83655

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Лекция

Физика

Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства или 4 где Z диагональная квадратная размерностью n x n матрица сопротивлений ветвей все элементы которой взаимную индуктивность не учитываем за исключением элементов главной диагонали равны нулю. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения 8 где столбцовая матрица контурных токов; транспонированная контурная матрица. 11 то получим матричную форму записи уравнений составленных по методу контурных токов: 12 где...

Русский

2015-03-15

192 KB

3 чел.

Лекция N 10

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно

простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


.

(1)

 

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток  как сумму токов  k-й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства  (4)  умножить  слева  на  контурную матрицу В  и  учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то

(6)

 

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

(7)

 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,  

(8)

 

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

 

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,  

(10)

(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

(12)

 

где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 ,

(13)

 

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

 

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z 

 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

 

.

Матрицы ЭДС и токов источников

 

Тогда матрица контурных ЭДС

 

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

 

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

 

где   - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.  

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

 

где  - матрица узловых проводимостей;  - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А 

                    

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y 

,

 

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

 

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

 

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2.  Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3.  Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4.  Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

  1.  Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

.

74


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65688. КАТЕГОРІЙНА СЕМАНТИКА КРАТНОСТІ В СИСТЕМІ МОВИ ТА ХУДОЖНЬОМУ ТЕКСТІ 164 KB
  На жаль українське мовознавство тривалий час стояло осторонь опрацювання цієї проблеми тому багато питань вже розвязаних для багатьох інших словянських мов в україністиці ще перебувають у стадії дослідження. При цьому кратність тлумачать як аспектуальне значення що характеризує дієслова...
65689. ОПТИМІЗАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ДІАГНОСТИКИ ДОБРОЯКІСНИХ ПУХЛИН ТА ПУХЛИНОПОДІБНИХ УТВОРЕНЬ ЯЄЧНИКІВ 266 KB
  Для досягнення мети поставлені такі задачі: Дати клінічну характеристику пацієнток із доброякісними новоутвореннями яєчників та оцінити діагностичну чутливість та специфічність ультразвукових методів трансабдомінальна трансвагінальна сонографія та допплерометрія...
65690. МОРФОГЕНЕТИЧНІ ПАРАЛЕЛІ РОЗВИТКУ СЕРЦЯ ТА ПЛАЦЕНТИ В ПРЕНАТАЛЬНОМУ ОНТОГЕНЕЗІ 4.49 MB
  Доведено що ембріон людини найбільш чутливий до будь-яких ушкоджувальних чинників у перші дні і тижні його внутрішньоутробного розвитку коли відбувається формування ранньої плаценти структурної основи взаємодії між матірю та ембріоном Петренко В.
65691. ГЕОЛОГО-ЕКОНОМІЧНИЙ АНАЛІЗ МІНЕРАЛЬНО-СИРОВИННОЇ БАЗИ БЕНТОНІТОВИХ ГЛИН УКРАЇНИ 1.86 MB
  Бентонітові глини мінеральна сировина багатоцільового призначення яка характеризується сукупністю корисних фізико-механічних і хімічних властивостей таких як пластичність здатність до набрякання висока сорбційна активність. Всі обєкти мінерально-сировинної бази МСБ бентонітових глин України характеризуються різним ступенем вивченості.
65692. ВІК, ГЕОХІМІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ТА МОЖЛИВІ ДЖЕРЕЛА ПОХОДЖЕННЯ ДЕТРИТОВОГО МОНАЦИТУ ТЕРИТОРІЇ УКРАЇНИ 731 KB
  Однак до сьогоднішнього часу плутонічні породи такого віку на УЩ не знайдені а волинські трапи вулканіти ДніпровоДонецької западини ДДЗ і Донецького басейну дайки відповідного віку УЩ не могли дати такої кількості теригенного монациту оскільки представлені породами переважно основного складу в яких монацит практично відсутній.
65693. СОЦІАЛІЗАЦІЯ ПІДЛІТКІВ НА ОСНОВІ ХУДОЖНЬО-ЕСТЕТИЧНИХ ТРАДИЦІЙ ЕТНОКУЛЬТУРНОЇ СПІЛЬНОТИ ДОНБАСУ 178 KB
  Ринкові пріоритети сучасного суспільства визначають орієнтири соціальних якостей особистості які раніше не висувалися до неї покладання на власні сили ініціативу розширення індивідуальної свободи та відповідальності значущість особистісного успіху що зумовлює змістовну зміну збагачення процесів соціалізації особистості.
65694. ФІЗИЧНА РЕАБІЛІТАЦІЯ ОСІБ З РОЗСІЯНИМ СКЛЕРОЗОМ У КОМПЛЕКСНІЙ ТЕРАПІЇ В УМОВАХ СТАЦІОНАРУ 287.5 KB
  У роботах попередніх років переважали рекомендації щодо обмеження працездатності хворих і встановлення інвалідності при перших проявах захворювання. У роботах останніх років звучать рекомендації щодо підтримки максимальної психо-емоційної...
65695. РОБОТА І РОЗРАХУНОК ЕЛЕМЕНТІВ КІЛЬЦЕВОГО ПЕРЕРІЗУ ЗІ СТАЛЕФІБРОБЕТОНУ ПРИ ПОВТОРНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ 1.99 MB
  Так практично не досліджена робота елементів кільцевого перерізу зі сталефібробетону. Відомо що переважна більшість конструкцій піддається дії повторних навантажень це також стосується і елементів кільцевого перерізу. З огляду на наведе дослідження особливостей роботи...
65696. Математичні моделі оцінювання стратегічного потенціалу підприємства та прийняття рішень щодо його підвищення 329 KB
  Велика кількість існуючих моделей та методологічних підходів до визначення СПП дає можливість керівникам здійснити вибір засобів прийняття рішення щодо подальшого розвитку підприємства проте жоден з існуючих підходів не є достатньо ефективним як за критерієм повноти аналізованої інформації...