83657

Резонансы в цепях синусоидального тока

Лекция

Физика

Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементамирезонанс напряжений Для цепи на рис. В цепи преобладает индуктивность т.

Русский

2015-03-15

136 KB

1 чел.

Лекция N 12

Резонансы в цепях синусоидального тока

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

 

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

 

Для цепи на рис.1 имеет место

где

; 

(1)

.    

(2)

 

В зависимости от соотношения величин  и  возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

 

 

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3.  - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

.

(3)

 

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0  его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1     . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае    , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений LЭ и CЭ .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

.  

(4)

 

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f);  и  для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

(5)

 

- и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

,   

(6)

 

или с учетом (4) и (5) для  можно записать:

.  

(7)

 

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

,

где

(8)

 . 

(9)

 

В зависимости от соотношения величин  и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

 - случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов  или

.  

(10)

 

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть  должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления  или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно  нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления  или входной реактивной проводимости  следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням , т.е.  или . Тогда корни уравнения  дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения  - значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения  получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения  - частоту , соответствующую резонансу токов.

 

                      Литература

 

  1.  Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2.  Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1.  Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
  2.  Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
  3.  В чем физическая сущность резонансных режимов?
  4.  На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
  5.  В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

Ответ: .

  1.  Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение ?
  2.  Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3   заменен на резистор R3.

Ответ: .

86


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74068. Франция в Новейшее время 99 KB
  Развитие государственного устройства Франции в Новейшее время. Право Франции в Новейшее время. Развитие государственного строя в период между двумя мировыми войнами Государственный строй Франции после Первой мировой определялся Конституцией 1875 г. В 30е годы в условиях острого социального и экономического кризиса во Франции активизируется деятельность профашистских организаций...
74069. Государственное развитие Германии в ХХ веке 140.5 KB
  Государственное развитие Германии в ХХ веке. Право Германии в Новейшее время. Революция 1918 года в Германии. Поражение Германии в Первой мировой войне внутренние противоречия влияние событий в России привели к революционному взрыву в ноябре 1918 г.
74070. Государство и право Китая и Японии в Новое и Новейшее время 168 KB
  Парламент Китая под нажимом Юань Шикая совершившего государственный переворот вносит во Временную конституцию изменения целью которых было расширить права президента и ограничить права парламента. еще больше расширили права президента. Провозглашалось равенство граждан перед законом и национальное равноправие гарантировались...
74071. Предмет, методы и основные источники «Истории права зарубежных стран» 48.5 KB
  Предмет методы и основные источники Истории права зарубежных стран. Истоки права. История ПЗС иногда ее называют Всеобщая история государства и права – изучает возникновение оформление и функционирование правовых обычаев и законов а также их последующие изменения у разных народов мира в отдельные периоды от древности до современной эпохи...
74072. Право Древнего Востока 88.5 KB
  Право Древнего Востока. Право Древнего Египта. Право Древнего Вавилона. Это в свою очередь сказалось на застойном характере восточных социальных структур на отсутствии на Востоке условий для развития тех политических и правовых институтов которые были призваны обслуживать нужды нарождавшегося гражданского общества: общественное самоуправление с правами и обязанностями каждого полноправного гражданина правовые гарантии его интересов прав и свобод.
74073. Право Юго-Восточной Азии в античное время 89.5 KB
  Особое место в истории Индии занимает Магадско-Маурийский период (IV-II вв. до н.э.), отмеченный созданием (впервые в истории Индии) объединенного государства - Магатха. Наивысшего могущество оно достигло при правлении династии Маурьев, и особенно, при Чандрагупте I (основателе династии) и Ашоке.
74074. Право Древней Греции 60 KB
  Право Древней Греции План. Государственноправовое устройство греческих полисов. Право Древней Греции. По достижении 18 лет они начинали пользовались политическими правами и правом получения различных пособий от государства.
74075. Римское право 71 KB
  Древний Рим – одно из крупнейших рабовладельческих государств – оставил ярчайший след в истории человечества. Его культурное наследие оказало глубокое влияние на все последующее развитие европейской цивилизации. Как гласит известное выражение. Римляне трижды покоряли мир – первый раз легионами, второй раз – христианством, третий раз – правом.
74076. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ФЕОДАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВА И ПРАВА 66 KB
  Для феодальной земельной собственности были характерны следующие особенности: 1 иерархический характер; 2 сословный характер; 3 ограничение права распоряжаться землей а некоторые категории например церковные земли вообще были изъяты из гражданского оборота. Основные черты феодального права Одновременно со складыванием феодальной государственности шел процесс становления феодального права. Можно выделить следующие характерные черты феодального права.