83655

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Лекция

Физика

Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства или 4 где Z – диагональная квадратная размерностью n x n матрица сопротивлений ветвей все элементы которой взаимную индуктивность не учитываем за исключением элементов главной диагонали равны нулю. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения 8 где столбцовая матрица контурных токов; транспонированная контурная матрица. 11 то получим матричную форму записи уравнений составленных по методу контурных токов: 12 где...

Русский

2015-03-15

192 KB

3 чел.

Лекция N 10

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно

простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


.

(1)

 

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток  как сумму токов  k-й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства  (4)  умножить  слева  на  контурную матрицу В  и  учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то

(6)

 

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

(7)

 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,  

(8)

 

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

 

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,  

(10)

(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

(12)

 

где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 ,

(13)

 

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

 

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z 

 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

 

.

Матрицы ЭДС и токов источников

 

Тогда матрица контурных ЭДС

 

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

 

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

 

где   - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.  

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

 

где  - матрица узловых проводимостей;  - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А 

                    

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y 

,

 

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

 

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

 

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2.  Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3.  Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4.  Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

  1.  Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

.

74


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26090. Практикоориентированное освоение потенциала культуры 13.28 KB
  Экспертиза культуры также назначается по делам об экстремистской деятельности когда необходимо установить наличие или отсутствие на объекте фашистской символики пропаганды жестокости насилия вражды по отношению к определенной социальной религиозной национальной группе. Экспертиза памятников культуры проводится для охраны сохранения памятников при необходимости включении данных объектов в реестр объектов культурного наследия или установлении законности его сноса. Экспертиза памятников также актуальна по уголовным делам связанных с...
26091. Тело как феномен 17.04 KB
  Тело всегда наполняет наше сознание или сознание наполняет тело. Исходя из этого положения тело непрерывно выявляет процесс становления сознания. Именно тело является тем что сообщает миру бытие и обладать телом означает для живущего сращиваться с определенной средой сливаться воедино с определенными проектами и непрерывно в них углубляться поэтому тело должно рассматриваться не как объект мира но как средство нашего с ним сообщения.
26092. Культурная коммуникация 18.05 KB
  Необходимыми условиями и структурными компонентами социокультурной коммуникации являются наличие общего языка у субъектов коммуникации каналов передачи информации а также правил осуществления связей семиотических этических. Различные интерпретации социокультурной коммуникации основанные на различных методологических парадигмах акцентируют ее суть либо как совокупности средств передачи социальной информации образующих базу для становления и развития информационного общества технократически рационалистический подход либо как способа...
26093. Социокультурный прогресс 17.3 KB
  Заслуга разработки теории культурного прогресса принадлежит философам второй половины XVIII века Ж. Основой прогресса просветители считали совершенствование разума рост знаний.Дальнейшую разработку теория культурного прогресса получает в марксизме. Основу марксистской концепции культурного прогресса составляет учение об общественноэкономических формациях.
26094. Глобализация 29.47 KB
  Если считать ее древним явлением то глобализация всемирноисторический процесс. Глобализация сравнительно новый термин получивший в последнее десятилетие распространение в научной и политической литературе. Предметом оживленных дебатов служит буквально все что такое глобализация когда она началась как она соотносится с другими процессами в общественной жизни каковы ее ближайшие и отдаленные последствия.
26095. Модернизация 25.09 KB
  Сегодня понятие модернизации рассматривается преимущественно в трех различных значениях: 1 как внутреннее развитие стран Западной Европы и Северной Америки относящееся к европейскому Новому времени; 2 догоняющая модернизация которую практикуют страны не относящиеся к странам первой группы но стремящиеся их догнать; 3 процессы эволюционного развития наиболее модернизированных обществ Западная Европа и Северная Америка т. модернизация как некий перманентный процесс осуществляющийся посредством проведения реформ и инноваций что...
26096. Человек в современной культуре. Культурная модернизация 18.66 KB
  Формирование личности в современных условиях: рост независимости от власти традиционных факторов как семья религия; открытость новой практике и в отношениях с людьми; вера в могущество науки и отказ от пассивности и фатализма; стремление индивида к повышению образовательного и профессионального статуса; возрастание интереса к социальной и политической жизни и активное участие в ней; долгосрочное планирование дел и действий стремление к точности во времени. Проблема идентичности Проблема идентичности тесно связана с темой субъекта...
26097. Культурология как наука: междисциплинарные связи, предмет, объект, содержательная область и проблемные поля, структура 19.48 KB
  Лесли Элвин Уайт Открытие культуры когданибудь встанет в истории науки в один ряд с гелиоцентрической теорией Коперника или открытием клеточной основы всех форм жизни. проясняет природу и смыслы культуры раскрывает ее роль в общественной жизни А. помогает прояснить то подлинное значение культуры которое присутствует в трудах выдающихся мыслителей как прошлого так и настоящего вскрывает причины искажений в их теоретических позициях С. предлагает иную интерпретацию взаимоотношений культуры и природы которая коренным образом...
26098. Происхождения термина 21.88 KB
  написал трактат о земледелии перевод названия которого по латыни звучит примерно так: агрокультура. Отсюда первоначально слово культура применялось как агротехнический термин – обработка земли возделывание почвы. В значении самостоятельного понятие культура появилось в трудах немецкого юриста С.