83655

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Лекция

Физика

Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства или 4 где Z – диагональная квадратная размерностью n x n матрица сопротивлений ветвей все элементы которой взаимную индуктивность не учитываем за исключением элементов главной диагонали равны нулю. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения 8 где столбцовая матрица контурных токов; транспонированная контурная матрица. 11 то получим матричную форму записи уравнений составленных по методу контурных токов: 12 где...

Русский

2015-03-15

192 KB

3 чел.

Лекция N 10

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно

простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


.

(1)

 

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток  как сумму токов  k-й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства  (4)  умножить  слева  на  контурную матрицу В  и  учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то

(6)

 

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

(7)

 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,  

(8)

 

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

 

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,  

(10)

(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

(12)

 

где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 ,

(13)

 

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

 

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z 

 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

 

.

Матрицы ЭДС и токов источников

 

Тогда матрица контурных ЭДС

 

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

 

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

 

где   - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.  

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

 

где  - матрица узловых проводимостей;  - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А 

                    

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y 

,

 

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

 

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

 

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2.  Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3.  Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4.  Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

  1.  Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

.

74


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23457. Красные партизаны Украины 1941-1944 3.2 MB
  На обложке: Целлюлознобумажная фабрика сожжённая партизанами соединения им. Коротченко в верхнем ряду второй слева с партизанами Тернопольского соединения им. Соединения партизан которые посылали в эти регионы чтобы они с помощью агитации получали поддержку выслеживались и уничтожались 11. ИЗ ОПЕРАТИВНОГО ОТЧЁТА КОМАНДИРА СУМСКОГО ПАРТИЗАНСКОГО СОЕДИНЕНИЯ С.
23458. Муса Джалиль 60 KB
  2002 Залилов Джалиль Муса Мустафович 15. Мир и мировая литература знает много поэтов обессмертивших свои имена неувядаемой славой но таких как поэтгерой Муса Джалиль увековечивших свое имя и бессмертными творениями и смертью которая сама является подвигом не так уж много. Вот они: великий Байрон славный поэт Венгрии Петефи герой Юлиус Фучик и наконец Муса Джалиль .
23459. ТАТАРСКИЙ ЯЗЫК: ИЗУЧИТЬ ЛЕГКО! 866.5 KB
  Несколько слов о терминологии. В настоящей книге используется немало словтерминов лингвистического характера как падежные формы залог категория притяжательности которые многим напомнят уроки русского языка в школе. От терминов к сожалению не убежать если хочешь быть однозначным в своих пояснениях. И вместо того чтобы сказать: моя книга – минем китабым если дословно: минем китап – но это стилистическая ошибка можно сказать китап минеке или просто добавить –мын м ым в конце в виде суффикса т.
23460. ТАТАРСКО-РУССКИЙ СЛОВАРЬ НОВЫХ СЛОВ И НОВЫХ 1.21 MB
  средства банка аграрчы аграр мґсьґлґлґр белгече аграрник агрегатчы агрегатлар ыючы кйлґче ремонтлаучы эшче агрегатчик агреман бер ил хїкємґтенеј икенче дипломатия вґкилен кабул итґргґ ризалык белдерєе агреман агрикультура агрикультура агнийога йоганыј индус фґлсґфи системасыныј бер тїре агнийога агробизнес авыл хуќалыгы сґнґгате агробизнес агробиоценоз кеше хезмґтлеге нигезендґ барлыкка килгґн семлеклґр ґнлеклґр ыелмасы агробиоценоз агролицей агролицей агрология авыл хуќалыгы эшлґренґ бґйле рґвештґ туфрак єзгґрешлґрен...
23461. Грамматика татарского языка 255 KB
  Так в татарском языке имеются индийские китайские финноугорские заимствования относящиеся к эпохе общетюркского состояния. После Октябрьской революции заимствования стали проникать в татарский язык через письменный язык и поэтому пишутся и произносятся как и в русском языке: армия балет герой завод кинотеатр колхоз консерватор начальник председатель революция резерв секретарь совет совхоз авторучка ваучер чек акция рейтинг и т. Через русский язык заимствуются и слова из западноевропейских языков в тех же значениях и...
23462. Просто и легко о татарском языке. Что такое грамматика 362.5 KB
  Просто и легко о татарском языке Что такое грамматика Грамматика – это правила. Если у человека плохо с грамматикой то он путает род имен существительных и выстраивает слова не связывая их по принятым в языке законам: моя твоя не понимай – яркий пример того что человек не владеет русской грамматикой. Но он говорит на этом языке а ты не можешь. Итак: Самое главное в татарском языке Итак в чем же особенности грамматики татарского языка Чем он отличается от русского в своих правилах.
23463. Татарский язык на рубеже веков 36 KB
  АН РТ доктор филологических наук Казань Как известно татарский язык наряду с английским китайским индийским испанским немецким и другими языками был признан ЮНЕСКО одним 14 развитых и широко употребляемых языков мира. Будучи близок к тюркским языкам с древней письменностью он обнаруживает сходство также и с тюркскими языками Алтая. А ведь на тюркских языках разговаривают судя по некоторым данным более 250 миллионов человек В формировании татарского народа приняли участие несколько этнических компонентов групп. Поэтому...
23464. Русско-литовско-польский разговорник 1.77 MB
  Жегнайче Простите Atleiskite атляйскитя Proszę mi wybaczyć Проше ми выбачычь Извините Atsipraau атсипрашау Przepraszam Пшепрашам Спасибо Ačiu ачу Dzieńkuję Дзенькуе Пожалуйста Praom прашом Proszę Проше Помогите пожалуйста. прашом падети Proszę o pomóc. Проше о помуц Передайте пожалуйста Praom perduoti прашом пярдуоти Proszę przekazać Проше пшеказачь Скажите пожалуйста Praom pasakyti прашом пасакити Proszę mi powiedzieć Проше ми поведзечь Будьте здоровы. Сакикитя лечау Proszę mówić wolniej.
23465. Личные местоимения 199.5 KB
  Слоговое приращение augmentum syllabicum представляет собой гласный ἐ10 который помещается перед основой начинающейся с согласного звука: παιδεύω я воспитываю – impf. Глаголы начинающиеся с ρ при добавлении приращения удваивают этот согласный: ῥίπτω я бросаю – impf. Девять глаголов принимают приращение εἰ вместо ἐ: ἐθίζω я приучаю – impf. εἴθιζον я приучал ἕλκω я тащу – impf.