме постійні представництва держав при міжнародних організаціях місії постійних спостерігачів при міжнародних організаціях делегації держав в органах і...
83539. Кодифікація міжнародного морського права. Види морських просторів 36.24 KB
  Міжнародне морське право являє собою систему міжнародноправових принципів і норм що визначають правовий режим морських просторів і регулюють відносини між державами та іншими суб\'єктами міжнародного права з приводу їх діяльності з дослідження та використання просторів Світового океану та його ресурсів. Міжнародне морське право відноситься до однієї з найбільш старих галузей міжнародного права і спочатку склалося у формі звичаєвих норм. Кодифікація морського права була проведена в XX ст.
83540. Внутрішні морські води та їх правовий режим 36.63 KB
  Внутрішні морські води це води розташовані в сторону берега від вихідної базисної лінії територіального моря. До складу внутрішніх морських вод входять: води заток бухт лиманів історичні затоки води морських портів а також води розташовані в сторону берега від вихідних ліній прийнятих для обчисленні ширини територіального моря. Води затоки відносяться до внутрішніх морських вод якщо її берега належать одній державі ширина природного входу до затоки не перевищує 24 морських миль Якщо відстань між пунктами природного входу до...
83541. Режим морських портів 36.21 KB
  Прибережна держава самостійно вирішує питання про характер порту зокрема його закритість або відкритість для міжнародного судноплавства. Прибережна держава не повинна проте відмовляти у дозволі на вхід до закритого порту судну яке знаходиться в небезпеці у випадку аварії або штормової погоди судну що зазнає лихо. З метою забезпечення власної безпеки прибережна держава може. Прибережна держава зазвичай не втручається у відносини між капітаном екіпажем та пасажирами.
83542. Правовий режим архіпелажних вод 38.18 KB
  Суверенна влада прибережної держави обмежена правом безперешкодного проходу та правом архіпелажного проходу морськими коридорами що надається іноземним морським та повітряним суднам в архіпелажних водах ст. Архіпелажний прохід морськими коридорами означає що усі судна і літальні апарати користуються правом архіпелажного проходу такими морськими коридорами і прольоту по таким повітряним коридорам з ціллю безперервного і швидкого транзиту через архіпелажні води з однієї частини відкритого моря або виключної економічної зони до іншої частини...
83543. Поняття і межі територіального моря. Право мирного проходу. Правовий режим територіальних вод 37.22 KB
  Правовий режим територіальних вод Територіальне море це пояс морських вод шириною до 12 морських миль що розташований між берегом чи безпосередньо за внутрішніми морськими водами або архіпелажними водами держави та відкритим морем або водами спеціальних зон. Територіальне море як й внутрішні морські води є частиною території прибережної держави. На підставі цього права торгівельні судна можуть проходити через територіальне море іноземної держави без спеціального дозволу лише за умови дотримання права прибережної держави. Прохід...
83544. Поняття та правовий режим прилеглої зони 36.05 KB
  Сстановлює що прилегла зона не може пролягати далі ніж на 12 морських миль від вихідної лінії від якої відміряється ширина територіального моря проте Конвенція з морського права 1982 р. містить положення що прилегла зона не може пролягати за межі 24 морських миль від цієї лінії Розвитком інституту прилеглої зони стала практика встановлення прибережними державами за межами свого територіального морязон виключного рибальства. Ширина морських зон виключного рибальства в практиці держав різниться.
83545. Виключна економічна зона та її правовий режим 33.18 KB
  Ширина виключної економічної зони не повинна перевищувати 200 морських миль що відраховуються від вихідних ліній від яких відмірюється ширина територіального моря. Прибережна держава в межах виключної економічної зони має суверенні права на розвідку розробку і збереження природних ресурсів як живих так і неживих що знаходяться у її водах на морському дні або його надрах. Прибережна держава в межах своєї виключної економічної зони користується не тільки економічними повноваженнями але й юрисдикцією щодо створення і використання штучних...