83655

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Лекция

Физика

Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства или 4 где Z – диагональная квадратная размерностью n x n матрица сопротивлений ветвей все элементы которой взаимную индуктивность не учитываем за исключением элементов главной диагонали равны нулю. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения 8 где столбцовая матрица контурных токов; транспонированная контурная матрица. 11 то получим матричную форму записи уравнений составленных по методу контурных токов: 12 где...

Русский

2015-03-15

192 KB

3 чел.

Лекция N 10

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно

простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:


.

(1)

 

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток  как сумму токов  k-й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства  (4)  умножить  слева  на  контурную матрицу В  и  учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то

(6)

 

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

(7)

 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,  

(8)

 

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

 

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,  

(10)

(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

(12)

 

где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

 ,

(13)

 

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

 

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z 

 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

 

.

Матрицы ЭДС и токов источников

 

Тогда матрица контурных ЭДС

 

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

 

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

 

где   - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.  

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

 

где  - матрица узловых проводимостей;  - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А 

                    

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y 

,

 

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

 

. .Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

 

.Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

Литература

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
  2.  Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
  3.  Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
  4.  Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Ответ:

.

  1.  Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:

.

74


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5109. Урок як основна форма фізичного виховання школярів 76.5 KB
  Урок як основна форма фізичного виховання школярів. Особливості організації і методики проведення уроків фізичної культури з учнями молодшого, середнього та старшого шкільного віку. Урок найбільш розповсюджена форма реалізації базової програм...
5110. Особливості методики контролю за процесом фізичного виховання дітей шкільного віку 64.5 KB
  Особливості методики контролю за процесом ФВ дітей шкільного віку. Основним джерелом отримання інформації про об’єкт, яким управляють є контроль за його станом після виконаних управляючих команд (канал зворотного зв’язку). Для фізичного ви...
5111. Організаційні форми фізичного виховання школярів протягом навчального дня 82.5 KB
  Організаційні форми фізичного виховання школярів протягом навчального дня. Позакласна і позашкільна робота з фізичної культури. Учитель фізичної культури – організатор здорового способу життя. Практична реалізація фізичного виховання школярів з...
5112. Теоретико-методичні основи фізичного виховання дітей шкільного віку 94 KB
  Теоретико-методичні основи фізичного виховання дітей шкільного віку. До шкільного віку відносяться діти від 6-7 до 17-18 років. Відповідно до існуючої системи загальної освіти цей віковий період поділяється на три етапи: молодший середній і старший....
5113. Особливості розвитку рухових якостей у дітей дошкільного віку 80.5 KB
  Особливості розвитку рухових якостей у дітей дошкільного віку. Всебічна фізична підготовка дітей дошкільного віку передбачає досягнення оптимального розвитку рухових (фізичних) якостей: швидкості, спритності, гнучкості, витривалості та сили. Фізичні...
5114. Диференційоване фізичне виховання школярів. Особливості фізичного виховання школярів, які мають відхилення у стані здоров’я 80.5 KB
  Диференційоване фізичне виховання школярів. Особливості фізичного виховання школярів, які мають відхилення у стані здоров’я. Поняття диференційований підхід...
5115. Теоретико-методичні основи фізичного виховання дітей дошкільного віку. Реферат 85.5 KB
  Теоретико-методичні основи фізичного виховання дітей дошкільного віку. Теорія фізичного виховання дітей дошкільного віку – це наука про загальні закономірності фізичного виховання та формування особистості дитини від народження до семи років. У...
5116. Основи фізичного виховання дітей першого та другого року життя 55.5 KB
  Основи фізичного виховання дітей першого та другого року життя Дитина народжується з потребою до рухової активності. Вона багато рухається, виявляє активний пошук до різноманітних (зорових, слухових, тактильних та ін.) подразників. Обмеження рухової...
5117. Організаційні форми фізичного виховання дітей дошкільного віку 43 KB
  Організаційні форми фізичного виховання дітей дошкільного віку. Організація раціонального режиму фізичного виховання дітей 3-6 років полягає у використанні різноманітних форм фізичного виховання, засобів і методів їх застосування, що відповідають ві...